title: [Il polinomio di Kauffman, \ un Invariante di Isotopia Regolare],
page-title: [Il polinomio di Kauffman, un Invariante di Isotopia Regolare],
title: [Il polinomio di Kauffman: \ un invariante di isotopia regolare],
page-title: [Il polinomio di Kauffman: un invariante di isotopia regolare],
authors: (
(
name: "Antonio De Lucreziis",
@ -33,7 +33,7 @@
),
),
abstract: [
In questa tesi tratteremo del polinomio di Kauffman, un invariante di nodi e link a meno di isotopia regolare. Introdurremo dei risultati di fondazione della teoria dei nodi per definire l'isotopia regolare. Infine vedremo la dimostrazione della buona definizione del polinomio di Kauffman a partire dalla forma assiomatica. Inoltre per il progetto di Laboratorio Computazionale abbiamo implementato in Python questo polinomio e verificato tutti i valori presenti nel database di KnotInfo e trovato un errore nel nodo $10_125$.
In questa tesi tratteremo del polinomio di Kauffman, un invariante di nodi e link per di isotopia regolare. Introdurremo dei risultati di fondazione della teoria dei nodi per definire l'isotopia regolare. Infine vedremo la dimostrazione della buona definizione del polinomio di Kauffman a partire dalla forma assiomatica. Inoltre per il progetto di Laboratorio Computazionale abbiamo implementato in Python questo polinomio e verificato tutti i valori presenti nel database di KnotInfo e trovato un errore nel calcolo del nodo $10_125$.
],
bibliography: bibliography("refs.bib"),
)
@ -44,9 +44,11 @@
= Introduzione
In questa tesi studieremo un invariante di isotopia regolare chiamato polinomio di Kauffman @Kauffman1990-qe. Intuitivamente vedremo che se l'isotopia ambiente è l'equivalenza tra diagrammi generata dalle mosse I, II e III di Reidemeister, l'isotopia regolare è l'equivalenza generata solo dalle mosse II e III.
In questa tesi studieremo un invariante di isotopia regolare chiamato polinomio di Kauffman @Kauffman1990-qe. Intuitivamente se l'isotopia ambiente è l'equivalenza tra diagrammi generata dalle mosse I, II e III di Reidemeister, l'isotopia regolare è l'equivalenza generata solo dalle mosse II e III. #margin-note[Il disegno è da rifare]
Dato un nodo o link non orientato $K$, possiamo definire in forma assiomatica il polinomio $kL_K (a, z) in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ attraverso le seguenti relazioni:
Dato un nodo o link non orientato $K$, possiamo definire in forma assiomatica il polinomio $kL_K (a, z) in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ attraverso i seguenti assiomi:
1. Se $K$, $K'$ sono equivalenti a meno di isotopia regolare, allora $kL_K (a,z) = kL_K' (a,z)$.
@ -61,7 +63,7 @@ Dato un nodo o link non orientato $K$, possiamo definire in forma assiomatica il
Vedremo come $kL_K (a, z)$ è ben definito ed è un invariante di isotopia regolare e come può essere generalizzato a un invariante di isotopia ambiente.
Vedremo come questi assiomi definiscono un unico invariante di isotopia regolare ben definito e come $kL_K (a, z)$ può essere generalizzato a un invariante di isotopia ambiente $F_K (a, z)$ utilizzando il writhe di un nodo.
== Introduzione alla Teoria dei Nodi
@ -74,52 +76,52 @@ Ora introdurremo alcuni risultati fondamentali di teoria dei nodi tra cui le def
Dati due spazi topologici con $X$ compatto, $Y$ di Hausdorff ed $f : X arrow Y$ continua allora $f$ è un embedding $<=>$ è iniettiva.
Dati $X$, $Y$ spazi topologici con $X$ compatto, $Y$ di Hausdorff edata un'applicazione continua $f : X arrow Y$ allora $f$ è un embedding $<=>$ è iniettiva.
]
#definition[
Dato un embedding $f : X arrow Y$, un punto $p in X$ allora $f$ si dice *localmente piatto* in $p$ se $exists U subset bb(R)^3$ intorno di $p$, tale che
@ -127,8 +129,6 @@ Ora introdurremo alcuni risultati fondamentali di teoria dei nodi tra cui le def
Un *nodo tame* è un sottoinsieme $K subset bb(R)^3$ per cui esiste un embedding $f : bb(S)^1 arrow.hook bb(R)^3$ localmente piatto con $K = f(bb(S)^1)$. In questo caso $f$ è anche detto *embedding tame*.
]
Esistono anche nodi non tame come il seguente, ma d'ora in avanti considereremo solo nodi tame.#margin-note[aggiungere citazione a wikipedia per l'immagine sotto?]
#figure(
image("assets/wild_knot.svg", width: 75%),
caption: [
@ -136,12 +136,14 @@ Esistono anche nodi non tame come il seguente, ma d'ora in avanti considereremo
],
)
Esistono anche nodi non tame come il precedente, ma d'ora in avanti considereremo solo nodi tame. #margin-note[l'immagine sotto è presa da wikipedia, aggiungere una citazione?]
// #todo[
// Disegno nodo non tame
// ]
#definition[
Due nodi $K_0, K_1 subset bb(R)^3$ sono *equivalenti* se esiste un'*isotopia ambiente* $H$ che porta uno nell'altro, ovvero esiste un'applicazione continua $H : bb(R)^3 times [0, 1] arrow bb(R)^3$, tale che
Due nodi $K_0, K_1 subset bb(R)^3$ sono *equivalenti* se esiste un'*isotopia ambiente* $H$ che porta uno nell'altro, ovvero esiste $H : bb(R)^3 times [0, 1] arrow bb(R)^3$ applicazione continua, tale che
- $forall t in [0, 1], H(dot, t)$ è un omeomorfismo
@ -154,7 +156,7 @@ Esistono anche nodi non tame come il seguente, ma d'ora in avanti considereremo
Inoltre se due nodi sono equivalenti allora vale che $bb(R)^3 without K_0 approx bb(R)^3 without K_1$.
Spesso serve fare manipolazioni direttamente sui nodi o sui diagrammi e lavorare con gli embedding $bb(S)^1 arrow bb(R)^3$ non è molto comodo da un punto di vista pratico, per questo motivo introduciamo i _nodi poligonali_ che ci permettono di dare una formalizzazione alternativa dei nodi tame.
Spesso serve fare manipolazioni direttamente sui nodi o sui diagrammi e lavorare con gli embedding $bb(S)^1 arrow bb(R)^3$ non è molto comodo da un punto di vista formale, per questo motivo introduciamo i _nodi poligonali_ che ci permettono di dare una formalizzazione alternativa dei nodi tame più operativa.
#definition[
Un *nodo poligonale* è un nodo equivalente ad un'unione finita di segmenti lineari.
@ -170,12 +172,15 @@ Spesso serve fare manipolazioni direttamente sui nodi o sui diagrammi e lavorare
Il *nodo banale* è la classe di equivalenza del bordo di un triangolo equilatero.
]
Possiamo generalizzare tutte le definizioni che abbiamo appena dato da nodi a link, sostituendo $bb(S)^1$ con $bb(S)^1 union dots.c union bb(S)^1$ con le opportune modifiche, ad esempio la definizione di link è la seguente:
Passiamo ora al caso in cui abbiamo un nodo con più di una componente
#definition[
$L subset bb(R)^3$ è detto *link* se $exists$ embedding $f : bb(S)^1 union dots.c union bb(S)^1 arrow bb(R)^3$ localmente piatto con immagine $L$.
]
Possiamo generalizzare tutte le definizioni che diamo per i nodi ai link, sostituendo $bb(S)^1$ con $bb(S)^1 union dots.c union bb(S)^1$ con le opportune modifiche.
Introduciamo ora il concetto di equivalenza combinatoria di link poligonali in $bb(R)^3$, questo è il primo passo che ci permette di descrivere l'equivalenza tra nodi attraverso sequenza finita di mosse.
#definition[
@ -185,7 +190,7 @@ Introduciamo ora il concetto di equivalenza combinatoria di link poligonali in $
#todo[disegno 1]
2. Dato un triangolo piano $Delta subset bb(R)^3$ tale che $Delta inter L$ sia un lato di $Delta$ ed un segmento di $L$ allora una _$Delta$-move_ è la seguente
2. Dato un triangolo piano $Delta subset bb(R)^3$ tale che $Delta inter L$ sia un lato di $Delta$ ed un segmento di $L$ allora una $Delta$*-mossa* è la seguente
#todo[disegno 2]
]
@ -200,7 +205,7 @@ Data una direzione $v in bb(S)^2 subset bb(R)^3$, possiamo definire $pi_v : bb(R
#todo[disegno]
Per formalizzare il concetto di diagramma di un nodo introdurremo il concetto di proiezione regolare, ovvero una proiezione in cui i punti di intersezione tra le immagini dei segmenti di $L$ sono solamente gli incroci del nodo (e senza segmenti paralleli alla direzione di proiezione).
Per formalizzare il concetto di diagramma di un nodo introdurremo il concetto di proiezione regolare, ovvero una proiezione in cui i punti di intersezione tra le immagini dei segmenti di $L$ sono solamente gli incroci (punti doppi) del nodo (e senza segmenti paralleli alla direzione di proiezione).
#definition[
Sia $L subset bb(R)^3$ un link, $v in bb(S)^2$ una direzione e $pi_v : bb(R)^3 arrow v^perp$ la proiezione su $v^perp$ come in precedenza. Allora un punto $x in pi(L) subset v^perp$ si dice
@ -229,11 +234,11 @@ Per formalizzare il concetto di diagramma di un nodo introdurremo il concetto di
Quindi dato $L subset bb(R)^3$ link poligonale, esiste una proiezione regolare $pi(L) subset bb(R)^2$, ovvero una con un numero finito di punti singolari, ciascuno dei quali è un punto doppio e di intersezione trasversa. Ognuno di questi punti doppi viene detto *incrocio*.
#definition[
Un *diagramma* $D subset bb(R)^2$ di un link $L subset bb(R)^3$ è una proiezione regolare di $L$ decorata con l'informazione sopra/sotto ad ogni incrocio.
Un *diagramma* $D subset bb(R)^2$ di un link $L subset bb(R)^3$ è l'immagine di $L$ attraverso una proiezione regolare decorata con l'informazione sopra/sotto ad ogni incrocio.
]
#fact[
Due link con lo stesso diagramma sono equivalenti.
Due link con stesso diagramma sono equivalenti.
]
// #todo[
@ -261,17 +266,17 @@ Come abbiamo generalizzato nodi a link possiamo ripetere tutto anche aggiungendo
#definition[
Dato un link $L subset bb(R)^3$ possiamo definire
- Il *mirror* $m(L) colon.eq rho(L)$ dove $rho : bb(R)^3 arrow bb(R)^3$ è la riflessione rispetto al piano di proiezione. In particolare dato un diagramma è lo stesso diagramma con l'informazione sopra/sotto scambiata.
- Il *mirror* $m(L) colon.eq rho(L)$ dove $rho : bb(R)^3 arrow bb(R)^3$ è la riflessione rispetto al piano di proiezione. In particolare dato un diagramma, il suo mirror è lo stesso diagramma con tutte le informazioni sopra/sotto scambiate.
e se $L$ è anche _orientato_ allora possiamo definire
inoltre, se diamo anche un'_orientazione_ ad $L$ possiamo definire
- Il *reverse* $r(L)$ che è lo stesso $L$ con l'orientazione opposta su ogni componente.
- Il *reverse* $r(L)$, in cui prendiamo l'orientazione opposta su ogni componente.
- L'*inverso* $-L colon.eq m(r(L)) = r(m(L))$.
]
#definition[
Se $K subset bb(R)^3$ e $K tilde.not m(K)$ allora diciamo che $K$ è *chirale*, altrimenti è detto *anfichirale*.
Se $K subset bb(R)^3$ e $K$ non è equivalente a $m(K)$ allora diciamo che $K$ è *chirale*, altrimenti è detto *anfichirale*.
