@ -1028,282 +1028,284 @@ Nel corso della dimostrazione tutti gli argomenti per induzione si baseranno sul
#align(center, line(stroke: 0.5pt, length: 50%))
Ora rimane da verificare l'invarianza per scelta di punto base per il caso ii.b) ovvero quando $K$ è fo per $p$ punto base direzionato su $K$.
// Ora rimane da verificare l'invarianza per scelta di punto base per il caso ii.b) ovvero quando $K$ è fo per $p$ punto base direzionato su $K$.
$
L_K (a, z) colon.eq
1 / 2 [
sum_(q = p, overline(p))
((-1)^(abs(lambda(q))+1) L[hat(K)(lambda(q))] + z sum_K (lambda(q)))
]
$
// $
// L_K (a, z) colon.eq
// 1 / 2 [
// sum_(q = p, overline(p))
// ((-1)^(abs(lambda(q))+1) L[hat(K)(lambda(q))] + z sum_K (lambda(q)))
// ]
// $
#lemma[
Consideriamo i due modi di fare uno splice di un nodo banale standard al primo incrocio subito dopo un punto base direzionato. Ci sono due casi: in uno otteniamo due nodi banali in forma standard, nell'altro un solo nodo banale (non necessariamente in forma standard).
]
// #lemma[
// Consideriamo i due modi di fare uno splice di un nodo banale standard al primo incrocio subito dopo un punto base direzionato. Ci sono due casi: in uno otteniamo due nodi banali in forma standard, nell'altro un solo nodo banale (non necessariamente in forma standard).
// ]
#proof[
#todo[work in progress]
]
// #proof[
// #todo[work in progress]
// ]
#lemma[
La proprietà del lemma @std-unknot-to-curls si estende al diagramma $e_i hat(K)$.
]
// #lemma[
// La proprietà del lemma @std-unknot-to-curls si estende al diagramma $e_i hat(K)$.
// ]
#proof[
#todo[work in progress]
]
// #proof[
// #todo[work in progress]
// ]
Vediamo ora alcune identità per nodi banali standard che ci mostrano cosa succede quando scorriamo il punto base di un incrocio nella direzione del punto base.
// Vediamo ora alcune identità per nodi banali standard che ci mostrano cosa succede quando scorriamo il punto base di un incrocio nella direzione del punto base.
#lemma[
Sia $p$ un punto di partenza direzionato e $hat(K) colon.eq hat(K)(cal(U), p)$ un nodo banale standard. Sia $i$ il primo incrocio in $K$ subito dopo il punto di partenza $p$. Sia $q$ un altro punto base direzionato posto nell'arco subito dopo l'incrocio $i$ con la sua stessa direzione e poniamo $hat(K)' colon.eq hat(K)(cal(U), q)$. Allora valgono le seguenti proprietà
// #lemma[
// Sia $p$ un punto di partenza direzionato e $hat(K) colon.eq hat(K)(cal(U), p)$ un nodo banale standard. Sia $i$ il primo incrocio in $K$ subito dopo il punto di partenza $p$. Sia $q$ un altro punto base direzionato posto nell'arco subito dopo l'incrocio $i$ con la sua stessa direzione e poniamo $hat(K)' colon.eq hat(K)(cal(U), q)$. Allora valgono le seguenti proprietà
1. Per definizione di nodo banale standard $hat(K)(cal(U), q) = S_i hat(K)(cal(U), p)$ poiché l'incrocio $i$ in $hat(K)(cal(U), p)$ compare come sopra-incrocio mentre in $hat(K)(cal(U), q)$ è l'ultimo incrocio visitato quindi è certamente la seconda occorrenza di $i$ quindi è un sotto-incrocio. Tutti gli altri incroci compaiono nello stesso ordine quindi restano invariati.
// #proof[
// 1. Per definizione di nodo banale standard $hat(K)(cal(U), q) = S_i hat(K)(cal(U), p)$ poiché l'incrocio $i$ in $hat(K)(cal(U), p)$ compare come sopra-incrocio mentre in $hat(K)(cal(U), q)$ è l'ultimo incrocio visitato quindi è certamente la seconda occorrenza di $i$ quindi è un sotto-incrocio. Tutti gli altri incroci compaiono nello stesso ordine quindi restano invariati.
2. Per questo secondo punto usiamo che $L_hat(K) = a^w(hat(K))$, assumiamo ora che tra $E_i hat(K)$ e $e_i hat(K)$ il primo sia il caso con due componenti composte da nodi banali standard ed il secondo quello con una sola componente di un nodo banale.
// 2. Per questo secondo punto usiamo che $L_hat(K) = a^w(hat(K))$, assumiamo ora che tra $E_i hat(K)$ e $e_i hat(K)$ il primo sia il caso con due componenti composte da nodi banali standard ed il secondo quello con una sola componente di un nodo banale.
Supponiamo che $w(e_i hat(K)) = w$, allora in quanto abbiamo solo rimosso un incrocio necessariamente
// Supponiamo che $w(e_i hat(K)) = w$, allora in quanto abbiamo solo rimosso un incrocio necessariamente
$
{w(hat(K)), w(S_i hat(K))} = {w-1, w+1}
$
// $
// {w(hat(K)), w(S_i hat(K))} = {w-1, w+1}
// $
ovvero i writhe di $hat(K)$ e $S_i hat(K)$ differiscono di $2$, assumiamo di essere nel caso $w(hat(K)) = w - 1$.
// ovvero i writhe di $hat(K)$ e $S_i hat(K)$ differiscono di $2$, assumiamo di essere nel caso $w(hat(K)) = w - 1$.
Analogamente $E_i hat(K)$ avrà due componenti dunque $K = K_1 hash K_2$, ognuna con writhe rispettivamente $w_1$ e $w_2$. Per il teorema della curva di Jordan, la somma dei segni degli incroci tra componenti diverse ha somma zero poiché una delle due _sovrasta_ l'altra dunque $w_1 + w_2 = w$.
// Analogamente $E_i hat(K)$ avrà due componenti dunque $K = K_1 hash K_2$, ognuna con writhe rispettivamente $w_1$ e $w_2$. Per il teorema della curva di Jordan, la somma dei segni degli incroci tra componenti diverse ha somma zero poiché una delle due _sovrasta_ l'altra dunque $w_1 + w_2 = w$.
$
L[hat(K)] &= a^(w+1) \
L[S_i hat(K)] &= a^(w-1) \
L[e_i hat(K)] &= a^w \
L[E_i hat(K)] &= d a^(w_1) a^(w_2) = d a^(w_1 + w_2) = d a^w = (a^(w+1) + a^(w-1)) slash z - a^w
$
// $
// L[hat(K)] &= a^(w+1) \
// L[S_i hat(K)] &= a^(w-1) \
// L[e_i hat(K)] &= a^w \
// L[E_i hat(K)] &= d a^(w_1) a^(w_2) = d a^(w_1 + w_2) = d a^w = (a^(w+1) + a^(w-1)) slash z - a^w
E questo conclude la dimostrazione delle due identità.
]
// E questo conclude la dimostrazione delle due identità.
// ]
Possiamo ora mostrare l'invarianza per scelta di punto base di $Omega_K (p)$.
// Possiamo ora mostrare l'invarianza per scelta di punto base di $Omega_K (p)$.
#lemma[
Sia $K$ un diagramma di un nodo. Allora @kauffman-rec-single-component non dipende dalla scelta di punto base. Inoltre se $p$ è un punto base direzionato su $K$ e $lambda(p)$ la sequenza di scambi determinata da $p$ allora
// #lemma[
// Sia $K$ un diagramma di un nodo. Allora @kauffman-rec-single-component non dipende dalla scelta di punto base. Inoltre se $p$ è un punto base direzionato su $K$ e $lambda(p)$ la sequenza di scambi determinata da $p$ allora
Possiamo assumere che la sequenza di scambi determinata da $p$ sia etichetta $lambda = (n, dots, 0)$, in questo modo
// #proof[
// Possiamo assumere che la sequenza di scambi determinata da $p$ sia etichetta $lambda = (n, dots, 0)$, in questo modo
$
Omega_K (p) = (-1)^(n+1) L_(hat(K)(p)) + z sum_K (lambda(p))
$
// $
// Omega_K (p) = (-1)^(n+1) L_(hat(K)(p)) + z sum_K (lambda(p))
// $
Ricordiamo come era definito $L_K$ nel caso di una sola componente @kauffman-rec-single-component e notiamo quanto segue
// Ricordiamo come era definito $L_K$ nel caso di una sola componente @kauffman-rec-single-component e notiamo quanto segue
$
L_K (a, z) &colon.eq 1 / 2 [
sum_(q = p, overline(p))
((-1)^(abs(lambda(q))+1) kL(hat(K)(lambda(q))) + z sum_K (lambda(q)))
] \
&= 1/2 (Omega_K (p) + Omega_K (overline(p)))
$
// $
// L_K (a, z) &colon.eq 1 / 2 [
// sum_(q = p, overline(p))
// ((-1)^(abs(lambda(q))+1) kL(hat(K)(lambda(q))) + z sum_K (lambda(q)))
// ] \
// &= 1/2 (Omega_K (p) + Omega_K (overline(p)))
// $
Dunque ci basta mostrare che $Omega_K (p)$ non dipenda dalla scelta di punto base.
// Dunque ci basta mostrare che $Omega_K (p)$ non dipenda dalla scelta di punto base.
Come in precedenza possiamo mostrarlo facendo scorrere $p$ nell'arco successivo al primo incrocio dopo $p$ (questo ci induce l'invarianza per permutazioni cicliche e ci permette di concludere).
// Come in precedenza possiamo mostrarlo facendo scorrere $p$ nell'arco successivo al primo incrocio dopo $p$ (questo ci induce l'invarianza per permutazioni cicliche e ci permette di concludere).
Sia $i$ l'etichetta del primo incrocio dopo $p$. In $hat(K)(p)$ questo incrocio sarà sicuramente un sopra-incrocio in quanto $i$ è visitato per la prima volta essendo il primo incrocio dopo $p$. Invece in $K(p)$ può essere sia un sopra-incrocio che un sotto-incrocio, abbiamo quindi due casi:
// Sia $i$ l'etichetta del primo incrocio dopo $p$. In $hat(K)(p)$ questo incrocio sarà sicuramente un sopra-incrocio in quanto $i$ è visitato per la prima volta essendo il primo incrocio dopo $p$. Invece in $K(p)$ può essere sia un sopra-incrocio che un sotto-incrocio, abbiamo quindi due casi:
- Se $i$ è un sotto-incrocio in $K(p)$ allora $i$ sarà il primo incrocio nella sequenza di scambi ed avremo $i = n$
// - Se $i$ è un sotto-incrocio in $K(p)$ allora $i$ sarà il primo incrocio nella sequenza di scambi ed avremo $i = n$
#todo[disegnino]
// #todo[disegnino]
Consideriamo ora la situazione di $K(q)$
// Consideriamo ora la situazione di $K(q)$
#todo[disegnino]
// #todo[disegnino]
come già detto prima se l'ultimo incrocio è un sotto-incrocio allora è già in forma di nodo banale standard. Segue che $i$ non appartiene alla sequenza di scambi in questo caso ed avremo $(n-1, dots, 0)$ e $hat(K)(q) = S_(n-1) dotss S_0 K$. Vorremo vedere che $Omega_K (p) = Omega_K (q)$, ovvero:
// come già detto prima se l'ultimo incrocio è un sotto-incrocio allora è già in forma di nodo banale standard. Segue che $i$ non appartiene alla sequenza di scambi in questo caso ed avremo $(n-1, dots, 0)$ e $hat(K)(q) = S_(n-1) dotss S_0 K$. Vorremo vedere che $Omega_K (p) = Omega_K (q)$, ovvero:
$
Omega_K (p) &= (-1)^(n+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)) \
Omega_K (q) &= (-1)^((n-1)+1) L[hat(K)(q)] + z sum_K (lambda(q))
// &+ z (-1)^n (L[A_n^lambda K] + L[B_n^lambda K])
// $
dove abbiamo usato il fatto che tutti i termini in $sum_K (lambda(p)) - sum_K (lambda(q))$ si cancellano tra loro tranne l'ultimo di $sum_K (lambda(p))$.
// dove abbiamo usato il fatto che tutti i termini in $sum_K (lambda(p)) - sum_K (lambda(q))$ si cancellano tra loro tranne l'ultimo di $sum_K (lambda(p))$.
Ora notiamo che
// Ora notiamo che
$
A_n^lambda K &= E_n S_(n-1) dotss S_0 K = E_n hat(K)(p) \
B_n^lambda K &= e_n S_(n-1) dotss S_0 K = e_n hat(K)(p) \
hat(K)(p) &= S_n space.med hat(K)(p)
$
// $
// A_n^lambda K &= E_n S_(n-1) dotss S_0 K = E_n hat(K)(p) \
// B_n^lambda K &= e_n S_(n-1) dotss S_0 K = e_n hat(K)(p) \
// hat(K)(p) &= S_n space.med hat(K)(p)
// $
inoltre per il @lemma-slide-identities abbiamo anche che
// inoltre per il @lemma-slide-identities abbiamo anche che
$
L[hat(K)(p)] + L[hat(K)(q)] = z (L[E_n hat(K)(p)] + L[e_n hat(K)(p)])
- Se $i$ è un sopra-incrocio in $K(p)$ siamo nella seguente situazione
// - Se $i$ è un sopra-incrocio in $K(p)$ siamo nella seguente situazione
#todo[disegnino]
// #todo[disegnino]
In questo caso, $i$ non fa parte della sequenza di scambi per $K(q)$. Però dopo aver spostato il punto base avremo la seguente situazione
// In questo caso, $i$ non fa parte della sequenza di scambi per $K(q)$. Però dopo aver spostato il punto base avremo la seguente situazione
#todo[disegnino]
// #todo[disegnino]
Questa volta $i$ fa parte della sequenza di scambi per $K(q)$ e quando compare come ultimo incrocio è un sotto-incrocio. Avremo quindi le seguenti sequenze di scambi
// Questa volta $i$ fa parte della sequenza di scambi per $K(q)$ e quando compare come ultimo incrocio è un sotto-incrocio. Avremo quindi le seguenti sequenze di scambi
a meno di riordinare gli scambi è facile vedere che $S_i hat(K)(q) = hat(K)(p)$, e che il @lemma-slide-identities si applica alla coppia $hat(K)(p), hat(K)(q)$ per l'indice $i$. Per il @lemma-sum-switches-rotation abbiamo anche che $sum_K (p), sum_K (q)$ sono invarianti a meno di permutazioni cicliche. Possiamo quindi sostituire $lambda(p)$ e $lambda(q)$ con le seguenti sequenze di scambi applicando le giuste rotazioni.
// a meno di riordinare gli scambi è facile vedere che $S_i hat(K)(q) = hat(K)(p)$, e che il @lemma-slide-identities si applica alla coppia $hat(K)(p), hat(K)(q)$ per l'indice $i$. Per il @lemma-sum-switches-rotation abbiamo anche che $sum_K (p), sum_K (q)$ sono invarianti a meno di permutazioni cicliche. Possiamo quindi sostituire $lambda(p)$ e $lambda(q)$ con le seguenti sequenze di scambi applicando le giuste rotazioni.
A questo punto possiamo applicare un argomento simile a quello del punto precedente.
// A questo punto possiamo applicare un argomento simile a quello del punto precedente.
E questo completa la dimostrazione dell'indipendenza di $Omega_K (p)$ dalla scelta di punto base.
]
// E questo completa la dimostrazione dell'indipendenza di $Omega_K (p)$ dalla scelta di punto base.
// ]
A questo punto possiamo vedere che $L_K$ verifica gli assiomi della @kauffman-poly-def.
// A questo punto possiamo vedere che $L_K$ verifica gli assiomi della @kauffman-poly-def.
#lemma[
Sia $i$ un incrocio di un diagramma di link $K$. Allora $L_K$ verifica le identità:
// #lemma[
// Sia $i$ un incrocio di un diagramma di link $K$. Allora $L_K$ verifica le identità:
1. $L[K] + L[S_i K] = z (L[E_i K] + L[e_i K])$
// 1. $L[K] + L[S_i K] = z (L[E_i K] + L[e_i K])$
2. $L[#skein.over-twist-medium] = a L [#skein.strand-medium]$, $L[#skein.under-twist-medium] = a^(-1) L [#skein.strand-medium]$
]
// 2. $L[#skein.over-twist-medium] = a L [#skein.strand-medium]$, $L[#skein.under-twist-medium] = a^(-1) L [#skein.strand-medium]$
// ]
#proof[
Mostriamo per induzione sul numero di incroci nel diagramma.
// #proof[
// Mostriamo per induzione sul numero di incroci nel diagramma.
1. Consideriamo i seguenti casi: #margin-note[ricontrollare tutta questa]
// 1. Consideriamo i seguenti casi: #margin-note[ricontrollare tutta questa]
- Se $K$ ha una sola componente ed un incrocio $i$: consideriamo $S_i K$, $E_i K$ e $e_i K$, scegliendo bene $p$ possiamo fare in modo che $i$ sia il primo incrocio nella sequenza di scambi. Se ora consideriamo @kauffman-rec-single-component ovvero
// - Se $K$ ha una sola componente ed un incrocio $i$: consideriamo $S_i K$, $E_i K$ e $e_i K$, scegliendo bene $p$ possiamo fare in modo che $i$ sia il primo incrocio nella sequenza di scambi. Se ora consideriamo @kauffman-rec-single-component ovvero
$
L_K (a, z) &colon.eq
1 / 2 [
sum_(q = p, overline(p))
((-1)^(abs(lambda(q))+1) L[hat(K)(lambda(q))] + z sum_K (lambda(q)))
] \
&= 1 / 2 [
sum_(q = p, overline(p))
((-1)^(n+1) L[hat(K)(q)] + z sum_K (lambda(q)))
]
$
// $
// L_K (a, z) &colon.eq
// 1 / 2 [
// sum_(q = p, overline(p))
// ((-1)^(abs(lambda(q))+1) L[hat(K)(lambda(q))] + z sum_K (lambda(q)))
// ] \
// &= 1 / 2 [
// sum_(q = p, overline(p))
// ((-1)^(n+1) L[hat(K)(q)] + z sum_K (lambda(q)))
// ]
// $
A questo punto otteniamo la tesi considerando la differenza nelle espansioni di $Omega_K (p)$ e $Omega_(S_i K) (p)$, in particolare tutti i termini si cancellano tranne il primo:
// A questo punto otteniamo la tesi considerando la differenza nelle espansioni di $Omega_K (p)$ e $Omega_(S_i K) (p)$, in particolare tutti i termini si cancellano tranne il primo:
- Se $K$ ha più di una componente e $i$ è un incrocio di una componente con se stessa: in questo caso utilizziamo per induzione @kauffman-rec-multi-component ma osserviamo che $i$ non compare in nessuna sequenza di sollevamento (in quanto le sequenze di sollevamento scambiano solo incroci tra componenti diverse) dunque possiamo applicare l'induzione senza problemi.
// - Se $K$ ha più di una componente e $i$ è un incrocio di una componente con se stessa: in questo caso utilizziamo per induzione @kauffman-rec-multi-component ma osserviamo che $i$ non compare in nessuna sequenza di sollevamento (in quanto le sequenze di sollevamento scambiano solo incroci tra componenti diverse) dunque possiamo applicare l'induzione senza problemi.
- Se $K$ ha più di una componente e $i$ è un incrocio tra due componenti diverse: possiamo considerare la @kauffman-rec-multi-component e mostrare che ogni addendo verifica l'identità e quindi l'identità seguirà per la loro media:
// - Se $K$ ha più di una componente e $i$ è un incrocio tra due componenti diverse: possiamo considerare la @kauffman-rec-multi-component e mostrare che ogni addendo verifica l'identità e quindi l'identità seguirà per la loro media:
#{
set text(size: small-size)
$
L_K (a, z) colon.eq
1 / (2n) [
sum_(i=1)^n sum_(q=p_i, overline(p)_i)
((-1)^(abs(lambda(q))+1) d kL_(K_i) kL_(K - K_i) + z sum_K (lambda(q)))
]
$
}
// #{
// set text(size: small-size)
// $
// L_K (a, z) colon.eq
// 1 / (2n) [
// sum_(i=1)^n sum_(q=p_i, overline(p)_i)
// ((-1)^(abs(lambda(q))+1) d kL_(K_i) kL_(K - K_i) + z sum_K (lambda(q)))
// ]
// $
// }
Per quanto riguarda gli addenti che non intersecano nessuna delle due componenti interessate dall'incrocio scelto non ci sono problemi e possiamo applicare l'induzione. Per le componenti che le intersecano ci basta scegliere come prima un punto base in modo appropriato in modo che l'identità sia verificata e procedere come prima.
// Per quanto riguarda gli addenti che non intersecano nessuna delle due componenti interessate dall'incrocio scelto non ci sono problemi e possiamo applicare l'induzione. Per le componenti che le intersecano ci basta scegliere come prima un punto base in modo appropriato in modo che l'identità sia verificata e procedere come prima.
// gli addendi che non intersecano nessuna delle due componenti possiamo procedere per induzione. Altrimenti possiamo scegliere un punto base appropriato e procedere per induzione.
// // gli addendi che non intersecano nessuna delle due componenti possiamo procedere per induzione. Altrimenti possiamo scegliere un punto base appropriato e procedere per induzione.
2. La dimostrazione è analoga, basta osservare che possiamo sempre scegliere un punto base che non faccia comparire l'incrocio del ricciolo nella sequenza di scambi.
// 2. La dimostrazione è analoga, basta osservare che possiamo sempre scegliere un punto base che non faccia comparire l'incrocio del ricciolo nella sequenza di scambi.
E questo conclude la dimostrazione del lemma.
]
// E questo conclude la dimostrazione del lemma.
// ]
Come ultimo risultato vediamo che $L_K$ è un invariante di isotopia regolare.
// Come ultimo risultato vediamo che $L_K$ è un invariante di isotopia regolare.
#lemma[
Siano $K, K'$ diagrammi di link equivalenti a meno di isotopia regolare allora $L_K (a, z) = L_(K') (a, z)$.
]
// #lemma[
// Siano $K, K'$ diagrammi di link equivalenti a meno di isotopia regolare allora $L_K (a, z) = L_(K') (a, z)$.
// ]
#proof[
Procediamo sempre per induzione sul numero di incroci e mostriamo l'invarianza per mosse che non aumentano il numero di incroci (l'invarianza per la mossa II che aggiunge due incroci segue come conseguenza dell'induzione#margin-note[da aggiustare]).
// #proof[
// Procediamo sempre per induzione sul numero di incroci e mostriamo l'invarianza per mosse che non aumentano il numero di incroci (l'invarianza per la mossa II che aggiunge due incroci segue come conseguenza dell'induzione#margin-note[da aggiustare]).
// - Mossa II: Ci sono più casi in base a se la mossa riguarda una o più componenti
- Mossa II: Ci sono più casi in base a se la mossa riguarda una o più componenti
// - Se la mossa è su una sola componente allora ci basta scegliere il punto base come segue
- Se la mossa è su una sola componente allora ci basta scegliere il punto base come segue
// #todo[disegnino]
#todo[disegnino]
// in questo modo i due incroci non compariranno nella sequenza di scambi. Tutti i termini di ii.a) saranno invarianti per mosse di tipo II e lo sarà anche $L_K$.
in questo modo i due incroci non compariranno nella sequenza di scambi. Tutti i termini di ii.a) saranno invarianti per mosse di tipo II e lo sarà anche $L_K$.
// - Se la mossa riguarda più componenti allora il caso peggiore è il seguente
- Se la mossa riguarda più componenti allora il caso peggiore è il seguente
// #todo[disegnino]
#todo[disegnino]
// Vediamo che $L[K] = L[S_2 S_1 K]$...
Vediamo che $L[K] = L[S_2 S_1 K]$...
// - Mossa III:
- Mossa III:
// - Se la mossa è su fili di una sola componente allora possiamo scegliere il punto base sul filo che passa sopra, in questo modo avremo la situazione seguente:
- Se la mossa è su fili di una sola componente allora possiamo scegliere il punto base sul filo che passa sopra, in questo modo avremo la situazione seguente:
// #todo[disegnino]
#todo[disegnino]
// In un caso possiamo procedere per induzione, se invece ci sono degli splice possiamo utilizzare le seguenti equivalenze di diagrammi e poi procedere per induzione
In un caso possiamo procedere per induzione, se invece ci sono degli splice possiamo utilizzare le seguenti equivalenze di diagrammi e poi procedere per induzione
// #todo[disegnino]
#todo[disegnino]
// - Nel caso in cui la mossa riguardi fili appartenenti a più componenti possiamo utilizzare l'identità della mossa precedente $L[K] = L[S_2 S_1 K]$ per semplificare la situazione e procedere nuovamente per induzione.
- Nel caso in cui la mossa riguardi fili appartenenti a più componenti possiamo utilizzare l'identità della mossa precedente $L[K] = L[S_2 S_1 K]$ per semplificare la situazione e procedere nuovamente per induzione.
