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Antonio De Lucreziis 11 months ago
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@ -4,6 +4,9 @@
#import "@preview/fletcher:0.5.4" as fletcher: edge, node
#import "@preview/numbly:0.1.0": numbly
#import "@preview/pinit:0.2.2": *
#import "@preview/fletcher:0.5.1"
#import "skein.typ": *
#let cetz-canvas = touying-reducer.with(reduce: cetz.canvas, cover: cetz.draw.hide.with(bounds: true))
@ -131,7 +134,7 @@ Dimostreremo che per ogni diagramma di link _non orientato_ esiste un polinomio
#v(1em)
*Prop.* $F_K$ invariante di isotopia ambiente.
*Prop.* $F_D$ invariante di isotopia ambiente.
_Dimostrazione._
@ -146,11 +149,11 @@ _Dimostrazione._
// stroke: 1pt,
[
$F[ #skein.over-twist-large ] = pause a^(-w(#skein.over-twist)) dot L[ #skein.over-twist-large ]$
$F[ #skein.over-twist-large ] = a^(-w(#skein.over-twist)) dot L[ #skein.over-twist-large ]$
],
{
show math.equation: set text(size: 15pt)
$pause L[#skein.over-twist] = a L[#skein.strand], quad w(#skein.over-twist) = w(#skein.strand) + 1$
show math.equation: set text(size: 16pt)
$pause lr((L[#skein.over-twist] = a L[#skein.strand], quad w(#skein.over-twist) = w(#skein.strand) + 1), size: #1.5em)$
},
$pause #h(3.9em) = a^(-w(#skein.strand) - 1) dot a L[ #skein.strand-large ]$, [],
@ -343,7 +346,7 @@ _Dimostrazione._
$
$
~> L[K_1 union.sq K_2] = delta L[K_1] L[K_2]
~> L[D_1 union.sq D_2] = delta L[D_1] L[D_2]
$
},
)
@ -385,7 +388,7 @@ _Dimostrazione._
$
$
~> L[K_1 union.sq K_2] = delta L[K_1] L[K_2]
~> L[D_1 union.sq D_2] = delta L[D_1] L[D_2]
$
},
)
@ -456,7 +459,7 @@ _Dimostrazione._
== Considerazioni preliminari
#align(center)[
Il *nodo banale standard* (o in _forma discendente_) associato $D$ è $hat(D)(cal(U), p)$:
Il *nodo banale standard* (o in _forma discendente_) associato a $D$ è $hat(D)(cal(U), p)$:
#alternatives[
#move(dx: -1pt, image("assets/derived/std-unknot-1-cropped.jpg", height: 8cm))
@ -510,7 +513,7 @@ _Dimostrazione._
#slide({
set align(center)
[$D$ un diagramma di un nodo, $i$ etichetta di uno degli incroci]
[Sia $D$ un diagramma di un nodo, $i$ etichetta di uno degli incroci:]
v(1.5em)
@ -548,7 +551,7 @@ _Dimostrazione._
})
},
$K$, $S_i K$, $E_i K$, $e_i K$,
$D$, $S_i D$, $E_i D$, $e_i D$,
)
})
@ -563,41 +566,41 @@ _Dimostrazione._
{
set align(center)
[$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
[Sia $p$ punto base direzionato, $lambda = (n, dots, 0)$ una sequenza di scambi che porta $D$ a $hat(D)(p)$:]
}
show math.equation: set text(size: 16pt)
show math.equation: set text(size: 18pt)
only(
"1-4",
$
& L[K] + L[S_0 K] = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
& pause L[S_0 K] + L[S_1 S_0 K] = z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
& pause L[S_1 S_0 K] + L[S_2 S_1 S_0 K] = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K] ) \
& L[D] + L[S_0 D] = z( L[E_0 D] + L[e_0 D] ) \
& pause L[S_0 D] + L[S_1 S_0 D] = z( L[E_1 S_0 D] + L[e_1 S_0 D] ) \
& pause L[S_1 S_0 D] + L[S_2 S_1 S_0 D] = z( L[E_1 S_1 S_0 D] + L[e_1 S_1 S_0 D] ) \
& space dots.v \
& pause L[S_(n-1) dotss S_0 K] + L [hat(K)(p)] = z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
& pause L[S_(n-1) dotss S_0 D] + L [hat(D)(p)] = z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 D] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 D])
$,
)
only(
5,
$
& L[K] + L[S_0 K] = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
-( & L[S_0 K] + L[S_1 S_0 K]) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
& L[S_1 S_0 K] + L[S_2 S_1 S_0 K] = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K] ) \
& L[D] + L[S_0 D] = z( L[E_0 D] + L[e_0 D] ) \
-( & L[S_0 D] + L[S_1 S_0 D]) = -z( L[E_1 S_0 D] + L[e_1 S_0 D] ) \
& L[S_1 S_0 D] + L[S_2 S_1 S_0 D] = z( L[E_1 S_1 S_0 D] + L[e_1 S_1 S_0 D] ) \
& space dots.v \
(-1)^n ( & L[S_(n-1) dotss S_0 K] + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
(-1)^n ( & L[S_(n-1) dotss S_0 D] + L [hat(D)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 D] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 D])
$,
)
only(
6,
$
& L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
-(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
& cancel(L[S_1 S_0 K]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 K]) = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K]) \
& L[D] + cancel(L[S_0 D]) = z( L[E_0 D] + L[e_0 D] ) \
-(& cancel(L[S_0 D]) + cancel(L[S_1 S_0 D])) = -z( L[E_1 S_0 D] + L[e_1 S_0 D] ) \
& cancel(L[S_1 S_0 D]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 D]) = z( L[E_1 S_1 S_0 D] + L[e_1 S_1 S_0 D]) \
& space dots.v \
(-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
(-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 D]) + L [hat(D)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 D] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 D])
$,
)
@ -608,193 +611,244 @@ _Dimostrazione._
h(4.4em)
$display(
=> L[K] + (-1)^n L[hat(K)(p)] =
=> L[D] + (-1)^n L[hat(D)(p)] =
z sum_(i=0)^n (-1)^i (
L[E_i S_(i-1) dotss S_0 K] + L[e_i S_(i-1) dotss S_0 K]
L[E_i S_(i-1) dotss S_0 D] + L[e_i S_(i-1) dotss S_0 D]
)
)$
}
},
)
#import "@preview/pinit:0.2.2": *
#import "@preview/fletcher:0.5.1"
#slide({
{
set align(center)
[$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
[Sia $p$ punto base direzionato, $lambda = (n, dots, 0)$ una sequenza di scambi che porta $D$ a $hat(D)(p)$:]
}
show math.equation: set text(size: 16pt)
show math.equation: set text(size: 18pt)
$
& L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
-(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
& cancel(L[S_1 S_0 K]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 K]) = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K]) \
& L[D] + cancel(L[S_0 D]) = z( L[E_0 D] + L[e_0 D] ) \
-(& cancel(L[S_0 D]) + cancel(L[S_1 S_0 D])) = -z( L[E_1 S_0 D] + L[e_1 S_0 D] ) \
& cancel(L[S_1 S_0 D]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 D]) = z( L[E_1 S_1 S_0 D] + L[e_1 S_1 S_0 D]) \
& space dots.v \
(-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
(-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 D]) + L [hat(D)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 D] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 D])
$
v(1.5em)
h(4.4em)
$display(
=> L[K] + (-1)^n L[hat(K)(p)] =
=> L[D] + (-1)^n L[hat(D)(p)] =
z sum_(i=0)^n (-1)^i lr(
(
L[E_i S_(i-1) dotss S_0 K] + L[e_i S_(i-1) dotss S_0 K]
L[E_i S_(i-1) dotss S_0 D] + L[e_i S_(i-1) dotss S_0 D]
), size: #1em
)
)$
})
#slide({
{
set align(center)
[$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
}
show math.equation: set text(size: 16pt)
$
& L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
-(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
& cancel(L[S_1 S_0 K]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 K]) = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K]) \
& space dots.v \
(-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
$
#slide(
repeat: 5,
self => {
let (alternatives,) = utils.methods(self)
v(1.5em)
{
set align(center)
[Sia $p$ punto base direzionato, $lambda = (n, dots, 0)$ una sequenza di scambi che porta $D$ a $hat(D)(p)$:]
}
h(4.4em)
$display(
=> L[K] + (-1)^n L[hat(K)(p)] =
z #h(-0.125pt) #pin(1) sum_(i=0)^n (-1)^i lr(
(
L[E_i S_(i-1) dotss S_0 K] + L[e_i S_(i-1) dotss S_0 K]
), size: #1em
) #pin(2)
)$
show math.equation: set text(size: 18pt)
pinit-place(
(1,),
dy: 1.25em,
$
underbrace(#h(21.5em), #move(dy: 0.75em, $display("Notazione: " sum_D (lambda(p)))$))
$,
)
})
#slide({
{
set align(center)
[$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
}
show math.equation: set text(size: 16pt)
$
& L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
-(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
& cancel(L[S_1 S_0 K]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 K]) = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K]) \
& space dots.v \
(-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
$
v(1.5em)
h(4.4em)
$display(
=> L[K] + (-1)^n L[hat(K)(p)] =
z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda)
)$
})
#slide({
{
set align(center)
[$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
}
show math.equation: set text(size: 16pt)
$
& L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
-(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
& cancel(L[S_1 S_0 K]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 K]) = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K]) \
& space dots.v \
(-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
$
v(1.5em)
h(4.4em)
$display(
=> L[K] =
(-1)^(n+1) L[hat(K)(p)]
+ z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda)
)$
})
#slide({
{
set align(center)
[$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
}
show math.equation: set text(size: 16pt)
$
& L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
-(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
& cancel(L[S_1 S_0 K]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 K]) = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K]) \
& space dots.v \
(-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
$
& L[D] + cancel(L[S_0 D]) = z( L[E_0 D] + L[e_0 D] ) \
-(& cancel(L[S_0 D]) + cancel(L[S_1 S_0 D])) = -z( L[E_1 S_0 D] + L[e_1 S_0 D] ) \
& cancel(L[S_1 S_0 D]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 D]) = z( L[E_1 S_1 S_0 D] + L[e_1 S_1 S_0 D]) \
& space dots.v \
(-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 D]) + L [hat(D)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 D] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 D])
$
v(1.5em)
v(1.5em)
h(4.4em)
$display(
=> L[K] =
(-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)]
+ z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda)
)$
})
h(4.4em)
#slide({
{
set align(center)
[$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
}
alternatives(
{
show math.equation: set text(size: 18pt)
$display(
=> L[D] + (-1)^n L[hat(D)(p)] =
z #h(-0.125pt) #pin(1) sum_(i=0)^n (-1)^i lr(
(
L[E_i S_(i-1) dotss S_0 D] + L[e_i S_(i-1) dotss S_0 D]
), size: #1em
) #pin(2)
)$
pinit-place(
(1,),
dy: 1.25em,
$
underbrace(
#h(21.5em), #{
show math.equation: set text(size: 16pt)
show math.equation: set text(size: 16pt)
move(dy: 0.75em, $display("Notazione: " sum_D (lambda(p)))$)
}
)
$,
)
},
{
show math.equation: set text(size: 18pt)
$
& L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
-(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
& cancel(L[S_1 S_0 K]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 K]) = z( L[E_1 S_1 S_0 K] + L[e_1 S_1 S_0 K]) \
& space dots.v \
(-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
$
$display(
=> L[D] + (-1)^n L[hat(D)(p)] =
z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda(p))
)$
},
{
show math.equation: set text(size: 18pt)
v(1.5em)
$display(
=> L[D] =
(-1)^(n+1) L[hat(D)(p)]
+ z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda(p))
)$
},
{
show math.equation: set text(size: 18pt)
h(4.4em)
$display(
=> L[K] =
#h(-1pt)
#pin(1)
(-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)]
+ z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda)
#pin(2)
)$
$display(
=> L[D] =
(-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(D)(p)]
+ z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda(p))
)$
},
{
show math.equation: set text(size: 18pt)
$display(
=> L[D] =
#h(-1pt)
#pin(1)
(-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(D)(p)]
+ z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda(p))
#pin(2)
)$
pinit-highlight(1, 2, dy: -1.75em, dx: 3pt, extended-height: 3em, fill: rgb("#0002"))
},
)
},
)
pinit-highlight(1, 2, dy: -1.75em, dx: 3pt, extended-height: 3em, fill: rgb("#0002"))
})
// #slide({
// {
// set align(center)
// [Sia $p$ punto base direzionato, $lambda = (n, dots, 0)$ una sequenza di scambi che porta $D$ a $hat(D)(p)$:]
// }
// show math.equation: set text(size: 18pt)
// $
// & L[D] + cancel(L[S_0 D]) = z( L[E_0 D] + L[e_0 D] ) \
// -(& cancel(L[S_0 D]) + cancel(L[S_1 S_0 D])) = -z( L[E_1 S_0 D] + L[e_1 S_0 D] ) \
// & cancel(L[S_1 S_0 D]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 D]) = z( L[E_1 S_1 S_0 D] + L[e_1 S_1 S_0 D]) \
// & space dots.v \
// (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 D]) + L [hat(D)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 D] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 D])
// $
// v(1.5em)
// h(4.4em)
// })
// #slide({
// {
// set align(center)
// [Sia $p$ punto base direzionato, $lambda = (n, dots, 0)$ una sequenza di scambi che porta $D$ a $hat(D)(p)$:]
// }
// show math.equation: set text(size: 18pt)
// $
// & L[D] + cancel(L[S_0 D]) = z( L[E_0 D] + L[e_0 D] ) \
// -(& cancel(L[S_0 D]) + cancel(L[S_1 S_0 D])) = -z( L[E_1 S_0 D] + L[e_1 S_0 D] ) \
// & cancel(L[S_1 S_0 D]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 D]) = z( L[E_1 S_1 S_0 D] + L[e_1 S_1 S_0 D]) \
// & space dots.v \
// (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 D]) + L [hat(D)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 D] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 D])
// $
// v(1.5em)
// h(4.4em)
// $display(
// => L[D] =
// (-1)^(n+1) L[hat(D)(p)]
// + z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda(p))
// )$
// })
// #slide({
// {
// set align(center)
// [Sia $p$ punto base direzionato, $lambda = (n, dots, 0)$ una sequenza di scambi che porta $D$ a $hat(D)(p)$:]
// }
// show math.equation: set text(size: 18pt)
// $
// & L[D] + cancel(L[S_0 D]) = z( L[E_0 D] + L[e_0 D] ) \
// -(& cancel(L[S_0 D]) + cancel(L[S_1 S_0 D])) = -z( L[E_1 S_0 D] + L[e_1 S_0 D] ) \
// & cancel(L[S_1 S_0 D]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 D]) = z( L[E_1 S_1 S_0 D] + L[e_1 S_1 S_0 D]) \
// & space dots.v \
// (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 D]) + L [hat(D)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 D] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 D])
// $
// v(1.5em)
// h(4.4em)
// $display(
// => L[D] =
// (-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(D)(p)]
// + z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda(p))
// )$
// })
// #slide({
// {
// set align(center)
// [Sia $p$ punto base direzionato, $lambda = (n, dots, 0)$ una sequenza di scambi che porta $D$ a $hat(D)(p)$:]
// }
// show math.equation: set text(size: 18pt)
// $
// & L[D] + cancel(L[S_0 D]) = z( L[E_0 D] + L[e_0 D] ) \
// -(& cancel(L[S_0 D]) + cancel(L[S_1 S_0 D])) = -z( L[E_1 S_0 D] + L[e_1 S_0 D] ) \
// & cancel(L[S_1 S_0 D]) + cancel(L[S_2 S_1 S_0 D]) = z( L[E_1 S_1 S_0 D] + L[e_1 S_1 S_0 D]) \
// & space dots.v \
// (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 D]) + L [hat(D)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 D] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 D])
// $
// v(1.5em)
// h(4.4em)
// $display(
// => L[D] =
// #h(-1pt)
// #pin(1)
// (-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(D)(p)]
// + z sum_D^text(fill: #white, n) (lambda(p))
// #pin(2)
// )$
// pinit-highlight(1, 2, dy: -1.75em, dx: 3pt, extended-height: 3em, fill: rgb("#0002"))
// })
== Definizione induttiva
@ -809,83 +863,83 @@ _Dimostrazione._
#alternatives[
Definiamo ora il polinomio $L_(K)(a,z)$ induttivamente come segue:
Definiamo ora il polinomio $L_(D)(a,z)$ induttivamente come segue:
1. Se $K$ è in _forma discendente_: $L_K (a, z) colon.eq a^w(K)$
1. Se $D$ è in _forma discendente_: $L_D (a, z) colon.eq a^w(D)$
2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) $("con " delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1)$
2. Se $D = D_1 union D_2$: $L(D_1 union D_2) colon.eq delta L(D_1) L(D_2)$ #h(1fr) $("con " delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1)$
3. Altrimenti $K = K_1 union dotss union K_n$:
3. Altrimenti $D = D_1 union dotss union D_n$:
#v(0.75em)
a) #h(0.35em) Se $n > 1$: $display(
L_K (a, z) colon.eq
L_D (a, z) colon.eq
1 / n
sum_(i=1)^n
((-1)^(abs(lambda(p_i))+1) delta L_(K_i) L_(K - K_i) + z sum_K (lambda(p_i)))
((-1)^(abs(lambda(p_i))+1) delta L_(D_i) L_(D - D_i) + z sum_D (lambda(p_i)))
) #rect(stroke: none, height: 3.5em, width: 1pt)$
#v(1.5em)
b) #h(0.35em) Se $n=1$: $display(
L_K (a, z) colon.eq
#h(-1pt) #pin(1) (-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)) #pin(2)
// display((-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)))
L_D (a, z) colon.eq
#h(-1pt) #pin(1) (-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(D)(p)] + z sum_D (lambda(p)) #pin(2)
// display((-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(D)(p)] + z sum_D (lambda(p)))
) #rect(stroke: none, height: 3.5em, width: 1pt)$
#pinit-highlight(1, 2, dy: -2em, dx: 3pt, extended-height: 3.75em, fill: rgb("#0002"))
#pinit-highlight(1, 2, dy: -2em, dx: 3pt, extended-height: 3.5em, fill: rgb("#0002"))
][
Definiamo ora il polinomio $L_(K)(a,z)$ induttivamente come segue:
Definiamo ora il polinomio $L_(D)(a,z)$ induttivamente come segue:
1. Se $K$ è in _forma discendente_: $L_K (a, z) colon.eq a^w(K)$
1. Se $D$ è in _forma discendente_: $L_D (a, z) colon.eq a^w(D)$
2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) $("con " delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1)$
2. Se $D = D_1 union D_2$: $L(D_1 union D_2) colon.eq delta L(D_1) L(D_2)$ #h(1fr) $("con " delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1)$
3. Altrimenti $K = K_1 union dotss union K_n$:
3. Altrimenti $D = D_1 union dotss union D_n$:
#v(0.75em)
a) #h(0.35em) Se $n > 1$: $display(
L_K (a, z) colon.eq
L_D (a, z) colon.eq
1 / n
sum_(i=1)^n
((-1)^(abs(lambda(p_i))+1) delta L_(K_i) L_(K - K_i) + z sum_K (lambda(p_i)))
((-1)^(abs(lambda(p_i))+1) delta L_(D_i) L_(D - D_i) + z sum_D (lambda(p_i)))
) #rect(stroke: none, height: 3.5em, width: 1pt)$
#v(1.5em)
b) #h(0.35em) Se $n=1$: $display(
L_K (a, z) colon.eq
(-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_D (lambda(p))
L_D (a, z) colon.eq
(-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(D)(p)] + z sum_D (lambda(p))
) #rect(stroke: none, height: 3.5em, width: 1pt)$
][
Definiamo ora il polinomio $L_(K)(a,z)$ induttivamente come segue:
Definiamo ora il polinomio $L_(D)(a,z)$ induttivamente come segue:
1. Se $K$ è in _forma discendente_: $L_K (a, z) colon.eq a^w(K)$
1. Se $D$ è in _forma discendente_: $L_D (a, z) colon.eq a^w(D)$
2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) $("con " delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1)$
2. Se $D = D_1 union D_2$: $L(D_1 union D_2) colon.eq delta L(D_1) L(D_2)$ #h(1fr) $("con " delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1)$
3. Altrimenti $K = K_1 union dotss union K_n$:
3. Altrimenti $D = D_1 union dotss union D_n$:
#v(0.75em)
a) #h(0.35em) Se $n > 1$: $display(
L_K (a, z) colon.eq
L_D (a, z) colon.eq
1 / (2n)
sum_(i=1)^n sum_(q=p_i, overline(p)_i)
((-1)^(abs(lambda(q))+1) delta L_(K_i) L_(K - K_i) + z sum_K (lambda(q)))
((-1)^(abs(lambda(q))+1) delta L_(D_i) L_(D - D_i) + z sum_D (lambda(q)))
) #rect(stroke: none, height: 3.5em, width: 1pt)$
#v(1.5em)
b) #h(0.35em) Se $n=1$: $display(
L_K (a, z) colon.eq
L_D (a, z) colon.eq
1 / 2
sum_(q = p, overline(p))
((-1)^(abs(lambda(q))+1) L_(hat(K)(q)) + z sum_K (lambda(q)))
((-1)^(abs(lambda(q))+1) L_(hat(D)(q)) + z sum_D (lambda(q)))
) #rect(stroke: none, height: 3.5em, width: 1pt)$
]
@ -902,19 +956,19 @@ _Dimostrazione._
#set list(spacing: 1.5em)
#set enum(numbering: "a)", spacing: 1.5em)
*Ipotesi induttiva.* Dimostreremo induttivamente le seguenti proprietà: per ogni diagramma di link $K$ con $< N$ incroci e per diagrammi contenenti $#skein.over-twist-large$ con $< N$ incroci:
*Ipotesi induttiva.* Dimostreremo induttivamente le seguenti proprietà: per ogni diagramma di link $D$ con $< N$ incroci e per diagrammi contenenti $#skein.over-twist-large$ con $< N$ incroci:
1. $L_K$ è ben definito (non dipende dalla scelta di punto base).
1. $L_D$ è ben definito (non dipende dalla scelta di punto base).
2. $L_K$ verifica gli assiomi:
2. $L_D$ verifica gli assiomi:
- $L[K] + L[S_i K] = z ( L[e_i K] + L[E_i K] )$
- $L[D] + L[S_i D] = z ( L[e_i D] + L[E_i D] )$
- $L[#skein.over-twist-large] = a L [#skein.strand-large]$, $L[#skein.under-twist-large] = a^(-1) L [#skein.strand-large]$
3. $L_K$ è invariante per mosse di tipo II e III che non aumentano il numero di incroci.
3. $L_D$ è invariante per mosse di tipo II e III che non aumentano il numero di incroci.
4. Per certi diagrammi vale $L_K = a^w(K)$
4. Per certi diagrammi vale $L_D = a^w(D)$.
]
== Dimostrazione buona definizione
@ -926,9 +980,9 @@ _Dimostrazione._
_Dimostrazione._
1. $L_K$ è ben definito (non dipende dalla scelta di punto base)
1. $L_D$ è ben definito (non dipende dalla scelta di punto base)
- Invarianza $sum_K (lambda)$ per rotazioni
- Invarianza $sum_D (lambda(p))$ per rotazioni
- Caso più componenti
@ -936,45 +990,38 @@ _Dimostrazione._
- Splice di un nodo in forma discendente
- Assiomi di $L_K$ per nodi in forma discendente
- Assiomi di $L_D$ per nodi in forma discendente
2. $L_K$ verifica gli assiomi
2. $L_D$ verifica gli assiomi
3. $L_K$ è invariante per mosse di tipo II e III che non aumentano il numero di incroci
3. $L_D$ è invariante per mosse di tipo II e III che non aumentano il numero di incroci
4. Per certi diagrammi vale $L_K = a^w(K)$
4. Per certi diagrammi vale $L_D = a^w(D)$.
]
== Dimostrazione buona definizione
= Laboratorio Computazionale
== Implementazione in Python
#show raw: set text(size: 15pt)
#set par(spacing: 1.5em)
#set list(spacing: 1.5em)
#set enum(numbering: "a)", spacing: 1.5em)
Implementazioni esistenti:
- *KnotScape*: scritto in C, degli anni \~1990.
- *KnotScape* -- scritto in C, degli anni \~1990
- *KnotTheory*: ultimo aggiornamento \~2010, per Mathematica.
- *KnotTheory* -- ultimo aggiornamento \~2010, per Wolfram Mathematica
#pause
Per il progetto di Lab. Comp. abbiamo scritto una *nuova implementazione* in _Python_ open source:
Per il progetto di Laboratorio Computazionale abbiamo scritto una *nuova implementazione* in *Python* open source:
- Rappresentazione di nodi attraverso *codici PD* e *SG*.
- Strutture dati per la rappresentazione di nodi con *codici P.D.* e *S.G.*
- Algoritmo per il calcolo di $L_K$ e $F_K$.
- Algoritmo per il calcolo di $L_D$ e $F_D$
#pause
- Verifica di tutti i polinomi contenuti nel *database di KnotInfo*.
- Verifica di tutti i polinomi contenuti nel *database di KnotInfo* (\~7K tra nodi e link, \~20min)
#pause
- _Trovato un errore nel nodo_ $10_125$: è presente $F[m(10_125)]$ invece di $F[10_125]$ ovvero $F[10_125](1 slash a, z)$. #h(1fr)

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