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Tutor: Cristofer Villani.

Il tutorato si è concluso. Sotto trovate gli esercizi assegnati nei vari incontri e due simulazioni d'esame.

Esercizi assegnati

Tutorato 12:

• Siano A\subset B anelli, e sia \mathfrak{q} un ideale primo di B. Se \mathfrak{p}=\mathfrak{q}\cap A, dimostrate che \mathfrak{p} è un ideale primo di A e che A/\mathfrak{p} si immerge in B/\mathfrak{q}.
• Sia k un campo, e sia A=k[t^2,t^3], con t un'indeterminata su k.
  • Se \mathfrak{p}\neq (0) è un ideale primo di A, mostrate che \mathfrak{p}\cap k[t^2] è un ideale primo di k[t^2] diverso da (0).
  • Mostrate che ogni ideale primo di A diverso da (0) è massimale, ma A non è un PID.
• Sia A un dominio, e siano f,g\in A. Un massimo comun divisore di f e g è un elemento d\in A tale che
  1. d divide entrambi f e g,
  2. per ogni h che divide entrambi f,g vale h\mid d.
  • Mostrate che, se esiste, un massimo comun divisore è unico a meno di invertibili: più precisamente, se d_1 e d_2 sono due massimi comuni divisori di f e g, allora d_1 e d_2 sono associati (i.e. differiscono per un invertibile). Scriviamo allora d=\text{gcd}(f,g) se d è un qualsiasi massimo comun divisore di f e g.
  • Mostrate che, se A è un UFD, f e g hanno un massimo comun divisore. Hint: in \mathbb{Z}, come si trova il massimo comun divisore usando la fattorizzazione?
  • Mostrate che se A è un PID, l'ideale (f,g) è generato da un massimo comun divisore di f e g.
  • Mostrate che questo è in generale falso se A è un UFD.
  • Esibite un UFD A e due elementi f,g\in A tali che \text{gcd}(f,g)=1 ma (f,g)\neq (1).
• Sia G=\text{Aut}(Q_8).
  • Provate che l'azione di G sui sottogruppi di indice 2 di Q_8 induce un omomorfismo surgettivo \varphi: G\to S_3.
  • Mostrate che \text{ker}(\varphi) è isomorfo a V.
  • Trovate un sottogruppo di G isomorfo a S_3.
  • Dimostrate che G\simeq S_4.
• (Un vecchio esercizio che non ho mai discusso in dettaglio) Sia G un gruppo, e sia H < G un sottogruppo. Consideriamo l'azione di G sui laterali sinistri di H.
  • Mostrate che, per ogni x\in G, lo stabilizzatore di xH è xHx^{-1}.
  • Provate che il nucleo dell'azione di G è il più grande sottogruppo H_G di H normale in G.
  • (Una versione infinita del Lemma di Poincaré) Se G è un gruppo infinito, e H<G è un sottogruppo di indice finito, H contiene un sottogruppo normale in G di indice finito.

Tutorati 9-10:

• Dal libro, es. 221, 222, 236, 261.
• Sia L\mid K un'estensione finita. Mostrate che L\mid K è di Galois se e solo se L è il campo di spezzamento di un polinomio f\in K[ X ] separabile.
• Sia L\mid K il campo di spezzamento di un polinomio f\in K[ X ] irriducibile e separabile. Se G(L\mid K) è abeliano, mostrate che L=K(\alpha) per ogni radice \alpha di f in L.
• Sia L il campo di spezzamento di f(X)=(X^4-2)(X^3-2) su \mathbb{Q}.
  • Trovate la massima sottoestensione K di L di Galois su \mathbb{Q} e tale che G(K\mid \mathbb{Q}) sia abeliano.
  • Descrivete le sottoestensioni di K.
• Sia L\mid K un'estensione di Galois tale che G(L\mid K) sia isomorfo a Q_8. Mostrate che L è necessariamente il campo di spezzamento su K di un polinomio di grado 8.
• Sia \alpha=\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{3})}.
  • Dimostrate che \mathbb{Q}(\alpha^2)=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}).
  • Trovate il grado del campo di spezzamento K di \alpha su \mathbb{Q}.
  • Descrivete il gruppo di Galois di K su \mathbb{Q} e le sottoestensioni intermedie di K\mid \mathbb{Q}.
• Descrivete una chiusura algebrica di \mathbb{F}_p.

Tutorato 8:

• dal libro, es. 157, 171, 176, 197;
• Sia A un dominio. Mostrate che sono equivalenti le seguenti condizioni. Leggero Hint per 3. implica 1.: localizzate.
  1. A è un UFD;
  2. ogni primo \mathfrak{p}\subset A diverso da (0) può essere generato da elementi primi;
  3. ogni primo \mathfrak{p}\subset A diverso da (0) contiene un elemento primo.
• Sia A un dominio, e sia S una sua parte moltiplicativa. Se K=\text{frac}(A), mostrate che S^{-1}A=A[S^{-1}], il più piccolo sottoanello di K che contiene A e gli inversi degli elementi di S.
• Sia A un dominio. Se S\subset A è una parte moltiplicativa, definiamo la saturazione di S in A come l'insieme \text{sat}(S) degli a\in A tali che a divide s per qualche s\in S. Mostrate che \text{sat}(S) è ancora una parte moltiplicativa di A, e che \text{sat}(\text{sat}(S))=\text{sat}(S).
• Sia A un dominio. Mostrate che sono equivalenti, per S,T\subset A parti moltiplicative:
  1. S^{-1}A\simeq T^{-1}A;
  2. S^{-1}A=T^{-1}A in \text{frac}(A);
  3. \text{sat}(S)=\text{sat}(T).
• Trovate tutte le localizzazioni di \mathbb{Z} a meno di isomorfismo, e di ognuna di esse caratterizzate gli ideali primi.
• Sia A un PID. Se \mathfrak{p}\subset A è un primo, contate gli ideali primi di A_\mathfrak{p}.
• Sia A un dominio euclideo.
  1. Mostrate che è sempre possibile trovare un grado d:A\setminus\lbrace 0\rbrace\to\mathbb{N} su A tale che \text{min}\lbrace d(a)\mid a\in A\rbrace=0.
  2. Se d è come in 1., mostrate che dev'essere d(u)=0 per ogni u\in A^\times.
  3. Se S\subset A è una parte moltiplicativa, dimostrate che S^{-1}A è un dominio euclideo.
• Sia A un anello.
  1. Mostrate che, se I\subset A è un ideale, vale I\subset (I:a)(I,a) per ogni a\in A; esibite un caso in cui non vale l'uguaglianza.
  2. Mostrate che, se A è un dominio i cui ideali primi sono principali, allora A è un PID.

Tutorati 5-6:

• Dal libro, es. 155, 164, 168, 181.
• Sia A=\mathbb{Q}[x,y], e siano \mathfrak{p}=(x^2+y), \mathfrak{q}=(x^4+y). Mostrate che
  • \mathfrak{p} e \mathfrak{q} sono ideali primi di A,
  • \mathfrak{p}+\mathfrak{q} è un ideale proprio di A che non è primo.
• Sia n>0 un numero naturale. Dite per quali valori di n l'anello \mathbb{Z}/n è ridotto, cioè non ha elementi nilpotenti.
• Supponiamo che un anello A abbia infiniti ideali massimali. Mostrate che, se \mathfrak{m}_1,\dots,\mathfrak{m}_k sono ideali massimali di A, con k\in\mathbb{N}, vale \mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_k\neq (0).
• Siano A un anello e x un'indeterminata.
  • Caratterizzate gli elementi nilpotenti di A[ x ].
  • Caratterizzate gli elementi invertibili di A[ x ].
• Esibite un anello commutativo A (necessariamente senza 1!) privo di ideali massimali.

Tutorati 3-4:

• dal libro, es. 122, 124, 128.
• Sia G un gruppo finito tale che tutti i suoi sottogruppi massimali sono coniugati.
  • Provate che G è un p-gruppo per qualche primo p.
  • Concludete che G è ciclico di ordine p^n.
• Sia G un gruppo di ordine p^3q, per certi primi p,q. Supponiamo che n_p(G), n_q(G)>1.
  • Mostrate che dev'essere |G|=24.
  • (\star) Concludete che G\simeq S_4.
• Sia G un gruppo, e sia \varphi:G\to \text{Aut}(G) la mappa che manda g\in G nel coniugio per g. Mostrate che G\rtimes_\varphi G\simeq G\times G.
• Sia G un gruppo finito.
  • Sia G\curvearrowright X un'azione transitiva, e supponiamo che la sua restrizione a un sottogruppo H < G sia ancora transitiva. Mostrate che allora G=H\cdot\text{stab}_G(x) per un qualsiasi x\in X.
  • (Argomento di Frattini) Se N < G è un sottogruppo normale di G, e P è un p-Sylow di N, mostrate che G=\mathbf{N}_G(P)\cdot N.
• Sia G un gruppo finito. Mostrate che le seguenti condizioni sono equivalenti. Hint: l'ordine in cui mostrare le implicazioni è quello indicato. Per l'implicazione da 2. a 3. è utile l'esercizio precedente.
  1. i normalizzatori dei sottogruppi di G crescono, cioè: se H\lneq G, vale \mathbf{N}_G(H)\supsetneq H;
  2. i sottogruppi massimali di G sono normali;
  3. i p-Sylow di G sono normali;
  4. G è prodotto diretto dei suoi p-Sylow;
  5. ogni quoziente non banale di G ha centro non banale.
• (Una generalizzazione dell'esempio S_3\rtimes \mathbb{Z}/2) Sia G=N\rtimes_\varphi H un prodotto semidiretto, e supponiamo che Z(N)=1 e H agisca su N per automorfismi interni, i.e. \text{im}(\varphi)\subset\text{Inn}(N)<\text{Aut}(N). Mostrate che G\simeq N\times \mathbf{C}_G(N).
• Sia G un gruppo di ordine n, e sia \varphi:G\to S_n l'immersione di Cayley, i.e. quella indotta dall'azione G\curvearrowright G per moltiplicazione.
  • (\star) Dimostrate che \mathbf{N}_{S_n}(\varphi(G))\simeq G\rtimes \text{Aut}(G), con l'azione naturale di \text{Aut}(G) su G.
  • Ritrovate (o deducete) il fatto seguente: se \sigma\in S_n è un n-ciclo, \mathbf{N}_{S_n}(\langle\sigma\rangle)\simeq \mathbb{Z}/n\rtimes(\mathbb{Z}/n)^*.

Tutorato 2:

• Dal libro, es. 28, 29, 110, 115.
• Sia G=\text{GL}(2,\mathbb{F}_3).
  • Calcolate |G|.
  • Determinate \text{Z}(G).
  • (\star) Mostrate che G/\text{Z}(G)\simeq S_4.
• Per H,K < G, un laterale doppio di H e K è un sottoinsieme della forma HgK=\lbrace hgk\mid h\in H, k\in K\rbrace, per qualche g\in G. Se H e K sono finiti, e g\in G, mostrate che vale |HgK|=|H|\cdot|K|/|K\cap g^{-1}Hg|.
• Sia G un gruppo finito, e sia p un primo tale che p divide |G|. Mostrate che il numero di sottogruppi di ordine p in G è congruo a 1 modulo p. Hint: può essere utile ripartire dalla dimostrazione del teorema di Cauchy via azione di \mathbb{Z}/p.
• Sia G un gruppo finito, e sia H < G. Consideriamo l’azione di G per moltiplicazione (a sinistra) sui laterali (sinistri) di H, vale a dire G\curvearrowright G/H=\lbrace xH\mid x\in G\rbrace, g(xH) \coloneqq gxH.
  • Dimostrate che, per x\in G, lo stabilizzatore di xH è xHx^{-1}.
  • Dimostrate che il numero di punti fissi dell'azione ristretta ad H, i.e. il numero di laterali xH tali che gxH=xH per ogni g\in H, coincide con [\mathbf{N}_G(H):H].
  • Supponiamo che H sia un p-sottogruppo di G, cioè |H|=p^k per qualche k e un fissato primo p. Se [G:H] è divisibile per p, mostrate che anche [\mathbf{N}_G(H):H] è divisibile per p.
• (Dopo aver rivisto la teoria!) Usate l'esercizio precedente e il teorema di Cauchy (ma non i teoremi di Sylow!) per dimostrare che, se G è un gruppo finito e p è un primo che divide |G|, il gruppo G ha un p-Sylow.

Tutorato 1:

• dal libro, es. 10, 12, 16, 17, 19;
• mostrate che \mathbb{Z}/d, per d dispari, non è isomorfo al gruppo di automorfismi \text{Aut}(G) di alcun gruppo finito G;
• sia G un gruppo che agisce transitivamente su un insieme X (i.e., c'è una sola orbita), e sia N un sottogruppo normale di G. Dimostrate che
  • se x,y\in X, \text{stab}_G(x) e \text{stab}_G(y) sono coniugati;
  • l'azione di N su X non è necessariamente transitiva;
  • le orbite dell'azione di N su X hanno tutte la stessa cardinalità.

Simulazioni d'Esame

• Simulazione 24 aprile (Gruppi): Testo, Soluzioni,
• Simulazione 31 maggio (Anelli & Campi): Testo, Soluzioni.