prima di cambiare le K in D
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+271
-110
@@ -288,7 +288,7 @@ Dimostreremo che per ogni diagramma di link _non orientato_ esiste un polinomio
|
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||||
_Dimostrazione._
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||||
- $w(D)$ inv. isotopia regolare $=> a^(-w(D))$ inv. isotopia regolare.
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||||
- $w(D)$ invariante di _isotopia regolare_ $=> a^(-w(D))$ invariante di _isotopia regolare_.
|
||||
|
||||
#pause
|
||||
|
||||
@@ -620,11 +620,56 @@ _Dimostrazione._
|
||||
== Considerazioni preliminari
|
||||
|
||||
#align(center)[
|
||||
Il *nodo banale standard* (o in _forma discendente_) associato $K$ è $hat(K)(cal(U), p)$:
|
||||
Il *nodo banale standard* (o in _forma discendente_) associato $D$ è $hat(D)(cal(U), p)$:
|
||||
|
||||
#v(1em)
|
||||
// #v(1em)
|
||||
|
||||
#image("assets/standard-unlink-construction.png", height: 8cm)
|
||||
|
||||
#alternatives[
|
||||
#move(dx: -1pt, image("assets/derived/std-unknot-1-cropped.jpg", height: 8cm))
|
||||
|
||||
#grid(
|
||||
columns: (1fr, 1fr, 1fr, 1fr, 1fr),
|
||||
align: center,
|
||||
[], $D$, [], $hat(D)(cal(U), p)$, [],
|
||||
)
|
||||
|
||||
$space$
|
||||
][
|
||||
#image("assets/derived/std-unknot-2-cropped.jpg", height: 8cm)
|
||||
|
||||
#grid(
|
||||
columns: (1fr, 1fr, 1fr, 1fr, 1fr),
|
||||
align: center,
|
||||
[],
|
||||
$D$,
|
||||
{
|
||||
show math.equation: set text(size: 16pt)
|
||||
$~> lambda=(6,4,2,1) ~>$
|
||||
},
|
||||
$hat(D)(cal(U), p)$,
|
||||
[],
|
||||
)
|
||||
|
||||
$space$
|
||||
][
|
||||
#image("assets/derived/std-unknot-2-cropped.jpg", height: 8cm)
|
||||
|
||||
#grid(
|
||||
columns: (1fr, 1fr, 1fr, 1fr, 1fr),
|
||||
align: center,
|
||||
[],
|
||||
$D$,
|
||||
{
|
||||
show math.equation: set text(size: 16pt)
|
||||
$~> lambda=(6,4,2,1) ~>$
|
||||
},
|
||||
$hat(D)(cal(U), p)$,
|
||||
[],
|
||||
)
|
||||
|
||||
$hat(D)(p) = S_6 S_4 S_2 S_1 D$
|
||||
]
|
||||
]
|
||||
|
||||
== Considerazioni preliminari
|
||||
@@ -761,34 +806,9 @@ _Dimostrazione._
|
||||
},
|
||||
)
|
||||
|
||||
#slide({
|
||||
{
|
||||
set align(center)
|
||||
[$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
|
||||
}
|
||||
|
||||
show math.equation: set text(size: 16pt)
|
||||
|
||||
// v(1em)
|
||||
|
||||
$
|
||||
& L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
|
||||
-(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
|
||||
& cancel(L[S_1 S_0 K]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 K]) = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K]) \
|
||||
& space dots.v \
|
||||
(-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
|
||||
$
|
||||
|
||||
v(1.5em)
|
||||
|
||||
h(4.4em)
|
||||
$display(
|
||||
=> L[K] + (-1)^n L[hat(K)(p)] =
|
||||
z sum_(i=0)^n (-1)^i (
|
||||
L[E_i S_(i-1) dotss S_0 K] + L[e_i S_(i-1) dotss S_0 K]
|
||||
)
|
||||
)$
|
||||
})
|
||||
#import "@preview/pinit:0.2.2": *
|
||||
#import "@preview/fletcher:0.5.1"
|
||||
|
||||
#slide({
|
||||
{
|
||||
@@ -815,12 +835,13 @@ _Dimostrazione._
|
||||
=> L[K] + (-1)^n L[hat(K)(p)] =
|
||||
z sum_(i=0)^n (-1)^i lr(
|
||||
(
|
||||
L lr([underbrace(E_i S_(i-1) dotss S_0 K, #place(center, $A_i^lambda$))], size: #1em) + L lr([underbrace(e_i S_(i-1) dotss S_0 K, #place(center, $B_i^lambda$))], size: #1em)
|
||||
L[E_i S_(i-1) dotss S_0 K] + L[e_i S_(i-1) dotss S_0 K]
|
||||
), size: #1em
|
||||
)
|
||||
)$
|
||||
})
|
||||
|
||||
|
||||
#slide({
|
||||
{
|
||||
set align(center)
|
||||
@@ -829,8 +850,6 @@ _Dimostrazione._
|
||||
|
||||
show math.equation: set text(size: 16pt)
|
||||
|
||||
// v(1em)
|
||||
|
||||
$
|
||||
& L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
|
||||
-(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
|
||||
@@ -844,28 +863,23 @@ _Dimostrazione._
|
||||
h(4.4em)
|
||||
$display(
|
||||
=> L[K] + (-1)^n L[hat(K)(p)] =
|
||||
z sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])
|
||||
z #h(-0.125pt) #pin(1) sum_(i=0)^n (-1)^i lr(
|
||||
(
|
||||
L[E_i S_(i-1) dotss S_0 K] + L[e_i S_(i-1) dotss S_0 K]
|
||||
), size: #1em
|
||||
) #pin(2)
|
||||
)$
|
||||
|
||||
// show math.equation: set text(size: 13pt)
|
||||
// h(1fr)
|
||||
// $display(
|
||||
// (thin #grid(
|
||||
// rows: 2,
|
||||
// gutter: 1em,
|
||||
// $A_i^lambda colon.eq E_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0$,
|
||||
// $B_i^lambda colon.eq e_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0$,
|
||||
// ))
|
||||
// )$
|
||||
// pinit-highlight(1, 2, fill: color.rgb("#0002"), dy: -1.75em, extended-height: 3.25em)
|
||||
pinit-place(
|
||||
(1,),
|
||||
dy: 1.25em,
|
||||
$
|
||||
underbrace(#h(21.5em), #move(dy: 0.75em, $display("Notazione: " sum_D (lambda(p)))$))
|
||||
$,
|
||||
)
|
||||
})
|
||||
|
||||
#let hl(bg: gray.mix(white), body) = move(dx: -5pt, dy: 1pt, rect(
|
||||
fill: bg,
|
||||
outset: (top: 0.25em, bottom: 0.5em),
|
||||
radius: 0.25em,
|
||||
body,
|
||||
))
|
||||
|
||||
#slide({
|
||||
{
|
||||
set align(center)
|
||||
@@ -874,8 +888,6 @@ _Dimostrazione._
|
||||
|
||||
show math.equation: set text(size: 16pt)
|
||||
|
||||
// v(1em)
|
||||
|
||||
$
|
||||
& L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
|
||||
-(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
|
||||
@@ -888,8 +900,8 @@ _Dimostrazione._
|
||||
|
||||
h(4.4em)
|
||||
$display(
|
||||
=> L[K] = (-1)^(n+1) L[hat(K)(p)] +
|
||||
z sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])
|
||||
=> L[K] + (-1)^n L[hat(K)(p)] =
|
||||
z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda)
|
||||
)$
|
||||
})
|
||||
|
||||
@@ -901,8 +913,6 @@ _Dimostrazione._
|
||||
|
||||
show math.equation: set text(size: 16pt)
|
||||
|
||||
// v(1em)
|
||||
|
||||
$
|
||||
& L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
|
||||
-(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
|
||||
@@ -913,23 +923,12 @@ _Dimostrazione._
|
||||
|
||||
v(1.5em)
|
||||
|
||||
v(2pt)
|
||||
|
||||
h(4.4em)
|
||||
$display(
|
||||
=> L[K] =
|
||||
#hl(
|
||||
bg: white,
|
||||
$display(
|
||||
(-1)^(abs(lambda(q))+1) L[hat(K)(p)] +
|
||||
z sum_K^text(fill: #white, n) (lambda)
|
||||
)$,
|
||||
)
|
||||
(-1)^(n+1) L[hat(K)(p)]
|
||||
+ z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda)
|
||||
)$
|
||||
|
||||
// show math.equation: set text(size: 14pt)
|
||||
// h(1fr)
|
||||
// $display((sum_K (lambda) colon.eq sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])))$
|
||||
})
|
||||
|
||||
#slide({
|
||||
@@ -940,8 +939,6 @@ _Dimostrazione._
|
||||
|
||||
show math.equation: set text(size: 16pt)
|
||||
|
||||
// v(1em)
|
||||
|
||||
$
|
||||
& L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
|
||||
-(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
|
||||
@@ -954,17 +951,187 @@ _Dimostrazione._
|
||||
|
||||
h(4.4em)
|
||||
$display(
|
||||
=> L[K] = #hl($display(
|
||||
(-1)^(abs(lambda(q))+1) L[hat(K)(p)] +
|
||||
z sum_K^text(fill: #gray.mix(white), n) (lambda)
|
||||
)$)
|
||||
=> L[K] =
|
||||
(-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)]
|
||||
+ z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda)
|
||||
)$
|
||||
})
|
||||
|
||||
#slide({
|
||||
{
|
||||
set align(center)
|
||||
[$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
|
||||
}
|
||||
|
||||
show math.equation: set text(size: 16pt)
|
||||
|
||||
$
|
||||
& L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
|
||||
-(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
|
||||
& cancel(L[S_1 S_0 K]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 K]) = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K]) \
|
||||
& space dots.v \
|
||||
(-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
|
||||
$
|
||||
|
||||
v(1.5em)
|
||||
|
||||
h(4.4em)
|
||||
$display(
|
||||
=> L[K] =
|
||||
#h(-1pt)
|
||||
#pin(1)
|
||||
(-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)]
|
||||
+ z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda)
|
||||
#pin(2)
|
||||
)$
|
||||
|
||||
// show math.equation: set text(size: 14pt, fill: white)
|
||||
// h(1fr)
|
||||
// $display((sum_K (lambda) colon.eq sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])))$
|
||||
pinit-highlight(1, 2, dy: -1.75em, dx: 3pt, extended-height: 3em, fill: rgb("#0002"))
|
||||
})
|
||||
|
||||
// // #slide({
|
||||
// // {
|
||||
// // set align(center)
|
||||
// // [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
|
||||
// // }
|
||||
|
||||
// // show math.equation: set text(size: 16pt)
|
||||
|
||||
// // // v(1em)
|
||||
|
||||
// // $
|
||||
// // & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
|
||||
// // -(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
|
||||
// // & cancel(L[S_1 S_0 K]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 K]) = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K]) \
|
||||
// // & space dots.v \
|
||||
// // (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
|
||||
// // $
|
||||
|
||||
// // v(1.5em)
|
||||
|
||||
// // h(4.4em)
|
||||
// // $display(
|
||||
// // => L[K] + (-1)^n L[hat(K)(p)] =
|
||||
// // z sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])
|
||||
// // )$
|
||||
|
||||
// // // show math.equation: set text(size: 13pt)
|
||||
// // // h(1fr)
|
||||
// // // $display(
|
||||
// // // (thin #grid(
|
||||
// // // rows: 2,
|
||||
// // // gutter: 1em,
|
||||
// // // $A_i^lambda colon.eq E_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0$,
|
||||
// // // $B_i^lambda colon.eq e_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0$,
|
||||
// // // ))
|
||||
// // // )$
|
||||
// // })
|
||||
|
||||
// #let hl(bg: gray.mix(white), body) = move(dx: -5pt, dy: 1pt, rect(
|
||||
// fill: bg,
|
||||
// outset: (top: 0.25em, bottom: 0.5em),
|
||||
// radius: 0.25em,
|
||||
// body,
|
||||
// ))
|
||||
|
||||
// #slide({
|
||||
// {
|
||||
// set align(center)
|
||||
// [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
|
||||
// }
|
||||
|
||||
// show math.equation: set text(size: 16pt)
|
||||
|
||||
// // v(1em)
|
||||
|
||||
// $
|
||||
// & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
|
||||
// -(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
|
||||
// & cancel(L[S_1 S_0 K]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 K]) = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K]) \
|
||||
// & space dots.v \
|
||||
// (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
|
||||
// $
|
||||
|
||||
// v(1.5em)
|
||||
|
||||
// h(4.4em)
|
||||
// $display(
|
||||
// => L[K] = (-1)^(n+1) L[hat(K)(p)] +
|
||||
// z sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])
|
||||
// )$
|
||||
// })
|
||||
|
||||
// #slide({
|
||||
// {
|
||||
// set align(center)
|
||||
// [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
|
||||
// }
|
||||
|
||||
// show math.equation: set text(size: 16pt)
|
||||
|
||||
// // v(1em)
|
||||
|
||||
// $
|
||||
// & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
|
||||
// -(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
|
||||
// & cancel(L[S_1 S_0 K]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 K]) = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K]) \
|
||||
// & space dots.v \
|
||||
// (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
|
||||
// $
|
||||
|
||||
// v(1.5em)
|
||||
|
||||
// v(2pt)
|
||||
|
||||
// h(4.4em)
|
||||
// $display(
|
||||
// => L[K] =
|
||||
// #hl(
|
||||
// bg: white,
|
||||
// $display(
|
||||
// (-1)^(abs(lambda(q))+1) L[hat(K)(p)] +
|
||||
// z sum_K^text(fill: #white, n) (lambda)
|
||||
// )$,
|
||||
// )
|
||||
// )$
|
||||
|
||||
// // show math.equation: set text(size: 14pt)
|
||||
// // h(1fr)
|
||||
// // $display((sum_K (lambda) colon.eq sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])))$
|
||||
// })
|
||||
|
||||
// #slide({
|
||||
// {
|
||||
// set align(center)
|
||||
// [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
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||||
// }
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||||
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||||
// show math.equation: set text(size: 16pt)
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||||
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||||
// // v(1em)
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||||
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||||
// $
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||||
// & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
|
||||
// -(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
|
||||
// & cancel(L[S_1 S_0 K]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 K]) = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K]) \
|
||||
// & space dots.v \
|
||||
// (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
|
||||
// $
|
||||
|
||||
// v(1.5em)
|
||||
|
||||
// h(4.4em)
|
||||
// $display(
|
||||
// => L[K] = #hl($display(
|
||||
// (-1)^(abs(lambda(q))+1) L[hat(K)(p)] +
|
||||
// z sum_K^text(fill: #gray.mix(white), n) (lambda)
|
||||
// )$)
|
||||
// )$
|
||||
|
||||
// // show math.equation: set text(size: 14pt, fill: white)
|
||||
// // h(1fr)
|
||||
// // $display((sum_K (lambda) colon.eq sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])))$
|
||||
// })
|
||||
|
||||
== Definizione induttiva
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||||
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||||
#slide(
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||||
@@ -972,15 +1139,19 @@ _Dimostrazione._
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||||
self => [
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||||
#let (alternatives,) = utils.methods(self)
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||||
|
||||
#set align(top)
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||||
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||||
#v(7em)
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||||
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||||
#alternatives[
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||||
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||||
*Definizione di $L_K$).* Il polinomio $L_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue:
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||||
Definiamo ora il polinomio $L_(K)(a,z)$ induttivamente come segue:
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||||
|
||||
// la definizione è sotto perché gli enumerate non vanno d'accordo con le figure
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||||
|
||||
1. Se $K$ è in _forma discendente_: $L_K (a, z) colon.eq a^w(K)$
|
||||
|
||||
2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) (con $delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1$)
|
||||
2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) $("con " delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1)$
|
||||
|
||||
3. Altrimenti $K = K_1 union dotss union K_n$:
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||||
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||||
@@ -991,31 +1162,26 @@ _Dimostrazione._
|
||||
1 / n
|
||||
sum_(i=1)^n
|
||||
((-1)^(abs(lambda(p_i))+1) delta L_(K_i) L_(K - K_i) + z sum_K (lambda(p_i)))
|
||||
)$
|
||||
) #rect(stroke: none, height: 3.5em, width: 1pt)$
|
||||
|
||||
#v(1.5em)
|
||||
|
||||
b) #h(0.35em) Se $n=1$: $display(
|
||||
L_K (a, z) colon.eq
|
||||
#rect(
|
||||
fill: gray.mix(white),
|
||||
inset: (top: 0.65em),
|
||||
outset: (top: 0.25em, bottom: 0.5em),
|
||||
radius: 0.25em,
|
||||
$display((-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)))$,
|
||||
)
|
||||
#h(-1pt) #pin(1) (-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)) #pin(2)
|
||||
// display((-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)))
|
||||
)$
|
||||
) #rect(stroke: none, height: 3.5em, width: 1pt)$
|
||||
|
||||
#pinit-highlight(1, 2, dy: -2em, dx: 3pt, extended-height: 3.75em, fill: rgb("#0002"))
|
||||
][
|
||||
|
||||
*Definizione di $L_K$).* Il polinomio $L_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue:
|
||||
Definiamo ora il polinomio $L_(K)(a,z)$ induttivamente come segue:
|
||||
|
||||
// la definizione è sotto perché gli enumerate non vanno d'accordo con le figure
|
||||
|
||||
1. Se $K$ è in _forma discendente_: $L_K (a, z) colon.eq a^w(K)$
|
||||
|
||||
2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) (con $delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1$)
|
||||
2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) $("con " delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1)$
|
||||
|
||||
3. Altrimenti $K = K_1 union dotss union K_n$:
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||||
|
||||
@@ -1026,31 +1192,24 @@ _Dimostrazione._
|
||||
1 / n
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||||
sum_(i=1)^n
|
||||
((-1)^(abs(lambda(p_i))+1) delta L_(K_i) L_(K - K_i) + z sum_K (lambda(p_i)))
|
||||
)$
|
||||
) #rect(stroke: none, height: 3.5em, width: 1pt)$
|
||||
|
||||
#v(1.5em)
|
||||
|
||||
b) #h(0.35em) Se $n=1$: $display(
|
||||
L_K (a, z) colon.eq
|
||||
#rect(
|
||||
fill: white,
|
||||
inset: (top: 0.65em),
|
||||
outset: (top: 0.25em, bottom: 0.5em),
|
||||
radius: 0.25em,
|
||||
$display((-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)))$,
|
||||
)
|
||||
(-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_D (lambda(p))
|
||||
// display((-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)))
|
||||
)$
|
||||
|
||||
) #rect(stroke: none, height: 3.5em, width: 1pt)$
|
||||
][
|
||||
|
||||
*Def (induttiva di $L_K$).* Il polinomio $L_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue:
|
||||
Definiamo ora il polinomio $L_(K)(a,z)$ induttivamente come segue:
|
||||
|
||||
// la definizione è sotto perché gli enumerate non vanno d'accordo con le figure
|
||||
|
||||
1. Se $K$ è in _forma discendente_: $L_K (a, z) colon.eq a^w(K)$
|
||||
|
||||
2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) (con $delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1$)
|
||||
2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) $("con " delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1)$
|
||||
|
||||
3. Altrimenti $K = K_1 union dotss union K_n$:
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||||
|
||||
@@ -1061,7 +1220,7 @@ _Dimostrazione._
|
||||
1 / (2n)
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||||
sum_(i=1)^n sum_(q=p_i, overline(p)_i)
|
||||
((-1)^(abs(lambda(q))+1) delta L_(K_i) L_(K - K_i) + z sum_K (lambda(q)))
|
||||
)$
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||||
) #rect(stroke: none, height: 3.5em, width: 1pt)$
|
||||
|
||||
#v(1.5em)
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||||
|
||||
@@ -1070,7 +1229,7 @@ _Dimostrazione._
|
||||
1 / 2
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||||
sum_(q = p, overline(p))
|
||||
((-1)^(abs(lambda(q))+1) L_(hat(K)(q)) + z sum_K (lambda(q)))
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||||
)$
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||||
) #rect(stroke: none, height: 3.5em, width: 1pt)$
|
||||
|
||||
]
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||||
],
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||||
@@ -1162,7 +1321,7 @@ Per il progetto di Lab. Comp. abbiamo scritto una *nuova implementazione* in _Py
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||||
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||||
- Verifica di tutti i polinomi contenuti nel *database di KnotInfo*.
|
||||
|
||||
- _Trovato un errore nel nodo_ $10_125$, c'è $F[10_125]$ invece di $F[10_125]$ ovvero $F_(10_125)(1 slash a, z)$. #h(1fr)
|
||||
- _Trovato un errore nel nodo_ $10_125$: è presente $F[m(10_125)]$ invece di $F[10_125]$ ovvero $F[10_125](1 slash a, z)$. #h(1fr)
|
||||
|
||||
== Implementazione in Python
|
||||
|
||||
@@ -1171,6 +1330,8 @@ Per il progetto di Lab. Comp. abbiamo scritto una *nuova implementazione* in _Py
|
||||
set text(15pt)
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||||
show math.equation: set text(size: 12pt)
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||||
|
||||
v(2em)
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||||
|
||||
grid(
|
||||
columns: 2,
|
||||
align: top,
|
||||
@@ -1200,9 +1361,9 @@ Per il progetto di Lab. Comp. abbiamo scritto una *nuova implementazione* in _Py
|
||||
+ 3 a^2 + 7 + 3 / a^2
|
||||
$,
|
||||
|
||||
image("assets/10_125.png", height: 6cm),
|
||||
pad(top: -2em, image("assets/untangle-10_125.png", height: 9cm)),
|
||||
|
||||
scale(x: -100%, image("assets/10_125.png", height: 6cm)),
|
||||
pad(top: -2em, image("assets/untangle-10_125-mirror.png", height: 9cm)),
|
||||
)
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
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Reference in New Issue
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