@ -272,28 +272,40 @@ Possiamo chiederci cosa succede se ci restringiamo all'equivalenza generata solo
Due nodi o link $K_1, K_2$ si dicono equivalenti a meno di *isotopia regolare* se e solo se due loro diagrammi sono equivalenti a meno di isotopie planari e mosse II e III di Reidemeister.
Una prima cosa che possiamo notare è che tutte le mosse di tipo I, quelle che introducono quelli che chiameremo *riccioli*, possono passare sopra o sotto altri fili senza problemi come mostra la seguente figura:
Una prima cosa che possiamo notare è che tutte le mosse di tipo I, quelle che introducono quelli che chiameremo *riccioli*, possono passare sopra o sotto altri fili senza problemi applicando le seguenti mosse
Quindi i riccioli possono essere spostati liberamente non ci impediscono di applicare mosse di tipo II o III. In particolare questo ci permette anche di "fattorizzare" tutti i riccioli di una componente in un link in modo che siano tutti vicini.
Quindi i riccioli possono essere spostati liberamente e non ci impediscono di applicare mosse di tipo II o III. In particolare questo ci permette anche di "fattorizzare" tutti i riccioli di una componente in modo che siano tutti vicini.
Un'altra osservazione sul comportamento dell'isotopia regolare rispetto alle mosse di tipo I è la seguente. Quando abbiamo una coppia di riccioli con segni opposti e su lati opposti abbiamo la seguente proprietà di cancellazione detto _trucco di Whitney_.
C'è un'osservazione importante da fare quando parliamo di isotopia regolare. Quest'ultima è definita solo quando si parla di diagrammi, quando invece parliamo di isotopia ambiente ha senso parlare dei link sia come diagrammi che come $bb(S)^1$ embedded in $bb(R)^3$.
C'è un'osservazione importante da fare quando parliamo di isotopia regolare. Quest'ultima è definita solo quando si parla di diagrammi. Quando invece parliamo di isotopia ambiente ha senso parlare dei link sia come diagrammi che come embedding $bb(S)^1 -> bb(R)^3$.
Questo sarà importante più avanti quando vedremo invarianti come il polinomio $F_K$ che risulteranno essere invarianti per isotopia ambiente. Nel caso del polinomio $F_K$, il calcolo va fatto fissando un particolare diagramma del link. È tutt'ora un problema aperto dare una definizione di $F_K$ che sia indipendente dalla scelta di un diagramma.
Questo sarà importante più avanti quando vedremo invarianti come il polinomio $F_K$ che risulteranno essere invarianti per isotopia ambiente. Questi, però, sono definiti attraverso l'isotopia regolare; in particolare il calcolo va fatto fissando un particolare diagramma del link. Ad esempio è tutt'ora un problema aperto dare una definizione di $F_K$ che sia indipendente dalla scelta di un diagramma.
// Questo sarà importante più avanti quando vedremo invarianti di isotopia ambiente definiti passando dall'isotopia regolare. Ad esempio, nel caso del polinomio $F_K$, la definizione si basa sul polinomio $L_K$ che è un invariante per isotopia regolare definito su diagrammi; quindi il calcolo di $F_K$ va fatto fissando un particolare diagramma del link. È tutt'ora un problema aperto dare una definizione di $F_K$ che sia indipendente dalla scelta di un diagramma.
== Writhe
Vediamo ora un primo invariante di isotopia regolare per link orientatati, prima definiamo il segno di un incrocio.
Vediamo ora un primo invariante di isotopia regolare per link orientatati, per prima cosa definiamo il segno di un incrocio.
#definition[
Dato un incrocio di un link orientato ci possono essere due casi in base alla direzione in cui il filo sottostante si trova rispetto a quello sopra. Definiamo *il segno* di un incrocio in base a questi due casi:
Dato un incrocio di un link orientato ci possono essere due casi in base alla direzione in cui il filo sottostante si trova rispetto a quello sopra. Definiamo *il segno* di un incrocio in base a questi casi come segue
$
epsilon(#skein-generic(direction: (+1, +1))) = +1
@ -303,7 +315,7 @@ Vediamo ora un primo invariante di isotopia regolare per link orientatati, prima
]
#definition[
Dato $K$ link orientato, il *writhe* $w(K)$ (o numero di avvolgimento) è dato dalla somma dei segni dei suoi incroci
Dato $K$ link orientato, il *writhe* $w(K)$ o numero di avvolgimento è dato dalla somma dei segni dei suoi incroci
$
w(K) colon.eq sum_c epsilon(c)
@ -348,7 +360,7 @@ Questo risultato può essere generalizzato a link con l'accortezza di invertire
]
#figure(
image("assets/writhe-examples.png", width: 14cm),
image("assets/writhe-examples.png", width: 10cm),
caption: [
Esempi di calcolo del writhe
// per varie orientazioni del link di Hopf e del nodo trifoglio
