@ -96,9 +96,14 @@ e posta $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha:
\
*Esistenza Proiezioni Regolari.* Sia $L subset bb(R)^3$ _link poligonale_, allora esiste un aperto denso $U$ tale che $forall v in U subset SS^2$, la proiezione sul piano $v^perp approx RR^2$ è regolare.
*Def.* Un *diagramma* $D subset bb(R)^2$ proviene da un link $L subset RR^3$ attraverso una proiezione regolare. I punti doppi del diagramma sono detti *incroci*.
// di un link $L subset bb(R)^3$ è l'immagine di $L$ attraverso una proiezione decorata con l'informazione sopra/sotto ad ogni incrocio.
// *Esistenza Proiezioni Regolari.* Sia $L subset bb(R)^3$ _link poligonale_, allora esiste un aperto denso $U$ tale che $forall v in U subset SS^2$, la proiezione sul piano $v^perp approx RR^2$ è regolare.
- $x in pi_v (L) subset v^perp$ tale che $abs(pi^(-1)_v (x)) = 2$ sono detti *incroci*.
// - $x in pi_v (L) subset v^perp$ tale che $abs(pi^(-1)_v (x)) = 2$ sono detti *incroci*.
// == Proiezioni e Diagrammi
@ -121,52 +126,61 @@ e posta $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha:
// ],
// )
== Proiezioni e Diagrammi
== Teorema di Reidemeister
*Def.* Un *diagramma* $D subset bb(R)^2$ di un link $L subset bb(R)^3$ è l'immagine di $L$ attraverso una proiezione regolare decorata con l'informazione sopra/sotto ad ogni incrocio.
#pad(
top: 1.5em,
grid(
columns: (1fr, auto),
gutter: 1em,
align: horizon,
[
*Def.* Le mosse I, II, III in figura sono dette *mosse di Reidemeister*.
\
// #grid(
// columns: (1fr, auto),
// gutter: 1em,
// align: top,
// [
// ],
// ,
// )
*Mosse di Reidemeister.* Le mosse I, II, III in figura sono dette.
*Teorema (di Reidemeister).* Due diagrammi di link _equivalenti_ sono collegati da una _successione finita di mosse di Reidemeister_ e isotopie planari.
*Teorema (di Reidemeister).* Due diagrammi di link _equivalenti_ sono collegati da una _successione finita di mosse di Reidemeister_ e isotopie planari.
*Def.* $D_1 tilde D_2$ diagrammi di link si dicono equivalenti a meno di *isotopia regolare* se e solo se sono equivalenti a meno di isotopie planari e mosse II e III di Reidemeister.
L'*isotopia regolare* è la relazione di equivalenza su diagrammi di link \ generata solo dalle mosse II e III.
])
// $D_1 tilde D_2$ diagrammi di link si dicono equivalenti a meno di *isotopia regolare* se e solo se sono equivalenti a meno di isotopie planari e mosse II e III di Reidemeister.
== Comportamento Isotopia Regolare
*Osservazione.* Tutte le mosse di tipo I, quelle che introducono quelli che chiameremo *riccioli*, possono passare sopra o sotto altri fili senza problemi applicando le seguenti mosse
// *Osservazione.* Tutte le mosse di tipo I, quelle che introducono quelli che chiameremo *riccioli*, possono passare sopra o sotto altri fili senza problemi applicando le seguenti mosse
*Osservazione.* Quando abbiamo una coppia di riccioli con segni opposti abbiamo la seguente proprietà di cancellazione detto _trucco di Whitney_.
@ -224,33 +238,29 @@ e posta $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha:
== Writhe
*Def.* Il *segno* di un incrocio di un diagramma orientato è: $epsilon(#skein-generic(size-factor: 1.5, direction: (+1, +1))) = +1, epsilon(#skein-generic(size-factor: 1.5, direction: (+1, -1))) = -1$
Il *segno* di un incrocio di un diagramma orientato è: $epsilon(#skein-generic(size-factor: 1.5, direction: (+1, +1))) = +1, epsilon(#skein-generic(size-factor: 1.5, direction: (+1, -1))) = -1$
\
$D$ diagramma di un link orientato, il *writhe* $display(w(D) colon.eq sum_(c "incrocio") epsilon(c))$.
*Def.* $K$ link orientato, definiamo il *writhe* $display(w(K) colon.eq sum_(c "incrocio") epsilon(c))$.
*Prop.* Se $K$ è il diagramma di un nodo, il _writhe_ *non dipende dall'orientazione*.
*Prop.* Se $D$ è il diagramma di un nodo, il _writhe_ *non dipende dall'orientazione*.
#pause
\
*Prop.* Il writhe è un *invariante di isotopia regolare*, ovvero $K_1 tilde K_2 => w(K_1) = w(K_2)$.
*Prop.* Il writhe è un *invariante di isotopia regolare*, ovvero $D_1 tilde D_2 => w(D_1) = w(D_2)$.
= Polinomio di Kauffman
== Assiomi
*Def.* Per ogni diagramma di link _non orientato_ $K$, il polinomio $L_K in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ verifica i seguenti assiomi:
Dimostreremo che per ogni diagramma di link _non orientato_ esiste un polinomio $L_D$ per ogni diagramma di link _non orientato_ $D$, il polinomio $L_D in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ verifica i seguenti assiomi:
#set enum(numbering: "i.a)")
1. $K tilde K' => L_K = L_K'$.
1. $D tilde D' => L_D = L_D'$.
2. Valgono le seguenti relazioni:
@ -262,46 +272,49 @@ e posta $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha:
*Def (induttiva di $L_K$).* Il polinomio $L_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue:
*Definizione di $L_K$).* Il polinomio $L_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue:
// la definizione è sotto perché gli enumerate non vanno d'accordo con le figure
@ -910,7 +1009,7 @@ _Dimostrazione._
][
*Def (induttiva di $L_K$).* Il polinomio $L_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue:
*Definizione di $L_K$).* Il polinomio $L_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue:
// la definizione è sotto perché gli enumerate non vanno d'accordo con le figure
@ -989,7 +1088,7 @@ _Dimostrazione._
#set list(spacing: 1.5em)
#set enum(numbering: "a)", spacing: 1.5em)
*Def (Ipotesi induttiva).* Dimostreremo induttivamente le seguenti proprietà: per ogni diagramma di link $K$ con $< N$ incroci e per diagrammi contenenti $#skein.over-twist-large$ con $< N$ incroci:
*Ipotesi induttiva.* Dimostreremo induttivamente le seguenti proprietà: per ogni diagramma di link $K$ con $< N$ incroci e per diagrammi contenenti $#skein.over-twist-large$ con $< N$ incroci:
1. $L_K$ è ben definito (non dipende dalla scelta di punto base).
@ -1001,7 +1100,7 @@ _Dimostrazione._
3. $L_K$ è invariante per mosse di tipo II e III che non aumentano il numero di incroci.
4. Se $K$ ammette una _funzione di slacciamento_ allora $L_K = a^w(K)$
4. Per certi diagrammi vale $L_K = a^w(K)$
]
== Dimostrazione buona definizione
@ -1015,7 +1114,7 @@ _Dimostrazione._
1. $L_K$ è ben definito (non dipende dalla scelta di punto base)
- Invarianza $sum_K (lambda)$ per $1$-rotazioni
- Invarianza $sum_K (lambda)$ per rotazioni
- Caso più componenti
@ -1029,7 +1128,7 @@ _Dimostrazione._
3. $L_K$ è invariante per mosse di tipo II e III che non aumentano il numero di incroci
4. Se $K$ ammette una _funzione di slacciamento_ allora $L_K = a^w(K)$
