- Quando Supp(M) è vuoto? Uno tra Supp(M), Supp(N) vuoto implica Supp(M⊗N) vuoto.
- K[x2,x4,...]->K[x1,...,x_n], come trovo gli ideali contratti?
- $f:A^m\to A^n$ , cosa possiamo dire su $m,n$?
- Quando $\text{Supp}(M)$ è vuoto? Uno tra $\text{Supp}(M)$, $\text{Supp}(N)$ vuoto implica $\text{Supp}(M\otimes N)$ vuoto.
- $\mathbb{K}[x2,x4,...]\to\mathbb{K}[x1,...,x_n]$, come trovo gli ideali contratti?
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- Impostare il discorso sul teorema di struttura sui PID, e unicità.
- Z/(2) come Z-modulo non è piatto. Nei PID piatto sse libero
- $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ come $\mathbb{Z}$-modulo non è piatto. Nei PID piatto sse libero
- C'è unicità nella decomposizione in irriducibili?
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- Come sono gli ideali monomiali primari?
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- Relazioni fra dimensione di krull si A/I e di A/rad(I)
- Se A=K[x1,...,xn] che relazione c'è fra le loro dimensioni di spazi vettoriali?
- Relazioni fra dimensione di krull di $A/I$ e di $A/\sqrt{I}$
- Se $A=\mathbb{K}[x1,...,x_n]$ che relazione c'è fra le loro dimensioni di spazi vettoriali?
- Decomposizione primaria
- Chi è il prodotto tensoriale di A/I e A/J
- Trovare un anello con esattamente n ideali, senza usare giochetti combinatorici (cioè ad esempio senza sapere la decomposizione in primi)
- Chi è il prodotto tensoriale di $A/I$ e $A/J$
- Trovare un anello con esattamente $n$ ideali, senza usare giochetti combinatorici (cioè ad esempio senza sapere la decomposizione in primi)
- Che relazioni ci sono fra Noetheriano e UFD?
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- Ideali di S^(-1)A, corrispondenze, e qualche relazione.
- Studiare un po’ Q[x] localizzato in S=1+J con J =(x^3-1).
- Ideali di $S^{-1}A$, corrispondenze, e qualche relazione.
- Studiare un po’$\mathbb{Q}[x]$ localizzato in $S=1+J$ con $J =(x^3-1)$.
- Teorema della base di Hilbert, dimostrazione che ogni base di Gröbner genera, e lemma di Dickson.
- Sia I ideale di K[x1...xn] e consideriamo l’insieme degli ideali Lm(I) al variare degli ordinamenti monomiali. Allora tale insieme è finito?
- Sia $I$ ideale di $\mathbb{K}[x1...xn]$ e consideriamo l’insieme degli ideali $Lm(I)$ al variare degli ordinamenti monomiali. Tale insieme è finito?
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- Esercizio 2.2 del compito
- Ideali monomiali: definizione, un polinomio gli appartiene se e solo se ogni suo termine gli appartiene, tappe per mostrare che ogni ideale monomiale è finitamente generato (senza dimostrazione)
- S = { p € K[x,y]/(x^2) : p = a(y)+b(y)x, a(y) =/= 0} è un insieme moltiplicativo? È il complementare di un ideale primo? Studia S^{-1}A, con A=K[x,y]/(x^2)
- $S = \{ p \in \mathbb{K}[x,y]/(x^2) :~p = a(y)+b(y)x,~a(y) \neq 0\}$ è un insieme moltiplicativo? È il complementare di un ideale primo? Studia $S^{-1}A$, con $A=\mathbb{K}[x,y]/(x^2)$
- Definizione sottomodulo di torsione
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- Prodotto tensoriale, definizione e costruzione
- Moduli proiettivi, definizioni equivalenti.
- Essere proiettivi è una proprietà locale?
- Dati A=C[x,y,z] e I=(x^2+y^2+z^2-1,xy,z^4), dire più proprietà interessanti possibili di A/I, anche passando per la varietà associata ad I. Trovare il radicale di I, parlare di dimensione di A/I e di A/sqrt(I), di come sarà la base di Grobner associata, poi un accenno alla decomposizione primaria. A/I è noetheriano o artiniano?
- Dati $A=\mathbb{C}[x,y,z]$ ed $I=(x^2+y^2+z^2-1,xy,z^4)$, dire più proprietà interessanti possibili di $A/I$, anche passando per la varietà associata ad $I$. Trovare il radicale di $I$, parlare di dimensione di $A/I$ e di $A/\sqrt{I}$, di come sarà la base di Grobner associata, poi un accenno alla decomposizione primaria. $A/I$ è noetheriano o artiniano?
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- Omomorfismo canonico \sigma_S : A->S^{-1}A, quando è iniettivo, quando è nullo, quando è surgettivo; quando f:A->B si estende a un isomorfismo S^{-1}A->B.
- Dati A=Z/(60), p=(5), descrivere A_p. Se A è finito, mostrare che \sigma_S è surgettivo.
- Omomorfismo canonico $\sigma_S : A->S^{-1}A$, quando è iniettivo, quando è nullo, quando è surgettivo; quando $f:A\to B$ si estende a un isomorfismo $S^{-1}A\to B$.
- Dati $A=\mathbb{Z}/(60)$ e $\mathfrak{p}=(5)$, descrivere $A_\mathfrak{p}$. Se $A$ è finito, mostrare che $\sigma_S$ è surgettivo.
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- Anello artiniano, enunciare definizione e proprietà a piacimento. Esempi di anelli artianiani.
- Parlare di basi di Groebner, ideali monomiali e cose varie sui Leading Term Ideals.
- Relazione tra libero e proiettivo, con i casi particolari A PID e A locale.
- Relazione tra libero e proiettivo, con i casi particolari $A$ PID e $A$ locale.
- Estensione e contrazione di ideali rispetto la localizzazione.
- Decomposizione primaria: esistenza.
- Anello noetheriano non UFD. Relazioni fra noetheriano e UFD(1/2).
- Data f:CxC->C, f(x,y)=xy sull'anello A, sia f~ : C x_{R} C -> C; trovare ker(f) e im(f).
- Data $f:\mathbb{C}\times\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, $f(x,y)=xy$ sull'anello $A$, sia $\overline{f} : \mathbb{C} \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} \to \mathbb{C}$; trovare $\ker(f)$ ed $\operatorname{Im}(f)$.
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- Nullstellensatz, enunciato e dimostrazione della forma debole.
- Ordinamenti monomiali, definizione ed esempi.
- Tutte le proprietà di Q come Z modulo.
- Tutte le proprietà di $\mathbb{Q}$ come $\mathbb{Z}$-modulo.
- Un modulo su un PID è proiettivo se e solo è libero.
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- Chiarimento su esercizio 2.1 del compito, in particolare studiare (Z/(q^n))_{(p)}, con p,q primi.
- Elencare tutte le proprietà di Z/(p^n) come anello e come modulo, con p primo; dimostrare in modo diretto che non è piatto.
- Data l'immersione di K[x_1,x_3,x_5] in K[x_1,x_2,...,x_6], studiare gli ideali estesi e contratti, come calcolarli, quali proprietà si conservano.
- Chiarimento su esercizio 2.1 del compito, in particolare studiare $(\mathbb{Z}/(q^n))_{(p)}$, con p,q primi.
- Elencare tutte le proprietà di $\mathbb{Z}/(p^n)$ come anello e come modulo, con p primo; dimostrare in modo diretto che non è piatto.
- Data l'immersione di $\mathbb{K}[x_1,x_3,x_5]$ in $\mathbb{K}[x_1,x_2,...,x_6]$, studiare gli ideali estesi e contratti, come calcolarli, quali proprietà si conservano.
- Dimostrare il teorema di eliminazione delle variabili.
- Relazione fra elementi/ideali primi ed irriducibili su anelli di polinomi.
- Data una base di Grobner ridotta composta da polinomi irriducibili, l'ideale associato è primo?
- Cosa succede nell'algoritmo del simplesso primale `A_Nxi<=0` e collegamento con il teorema fondamentale della PL.
- Cosa succede nell'algoritmo del simplesso primale se $A_N \xi<=0$ e collegamento con il teorema fondamentale della PL.
- Data un'istanza del problema del flusso di costo minimo come stabilire se esistono flussi ammissibili.
- Modello PLI per il problema ddl commesso viaggiatore.
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- Esempio geometrico di soluzione primale unica e duale degenere
- Formulazione di TSP in PLI con rilassamento MST
- Caratterizzazione dell'ottimalità per il problema dei cammini minimi
- Se so che 3x_1+6x_2+9x_3<=13 è un piano di taglio, allora posso dire che anche x_1+2x_2+3x_3<=4 è un piano di taglio?
- Se so che $3x_1+6x_2+9x_3<=13$ è un piano di taglio, allora posso dire che anche $x_1+2x_2+3x_3<=4$ è un piano di taglio?
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- Dato il problema max x_1+2x_2 soggetto ai vincoli : x_2 \leq 4, x_1 \leq 2, x_1-2x_2 \leq 10, 2x_1 + x_2 \leq 4, -x_1 \leq -4, come decidere da B = {4,5} quale algoritmo utilizzare ?
- Dimostrare che y(\theta) è una direzione di decrescita nell'algoritmo del simplesso duale
- Dato il problema $\max(x_1+2x_2)$ soggetto ai vincoli : $$x_2 \leq 4,~x_1 \leq 2,~x_1-2x_2 \leq 10,~2x_1 + x_2 \leq 4,~-x_1 \leq -4,$$ come decidere da $B = {4,5}$ quale algoritmo utilizzare ?
- Dimostrare che $y(\theta)$ è una direzione di decrescita nell'algoritmo del simplesso duale
- Flusso massimo - taglio minimo con dimostrazione
- Data una rete, fornire un algoritmo per trovare il cammino minimo dal nodo s al nodo t supponendo che ogni nodo costi T, con tempi di percorrenza degli archi t_ij ~ t_i',j'
- Data una rete, fornire un algoritmo per trovare il cammino minimo dal nodo $s$ al nodo $t$ supponendo che ogni nodo costi $T$, con tempi di percorrenza degli archi $t_{ij} , t_{i' j'}$ (??)
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- Modello PL del problema di flusso di costo minimo
- Un flusso ammissibile è di costo minimo se e solo se non esistono cicli amumentanti negativi
- Modellazione di un problema di cammino minimo "doppio", con due coppie sorgente-destinazione
- Come cambia il modello se impongo che i cammini (da s1 a t1, da s2 a t2) non abbiano archi in comune?
- Come cambia il modello se impongo che i cammini (da $s1$ a $t1$, da $s2$ a $t2$) non abbiano archi in comune?
