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../../../layouts/MarkdownPage.astro	Aritmetica	name contacts Alessio Sgubin type value email n.cognome@studenti.unipi.it type value sito https://poisson.phc.dm.unipi.it/~sgubin name image contacts Alessandro Fenu /tutors/alessandro-fenu.jpg type value email a.fenu3@studenti.unipi.it type value website https://poisson.phc.dm.unipi.it/~afenu

La prima metà del tutorato si è conclusa. Abbiamo deciso di organizzare una simulazione del secondo compitino. Qui trovate il file con il Testo e le Soluzioni.

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Esercizi Settimana del 16 dicembre

Per consegnarli potete usare questo Form.

Esercizio 1

Sia R un anello senza nilpotenti, ossia tale che se x^n = 0 per qualche n, allora necessariamente x = 0. Sappiamo inoltre che, per ogni a, b \in R, vale (ab)^2 = a^2 \cdot b^2. Dimostrare che R è commutativo.

Esercizio 2

Consideriamo l'anello A delle funzioni continue [0, 1] \to \mathbb{R}, dove la struttura di anello è data dalla somma puntuale e dal prodotto puntuale.

Siano adesso, per n \geq 2, f_1, \dots, f_n delle date funzioni. Sappiamo che non si annullano tutte contemporaneamente.

1. Mostrare che l'ideale da loro generato (f_1, \dots, f_n) è tutto A.
2. Provare a capire chi sono gli ideali massimali I \subset A e conseguentemente chi è il campo A/I.

Esercizio 3

Definiamo caratteristica di un anello A in maniera grezza come "il minimo numero n tale che sommando n volte consecutive il neutro della moltiplicazione, si arriva a 0". Tale caratteristica può essere 0 quando n è infinito (ossia non arrivo mai a 0) oppure un numero positivo.

Supponiamo adesso A campo.

1. Che valori può avere n?
2. Esiste un campo con n elementi? Se sì, quanti omomorfismi di anelli esistono \mathbb{F}_n \to A? Questi oggetti si chiamano "oggetti iniziali" (in un appropriato contesto).
3. Cosa abbiamo usato di A campo? Verificare che tutto ciò che abbiamo detto funziona usando solo A dominio.
4. Esiste un dominio con 15 elementi? E con 64?

Esercizio 4

L'unità immaginaria i è contenuta nell'estensione dei razionali \mathbb{Q}(\sqrt[4]{-2})? E \sqrt{5} in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})?

Esercizio 5

Quanti polinomi irriducibili di grado n esistono nell'anello \mathbb{F}_p[x]?