# Gruppo fondamentale dei proiettivi reali o complessi.
# Compattezza in spazi metrici.
# “Esercizio”: caratterizzare le funzioni intere olomorfe iniettive.
# Domande 20/6/2022
# Primo enunciato di Riemann-Weierstrass
# • Calcolare il π1(S1). (∼= Z)
# • Formula di Cauchy per funzioni olomorfe.
# • π1(P^n(R)) (discorso generale).
# • Come ottenere Pn(R) da Dn (dettagliata).
# • Equazione di Cauchy-Riemann.
# • Esempio di funzione continua differenziabile non olomorfa [ f(z) = \bar{z} ]
# • Cos’è un punto singolare di una curva proiettiva.
# • Conica singolare => degenere con K = C.
# • il toro è omeomorfo al toro meno un punto?
# • Chi è il rivestimento universale del toro?
# Marzenta Giovanni:
# Caratterizzazione dei rivestimenti regolari tramite il 1; un esempio di rivestimento regolare e uno di un rivestimento non regolare per il bouquet di due circonferenze.
# Caratterizzare le funzioni olomorfe intere (da C in C) tali che |f(z)||z|d .
# • X = [0; 1), topologia di base: (a; b), con a > 0, e [0; a)U(b; 1), con 0 < a < b < 1.
# E più o meno fine della topologia Euclidea? Assiomi di topologia? Connesso? ` E`
# compatto? Conosci un compatto famoso che ne è omeomorfo? (S1) Un esempio di tale
# omeomorfismo? (t -> e^2πit).
# • Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi complessi
# 21/6/2022
# Che relazione c'è tra connessione e connessione per archi? Connesso per archi => Connesso
# (dimostrazione) e Connesso non implica Connesso per archi (dimostrazione).
# • Data f : U \{z0} → C, punti di singolarità? A riguardo, cosa succede a lim z→z0 |f(z)|?
# Esempio di funzione con singolarità`a essenziale? [f(z) = e^(1/z) ]
# Dimostrazione del secondo enunciato di Riemann-Weierstrass
# • X topologico e Y sottoinsieme, se Y e compatto e chiuso, che relazioni ci sono tra compattezza e chiusura?
# • Come calcolare Zeri e Poli di una funzione, eventualmente con molteplicità?
# • Consideriamo la striscia in R2 tra le rette x = 0 e x = 1 comprese e quozientiamolo con la
# relazione (0; y) ∼ (1; -y) . Come ti immagini questo quoziente? E una varietà topologica? `
# Togliendo il segmento [0; 1], il quoziente è connesso per archi? Qual è il suo gruppo fondamentale? (Calcolarlo).
# • Si può retrarre il nastro di Mobius sul suo bordo?
# • Quanti punti di intersezione può avere al massimo una curva C = [F] in C con una retta?
# • Come costruiresti uno spazio topologico con gruppo fondamentale Z/3?
# • Prendiamo due triple di rette in P2(C), quando è possibile mandare le prime tre nelle seconde
# tre?
# • Definizione di Topologia Quoziente. Caratterizzazione degli aperti. Prendiamo X = R, x ∼
# y sse x - y \in Q: la topologia quoziente si può descrivere facilmente... Chi sono gli aperti di
# questa topologia quoziente? (Topologia indiscreta).
# • Definizione di Rivestimento.
# Condizione su E affinché qualunque rivestimento sia di grado finito.
# • Teorema fondamentale dell’Algebra.
# • Una cubica C = [p], può avere una retta tangente in due punti? Se invece ha grado 4?
# • Teorema di Riemann-Weierstrass.
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Il gruppo $G$ delle rotazioni generato da quella di angolo $2\pi/7$ che agisce su $\mathbb R^2$. Calcolare il gruppo fondamentale di $\mathbb R^2/G$ e studiare il rivestimento dato dalla proiezione al quoziente di $\mathbb R^2 \setminus {0}$ su $\mathbb R^2 \setminus {0}/G$.
Il gruppo $G$ delle rotazioni generato da quella di angolo $2\pi/7$ che agisce su $\mathbb R^2$. Calcolare il gruppo fondamentale di $\mathbb R^2/G$ e studiare il rivestimento dato dalla proiezione al quoziente di $\mathbb R^2 \setminus \{0\}$ su $\mathbb R^2 \setminus \{0\}/G$.
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Archi $\implies$ connesso
Archi $\Rightarrow$ connesso
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Olomorfa $\implies$ analitica
Olomorfa $\Rightarrow$ analitica
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Sottospazio compatto $\implies$ chiuso. Quando e perché. Controesempio se $X$ non è $T_2$.
Sottospazio compatto $\Rightarrow$ chiuso. Quando e perché. Controesempio se $X$ non è $T_2$.
Compattezza in spazi metrici. Compatto per successioni $\implies$ completo e totalmente limitato (Implicazione a scelta).
Compattezza in spazi metrici. Compatto per successioni $\Rightarrow$ completo e totalmente limitato (Implicazione a scelta).
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Definizione di funzione analitica e criteri per stabilire se è identicamente nulla su un aperto connesso. Derivate nulle in un punto $\implies$ identicamente nulla nell'aperto connesso.
Definizione di funzione analitica e criteri per stabilire se è identicamente nulla su un aperto connesso. Derivate nulle in un punto $\Rightarrow$ identicamente nulla nell'aperto connesso.
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$Y$ connesso. $Y \subseteq Z \subseteq \bar{Y} \implies Z$ connesso
$Y$ connesso. $Y \subseteq Z \subseteq \overline{Y} \Rightarrow Z$ connesso
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Determinare chiusura dell'insieme $\{0\} \times [0,1] \cap \mathbb Q$ in $\mathbb R^2$, e di $\{0\} \times ]0,1[ \cap \mathbb Q$ in $\mathbb R^2$, chi sono i bordi in $\mathbb R^2$ di questi insiemi?
Determinare chiusura dell'insieme $\{0\} \times [0,1] \cap \mathbb Q$ in $\mathbb R^2$, e di $\{0\} \times \,]0,1[ \,\cap\, \mathbb Q$ in $\mathbb R^2$, chi sono i bordi in $\mathbb R^2$ di questi insiemi?
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Contraibile $\implies$ semplicemente connesso
Contraibile $\Rightarrow$ semplicemente connesso
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Olomorfa $\implies$ Analitica
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Olomorfa $\iff$ analitica
Olomorfa $\Leftrightarrow$ analitica
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$f(z)dz$ chiusa $\iff$ $f$ olomorfa
$f(z)\,\mathrm d z$ chiusa $\Leftrightarrow$ $f$ olomorfa
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Per quali "a" complessi esiste $f:\mathbb C^* \to \mathbb C$ olomorfa non identicamente nulla con $f'(z) = a*f(z)/z$?
Per quali "a" complessi esiste $f:\mathbb C^\times \to \mathbb C$ olomorfa non identicamente nulla con $f'(z) = a*f(z)/z$?
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Per un rivestimento dallo spazio $E$ connesso e localmente connesso per archi:gruppo degli automorfismi transitivo su una fibra $\iff$ l'immersione del $p_1(E)$ è normale
Per un rivestimento dallo spazio $E$ connesso e localmente connesso per archi:gruppo degli automorfismi transitivo su una fibra $\Leftrightarrow$ l'immersione del $p_1(E)$ è normale
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Gruppo fondamentale di $P_n(\mathbb C)$
Gruppo fondamentale di $\mathbb P^n(\mathbb C)$
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$f$ olomorfa in $U\{z}$ e limitata in un intorno di $z$, cosa possiamo dire?
$f$ olomorfa in $U \setminus \{z\}$ e limitata in un intorno di $z$, cosa possiamo dire?
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Quanti asintoti può avere al massimo una curva di $P^2(\mathbb C)$?
Quanti asintoti può avere al massimo una curva di $\mathbb P^2(\mathbb C)$?
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Dato $S^1$ e $S^1$ ed il suo $\pi_1$ generato da $a,b$, trova il rivestimento associato ai sottogruppi $<a>$ e $N(<a>)$ (con quest'ultimo si intende il sottogruppo normale generato da $a$)
Dato $S^1$ e $S^1$ ed il suo $\pi_1$ generato da $a,b$, trova il rivestimento associato ai sottogruppi $\langle a \rangle$ e $N(\langle a \rangle)$ (con quest'ultimo si intende il sottogruppo normale generato da $a$)
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Studiare $f$ olomorfa tale che $|f(z)|<k|z|^d$
Studiare $f$ olomorfa tale che $|f(z)| \lt k|z|^d$.
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compatta $\implies$ geodeticamente completa
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AC $\implies$ Lemma di Zorn
AC $\Rightarrow$ Lemma di Zorn
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Definire i $V_{\alpha}$, che cardinalità hanno, e punti fissi dell'associazione $\alpha \implies |V_{\alpha}|$, mostrare che i punti fissi sono una classe, l'$(\omega+1)$-esimo punto fisso che cofinalità ha, esistono punti fissi non regolari
Definire i $V_{\alpha}$, che cardinalità hanno, e punti fissi dell'associazione $\alpha \Rightarrow |V_{\alpha}|$, mostrare che i punti fissi sono una classe, l'$(\omega+1)$-esimo punto fisso che cofinalità ha, esistono punti fissi non regolari
