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 const isCurrentYear = currentYear == selectedYear;
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 <header>
    <h1>
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            isCurrentYear ? (
                <a href="/">{title}</a>
            ) : (
                <a href={`/archivio/${selectedYear}`}>{title}</a>
            )
        }
    </h1>
    <nav>
        <ul>
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                yearLabels.slice(0, -1).map((year) => (
                    <li class:list={{ active: year === selectedYear }}>
                        <a href={`/archivio/${year}`}>{year}</a>
                    </li>
                ))
            }
            <li class:list={{ active: currentYear === selectedYear }}>
                <a href={"/"}>{currentYear}</a>
            </li>
        </ul>
        <ul>
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                    <li
                        class:list={{
                            active: selectedCourseLabel === course.file.split("/").at(-1),
                        }}
                    >
                        <a
                            href={
                                isCurrentYear
                                    ? "/" + course.url.split("/").at(-1)
                                    : course.url
                            }
                        >
                            {course.frontmatter.title}
                        </a>
                    </li>
                ))
            }
        </ul>
    </nav>
 </header>
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 title: Algebra I
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 ## Info
 **Tutor:** Cristofer Villani.
 Il tutorato si è concluso. Sotto trovate gli esercizi assegnati nei vari incontri e due simulazioni d'esame.
 ## Esercizi assegnati
 **Tutorato 12:**
 - Siano $A\subset B$ anelli, e sia $\mathfrak{q}$ un ideale primo di $B$. Se $\mathfrak{p}=\mathfrak{q}\cap A$, dimostrate che $\mathfrak{p}$ è un ideale primo di $A$ e che $A/\mathfrak{p}$ si immerge in $B/\mathfrak{q}$.
 - Sia $k$ un campo, e sia $A=k[t^2,t^3]$, con $t$ un'indeterminata su $k$.
    - Se $\mathfrak{p}\neq (0)$ è un ideale primo di $A$, mostrate che $\mathfrak{p}\cap k[t^2]$ è un ideale primo di $k[t^2]$ diverso da $(0)$.
    - Mostrate che ogni ideale primo di $A$ diverso da $(0)$ è massimale, ma $A$ non è un PID.
 - Sia $A$ un dominio, e siano $f,g\in A$. Un massimo comun divisore di $f$ e $g$ è un elemento $d\in A$ tale che
  1. $d$ divide entrambi $f$ e $g$,
  2. per ogni $h$ che divide entrambi $f,g$ vale $h\mid d$.
    - Mostrate che, se esiste, un massimo comun divisore è unico a meno di invertibili: più precisamente, se $d_1$ e $d_2$ sono due massimi comuni divisori di $f$ e $g$, allora $d_1$ e $d_2$ sono associati (i.e. differiscono per un invertibile). Scriviamo allora $d=\text{gcd}(f,g)$ se $d$ è un qualsiasi massimo comun divisore di $f$ e $g$.
    - Mostrate che, se $A$ è un UFD, $f$ e $g$ hanno un massimo comun divisore. *Hint: in* $\mathbb{Z}$*, come si trova il massimo comun divisore usando la fattorizzazione?*
    - Mostrate che se $A$ è un PID, l'ideale $(f,g)$ è generato da un massimo comun divisore di $f$ e $g$.
    - Mostrate che questo è in generale falso se $A$ è un UFD.
    - Esibite un UFD $A$ e due elementi $f,g\in A$ tali che $\text{gcd}(f,g)=1$ ma $(f,g)\neq (1)$.
 - Sia $G=\text{Aut}(Q_8)$.
    - Provate che l'azione di $G$ sui sottogruppi di indice $2$ di $Q_8$ induce un omomorfismo surgettivo $\varphi: G\to S_3$.
    - Mostrate che $\text{ker}(\varphi)$ è isomorfo a $V$.
    - Trovate un sottogruppo di $G$ isomorfo a $S_3$.
    - Dimostrate che $G\simeq S_4$.
 - (Un vecchio esercizio che non ho mai discusso in dettaglio) Sia $G$ un gruppo, e sia $H < G$ un sottogruppo. Consideriamo l'azione di $G$ sui laterali sinistri di $H$.
    - Mostrate che, per ogni $x\in G$, lo stabilizzatore di $xH$ è $xHx^{-1}$.
    - Provate che il nucleo dell'azione di $G$ è il più grande sottogruppo $H_G$ di $H$ normale in $G$.
    - (Una versione infinita del Lemma di Poincaré) Se $G$ è un gruppo infinito, e $H<G$ è un sottogruppo di indice finito, $H$ contiene un sottogruppo normale in       $G$ di indice finito.
 **Tutorati 9-10:**
 - Dal libro, es. 221, 222, 236, 261.
 - Sia $L\mid K$ un'estensione finita. Mostrate che $L\mid K$ è di Galois se e solo se $L$ è il campo di spezzamento di un polinomio $f\in K[ X ]$ separabile.
 - Sia $L\mid K$ il campo di spezzamento di un polinomio $f\in K[ X ]$ irriducibile e separabile. Se $G(L\mid K)$ è abeliano, mostrate che $L=K(\alpha)$ per ogni radice $\alpha$ di $f$ in $L$.
 - Sia $L$ il campo di spezzamento di $f(X)=(X^4-2)(X^3-2)$ su $\mathbb{Q}$.
  - Trovate la massima sottoestensione $K$ di $L$ di Galois su $\mathbb{Q}$ e tale che $G(K\mid \mathbb{Q})$ sia abeliano.
  - Descrivete le sottoestensioni di $K$.
 - Sia $L\mid K$ un'estensione di Galois tale che $G(L\mid K)$ sia isomorfo a $Q_8$. Mostrate che $L$ è necessariamente il campo di spezzamento su $K$ di un polinomio di grado $8$.
 - Sia $\alpha=\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{3})}$.
  - Dimostrate che $\mathbb{Q}(\alpha^2)=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$.
  - Trovate il grado del campo di spezzamento $K$ di $\alpha$ su $\mathbb{Q}$.
  - Descrivete il gruppo di Galois di $K$ su $\mathbb{Q}$ e le sottoestensioni intermedie di $K\mid \mathbb{Q}$.
 - Descrivete una chiusura algebrica di $\mathbb{F}_p$.
 **Tutorato 8:**
 - dal libro, es. 157, 171, 176, 197;
 - Sia $A$ un dominio. Mostrate che sono equivalenti le seguenti condizioni. *Leggero Hint per 3. implica 1.: localizzate.*
  1) A è un UFD;
  2) ogni primo $\mathfrak{p}\subset A$ diverso da $(0)$ può essere generato da elementi primi;
  3) ogni primo $\mathfrak{p}\subset A$ diverso da $(0)$ contiene un elemento primo.
 - Sia $A$ un dominio, e sia $S$ una sua parte moltiplicativa. Se $K=\text{frac}(A)$, mostrate che $S^{-1}A=A[S^{-1}]$, il più piccolo sottoanello di $K$ che contiene $A$ e gli inversi degli elementi di $S$.
 - Sia $A$ un dominio. Se $S\subset A$ è una parte moltiplicativa, definiamo la *saturazione* di $S$ in $A$ come l'insieme $\text{sat}(S)$ degli $a\in A$ tali che $a$ divide $s$ per qualche $s\in S$. Mostrate che $\text{sat}(S)$ è ancora una parte moltiplicativa di $A$, e che $\text{sat}(\text{sat}(S))=\text{sat}(S)$.
 - Sia $A$ un dominio. Mostrate che sono equivalenti, per $S,T\subset A$ parti moltiplicative:
  1) $S^{-1}A\simeq T^{-1}A$;
  2) $S^{-1}A=T^{-1}A$ in $\text{frac}(A)$;
  3) $\text{sat}(S)=\text{sat}(T)$.
 - Trovate tutte le localizzazioni di $\mathbb{Z}$ a meno di isomorfismo, e di ognuna di esse caratterizzate gli ideali primi.
 - Sia $A$ un PID. Se $\mathfrak{p}\subset A$ è un primo, contate gli ideali primi di $A_\mathfrak{p}$.
 - Sia $A$ un dominio euclideo.
  1) Mostrate che è sempre possibile trovare un grado $d:A\setminus\lbrace 0\rbrace\to\mathbb{N}$ su $A$ tale che $\text{min}\lbrace d(a)\mid a\in A\rbrace=0$.
  2) Se $d$ è come in 1., mostrate che dev'essere $d(u)=0$ per ogni $u\in A^\times$.
  3) Se $S\subset A$ è una parte moltiplicativa, dimostrate che $S^{-1}A$ è un dominio euclideo.
 - Sia $A$ un anello.
  1) Mostrate che, se $I\subset A$ è un ideale, vale $I\subset (I:a)(I,a)$ per ogni $a\in A$; esibite un caso in cui non vale l'uguaglianza.
  2) Mostrate che, se $A$ è un dominio i cui ideali *primi* sono principali, allora $A$ è un PID.
 **Tutorati 5-6:**
 - Dal libro, es. 155, 164, 168, 181.
 - Sia $A=\mathbb{Q}[x,y]$, e siano $\mathfrak{p}=(x^2+y)$, $\mathfrak{q}=(x^4+y)$. Mostrate che
  - $\mathfrak{p}$ e $\mathfrak{q}$ sono ideali primi di $A$,
  - $\mathfrak{p}+\mathfrak{q}$ è un ideale proprio di $A$ che non è primo.
 - Sia $n>0$ un numero naturale. Dite per quali valori di $n$ l'anello $\mathbb{Z}/n$ è *ridotto*, cioè non ha elementi nilpotenti.
 - Supponiamo che un anello $A$ abbia infiniti ideali massimali. Mostrate che, se $\mathfrak{m}_1,\dots,\mathfrak{m}_k$ sono ideali massimali di $A$, con $k\in\mathbb{N}$, vale $\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_k\neq (0)$.
 - Siano $A$ un anello e $x$ un'indeterminata.
  - Caratterizzate gli elementi nilpotenti di $A[ x ]$.
  - Caratterizzate gli elementi invertibili di $A[ x ]$.
 - Esibite un anello commutativo $A$ (necessariamente senza $1$!) privo di ideali massimali.
 **Tutorati 3-4:**
 - dal libro, es. 122, 124, 128.
 - Sia $G$ un gruppo finito tale che tutti i suoi sottogruppi massimali sono coniugati.
  - Provate che $G$ è un $p$-gruppo per qualche primo $p$.
  - Concludete che $G$ è ciclico di ordine $p^n$.
 - Sia $G$ un gruppo di ordine $p^3q$, per certi primi $p,q$. Supponiamo che $n_p(G), n_q(G)>1$.
  - Mostrate che dev'essere $|G|=24$.
  - ($\star$) Concludete che $G\simeq S_4$.
 - Sia $G$ un gruppo, e sia $\varphi:G\to \text{Aut}(G)$ la mappa che manda $g\in G$ nel coniugio per $g$. Mostrate che $G\rtimes_\varphi G\simeq G\times G$.
 - Sia $G$ un gruppo finito.
  - Sia $G\curvearrowright X$ un'azione _transitiva_, e supponiamo che la sua restrizione a un sottogruppo $H < G$ sia ancora transitiva. Mostrate che allora $G=H\cdot\text{stab}_G(x)$ per un qualsiasi $x\in X$.
  - (Argomento di Frattini) Se $N < G$ è un sottogruppo normale di $G$, e $P$ è un $p$-Sylow di $N$, mostrate che $G=\mathbf{N}_G(P)\cdot N$.
 - Sia $G$ un gruppo finito. Mostrate che le seguenti condizioni sono equivalenti. _Hint: l'ordine in cui mostrare le implicazioni è quello indicato. Per l'implicazione da 2. a 3. è utile l'esercizio precedente_.
  1) i normalizzatori dei sottogruppi di $G$ crescono, cioè: se $H\lneq G$, vale $\mathbf{N}_G(H)\supsetneq H$;
  2) i sottogruppi massimali di $G$ sono normali;
  3) i $p$-Sylow di $G$ sono normali;
  4) $G$ è prodotto diretto dei suoi $p$-Sylow;
  5) ogni quoziente non banale di $G$ ha centro non banale.
 - (Una generalizzazione dell'esempio $S_3\rtimes \mathbb{Z}/2$) Sia $G=N\rtimes_\varphi H$ un prodotto semidiretto, e supponiamo che $Z(N)=1$ e $H$ agisca su $N$ per automorfismi _interni_, i.e. $\text{im}(\varphi)\subset\text{Inn}(N)<\text{Aut}(N)$. Mostrate che $G\simeq N\times \mathbf{C}_G(N)$.
 - Sia $G$ un gruppo di ordine $n$, e sia $\varphi:G\to S_n$ l'immersione di Cayley, i.e. quella indotta dall'azione $G\curvearrowright G$ per moltiplicazione.
  - ($\star$) Dimostrate che $\mathbf{N}_{S_n}(\varphi(G))\simeq G\rtimes \text{Aut}(G)$, con l'azione naturale di $\text{Aut}(G)$ su $G$.
  - Ritrovate (o deducete) il fatto seguente: se $\sigma\in S_n$ è un $n$-ciclo, $\mathbf{N}_{S_n}(\langle\sigma\rangle)\simeq \mathbb{Z}/n\rtimes(\mathbb{Z}/n)^*$.
 **Tutorato 2:**
 - Dal libro, es. 28, 29, 110, 115.
 - Sia $G=\text{GL}(2,\mathbb{F}_3)$.
  - Calcolate $|G|$.
  - Determinate $\text{Z}(G)$.
  - ($\star$) Mostrate che $G/\text{Z}(G)\simeq S_4$.
 - Per $H,K < G$, un _laterale doppio_ di $H$ e $K$ è un sottoinsieme della forma $HgK=\lbrace hgk\mid h\in H, k\in K\rbrace$, per qualche $g\in G$. Se $H$ e $K$ sono finiti, e $g\in G$, mostrate che vale $|HgK|=|H|\cdot|K|/|K\cap g^{-1}Hg|$.
 - Sia $G$ un gruppo finito, e sia $p$ un primo tale che $p$ divide $|G|$. Mostrate che il numero di sottogruppi di ordine $p$ in $G$ è congruo a $1$ modulo $p$. _Hint: può essere utile ripartire dalla dimostrazione del teorema di Cauchy via azione di_ $\mathbb{Z}/p$.
 - Sia $G$ un gruppo finito, e sia $H < G$. Consideriamo l’azione di $G$ per moltiplicazione (a sinistra) sui laterali (sinistri) di $H$, vale a dire $G\curvearrowright G/H=\lbrace xH\mid x\in G\rbrace$, $g(xH) \coloneqq gxH$.
  - Dimostrate che, per $x\in G$, lo stabilizzatore di $xH$ è $xHx^{-1}$.
  - Dimostrate che il numero di punti fissi dell'azione _ristretta ad_ $H$, i.e. il numero di laterali $xH$ tali che $gxH=xH$ per ogni $g\in H$, coincide con $[\mathbf{N}_G(H):H]$.
  - Supponiamo che $H$ sia un $p$-sottogruppo di $G$, cioè $|H|=p^k$ per qualche $k$ e un fissato primo $p$. Se $[G:H]$ è divisibile per $p$, mostrate che anche $[\mathbf{N}_G(H):H]$ è divisibile per $p$.
 - (Dopo aver rivisto la teoria!) Usate l'esercizio precedente e il teorema di Cauchy (ma non i teoremi di Sylow!) per dimostrare che, se $G$ è un gruppo finito e $p$ è un primo che divide $|G|$, il gruppo $G$ ha un $p$-Sylow.
 **Tutorato 1:**
 - dal libro, es. 10, 12, 16, 17, 19;
 - mostrate che $\mathbb{Z}/d$, per $d$ dispari, non è isomorfo al gruppo di automorfismi $\text{Aut}(G)$ di alcun gruppo finito $G$;
 - sia $G$ un gruppo che agisce *transitivamente* su un insieme $X$ (i.e., c'è una sola orbita), e sia $N$ un sottogruppo normale di $G$. Dimostrate che
  - se $x,y\in X$, $\text{stab}_G(x)$ e $\text{stab}_G(y)$ sono coniugati;
  - l'azione di $N$ su $X$ non è necessariamente transitiva;
  - le orbite dell'azione di $N$ su $X$ hanno tutte la stessa cardinalità.
 ## Simulazioni d'Esame
 - Simulazione 24 aprile (Gruppi): [Testo](/Compitino1.pdf), [Soluzioni](/CompitinoSoluzioni.pdf),
 - Simulazione 31 maggio (Anelli & Campi): [Testo](/Compitino2.pdf), [Soluzioni](/Compitino2Soluzioni.pdf).
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 title: Tutorato Alla Pari
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 ## Info
 **Tutor:** Simona Felice, Danilo Calcinaro, Andrea Rocca, Giorgia Benassi.
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 title: Analisi 1
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 ## Info
 **Tutor:** Stefano Mannella.
 Durante le ore di tutorato proveremo innanzitutto a rispondere alle domande ed ai dubbi che possono essere sorti in classe.
 Siete caldamente invitati a dare un'occhio alla [raccolta di esercizi](https://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Home_Page/ArchivioDidattico.html) del professor Gobbino, che contiene sfide per tutti i gusti e livelli di difficoltà (sia di teoria che di calculus).
 Infine, ricordo a tutt* che, nel caso in cui sorgesse un qualche piccolo dubbio improssivo ed impellente, gli studenti più grandi (me compreso) sono sempre felici di dare una mano, é una realtà di cui andiamo abbastanza fieri, quindi non abbiate paura di chiedere!
 ## Esercizi da consegnare
 Per quanto riguarda le lezioni di recupero, ho preparato qualche esercizio tipo che potete svolgere e consegnare. Mi raccomando la forma, sia dal punto di vista matematico che da quello grafico!
 -[Prima consegna](/EserciziTutorato.pdf)
 ## Pdf dei Tutorati svolti
 In questa sezione ho intenzione di caricare i pdf dei tutorati svolti. Non scriverò ogni singolo esercizio, mi limiterò a quelli che ritengo più importanti e/o istruttivi. Non abbiate paura di farmi notare eventuali errori e/o imprecisioni! Riguardo allo stile, soprattutto all'inizio tenterò di essere il più chiaro possibile, quindi non temete, durante un compito non vi verrà mai richiesto di dare così tanti dettagli.
 - Tutorato del [13 ottobre 2023](/TutoratoAnalisi13102023.pdf).
 - Tutorato del [20 ottobre 2023](/TutoratoAnalisi2010.pdf).
 - Tutorato del [1 dicembre 2023](/LezioneNumeriComplessi.pdf).
 - Tutorato del [19 gennaio 2024](/Tutorato1901.pdf).
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 title: Aritmetica
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 ## Info
 **Tutor:** Cristofer Villani.
 Il tutorato di Aritmetica si è concluso. Sotto trovate i pdf di alcuni dei tutorati svolti.
 ## Pdf dei Tutorati svolti
 - Tutorato del [13 ottobre 2023](/TutoratoAritmetica13102023.pdf).
 - Tutorato del [20 ottobre 2023](/TutoratoAritmetica20102023.pdf); una [nota](/Congruenze_di_II_grado.pdf) sulle congruenze di II grado.
 - Tutorato del [3 novembre 2023](/TutoratoAritmetica03112023.pdf).
 - Tutorato del [10 novembre 2023](/TutoratoAritmetica10112023.pdf).
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 title: Geometria I
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 ## Info
 **Tutor:** Marco Tavano.
 ## Soluzioni dei Test
 **Primo Semestre**
 - Test del [12 ottobre 2023](/SoluzioniTest1Geometria1.pdf).
 - Test del [26 ottobre 2023](/SoluzioniTest2Geometria1.pdf).
 - Test del [9 novembre 2023](/SoluzioniTest3Geometria1.pdf).
 - Test del [23 novembre 2023](/SoluzioniTest4Geometria1.pdf).
 - Test del [14 dicembre 2023](/SoluzioniTest5Geometria1.pdf).
 **Secondo Semestre**
 - Test del [14 marzo 2024](/SoluzioniTest1Geometria1SecondoSem.pdf).
 - Test del [9 aprile 2024](/SoluzioniTest2Geometria1SecondoSem.pdf).
 - Test del [18 aprile 2024](/SoluzioniTest3GeometriaISecondoSem.pdf).
 - Test del [9 maggio 2024](/SoluzioniTest4GeometriaISecondoSem.pdf).
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 title: Tutorato 2023/2024
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 ## Che cos'è il tutorato?
 Il tutorato è pensato per darvi una mano con lo studio, e rispondere a qualsiasi dubbio matematico abbiate.
 Gli studenti delle materie del primo anno hanno a disposizione tre tutor specifici (uno per Analisi I, uno per Geometria I, uno per Fisica I). Per il secondo anno, c'è il tutorato di Algebra I.
 Per tutte le materie, sono a disposizione quattro tutor alla pari, che faranno tre incontri settimanali. Precisiamo che **il tutorato alla pari**, in cui potete fare domande su qualsiasi argomento, **è aperto (e fortemente consigliato) anche agli studenti degli anni successivi!**
 Venire a tutorato è utilissimo per darvi un'idea più chiara del vostro livello di conoscenza degli argomenti, e può servire a indirizzarvi nello studio. Ovviamente, non è necessario (e può essere controproducente!) che veniate a _ogni_ tutorato, ma se sentite il bisogno di consolidare le vostre conoscenze, oppure siete in difficoltà con qualche argomento, non fatevi problemi a venire!
 ## Orario
 |  | Lun | Mar | Mer | Gio | Ven |
 |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
 |9-11|  |   |   |  |  |
 |11-13|	 |   |   |  | |
 |14-16|	 |  | | |  |
 |16-18|	Alla Pari<br> Aula 2  | | | Alla pari<br> Aula 2 | |
 |18-20|  |   |   |  |  |
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+++ b/src/pages/archivio/24-25/index.md
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 title: Tutorato 2024-2025
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 ## Che cos'è il tutorato?
 Il tutorato è pensato per darvi una mano con lo studio, e rispondere a qualsiasi dubbio matematico abbiate.
 Gli studenti delle materie del primo anno hanno a disposizione tre tutor specifici (uno per Analisi I, uno per Geometria I, uno per Fisica I). Per il secondo anno, c'è il tutorato di Algebra I.
 Per tutte le materie, sono a disposizione quattro tutor alla pari, che faranno tre incontri settimanali. Precisiamo che **il tutorato alla pari**, in cui potete fare domande su qualsiasi argomento, **è aperto (e fortemente consigliato) anche agli studenti degli anni successivi!**
 Venire a tutorato è utilissimo per darvi un'idea più chiara del vostro livello di conoscenza degli argomenti, e può servire a indirizzarvi nello studio. Ovviamente, non è necessario (e può essere controproducente!) che veniate a _ogni_ tutorato, ma se sentite il bisogno di consolidare le vostre conoscenze, oppure siete in difficoltà con qualche argomento, non fatevi problemi a venire!
 ## Orario
 |  | Lun | Mar | Mer | Gio | Ven |
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 |9-11|  |   |   |  |  |
 |11-13|	 |   |   |  | |
 |14-16|	 |  | | |  |
 |16-18|	Alla Pari<br> Aula 2  | | | Alla pari<br> Aula 2 | |
 |18-20|  |   |   |  |  |
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