@ -663,13 +663,23 @@ Sia ora $lambda = (lambda_n, dots, lambda_0)$ una sequenza di etichette di suoi
== Forma Induttiva
=== Caso base: Nodo banale standard #margin-note[Riformulare con proposizione + dimostrazione]
Per prima cosa enunciamo un lemma che utilizzeremo più volte in seguito.
Per prima cosa osserviamo che se abbiamo il diagramma di un nodo non orientato $K$ allora, preso $p$ un qualsiasi punto di partenza direzionato, $hat(K)(cal(U), p)$ sarà un nodo banale. Esisterà quindi una sequenza di mosse di tipi I, II, III che ci porta al diagramma $#skein.unit$. Rimuovendo da questa successione tutte le mosse di tipo I e modificando le mosse II e III della successione in modo da far passare i riccioli attraverso i fili (come visto in precedenza si può fare usando alcune mosse II e III) otteniamo una successione composta solamente da mosse II e III che ci porta ad un diagramma composto solamente da riccioli.
#lemma[
Uno nodo banale standard o è composto interamente da riccioli o ammette una sequenza di mosse di tipo II e III che portano ad un nodo formato solo da riccioli.
] <std-unknot-to-curls>
#proof[
Per prima cosa osserviamo che il diagramma di un nodo non orientato $K$ allora, preso $p$ un qualsiasi punto di partenza direzionato, $hat(K)(cal(U), p)$ sarà un nodo banale. Esisterà quindi una sequenza di mosse di tipi I, II, III che ci porta al diagramma $#skein.unit$. Rimuovendo da questa successione tutte le mosse di tipo I e modificando le mosse II e III della successione in modo da far passare i riccioli attraverso i fili (come visto in precedenza si può fare usando alcune mosse II e III) otteniamo una successione composta solamente da mosse II e III che ci porta ad un diagramma composto solamente da riccioli.
]
Questa osservazione ci permette di calcolare esplicitamente $L_(hat(K)(cal(U), p))$ che può essere risolto usando solo gli assiomi #link(<kauffman-poly-def>)[ii.b), ii.c), ii.d)] ovvero quelli per $#skein.over-twist-medium$, $#skein.under-twist-medium$, $#skein.unit-medium$. Segue facilmente per induzione che $L_hat(K) (a, z) = a^w(K)$.
Vediamo ora l'idea che ci permette di trovare una formula chiusa per il polinomio $L_K$ che utilizzeremo nella dimostrazione della buona definizione.
=== Caso induttivo
=== Caso base: nodo banale standard
Utilizzando il lemma precedente possiamo mostrare che calcolare esplicitamente $L_(hat(K)(cal(U), p))$ che può essere risolto usando solo gli assiomi #link(<kauffman-poly-def>)[ii.b), ii.c), ii.d)] ovvero quelli per $#skein.over-twist-medium$, $#skein.under-twist-medium$, $#skein.unit-medium$. Segue facilmente per induzione che $L_hat(K) (a, z) = a^w(K)$.
=== Caso ricorsivo
L'idea per la definizione induttiva è di considerare dato un nodo o un link $K$ il suo nodo o link discendente standard $hat(K)$. Questo induce una sequenza di indici $lambda$ che indichiamo con $0, dots, n$. Se applichiamo incrementalmente gli scambi a $K$, ovvero consideriamo $S_i dotss S_0 K$, ed applichiamo la relazione skein principale a questi diagrammi otteniamo le seguenti relazioni
@ -881,19 +891,19 @@ Nel corso della dimostrazione tutti gli argomenti per induzione si baseranno sul
Calcoliamo ora $sum_K (lambda) - sum_K (mu)$, per prima cosa allineiamo i termini come segue:
Infine osserviamo che i termini in "z ( #blank )" sono proprio le somme incrementali sugli scambi per $E_0 K$ e $e_0 K$, dunque possiamo riscrivere l'espressione precedente come
Infine osserviamo che i termini in $z(#blank)$ sono proprio le somme incrementali sugli scambi per $E_0 K$ e $e_0 K$, dunque possiamo riscrivere l'espressione precedente come
ora possiamo applicare l'ipotesi induttiva in quanto tutti i diagrammi hanno strettamente meno di $N$ incroci. Applicando l'ipotesi induttiva per $gamma = (n, dots, 1)$ e osservando che con la convenzione di Kauffman $abs(gamma) + 1 = (n - 1) + 1 = n$, otteniamo che
Ora possiamo applicare l'ipotesi induttiva in quanto tutti i diagrammi hanno strettamente meno di $N$ incroci. Applicando l'ipotesi induttiva per $gamma = (n, dots, 1)$ e osservando che con la convenzione di Kauffman $abs(gamma) + 1 = (n - 1) + 1 = n$, otteniamo che
$
Omega_K(gamma)
@ -988,7 +1006,7 @@ Nel corso della dimostrazione tutti gli argomenti per induzione si baseranno sul
*Corollario.* Nella definizione della forma chiusa di $L_K$, il caso ii.a) non dipende dalla scelta del punto base.
#proof[
Rivediamo l'espressione in questione
Rivediamo l'espressione in questione, siano $p_i$ dei punti base direzionati sulle componenti di $K$
$
L_K (a, z) colon.eq
@ -1001,4 +1019,80 @@ Nel corso della dimostrazione tutti gli argomenti per induzione si baseranno sul
se applichiamo una $1$-rotazione alle sequenze di scambi le lunghezze non cambiano ed abbiamo appena mostrato che $sum_K (lambda(q)))$ è invariante per $1$-rotazioni.
A questo punto possiamo estendere l'invarianza per $1$-rotazioni a tutte le possibili permutazioni cicliche delle sequenze di scambi e questo ci dimostra che questo caso non dipende dalla scelta del punto base.
]
#align(center, line(stroke: 0.5pt, length: 50%))
Ora rimane da verificare l'invarianza per scelta di punto base per il caso ii.b) ovvero quando $K$ è fo per $p$ punto base direzionato su $K$.
$
L_K (a, z) colon.eq
1 / 2 [
sum_(q = p, overline(p))
((-1)^(abs(lambda(q))+1) L[hat(K)(lambda(q))] + z sum_K (lambda(q)))
]
$
#lemma[
Consideriamo i due modi di fare uno splice di un nodo banale standard al primo incrocio subito dopo un punto base direzionato. Ci sono due casi: in uno otteniamo due nodi banali in forma standard, nell'altro un solo nodo banale (non necessariamente in forma standard).
]
#proof[
#todo[work in progress]
]
#lemma[
La proprietà del lemma @std-unknot-to-curls si estende al diagramma $e_i hat(K)$.
]
#proof[
#todo[work in progress]
]
#lemma[
Sia $p$ un punto di partenza direzionato e $hat(K) colon.eq hat(K)(cal(U), p)$ un nodo banale standard. Sia $i$ il primo incrocio in $K$ subito dopo il punto di partenza $p$. Sia $q$ un altro punto base direzionato posto nell'arco subito dopo l'incrocio $i$ con la sua stessa direzione e poniamo $hat(K)' colon.eq hat(K)(cal(U), q)$. Allora valgono le seguenti proprietà
1. Per definizione di nodo banale standard $hat(K)(cal(U), q) = S_i hat(K)(cal(U), p)$ poiché l'incrocio $i$ in $hat(K)(cal(U), p)$ compare come sopra-incrocio mentre in $hat(K)(cal(U), q)$ è l'ultimo incrocio visitato quindi è certamente la seconda occorrenza di $i$ quindi è un sotto-incrocio. Tutti gli altri incroci compaiono nello stesso ordine quindi restano invariati.
2. Per questo secondo punto usiamo che $L_hat(K) = a^w(hat(K))$, assumiamo ora che tra $E_i hat(K)$ e $e_i hat(K)$ il primo sia il caso con due componenti composte da nodi banali standard ed il secondo quello con una sola componente di un nodo banale.
Supponiamo che $w(e_i hat(K)) = w$, allora in quanto abbiamo solo rimosso un incrocio necessariamente
$
{w(hat(K)), w(S_i hat(K))} = {w-1, w+1}
$
ovvero i writhe di $hat(K)$ e $S_i hat(K)$ differiscono di $2$, assumiamo di essere nel caso $w(hat(K)) = w - 1$.
Analogamente $E_i hat(K)$ avrà due componenti dunque $K = K_1 hash K_2$, ognuna con writhe rispettivamente $w_1$ e $w_2$. Per il teorema della curva di Jordan, la somma dei segni degli incroci tra componenti diverse ha somma zero poiché una delle due _sovrasta_ l'altra dunque $w_1 + w_2 = w$.
$
L[hat(K)] &= a^(w+1) \
L[S_i hat(K)] &= a^(w-1) \
L[e_i hat(K)] &= a^w \
L[E_i hat(K)] &= d a^(w_1) a^(w_2) = d a^(w_1 + w_2) = d a^w = (a^(w+1) + a^(w-1))/z - a^w
