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Progetto: filtering on graphs using the Lanczos method Lo scopo del progetto è
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implementare e testare il metodo di Lanczos per il calcolo di quantità della
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forma f(A)b dove A è la matrice Laplaciano di un grafo.
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Legga il lavoro [1], che descrive l'applicazione del calcolo di funzioni di
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matrici a filtri su grafi e si implementi il metodo di Lanczos per f(A)b (vicino
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parente del metodo di Arnoldi visto a lezione). Per testare l'algoritmo scarichi
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il toolbox GSP reperibile su [2] che permette di generare matrici di adiacenza
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di grafi random di tipo "Erdos-Reny" e "sensor" (si veda la documentazione del
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toolbox https://epfl-lts2.github.io/gspbox-html/doc/graphs/).
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Quindi, si effettuino i seguenti tests:
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1. Si ripeta il test corrispondente ad Example 1 dell'articolo limitandosi al
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metodo di Lanczos (no Chebyshev) e utilizzando come funzione g(t) = sin(0.5π
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cos(πt)2) * \chi_{[-0.5, 0.5]}.
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2. Si generino grafi di di Erdos-Reny di grandezza crescente (ad esempio 250,
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500,1000, 2000, 4000) e parametro p = 0.04; quindi si misuri il tempo
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computazionale del metodo di Lanczos utilizzando come soglia per il criterio
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d'arresto epsilon = 10^-2 (o una soglia a scelta).
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3. Esperimento analogo a 2) ma si tenga la dimensione fissata a n=1000 e si
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aumenti il parametro p, ad esempio p = 0.01, 0.02, 0.04, 0.08, 0.16, 0.32.
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In tutti gli esperimenti si scelga come vettore b un vettore random di norma
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unitaria.
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Si mostrino i risultati di 2) e 3) in un grafico in scala loglog al fine di
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determinare la dipenza della complessità computazionale dai parametri n e p.
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Suggerimento: Nel caso si osservi una convergenza troppo lenta dell'algoritmo si
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controlli che il problema non sia nell'ortogonalità della base generata da
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Lanczos. Nel caso si sostituisca Lanczos con il metodo di Arnoldi per f(A)b, che
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riortogonalizza ad ogni passo i vettori generati rispetto a tutti i precedenti.
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Una volta conclusa la sperimentazione, scriva un report che descriva l’algoritmo
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implementato, e i risultati ottenuti nei test numerici; includa anche il codice,
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e lo consegni inviandolo a me e a Robol; oltre ai docenti anche Alberto Bucci,
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che ha l’incarico di tutor per il corso, è disponibile per assistenza e domande
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durante lo svolgimento del progetto.
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[1] Susnjara et al., Accelerated filtering on graphs using Lanczos method. [2]
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https://epfl-lts2.github.io/gspbox-html/
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