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-}
diff --git a/.prettierrc.mjs b/.prettierrc.mjs
new file mode 100644
index 0000000..577489f
--- /dev/null
+++ b/.prettierrc.mjs
@@ -0,0 +1,26 @@
+/** @type {import("prettier").Config} */
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+
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diff --git a/.vscode/settings.json b/.vscode/settings.json
index 76e80fa..6415250 100644
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index d1ef97b..371588a 100755
Binary files a/bun.lockb and b/bun.lockb differ
diff --git a/package.json b/package.json
index 9eefc62..28c58fc 100644
--- a/package.json
+++ b/package.json
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index 259177b..356693e 100644
--- a/src/client/DomandeEsamiCourse.tsx
+++ b/src/client/DomandeEsamiCourse.tsx
@@ -2,6 +2,19 @@ import { useEffect, useState } from 'preact/hooks'
 import { Funnel } from '@phosphor-icons/react'
 import { marked } from 'marked'
 
+// @ts-ignore
+import extendedLatex from 'marked-extended-latex'
+
+marked.use(
+    extendedLatex({
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+            console.log('rendering', formula)
+            return display ? '$$' + formula + '$$' : '$' + formula + '$'
+        },
+    }),
+)
+
 import type { Database } from '@/data/domande-esami.yaml'
 
 const useRemoteValue = <T,>(url: string): T | null => {
@@ -33,9 +46,7 @@ export const DomandeEsamiCourse = ({ course }: Props) => {
 
     const courseTags = [
         ...new Set(
-            database.questions
-                .filter(question => question.course === course)
-                .flatMap(question => question.tags)
+            database.questions.filter(question => question.course === course).flatMap(question => question.tags),
         ),
     ]
 
@@ -43,9 +54,7 @@ export const DomandeEsamiCourse = ({ course }: Props) => {
 
     const filteredQuestions = database.questions
         .filter(question => question.course === course)
-        .filter(
-            question => selectedTags.length === 0 || selectedTags.every(tag => question.tags.includes(tag))
-        )
+        .filter(question => selectedTags.length === 0 || selectedTags.every(tag => question.tags.includes(tag)))
 
     return (
         <>
@@ -70,16 +79,12 @@ export const DomandeEsamiCourse = ({ course }: Props) => {
                           ))
                         : courseTags.map(tag => (
                               <div
-                                  class={
-                                      selectedTags.includes(tag)
-                                          ? 'chip clickable'
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+                                  class={selectedTags.includes(tag) ? 'chip clickable' : 'chip clickable disabled'}
                                   onClick={() =>
                                       setSelectedTags(
                                           selectedTags.includes(tag)
                                               ? selectedTags.filter(t => t !== tag)
-                                              : [...selectedTags, tag]
+                                              : [...selectedTags, tag],
                                       )
                                   }
                               >
diff --git a/src/data/domande-esami.yaml b/src/data/domande-esami.yaml
index 2ed339d..e849968 100644
--- a/src/data/domande-esami.yaml
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@@ -1,201 +1,2021 @@
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-    aritmetica: Aritmetica
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+  geometria-e-topologia-differenziale: Geometria e Topologia Differenziale
+  analisi-armonica: Analisi Armonica
+  elementi-di-analisi-complessa: Elementi di Analisi Complessa
+  eti: Elementi di Teoria degli Insiemi
 
 groups:
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-    - id: triennale-anno-2
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+
+# Gruppo fondamentale dei proiettivi reali o complessi.
+# Compattezza in spazi metrici.
+# “Esercizio”: caratterizzare le funzioni intere olomorfe iniettive.
+
+# Domande 20/6/2022
+
+# Primo enunciato di Riemann-Weierstrass
+# • Calcolare il π1(S1). (∼= Z)
+# • Formula di Cauchy per funzioni olomorfe.
+# • π1(P^n(R)) (discorso generale).
+# • Come ottenere Pn(R) da Dn (dettagliata).
+# • Equazione di Cauchy-Riemann.
+# • Esempio di funzione continua differenziabile non olomorfa [ f(z) = \bar{z} ]
+# • Cos’è un punto singolare di una curva proiettiva.
+# • Conica singolare => degenere con K = C.
+# • il toro è omeomorfo al toro meno un punto?
+# • Chi è il rivestimento universale del toro?
+
+# Marzenta Giovanni:
+# Caratterizzazione dei rivestimenti regolari tramite il 1; un esempio di rivestimento regolare e uno di un rivestimento non regolare per il bouquet di due circonferenze.
+# Caratterizzare le funzioni olomorfe intere (da C in C) tali che |f(z)||z|d .
+
+# • X = [0; 1), topologia di base: (a; b), con a > 0, e [0; a)U(b; 1), con 0 < a < b < 1.
+# E più o meno fine della topologia Euclidea? Assiomi di topologia? Connesso? ` E`
+# compatto? Conosci un compatto famoso che ne è omeomorfo? (S1) Un esempio di tale
+# omeomorfismo? (t -> e^2πit).
+# • Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi complessi
+
+# 21/6/2022
+
+# Che relazione c'è tra connessione e connessione per archi? Connesso per archi => Connesso
+# (dimostrazione) e Connesso non implica Connesso per archi (dimostrazione).
+# • Data f : U \{z0} → C, punti di singolarità? A riguardo, cosa succede a lim z→z0 |f(z)|?
+# Esempio di funzione con singolarità`a essenziale? [f(z) = e^(1/z) ]
+# Dimostrazione del secondo enunciato di Riemann-Weierstrass
+# • X topologico e Y sottoinsieme, se Y e compatto e chiuso, che relazioni ci sono tra compattezza e chiusura?
+# • Come calcolare Zeri e Poli di una funzione, eventualmente con molteplicità?
+# • Consideriamo la striscia in R2 tra le rette x = 0 e x = 1 comprese e quozientiamolo con la
+# relazione (0; y) ∼ (1; -y) . Come ti immagini questo quoziente? E una varietà topologica? `
+# Togliendo il segmento [0; 1], il quoziente è connesso per archi? Qual è il suo gruppo fondamentale? (Calcolarlo).
+# • Si può retrarre il nastro di Mobius sul suo bordo?
+# • Quanti punti di intersezione può avere al massimo una curva C = [F] in C con una retta?
+# • Come costruiresti uno spazio topologico con gruppo fondamentale Z/3?
+# • Prendiamo due triple di rette in P2(C), quando è possibile mandare le prime tre nelle seconde
+# tre?
+# • Definizione di Topologia Quoziente. Caratterizzazione degli aperti. Prendiamo X = R, x ∼
+# y sse x - y \in Q: la topologia quoziente si può descrivere facilmente... Chi sono gli aperti di
+# questa topologia quoziente? (Topologia indiscreta).
+# • Definizione di Rivestimento.
+# Condizione su E affinché qualunque rivestimento sia di grado finito.
+# • Teorema fondamentale dell’Algebra.
+# • Una cubica C = [p], può avere una retta tangente in due punti? Se invece ha grado 4?
+# • Teorema di Riemann-Weierstrass.
 
 questions:
-    - course: geometria-1
-      content: |
-          Dimostrare il teorema spettrale reale
-      tags:
-          - 2024
-
-    - course: gtd
-      content: |
-          Calcolare la curvatura gaussiana di una sfera di raggio $r$
-      tags:
-          - 2024
-
-    - course: geometria-1
-      content: |
-          Dimostrare che _l'area_ di un cerchio è $A = \pi r^2$
-      tags:
-          - 2023
-
-    - course: algebra-1
-      content: |
-          Dimostrare il teorema di Sylow
-      tags:
-          - 2024
-
-    - course: algebra-1
-      content: |
-          Dimostrare che ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico
-      tags:
-          - 2023
-
-    - course: analisi-1
-      content: |
-          Dimostrare il teorema di Weierstrass
-      tags:
-          - 2024
-
-    - course: analisi-1
-      content: |
-          Dimostrare che se $f$ è continua su $[a,b]$, allora $f$ è limitata
-      tags:
-          - 2023
-
-    - course: analisi-2
-      content: |
-          Dimostrare il teorema di Stokes
-      tags:
-          - 2024
-
-    - course: analisi-2
-      content: |
-          Dimostrare il teorema di Green
-      tags:
-          - 2023
-
-    - course: analisi-3
-      content: |
-          Dimostrare il teorema di Cauchy
-      tags:
-          - 2024
-
-    - course: analisi-3
-      content: |
-          Dimostrare il teorema di Liouville
-      tags:
-          - 2023
-
-    - course: algebra-2
-      content: |
-          Dimostrare il teorema di struttura per i gruppi abeliani finiti
-      tags:
-          - 2024
-
-    - course: algebra-2
-      content: |
-          Dimostrare il teorema di struttura per i gruppi finiti
-      tags:
-          - 2023
-
-    - course: ricerca-operativa
-      content: |
-          Dimostrare il teorema di dualità per i problemi di programmazione lineare
-      tags:
-          - 2024
-
-    - course: geometria-topologia-differenziale
-      content: |
-          Dimostrare il teorema di Poincaré-Hopf
-      tags:
-          - 2024
-
-    - course: analisi-armonica
-      content: |
-          Dimostrare il teorema di Hahn-Banach
-      tags:
-          - 2024
-
-    - course: analisi-complessa
-      content: |
-          Dimostrare il teorema di Morera
-      tags:
-          - 2024
-
-    - course: analisi-complessa
-      content: |
-          Dimostrare il teorema degli zeri di Weierstrass
-      tags:
-          - 2023
-
-    - course: analisi-complessa
-      content: |
-          Dimostrare il teorema della mappa aperta
-      tags:
-          - 2022
-
-    - course: analisi-complessa
-      content: |
-          Dimostrare il teorema della mappa aperta
-      tags:
-          - 2021
-
-    - course: geometria-2
-      content: |
-          Dimostrare il teorema di Van Kampen
-      tags:
-          - 2024
-          - Frigerio
-
-    - course: geometria-2
-      content: |
-          Definizione di gruppo fondamentale
-      tags:
-          - 2023
-          - Frigerio
-
-    - course: geometria-2
-      content: |
-          Dimostrare il teorema Cauchy
-      tags:
-          - 2022
-          - Abate
+  - course: geometria-2
+    content: |
+      $\mathbb R^3$ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il $\pi_1$?
+    tags:
+      - 2021
+  - course: geometria-2
+    content: |
+      Chi sono i biolomorfismi da $\mathbb C$ in $\mathbb C$?
+    tags:
+      - 2021
+  - course: geometria-2
+    content: |
+      Zeri di funzioni olomorfe e Teorema di Rouché.
+    tags:
+      - 2021
+  - course: geometria-2
+    content: |
+      Il gruppo $G$ delle rotazioni generato da quella di angolo $2\pi/7$ che agisce su $\mathbb R^2$. Calcolare il gruppo fondamentale di $\mathbb R^2/G$ e studiare il rivestimento dato dalla proiezione al quoziente di $\mathbb R^2\{0}$ su $\mathbb R^2\{0}/G$.
+    tags:
+      - 2021
+  - course: geometria-2
+    content: |
+      Prodotto numerabile di metrizzabili è metrizzabile e controesempio quando il prodotto è più che numerabile
+    tags:
+      - 2021
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+      Forme chiuse ed esatte, relazioni tra le due
+    tags:
+      - 2021
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+    content: |
+      Esempio di funzione armonica che non sia la parte reale di una funzione olomorfa
+    tags:
+      - 2021
+  - course: geometria-2
+    content: |
+      Riferimenti proiettivi e teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive
+    tags:
+      - 2021
+  - course: geometria-2
+    content: |
+      Retratti, in generale sono chiusi/aperti/nessuno dei due?
+    tags:
+      - 2021
+  - course: geometria-2
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+      Parlare delle singolarità, Weierstrass-Casorati
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+      Teorema di Brouwer, se levo il bordo a $D^2$ è ancora vero il teorema?
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+      Spazi separabili che implicazioni sai dirmi e dimostrazione
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+      Teorema di Liouville
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+      In quale altro risultato che abbiamo visto si usano le stime di Cauchy sui coefficienti? (Voleva la caratterizzazione delle singolarità essenziali, io gli ho nominato il lemma di Schwarz e mi ha fatto fare la dimostrazione anche di quello)
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+  - course: geometria-2
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+      Differenzia (nel senso di dimostra che uno dei due non implica l'altro) due assiomi di separazione a scelta
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+  - course: geometria-2
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+      Cosa sai dire delle proprietà di separazione della topologia di Zariski?
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+      Un esempio di spazio $T_2$ con un quoziente non $T_2$ e un esempio in cui il quoziente è ottenuto per azioni di gruppo.
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+      Funzioni armoniche e parti reali di funzioni olomorfe.
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+      Proiettivo complesso è semplicemente connesso, e mappe dalla sfera complessa al proiettivo. Sono rivestimenti?
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+      Connesso non connesso per archi
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+      Archi $\implies$ connesso
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+      $[0,1]$ connesso
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+      Olomorfa $\implies$ analitica
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+      Per quali $d$ interi esiste un rivestimento connesso della superficie di seconda specie di grado $d$
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+      Sottospazio compatto $\implies$ chiuso. Quando e perché. Controesempio se $X$ non è $T_2$.
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+      Metrico compatto $\implies$ limitato. Controesempio a metrico completo limitato $\implies$ compatto
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+      Definizione funzione olomorfa. Se abbiamo una funzione olomorfa su un disco aperto senza il centro, quando si può estendere nel punto?
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+      Il toro si retrae al toro senza un dischetto?
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+      Compattezza in spazi metrici. Compatto per successioni $\implies$ completo e totalmente limitato (Implicazione a scelta).
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+      Definizione di funzione analitica e criteri per stabilire se è identicamente nulla su un aperto connesso. Derivate nulle in un punto $\implies$ identicamente nulla nell'aperto connesso.
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+      Zeri di una funzione analitica, perché sono un insieme discreto. Come contarli con molteplicità?
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+      Definizione di semilocalmente semplicemente connesso + esempio di spazio senza tale proprietà
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+      Invertibilità locale di olomorfe dove la derivata è non nulla.
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+      Dove posso definire una funzione radice quadrata olomorfa?
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+      Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi su $\mathbb R$ e su $\mathbb C$
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+      Punti in posizione generale, trasformazioni proiettive, scelta del punto unità - definizioni
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+      Teorema fondamentale trasformazioni proiettive
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+      `O-O` è omotopicamente equivalente a `OO` ma non un suo retratto per deformazione + il loro $\pi_1$
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+      Definizione funzione armonica + ogni armonica è parte reale di una funzione olomorfa su di un semplicemente connesso.
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+      Connessione, connessione per archi e relazione tra le due.
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+      Funzioni meromorfe, poli di funzioni olomorfe. Dimostrazione teorema di Weierstrass
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+      Esempio di un connesso non connesso per archi
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+      $Y$ connesso. $Y \subseteq Z \subseteq \bar{Y} \implies Z$ connesso
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+      Determinare chiusura dell'insieme $\{0\} \times [0,1] \cap \mathbb Q$ in $\mathbb R^2$, e di $\{0\} \times ]0,1[ \cap \mathbb Q$ in $\mathbb R^2$, chi sono i bordi in $\mathbb R^2$ di questi insiemi?
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+      Teorema di Liouville
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+      Birapporto: definizione, cosa succede se scambio $P_1$ e $P_2$, comportamento con trasf. proiettive
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+      Spazi contraibili: definizione, se $x_0 \in X$ contraibile allora $x_0$ ne è retratto per deformazione?
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+      Contraibile $\implies$ semplicemente connesso
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+      Definizione indice di avvolgimento.
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+      Rivestimento di grado due del wedge di due cerchi e sottogruppo associato nel $\pi_1$
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+      Relazione tra sottogruppi del $\pi_1$, rivestimenti e rivestimento universale.
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+      Quando ho un automorfismo di rivestimento che manda un punto di una fibra in un altro?
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+      Dimostrazione preferita del Teorema Fondamentale dell'Algebra
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+      Definizione di funzione olomorfa/analitica e relazione tra le due
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+      Olomorfa $\implies$ Analitica
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+      Definizione di rivestimento regolare, esibire un rivestimento non regolare.
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+      Un biolomorfismo dal disco unitario in sé con $f(0) = 0$
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+      Definizione di rivestimento regolare, esibire un rivestimento non regolare.
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+      Principio del massimo modulo
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+      Caratterizzazione degli zeri delle funzioni olomorfe e come contarli con molteplicità
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+      $p_1 : \mathbb R^2 \to \mathbb R$ è aperta/chiusa/propria?
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+      Caratterizzare le funzioni intere e bigettive
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+      In $\mathbb R^n$ aperto connesso sse connesso per archi
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+      Trovare uno spazio connesso ma non connesso per archi.
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+      Dimostrare che la chiusura di un connesso è connessa.
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+      Definizione di parte interna, chiusura e bordo di un insieme. Queste definizioni dipendono dallo spazio ambiente?
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+      Calcolare la chiusura di $(0,1)$ e dei razionali in $[0,1]$ immersi in $\mathbb R$ e $\mathbb R^2$.
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+      Enunciato e dimostrazione del teorema di Liouville.
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+      Calcolare $n$-proiettivo reale
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+      Olomorfa $\iff$ analitica
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+      Esercizio sul proiettivo del compito di luglio
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+      Spazio delle matrici $n \times n$ reali quozientate per azione di coniugio di $GL_n(\mathbb R)$. Lo spazio ottenuto è $T_1$, $T_2$?
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+      Curva affine in $\mathbb C^2$: $y^2=x^3-x$. Qual è la sua chiusura proiettiva? Il supporto affine è denso nel supporto proiettivo? Definizione di asintoto, calcolo degli asintoti e punti singolari di questa curva. Stima brutale del numero di asintoti di una curva di grado $d$.
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+      $f(z)dz$ chiusa $\iff$ $f$ olomorfa
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+      Per quali "a" complessi esiste $f:\mathbb C^* \to \mathbb C$ olomorfa non identicamente nulla con $f'(z) = a*f(z)/z$?
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+      $R^3$ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il $\pi_1$?
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+      Esempio di rivestimento non regolare
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+      Per un rivestimento dallo spazio $E$ connesso e localmente connesso per archi: gruppo degli automorfismi transitivo su una fibra $\iff$ l'immersione del $p_1(E)$ è normale
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+      Trovare tutte le funzioni olomorfe su $\mathbb C$ per cui esistono $k$ e $d$ tali che $|f(z)|<k|z|^d$
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+      Gruppo fondamentale di $P_n(\mathbb C)$
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+      Biolomorfismi di $\mathbb C$ e del disco aperto
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+      Parlare di retrazione e retrazione per deformazione, con le conseguenze sui gruppi fondamentali
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+      Teorema di Bezout
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+      Data $F$ irriducibile di grado $d$, quanti punti singolari può avere al massimo $F$? (una stima)
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+      Spazi metrici e caratterizzazione dei compatti per spazi metrici
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+      Formula di Cauchy
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+      $f$ olomorfa in $U\{z}$ e limitata in un intorno di $z$, cosa possiamo dire?
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+      Definizione di gruppo fondamentale e perché è un gruppo
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+      Formula di Cauchy
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+      Derivata logaritmica
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+      Prodotto di due spazi compatti è compatto
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+      Se il prodotto di due spazi è compatto, è sempre vero che i due spazi sono compatti? (Sì, posso vederli entrambi come immagine continua tramite le proiezioni di $X \times Y$)
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+      Definire l'integrale di forme chiuse su curve continue, accenni di dimostrazione di "integrale su forme chiuse non cambia per curve omotope", un esercizio in cui di fatto serviva la definizione di indice di avvolgimento
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+      Un aperto di $\mathbb R^n$ connesso è connesso per archi, connesso+localmente connesso per archi implica connesso per archi, la connessione per archi è relazione di equivalenza
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+      Quanti asintoti può avere al massimo una curva di $P^2(\mathbb C)$?
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+      Automorfismi del disco
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+      Dato $S^1$ e $S^1$ ed il suo $\pi_1$ generato da $a,b$, trova il rivestimento associato ai sottogruppi $<a>$ e $N(<a>)$ (con quest'ultimo si intende il sottogruppo normale generato da $a$)
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+      Quando una funzione propria è chiusa e dimostrazione (più come esercizio che come teoria)
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+      Gruppo fondamentale del toro
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+      Una funzione olomorfa si può scrivere come serie di potenze
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+      Elencare gli assiomi di separazione, dimostrare le varie implicazioni. Dare un controesempio a scelta delle implicazioni metrizzabile -> normale -> regolare -> $T_2$
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+      Studiare $f$ olomorfa tale che $|f(z)|<k|z|^d$
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+      Teorema di Liouville (con dimostrazione)
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+      Un punto è singolare se e solo se il gradiente si annulla.
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+      Formula di Cauchy per funzioni olomorfe.
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+      Trova un rivestimento di grado 3 del bouquet di due circonferenze
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+  - course: algebra-1
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+      Trovare per quali $n$ esiste un’estensione di $\mathbb Q$ con discriminante (in modulo?) = $7^n$
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+  - course: algebra-1
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+      Data un’estensione $L/K$ di grado $6$ e un primo $p$ di $K$, trovare tutti e soli i modi possibili in cui $p$ può fattorizzarsi in $L$, esibendo per ciascun modo un esempio.
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+  - course: algebra-1
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+      Trovare la minima estensione ciclotomica di $\mathbb Q$ che contenga le radici quadrate di $3$, $5$ e $13$.
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+  - course: algebra-1
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+      Determinare i primi che spezzano completamente in $\mathbb Q(\sqrt[5]{2})/\mathbb Q$
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+  - course: algebra-1
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+      Definizione di discriminante e proprietà
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+      - 2023
+  - course: algebra-1
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+      Considera un’estensione di $\mathbb Q$ con gruppo di Galois $Z_2 \times Z_2$. E’ possibile che ramifichi esattamente un primo? $2$? $3$?
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+      - 2023
+  - course: algebra-1
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+      Gruppo delle classi, definizione e dimostrazione della finitezza (assumendo lambda con la giusta proprietà)
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+  - course: algebra-1
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+      Determinare come spezzano i primi in $\mathbb Q(\sqrt[5]{3})$, in particolare se esistono primi che spezzano completamente e come spezza $5$.
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+      - 2023
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+  - course: aritmetica
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+      Un polinomio $p \in \mathbb{Z}[x]$ può essere riducibile o irriducibile. Lo stesso polinomio, preso con coefficienti in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[x]$ può essere riducibile o irriducibile. Che relazione c’è tra queste due cose?
+      (Attenzione se su $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ la scomposizione diventa banale)
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+      - 2015
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+  - course: aritmetica
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+      Capire se $-1$ è residuo quadratico modulo $p$. (Hint: si può dare per scontato che esista un generatore)
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+      - 2015
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+  - course: aritmetica
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+      Sia $q \in \mathbb{Z}[x]$ un polinomio irriducibile. Si chiede se $\exists p \in P$ tale che $q$ modulo $p$ è riducibile?
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+      - 2015
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+  - course: aritmetica
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+      Sia $G$ un gruppo abeliano finito e sia $H \triangleleft G$. Sappiamo che sia $H$ che $G/H$ sono ciclici. Si può dedurre che $G$ è ciclico? Se no, c’è una qualche altra ipotesi che mi permette di dedurlo? (Hint: pensare agli ordini di $H$ e $G/H$)
+    tags:
+      - 2015
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+  - course: aritmetica
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+      Fai un esempio di due anelli isomorfi come spazi vettoriali ma non come anelli.
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+  - course: aritmetica
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+      Consideriamo $\sigma : \mathbb{N}^+ \to \mathbb{N}^+$ definita come $$\sigma(n) = \sum_{d \mid n} d.$$ Dimostrarne la moltiplicatività, ovvero che $\sigma(mn) = \sigma(m) \cdot \sigma(n)$ se $(n,m) = 1$.
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+      - 2015
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+  - course: aritmetica
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+      Si consideri in $M(K, n, n)$ l’insieme delle matrici quadrate invertibili di ordine $n$ a coefficienti nel campo $K$. Dimostrare che è un gruppo.
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+      Consideriamo $M(\mathbb{F}_{11}, 2, 2)$. Non è un gruppo abeliano ma mostriamo che esiste un sottogruppo normale. (Hint: prendiamo l’insieme delle matrici il cui determinante ...)
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+      Sappiamo che ogni sottogruppo normale di un gruppo è $\ker$ di un omomorfismo. Sai trovare un omomorfismo $\varphi : M(\mathbb{F}_{11}, 2, 2) \to \mathbb{F}_{11}$ che abbia come $\ker$ il sottogruppo delle matrici con determinante che è un quadrato in $\mathbb{F}_{11}$?
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+      Quanti sono i polinomi irriducibili di grado $n$ su $\mathbb{F}_p$? (Hint: può essere utile provare prima il caso dei polinomi di secondo grado. Hint: in alternativa si possono contare i polinomi riducibili.)
+      Hint: Altrimenti dimostrate che 
+      $$\prod_{p(x) \text{ irriducibile}, \deg(p(x)) | n} p(x) = x^{p^n} - x.$$
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+      Sia $G = \langle x_1, x_2 \rangle$ un gruppo e $H < G$ un sottogruppo. È vero che anche $H$ è generato da al più due elementi? Se è falso trovare un controesempio. Provare prima il caso $H \triangleleft G$, poi il caso generale. (Hint: una volta è vero, l’altra è falsa)
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+  - course: aritmetica
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+      Descrivere i sottogruppi di $G = \mathbb{Z}_{10} \times \mathbb{Z}_5$ e contare i sottogruppi $H \triangleleft V$ tali che $|H| = 1000$ e
+      $V = \mathbb{Z}_{1000} \times \mathbb{Z}_{500}$. E quanti sono i sottogruppi $H \triangleleft V$ tali che $|H| = 5$?
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+      Considera l’insieme $W = \{p(x) \in \mathbb{Z}_5 [x]\}$. Ogni polinomio $p \in W$ lo posso vedere come funzione $f_p : \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5$ associando ad ogni polinomio la funzione valutazione sui suoi elementi.
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+      Esistono polinomi distinti la cui funzione associata è la stessa?
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+      Sia $\varphi$ l’omomorfismo che ad un polinomio associa la sua funzione polinomiale in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Qual è il $\ker$ di questa funzione? E l’immagine di $\varphi$ quanti elementi ha?
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+      Siano $\alpha, \beta$ algebrici su $\mathbb{Q}$ tali che $\deg(\alpha) = m$ e $\deg(\beta) = n$. Quali sono i possibili valori per $\deg(\alpha + \beta)$?
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+      Qual è il minimo $\deg(\alpha + \beta)$ fissati $m$ ed $n$?
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+      $(\mathbb{Q}, +)$ è ciclico? Quanti generatori ha?
+      (Hint: considera le frazioni con numeratore uno e denominatore potenza di un primo) Dimostra che quelli che hai trovato generano.
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+      Sia $H < G$, con $G$ gruppo ciclico finito. Dimostra che anche $H$ è ciclico. Vale anche nel caso $|G| = +\infty$?
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+      $\forall n \in \mathbb{N}$ sia $z_n = e^{i 2\pi / n}$. Che cosa ottengo se aggiungo $z_n$ a $\mathbb{Q}$? E se aggiungo $z_n$ e $z_m$ con $m \neq n$?
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+      Calcola il grado dell’estensione di campo $[\mathbb{Q}(z_n , z_m) : \mathbb{Q}]$ (Hint: $[\mathbb{Q}(z_n) : \mathbb{Q}] = \varphi(n)$)
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+      Dimostra che se ho $(n,m) = 1$ allora $\mathbb{Q}(z_{nm}) = \mathbb{Q}(z_n , z_m)$.
+      Dimostra che $\sum_{j=0}^{p-1} x^j$ è irriducibile su $\mathbb{Q}[x]$.
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+      Trova un $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} [x]$ in cui esiste un polinomio $p(x)$ tale che $\exists k \in \mathbb{N}$ con $p^k = 0$.
+      Esistono polinomi invertibili in $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} [x]$?
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+      Sia $p(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i$ tale che $\exists k \in \mathbb{N}$ con $p^k = 0$. Dimostra che allora $a_i$ è nilpotente $\forall 0 \leq i \leq n$.
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+      Sia $f (x) = x^{14} + 2 \in \mathbb{F}_{13} [x]$. Trova il suo campo di spezzamento.
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+      - 2015
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+      Sia $G = (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^*$ un gruppo e $f : G \to G$ definita come $f (x) = x^5$ una funzione. È un morfismo?
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+      Quando è iniettiva e quando è suriettiva (al variare di $m$)?
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+      Mostra che $\ker \varphi \cong \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_5 \times \dots \times \mathbb{Z}_5$.
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+      Trova un $G$ tale che $\ker \varphi \cong \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_5$.
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+      - 2015
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+  - course: aritmetica
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+      Dimostrare che $\forall p \in \mathbb{P}$ il polinomio $x^{p-1} + x^{p-2} + \dots + x + 1 \in \mathbb{Q}[x]$ è irriducibile.
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+      Dimostra che $f (x)$ è irriducibile in $\mathbb{Q}[x]$ se e solo se $f (x + a)$ è irriducibile, con $a \in \mathbb{Q}$.
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+      Per quali $n \in \mathbb{N}$ si ha $x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1$ irriducibile?
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+      - 2015
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+      Quando esiste $(3x+5)^{-1}$ in $Z_{100}$? (con x parametro).
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+      So che $x^2 = a (p)$. Quando $\exists y$ t.c. $y^2 = (p^2)$?
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+      (Hint: provare $y = x + bp$)
+      $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ è algebrico sui razionali? Trova un polinomio su cui si annulla e trova una base di
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+      $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$
+      Sia K un campo che contiene Q. Quando $K(\sqrt{a}) = K(\sqrt{6})$?
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+      - 2015
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+  - course: aritmetica
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+      Qual è il campo di spezzamento di $x^7 - 2$ in $\mathbb{F}_{101}$?
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+      - 2015
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Definizione e caratterizzazione algebrica direzioni ammissibili e di crescita + considerazioni varie su Lemma di Farkas e la mutua esclusività dei due problemi.
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+      - 2022-01
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Formulazione in PL problema di flusso di costo minimo, variante se volessi minimizzare il flusso su ogni singolo arco.
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+      - 2022-01
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Trovare i piani di taglio di Gomory su un esempio pratico.
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+      - 2022-01
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Cosa succede nell’algoritmo del simplesso primale se $A_N \xi \leq 0$ e collegamento con il teorema fondamentale della PL.
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+      - 2022-01
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Data un’istanza del problema del flusso di costo minimo come stabilire se esistono flussi ammissibili.
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+      Modello PLI per il problema del commesso viaggiatore.
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Direzione di crescita del simplesso duale.
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+      - 2022-01
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Esercizio di modellazione con annessa una domanda sul flusso (scrivere come problema lineare uno dei problemi di flusso).
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+      - 2022-01
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+  - course: ricerca-operativa
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+      L’algoritmo del rilassamento del TSP.
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+      - 2022-01
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Teorema forte della dualità e un esercizio di branch and bound per il TSP.
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+      - 2022-01
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Teorema forte della dualità.
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+      - 2023
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Caratterizzazione dell’ottimalità per il problema dei cammini minimi.
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+      - 2023
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Piani di taglio di Gomory.
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Caratterizzazione algebrica delle direzioni di ammissibilità e di crescita.
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+  - course: ricerca-operativa
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+      (DR) ha soluzione, che posso dire della soluzione duale?
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+      - 2023
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Esempio geometrico di soluzione primale unica e duale degenere.
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Formulazione di TSP in PLI con rilassamento MST.
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+      - 2023
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Se so che $3x_1 + 6x_2 + 9x_3 \leq 13$ è un piano di taglio, posso dire che anche $x_1 + 2x_2 + 3x_3 \leq 4$ è un piano di taglio?
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+      - 2023
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Cosa si può dire se $A_N \xi \leq 0$?
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+      - 2023
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Formulazione di CSP in PLI con rilassamento.
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Discutere l’ottimalità di CSP al variare del parametro $L$.
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Discutere l’esistenza di una soluzione ammissibile per CSP (trovare un algoritmo: cammini minimi con costi=lunghezze).
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+      Verificare mediante scarti complementari se una soluzione del duale è ottima.
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+      Relazione tra flusso massimo e taglio minimo.
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+      Esempio di grafo con più tagli di capacità minima.
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Rilassamento convessificato di un problema di programmazione lineare intera.
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+      Caratterizzazione direzioni ammissibili e di crescita.
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+      Piani di taglio di Gomory.
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+      È possibile che il problema di flusso massimo sia vuoto? Può essere che il valore del flusso massimo sia zero? Quando è possibile?
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+      - 2023
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+      Esegui un’iterazione del simplesso duale.
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Definisci piani di taglio di Gomory e trovane uno per il problema precedente.
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+      - 2023
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Dato un grafo, esibire dei bilanci, costi e capacità tali che il problema di flusso di costo minimo ammetta più di una soluzione (e dire quante).
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+      - 2023
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+      Dato il problema $\max (x_1 + 2x_2)$ soggetto ai vincoli:  
+      $$
+      \begin{cases}
+      x_2 \leq 4 \\
+      x_1 \leq 2 \\
+      x_1 - 2x_2 \leq 10 \\
+      2x_1 + x_2 \leq 4 \\
+      -x_1 \leq -4
+      \end{cases}
+      $$
+      come decidere da $B = \{4, 5\}$ quale algoritmo utilizzare?
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+      - 2023
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+  - course: ricerca-operativa
+    content: |
+      Dimostrare che $y(\theta)$ è una direzione di decrescita nell’algoritmo del simplesso duale.
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+      - 2023
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Flusso massimo - Taglio minimo con dimostrazione.
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+      - 2023
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Data una rete, fornire un algoritmo per trovare il cammino minimo dal nodo $s$ al nodo $t$ supponendo che ogni nodo costi $T$, con tempi di percorrenza degli archi $t_{ij}$, $t_{i'j'}$.
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+      - 2023
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Modello PL del problema di flusso di costo minimo.
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+      - 2023
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Un flusso ammissibile è di costo minimo se e solo se non esistono cicli aumentanti negativi.
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+      - 2023
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Modellazione di un problema di cammino minimo "doppio", con due coppie sorgente-destinazione.
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+      - 2023
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+  - course: ricerca-operativa
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+      Come cambia il modello se impongo che i cammini (da $s_1$ a $t_1$, da $s_2$ a $t_2$) non abbiano archi in comune?
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+      - 2023
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+      Definizione di gruppo fondamentale e perché è un gruppo
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+  - course: istituzioni-di-geometria
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+      Hopf-Rinow
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+      Mayer-Vietoris a supporto cpt
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+      - 2024
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+      M cpt => X cv sempre completo (in realtà poi ha chiesto “se vivi almeno epsilon ecc”)
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+      Frobenius
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+      - 2024
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+      Invarianza omotopica (non ha chiesto l'uguaglianza con la derivata di lie, gli è bastata la frase "per definizione di derivata di Lie")
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+      Connessione di Levi-Civita (definizione praticamente)
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+      - 2024
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+      Connessione compatibile (proposizione dei fatti equivalenti)
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+      Isotopia tra sottovarietà e isotopia ambiente, che relazioni ci sono
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+      Differenziale di una $k$-forma (ha chiesto di dim che il differenziale su $R^n$ è unico)
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+      Trasporto parallelo
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+      Orientazione; perché mobius e klein non sono orientabili
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+      Se prendendo un ordinale, ne faccio la forma normale di cantor, poi sugli esponenti che compaiono che non sono epsilon-number fare la forma normale e cosi via, dire se mi fermo dopo un numero finito di passi o no. (La risposta è si e si ragiona sulla forma normale di cantor che può avere il minimo controesempio, ossia il minimo ordinale per cui questa operazione non termina in un numero finito di passi)
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+      - Mamino
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+      Dimostrare Cantor-Bernstein
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+      Esercizio: qual è la cardinalità dei polinomi a coefficienti in $\mathbb Z / 7$ che hanno per radici tutti gli elementi di $\mathbb Z / 7$?
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+      Cosa si può dire della cofinalità di cardinali regolari e limite? Dimostralo
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+      Dimostrare $\aleph_\alpha^2$ = $\aleph_alpha$ (prima mi aveva chiesto se secondo me per dimostrarlo serviva la scelta)
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+      Con la scelta cosa si può dire a riguardo? (Tarsky, non me lo ha fatto dimostrare)
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+      Esistenza ed unicità del numero di hartogs
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+      Unicità dell'ordinale isomorfo ad un b.o.
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+      Definire i $V_{\alpha}$, che cardinalità hanno, e punti fissi dell'associazione $\alpha \implies |V_{\alpha}|$, mostrare che i punti fissi sono una classe, l'$(\omega+1)$-esimo punto fisso che cofinalità ha, esistono punti fissi non regolari
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+  - course: istituzioni-di-algebra
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+      Domanda 5 (Artin-Rees & Krull Intersection)
+      - A corollary of Artin-Rees (exactness of completion for f.g. modules over Noe rings)
+      - Why Artinian Local implies Complete (w.r. to $P$) [$P^n$ stabilizes]
+      - Example of Artinian Local which is not a field (e.g. $K[x]/(x^n), n>1$)
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+      - Tamas
+  - course: istituzioni-di-algebra
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+      Domanda 13 (Equivalence between $D^-(A)$ and $K^-(P)$)
+      - What do the intermediate lemmas tell us in the case of $R$-Mod?
+      - Where did we use this theorem?
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+      - Tamas
+  - course: istituzioni-di-algebra
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+      Domanda 12
+      - Definition and properties of exact triangles
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+      - Tamas
+  - course: istituzioni-di-algebra
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+      Domanda 14
+      - Base change for $\text{Tor}$ tensor a flat object
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+      Equazioni di Eulero
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+      Moto per inerzia (una panoramica di tutti i risultati)
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+  - course: meccanica-razionale
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+      Definizione di stabilità
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+      Instabilità della seconda rotazione stazionaria tramite la linearizzazione (pseudo-esercizio)
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+  - course: meccanica-razionale
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+      Riduzione di Routh
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+  - course: meccanica-razionale
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+      Se passando al sistema ridotto trovo una soluzione stazionaria, posso con-
+      cludere che ho una soluzione stazionaria del sistema di partenza? (No,
+      l'esempio è il moto circolare che ha $\rho$ costante)
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+      Equazioni Cardinali della Dinamica
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+  - course: meccanica-razionale
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+      Scrivere le equazioni del moto di una bicicletta (con una coppia di forze
+      applicata sulla ruota posteriore) che rotola senza strisciare lungo Ox e
+      calcolarne le componenti tangenziali delle reazioni vincolari sui punti di
+      contatto
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+      Dire qualitativamente quale equazione e quale polo è conveniente usare
+      per calcolare le componenti tangenziali delle reazioni vincolari nel caso
+      in cui la stessa bicicletta sia vincolata ad una guida circolare e spiegare
+      perché
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+      Dire quali sono le forze in gioco di un' asta appesa all'origine di un piano
+      $Oxy$ (con gravità) che ruota in modo uniforme intorno all'asse y, e dare
+      un'idea di calcolo dell'energia potenziale di tali forze
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+      Dimostrare che, se un sistema ha trinomio invariante è nullo e la risultante
+      è non nulla, allora è equivalente al sistema composto dalla sola risultante
+      applicata ad un punto dell'asse centrale
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+  - course: meccanica-razionale
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+      Definizione di forze interne di tipo classico e prime proprietà
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+      Definizione di operatore di inerzia e prime proprietà, cosa sono i momenti
+      principali di inerzia e in cosa è utile per lo studio del moto di un corpo
+      rigido
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+      Scomposizione di momento angolare in cui compare il momento di inerzia
+      e scomposizione rispetto al baricentro
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+      Modi normali di oscillazione cosa sono e scrivere il sistema linearizzato a
+      cui ci si riduce per studiare la stabilità
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+      Definizione di velocità angolare, formule di Poisson, derivata in diversi
+      sistemi di riferimento
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+      angolare (guida rotola senza strisciare e disco r.s.s. Sulla guida)
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+      Equivalenza tra equazioni di Lagrange di prima specie ed eq. di D'Alembert
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+      problema dei tre corpi in un riferimento rotante, perché è utile in questo
+      riferimento
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+      Teorema di Noether: premesse, enunciato, dimostrazione, applicazione
+      nel caso con una variabile ciclica (ritrovare che il momento coniugato si
+      conserva), applicazione nel caso dei moti centrali (invarianza per rotazione,
+      ritrovare che il momento angolare si conserva)
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+      Moti centrali: fare la storia del potenziale efficace, mostrare che sono
+      integrabili, quando un'orbita è periodica?
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+      Forze conservative e energia potenziale; forze interne di tipo classico; i
+      sistemi di forze di tipo classico hanno risultante nulla; energia potenziale
+      delle forze di tipo classico.
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+      Teorema di König, versione per sistemi di N punti e versione per corpo
+      rigido
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+      Trovare gli equilibri di un sistema di 3 corpi soggetti all interazione gravi-
+      tazionale (che si risolve con il teorema di Eulero sulle omogene enunciato)
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+      Discorsi generali sui vincoli, esempio di vinvolo olonomo
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+      In presenza di vincoli olonomi cosa si può dire dell energia cinetica
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+      quest'ultime nel caso dell'asta ruotante
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+      di Routh?
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+      Esercizio 2 10 Maggio 2018 (Matematica)
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+      Esempio di funzione continua solo in un punto. F continua manda compatti in compatti. Definizione di integrale e teorema della media.
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+  - course: analisi-2
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+      ha chiesto di dimostrare che la funzione integrale è continua e se ingenerale è qualcosa di più che continua (è uniformemente continua)
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+      - 2023
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+  - course: analisi-2
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+      E di definire cos’è l’integrale di riemann
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+  - course: analisi-2
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+      Teorema di Rolle,Lagrange.
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+      Una funzione con derivata nulla è costante.
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+      Una funzione con derivata seconda nulla è una retta (varie dimostrazionei  via Lagrange, Taylor, con problema di Cauchy)
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+  - course: analisi-2
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+      Cosa è una serie e dimostrazione criterio di Cauchy (via completezza di $\mathbb{R}$)
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+  - course: analisi-2
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+      Se f derivabile, f' manda intervalli in intervalli. Se f' può avere discontinuità a salto, baffo di Peano
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+      - 2023
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 ---
 
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