prima di cambiare le K in D

src/presentation.typ

@@ -288,7 +288,7 @@ Dimostreremo che per ogni diagramma di link _non orientato_ esiste un polinomio
 
 _Dimostrazione._
 
-- $w(D)$ inv. isotopia regolare $=> a^(-w(D))$ inv. isotopia regolare.
+- $w(D)$ invariante di _isotopia regolare_ $=> a^(-w(D))$ invariante di _isotopia regolare_.
 
 #pause
 
@@ -620,11 +620,56 @@ _Dimostrazione._
 == Considerazioni preliminari
 
 #align(center)[
-  Il *nodo banale standard* (o in _forma discendente_) associato $K$ è $hat(K)(cal(U), p)$:
+  Il *nodo banale standard* (o in _forma discendente_) associato $D$ è $hat(D)(cal(U), p)$:
 
-  #v(1em)
+  // #v(1em)
 
-  #image("assets/standard-unlink-construction.png", height: 8cm)
+
+  #alternatives[
+    #move(dx: -1pt, image("assets/derived/std-unknot-1-cropped.jpg", height: 8cm))
+
+    #grid(
+      columns: (1fr, 1fr, 1fr, 1fr, 1fr),
+      align: center,
+      [], $D$, [], $hat(D)(cal(U), p)$, [],
+    )
+
+    $space$
+  ][
+    #image("assets/derived/std-unknot-2-cropped.jpg", height: 8cm)
+
+    #grid(
+      columns: (1fr, 1fr, 1fr, 1fr, 1fr),
+      align: center,
+      [],
+      $D$,
+      {
+        show math.equation: set text(size: 16pt)
+        $~> lambda=(6,4,2,1) ~>$
+      },
+      $hat(D)(cal(U), p)$,
+      [],
+    )
+
+    $space$
+  ][
+    #image("assets/derived/std-unknot-2-cropped.jpg", height: 8cm)
+
+    #grid(
+      columns: (1fr, 1fr, 1fr, 1fr, 1fr),
+      align: center,
+      [],
+      $D$,
+      {
+        show math.equation: set text(size: 16pt)
+        $~> lambda=(6,4,2,1) ~>$
+      },
+      $hat(D)(cal(U), p)$,
+      [],
+    )
+
+    $hat(D)(p) = S_6 S_4 S_2 S_1 D$
+  ]
 ]
 
 == Considerazioni preliminari
@@ -761,6 +806,10 @@ _Dimostrazione._
   },
 )
 
+
+#import "@preview/pinit:0.2.2": *
+#import "@preview/fletcher:0.5.1"
+
 #slide({
   {
     set align(center)
@@ -784,12 +833,15 @@ _Dimostrazione._
   h(4.4em)
   $display(
     => L[K] + (-1)^n L[hat(K)(p)] =
-    z sum_(i=0)^n (-1)^i (
-      L[E_i S_(i-1) dotss S_0 K] + L[e_i S_(i-1) dotss S_0 K]
+    z sum_(i=0)^n (-1)^i lr(
+      (
+        L[E_i S_(i-1) dotss S_0 K] + L[e_i S_(i-1) dotss S_0 K]
+      ), size: #1em
     )
   )$
 })
 
+
 #slide({
   {
     set align(center)
@@ -798,8 +850,6 @@ _Dimostrazione._
 
   show math.equation: set text(size: 16pt)
 
-  // v(1em)
-
   $
     & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
     -(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
@@ -813,12 +863,21 @@ _Dimostrazione._
   h(4.4em)
   $display(
     => L[K] + (-1)^n L[hat(K)(p)] =
-    z sum_(i=0)^n (-1)^i lr(
+    z #h(-0.125pt) #pin(1) sum_(i=0)^n (-1)^i lr(
       (
-        L lr([underbrace(E_i S_(i-1) dotss S_0 K, #place(center, $A_i^lambda$))], size: #1em) + L lr([underbrace(e_i S_(i-1) dotss S_0 K, #place(center, $B_i^lambda$))], size: #1em)
+        L[E_i S_(i-1) dotss S_0 K] + L[e_i S_(i-1) dotss S_0 K]
       ), size: #1em
-    )
+    ) #pin(2)
   )$
+
+  // pinit-highlight(1, 2, fill: color.rgb("#0002"), dy: -1.75em, extended-height: 3.25em)
+  pinit-place(
+    (1,),
+    dy: 1.25em,
+    $
+      underbrace(#h(21.5em), #move(dy: 0.75em, $display("Notazione: " sum_D (lambda(p)))$))
+    $,
+  )
 })
 
 #slide({
@@ -829,8 +888,6 @@ _Dimostrazione._
 
   show math.equation: set text(size: 16pt)
 
-  // v(1em)
-
   $
     & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
     -(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
@@ -844,28 +901,10 @@ _Dimostrazione._
   h(4.4em)
   $display(
     => L[K] + (-1)^n L[hat(K)(p)] =
-    z sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])
+    z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda)
   )$
-
-  // show math.equation: set text(size: 13pt)
-  // h(1fr)
-  // $display(
-  //   (thin #grid(
-  //       rows: 2,
-  //       gutter: 1em,
-  //       $A_i^lambda colon.eq E_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0$,
-  //       $B_i^lambda colon.eq e_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0$,
-  //     ))
-  // )$
 })
 
-#let hl(bg: gray.mix(white), body) = move(dx: -5pt, dy: 1pt, rect(
-  fill: bg,
-  outset: (top: 0.25em, bottom: 0.5em),
-  radius: 0.25em,
-  body,
-))
-
 #slide({
   {
     set align(center)
@@ -874,8 +913,6 @@ _Dimostrazione._
 
   show math.equation: set text(size: 16pt)
 
-  // v(1em)
-
   $
     & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
     -(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
@@ -888,8 +925,9 @@ _Dimostrazione._
 
   h(4.4em)
   $display(
-    => L[K] = (-1)^(n+1) L[hat(K)(p)] +
-    z sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])
+    => L[K] =
+    (-1)^(n+1) L[hat(K)(p)]
+    + z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda)
   )$
 })
 
@@ -901,8 +939,6 @@ _Dimostrazione._
 
   show math.equation: set text(size: 16pt)
 
-  // v(1em)
-
   $
     & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
     -(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
@@ -913,23 +949,12 @@ _Dimostrazione._
 
   v(1.5em)
 
-  v(2pt)
-
   h(4.4em)
   $display(
     => L[K] =
-    #hl(
-      bg: white,
-      $display(
-        (-1)^(abs(lambda(q))+1) L[hat(K)(p)] +
-        z sum_K^text(fill: #white, n) (lambda)
-      )$,
-    )
+    (-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)]
+    + z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda)
   )$
-
-  // show math.equation: set text(size: 14pt)
-  // h(1fr)
-  // $display((sum_K (lambda) colon.eq sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])))$
 })
 
 #slide({
@@ -940,8 +965,6 @@ _Dimostrazione._
 
   show math.equation: set text(size: 16pt)
 
-  // v(1em)
-
   $
     & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
     -(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
@@ -954,17 +977,161 @@ _Dimostrazione._
 
   h(4.4em)
   $display(
-    => L[K] = #hl($display(
-      (-1)^(abs(lambda(q))+1) L[hat(K)(p)] +
-      z sum_K^text(fill: #gray.mix(white), n) (lambda)
-    )$)
+    => L[K] =
+    #h(-1pt)
+    #pin(1)
+    (-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)]
+    + z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda)
+    #pin(2)
   )$
 
-  // show math.equation: set text(size: 14pt, fill: white)
-  // h(1fr)
-  // $display((sum_K (lambda) colon.eq sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])))$
+  pinit-highlight(1, 2, dy: -1.75em, dx: 3pt, extended-height: 3em, fill: rgb("#0002"))
 })
 
+// // #slide({
+// //   {
+// //     set align(center)
+// //     [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
+// //   }
+
+// //   show math.equation: set text(size: 16pt)
+
+// //   // v(1em)
+
+// //   $
+// //     & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
+// //     -(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
+// //     & cancel(L[S_1 S_0 K]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 K]) = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K]) \
+// //     & space dots.v \
+// //     (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
+// //   $
+
+// //   v(1.5em)
+
+// //   h(4.4em)
+// //   $display(
+// //     => L[K] + (-1)^n L[hat(K)(p)] =
+// //     z sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])
+// //   )$
+
+// //   // show math.equation: set text(size: 13pt)
+// //   // h(1fr)
+// //   // $display(
+// //   //   (thin #grid(
+// //   //       rows: 2,
+// //   //       gutter: 1em,
+// //   //       $A_i^lambda colon.eq E_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0$,
+// //   //       $B_i^lambda colon.eq e_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0$,
+// //   //     ))
+// //   // )$
+// // })
+
+// #let hl(bg: gray.mix(white), body) = move(dx: -5pt, dy: 1pt, rect(
+//   fill: bg,
+//   outset: (top: 0.25em, bottom: 0.5em),
+//   radius: 0.25em,
+//   body,
+// ))
+
+// #slide({
+//   {
+//     set align(center)
+//     [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
+//   }
+
+//   show math.equation: set text(size: 16pt)
+
+//   // v(1em)
+
+//   $
+//     & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
+//     -(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
+//     & cancel(L[S_1 S_0 K]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 K]) = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K]) \
+//     & space dots.v \
+//     (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
+//   $
+
+//   v(1.5em)
+
+//   h(4.4em)
+//   $display(
+//     => L[K] = (-1)^(n+1) L[hat(K)(p)] +
+//     z sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])
+//   )$
+// })
+
+// #slide({
+//   {
+//     set align(center)
+//     [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
+//   }
+
+//   show math.equation: set text(size: 16pt)
+
+//   // v(1em)
+
+//   $
+//     & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
+//     -(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
+//     & cancel(L[S_1 S_0 K]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 K]) = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K]) \
+//     & space dots.v \
+//     (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
+//   $
+
+//   v(1.5em)
+
+//   v(2pt)
+
+//   h(4.4em)
+//   $display(
+//     => L[K] =
+//     #hl(
+//       bg: white,
+//       $display(
+//         (-1)^(abs(lambda(q))+1) L[hat(K)(p)] +
+//         z sum_K^text(fill: #white, n) (lambda)
+//       )$,
+//     )
+//   )$
+
+//   // show math.equation: set text(size: 14pt)
+//   // h(1fr)
+//   // $display((sum_K (lambda) colon.eq sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])))$
+// })
+
+// #slide({
+//   {
+//     set align(center)
+//     [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
+//   }
+
+//   show math.equation: set text(size: 16pt)
+
+//   // v(1em)
+
+//   $
+//     & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
+//     -(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
+//     & cancel(L[S_1 S_0 K]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 K]) = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K]) \
+//     & space dots.v \
+//     (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
+//   $
+
+//   v(1.5em)
+
+//   h(4.4em)
+//   $display(
+//     => L[K] = #hl($display(
+//       (-1)^(abs(lambda(q))+1) L[hat(K)(p)] +
+//       z sum_K^text(fill: #gray.mix(white), n) (lambda)
+//     )$)
+//   )$
+
+//   // show math.equation: set text(size: 14pt, fill: white)
+//   // h(1fr)
+//   // $display((sum_K (lambda) colon.eq sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])))$
+// })
+
 == Definizione induttiva
 
 #slide(
@@ -972,15 +1139,19 @@ _Dimostrazione._
   self => [
     #let (alternatives,) = utils.methods(self)
 
+    #set align(top)
+
+    #v(7em)
+
     #alternatives[
 
-      *Definizione di $L_K$).* Il polinomio $L_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue:
+      Definiamo ora il polinomio $L_(K)(a,z)$ induttivamente come segue:
 
       // la definizione è sotto perché gli enumerate non vanno d'accordo con le figure
 
       1. Se $K$ è in _forma discendente_: $L_K (a, z) colon.eq a^w(K)$
 
-      2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) (con $delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1$)
+      2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) $("con " delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1)$
 
       3. Altrimenti $K = K_1 union dotss union K_n$:
 
@@ -991,31 +1162,26 @@ _Dimostrazione._
           1 / n
           sum_(i=1)^n
           ((-1)^(abs(lambda(p_i))+1) delta L_(K_i) L_(K - K_i) + z sum_K (lambda(p_i)))
-        )$
+        ) #rect(stroke: none, height: 3.5em, width: 1pt)$
 
         #v(1.5em)
 
         b) #h(0.35em) Se $n=1$: $display(
           L_K (a, z) colon.eq
-          #rect(
-            fill: gray.mix(white),
-            inset: (top: 0.65em),
-            outset: (top: 0.25em, bottom: 0.5em),
-            radius: 0.25em,
-            $display((-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)))$,
-          )
+          #h(-1pt) #pin(1) (-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)) #pin(2)
            // display((-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)))
-        )$
+        ) #rect(stroke: none, height: 3.5em, width: 1pt)$
 
+        #pinit-highlight(1, 2, dy: -2em, dx: 3pt, extended-height: 3.75em, fill: rgb("#0002"))
     ][
 
-      *Definizione di $L_K$).* Il polinomio $L_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue:
+      Definiamo ora il polinomio $L_(K)(a,z)$ induttivamente come segue:
 
       // la definizione è sotto perché gli enumerate non vanno d'accordo con le figure
 
       1. Se $K$ è in _forma discendente_: $L_K (a, z) colon.eq a^w(K)$
 
-      2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) (con $delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1$)
+      2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) $("con " delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1)$
 
       3. Altrimenti $K = K_1 union dotss union K_n$:
 
@@ -1026,31 +1192,24 @@ _Dimostrazione._
           1 / n
           sum_(i=1)^n
           ((-1)^(abs(lambda(p_i))+1) delta L_(K_i) L_(K - K_i) + z sum_K (lambda(p_i)))
-        )$
+        ) #rect(stroke: none, height: 3.5em, width: 1pt)$
 
         #v(1.5em)
 
         b) #h(0.35em) Se $n=1$: $display(
           L_K (a, z) colon.eq
-          #rect(
-            fill: white,
-            inset: (top: 0.65em),
-            outset: (top: 0.25em, bottom: 0.5em),
-            radius: 0.25em,
-            $display((-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)))$,
-          )
+          (-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_D (lambda(p))
            // display((-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)))
-        )$
-
+        ) #rect(stroke: none, height: 3.5em, width: 1pt)$
     ][
 
-      *Def (induttiva di $L_K$).* Il polinomio $L_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue:
+      Definiamo ora il polinomio $L_(K)(a,z)$ induttivamente come segue:
 
       // la definizione è sotto perché gli enumerate non vanno d'accordo con le figure
 
       1. Se $K$ è in _forma discendente_: $L_K (a, z) colon.eq a^w(K)$
 
-      2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) (con $delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1$)
+      2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) $("con " delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1)$
 
       3. Altrimenti $K = K_1 union dotss union K_n$:
 
@@ -1061,7 +1220,7 @@ _Dimostrazione._
           1 / (2n)
           sum_(i=1)^n sum_(q=p_i, overline(p)_i)
           ((-1)^(abs(lambda(q))+1) delta L_(K_i) L_(K - K_i) + z sum_K (lambda(q)))
-        )$
+        ) #rect(stroke: none, height: 3.5em, width: 1pt)$
 
         #v(1.5em)
 
@@ -1070,7 +1229,7 @@ _Dimostrazione._
           1 / 2
           sum_(q = p, overline(p))
           ((-1)^(abs(lambda(q))+1) L_(hat(K)(q)) + z sum_K (lambda(q)))
-        )$
+        ) #rect(stroke: none, height: 3.5em, width: 1pt)$
 
     ]
   ],
@@ -1162,7 +1321,7 @@ Per il progetto di Lab. Comp. abbiamo scritto una *nuova implementazione* in _Py
 
 - Verifica di tutti i polinomi contenuti nel *database di KnotInfo*.
 
-- _Trovato un errore nel nodo_ $10_125$, c'è $F[10_125]$ invece di $F[10_125]$ ovvero $F_(10_125)(1 slash a, z)$. #h(1fr)
+- _Trovato un errore nel nodo_ $10_125$: è presente $F[m(10_125)]$ invece di $F[10_125]$ ovvero $F[10_125](1 slash a, z)$. #h(1fr)
 
 == Implementazione in Python
 
@@ -1171,6 +1330,8 @@ Per il progetto di Lab. Comp. abbiamo scritto una *nuova implementazione* in _Py
   set text(15pt)
   show math.equation: set text(size: 12pt)
 
+  v(2em)
+
   grid(
     columns: 2,
     align: top,
@@ -1200,9 +1361,9 @@ Per il progetto di Lab. Comp. abbiamo scritto una *nuova implementazione* in _Py
                        + 3 a^2 + 7 + 3 / a^2
     $,
 
-    image("assets/10_125.png", height: 6cm),
+    pad(top: -2em, image("assets/untangle-10_125.png", height: 9cm)),
 
-    scale(x: -100%, image("assets/10_125.png", height: 6cm)),
+    pad(top: -2em, image("assets/untangle-10_125-mirror.png", height: 9cm)),
   )
 }