// *Def.* $X, Y$ spazi topologici, $f : X arrow Y$ continua è *embedding* se $X approx f(X) subset Y$.
// *Def.* $f : X arrow Y$ embedding, $p in X$ allora $f$ è *localmente piatto* in $p$ se esiste $U subset bb(R)^3$ intorno di $p$ tale che $U approx DD^2 times [0,1]$ e $U inter f(X) <-> {0} times [0, 1]$.
// \
*Nodo.* $K subset bb(R)^3$ è un *nodo (tame)* se $exists f : bb(S)^1 arrow.hook bb(R)^3$ _embedding loc. piatto_ con $K = f(bb(S)^1)$.
@ -72,8 +47,6 @@
#pause
// *Def.* $K_0, K_1 subset bb(R)^3$ sono *equivalenti* se esiste un'*isotopia ambiente* che porta uno nell'altro, ovvero esiste continua, tale che:
\
*Def.* $K_0, K_1$ sono equivalenti se $exists H : bb(R)^3 times [0, 1] arrow bb(R)^3$ *isotopia ambiente*, ovvero tale che:
@ -86,71 +59,23 @@ e posta $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha:
- $H_1(K_0) = K_1$
// == Introduzione
// *Def.* Un *nodo poligonale* è un nodo equivalente ad un'unione finita di segmenti lineari.
// *Fatto (Crowell).* Dato un nodo $K subset bb(R)^3$, $K$ è *nodo (tame)* $<=>$ $K$ è *poligonale*.
#pause
\
*Def.* Un *diagramma* $D subset bb(R)^2$ proviene da un link $L subset RR^3$ attraverso una proiezione regolare. I punti doppi del diagramma sono detti *incroci*.
// di un link $L subset bb(R)^3$ è l'immagine di $L$ attraverso una proiezione decorata con l'informazione sopra/sotto ad ogni incrocio.
// *Esistenza Proiezioni Regolari.* Sia $L subset bb(R)^3$ _link poligonale_, allora esiste un aperto denso $U$ tale che $forall v in U subset SS^2$, la proiezione sul piano $v^perp approx RR^2$ è regolare.
// - $x in pi_v (L) subset v^perp$ tale che $abs(pi^(-1)_v (x)) = 2$ sono detti *incroci*.
// 2. Se $x in pi_v (L)$ è tale che $abs(pi^(-1)(x)) > 1$, ovvero è un punto *singolare*, allora:
// - $pi_v^(-1)(x)$ non contiene vertici di $L$
// - $abs(pi^(-1)(x)) = 2$ ovvero è un *punto doppio*, questi sono gli *incroci* della proiezione.
// - $x$ è un punto di intersezione trasversa
// Gli altri punti sono detti *regolari*.
// ],
// )
== Teorema di Reidemeister
// #grid(
// columns: (1fr, auto),
// gutter: 1em,
// align: top,
// [
// ],
// ,
// )
*Mosse di Reidemeister.* Le mosse I, II, III in figura sono dette.
*Teorema (di Reidemeister).* Due diagrammi di link _equivalenti_ sono collegati da una _successione finita di mosse di Reidemeister_ e isotopie planari.
@ -159,85 +84,11 @@ e posta $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha:
L'*isotopia regolare* è la relazione di equivalenza su diagrammi di link \ generata solo dalle mosse II e III.
])
// $D_1 tilde D_2$ diagrammi di link si dicono equivalenti a meno di *isotopia regolare* se e solo se sono equivalenti a meno di isotopie planari e mosse II e III di Reidemeister.
// *Osservazione.* Tutte le mosse di tipo I, quelle che introducono quelli che chiameremo *riccioli*, possono passare sopra o sotto altri fili senza problemi applicando le seguenti mosse
// *Lemma.* Sia $K$ un diagramma di un nodo in _forma discendente_, allora o è composto interamente da riccioli o ammette una sequenza di mosse di tipo II e III che portano al diagramma di un nodo formato solo da riccioli.
// Ovvero un nodo in forma discendente è _equivalente_ ad uno composto solo da riccioli.
// \
// #pause
// _Dim._ Consideriamo una successione di mosse $K = D_0 stretch(arrow) dots.c stretch(arrow) D_n = #skein.unit-large$. Modifichiamo le mosse nei seguenti casi:
Il *segno* di un incrocio di un diagramma orientato è: $epsilon(#skein-generic(size-factor: 1.5, direction: (+1, +1))) = +1, epsilon(#skein-generic(size-factor: 1.5, direction: (+1, -1))) = -1$
$D$ diagramma di un link orientato, il *writhe* $display(w(D) colon.eq sum_(c "incrocio") epsilon(c))$.
@ -272,10 +123,6 @@ Dimostreremo che per ogni diagramma di link _non orientato_ esiste un polinomio
