@ -1156,29 +1156,41 @@ La dimostrazione procede sempre mostrando l'indipendenza dalla scelta di punto b
// Questo segue semplicemente sommando le espressioni per $L[K]$ e $L[S_i K]$.
#diff-add[
Dimostriamo ora il seguente lemma nel caso più semplice di aver definito $L_K$ rispetto ad una sola orientazione ovvero, dato $p$ punto base e $0$ indice del primo incrocio nella sequenza di scambi indotta da $p$:
Enunciamo ora il seguente enunciato nel caso di aver definito $L_K$ rispetto ad una sola orientazione ovvero, dato $p$ punto base e $i$ un indice nella sequenza di scambi indotta da $p$:
$
L_K (a, z) & colon.eq
(-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(lambda(p))] + z sum_K (lambda(p)) \
& = z (L[E_0 K] + L[e_0 K]) - L[S_0 K]
& = z (L[E_i K] + L[e_i K]) - L[S_i K]
$
l'ultima uguaglianza segue semplicemente considerando $L[K]$ e $L[S_0 K]$ e sottraendo membro a membro.
l'ultima uguaglianza segue considerando $L[K]$ e $L[S_i K]$ e sottraendo membro a membro.
#lemma[
#fact[
Se $K$ è un diagramma di link e ammette una funzione di slacciamento allora $L_K = a^w(K)$.
]
#proof[
Se i punti a valle in $K$ precedono immediatamente i rispettivi punti base allora i diagrammi sono in forma discendente e possiamo utilizzare direttamente la @kauffman-rec-inductive-def di $L_K$ nel caso @kauffman-rec-i. Procediamo per sotto-induzione sul numero totale di incroci e sulla distanza dei punti a valle dai punti base.
Per una dimostrazione di questo fatto si rimanda a @lickorish1997introduction[pag. 175-176].
Per prima cosa osserviamo che possiamo ignorare gli incroci tra componenti diverse. L'esistenza di una funzione di slacciamento ci induce un ordinamento delle componenti e per il teorema della curva di Jordan tutti i segni degli incroci tra componenti diverse si cancellano.
// #proof[
// Se i punti a valle in $K$ precedono immediatamente i rispettivi punti base allora i diagrammi sono in forma discendente e possiamo utilizzare direttamente la @kauffman-rec-inductive-def di $L_K$ nel caso @kauffman-rec-i. Procediamo per sotto-induzione sul numero totale di incroci e sulla distanza dei punti a valle dai punti base.
Consideriamo ora una singola componente, sia $i$ il primo incrocio dopo il punto a valle $b$.
// Per prima cosa osserviamo che possiamo ignorare gli incroci tra componenti diverse. L'esistenza di una funzione di slacciamento ci induce un ordinamento delle componenti e per il teorema della curva di Jordan tutti i segni degli incroci tra componenti diverse si cancellano.
- Se partendo da $b$, l'incrocio $i$ è un sotto-incrocio, $h$ può essere modificata
]
// Consideriamo ora una singola componente, sia $i$ il primo incrocio dopo il punto a valle $b$, ci sono due casi in base a come appare partendo da $b$:
// - Se è un sotto-incrocio, $h$ può essere modificata in modo da essere decrescente da $b$ fino a subito dopo $i$ in modo che sia ancora una funzione di slacciamento.
// Dunque $L_K = a^w(K)$ per sotto-induzione in quanto $K$ con la nuova funzione di slacciamento ha il punto $b$ di un incrocio più vicino al punto di base.
// - Se è un sopra-incrocio deve essere necessariamente un punto in cui una parte della componente in cui andiamo dal punto base verso $b$. Segue dalle proprietà di monotonicità di $h$.
// In questo caso calcoliamo $L_K$ usando la proprietà $(*)$ applicata all'incrocio $i$.
// - Scambiare l'incrocio dà un diagramma $K'$ in cui possiamo spostare il punto $b$ più vicino al punto base e dunque per induzione $L_K' = a^w(K')$.
// - I diagrammi con i due tipi di splice hanno $n-1$ incroci ed ammettono delle funzioni di slacciamento, dunque anche loro sono noti per induzione
// ]
#fact[
L'enunciato precedente si generalizza anche con la nostra definizione di $L_K$ che prende in considerazione entrambe le direzioni. La dimostrazione è analoga ma serve tenere conto di come si presentano gli incroci in entrambe le direzioni.
@ -1190,11 +1202,12 @@ La dimostrazione procede sempre mostrando l'indipendenza dalla scelta di punto b
1. Ci sono due casi, in uno otteniamo _due nodi banali in forma standard_, nell'altro _un solo nodo banale_ (non necessariamente in forma discendente).
2. #diff-del[La proprietà del @std-unknot-to-curls, ovvero che i nodi banali standard sono equivalenti a meno di isotopia regolare a diagrammi di nodi formati solo da riccioli, si estende al diagramma del caso dello splice con una sola componente.]
#diff-add[
2. #diff-add[
Il caso di splice con una sola componente ammette una funzione di slacciamento.
]
// #diff-del[La proprietà del @std-unknot-to-curls, ovvero che i nodi banali standard sono equivalenti a meno di isotopia regolare a diagrammi di nodi formati solo da riccioli, si estende al diagramma del caso dello splice con una sola componente.]
