\Large\textbf{Introduzione ai prodotti hermitiani}
\end{center}
\begin{note}
Nel corso del documento, per $V$ si intenderà uno spazio vettoriale di dimensione
finita $n$ e per $\varphi$ un suo prodotto, hermitiano o scalare
dipendentemente dal contesto.
\end{note}
\begin{definition} (prodotto hermitiano) Sia $\KK=\CC$. Una mappa $\varphi : V \times V \to\CC$ si dice \textbf{prodotto hermitiano} se:
\begin{enumerate}[(i)]
\item$\varphi$ è $\CC$-lineare nel secondo argomento, ossia se $\varphi(\v, \U+\w)=\varphi(\v, \U)+\varphi(\v, \w)$ e
$\varphi(\v, a \w)= a \,\varphi(\v, \w)$,
\item$\varphi(\U, \w)=\conj{\varphi(\w, \U)}$.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{definition} (prodotto hermitiano canonico in $\CC^n$) Si definisce
\textbf{prodotto hermitiano canonico} di $\CC^n$ il prodotto $\varphi : \CC^n \times\CC^n \to\CC$ tale per cui, detti $\v=(z_1\cdots z_n)^\top$ e $\w=(w_1\cdots w_n)^\top$, $\varphi(\v, \w)=\sum_{i=1}^n \conj{z_i} w_i$.
$\varphi$ è additiva anche nel primo argomento. \\
\li$\varphi(a \v, \w)=\conj{\varphi(\w, a \v)}=\conj{a}\conj{\varphi(\w, \v)}=\conj{a}\,\varphi(\v, \w)$. \\
\li$\varphi(\v, \v)=\conj{\varphi(\v, \v)}$, e quindi $\varphi(\v, \v)\in\RR$. \\
\li Sia $\v=\sum_{i=1}^n x_i \vv i$ e sia $\w=\sum_{i=1}^n y_i \vv i$, allora $\varphi(\v, \w)=\sum_{i =1}^n \sum_{j=1}^n \conj{x_i} y_i \varphi(\vv i, \vv j)$. \\
\li$\varphi(\v, \w)=0\iff\varphi(\w, \v)=0$.
\end{remark}
\begin{proposition}
Data la forma quadratica $q : V \to\RR$ del prodotto hermitiano $\varphi$ tale che $q(\v)=\varphi(\v, \v)\in\RR$, tale
forma quadratica individua univocamente il prodotto hermitiano $\varphi$.
Siano $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv n \}$ e $\basis' =\{\ww1, \ldots, \ww n \}$. Allora $\varphi(\ww i, \ww j)=[\ww i]_\basis^* M_\basis(\varphi)[\ww j]_\basis=\left( M_\basis^{\basis'}(\Idv)^i \right)^* M_\basis(\varphi) M_\basis^{\basis'}(\Idv)^j =
\left(M_\basis^{\basis'}(\Idv)\right)^*_i M_\basis(\varphi) M_\basis^{\basis'}(\Idv)^j$, da cui si ricava l'identità
desiderata.
\end{proof}
\begin{definition} (radicale di un prodotto hermitiano)
Analogamente al caso del prodotto scalare, si definisce il \textbf{radicale} del prodotto $\varphi$ come il seguente sottospazio:
\[ V^\perp=\{\v\in V \mid\varphi(\v, \w)=0\,\forall\w\in V \}. \]
\end{definition}
\begin{proposition}
Sia $\basis$ una base di $V$ e $\varphi$ un prodotto hermitiano. Allora $V^\perp=[\cdot]_\basis\inv(\Ker M_\basis(\varphi))$\footnote{Stavolta non è sufficiente considerare la mappa $f : V \to V^*$ tale che $f(\v)=\left[\w\mapsto\varphi(\v, \w)\right]$, dal momento che $f$ non è lineare, bensì antilineare, ossia $f(a \v)=\conj a f(\v)$.}.
\end{proposition}
\begin{proof}
Sia $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv n \}$ e sia $\v\in V^\perp$.
Siano $a_1$, ..., $a_n \in\KK$ tali che $\v= a_1\vv1+\ldots+ a_n \vv n$. Allora, poiché $\v\in V$, $0=\varphi(\vv i, \v)=
= a_1 \varphi(\vv i, \vv 1) + \ldots + a_n \varphi(\vv i, \vv n) = M_i [\v]_\basis$, da cui si ricava che $[\v]_\basis\in\Ker M_\basis(\varphi)$, e quindi che $V^\perp\subseteq [\cdot]_\basis\inv (\Ker M_\basis(\varphi))$. \\
Sia ora $\v\in V$ tale che $[\v]_\basis\in\Ker M_\basis(\varphi)$.
Allora, per ogni $\w\in V$, $\varphi(\w, \v)=[\w]_\basis^* M_\basis(\varphi)[\v]_\basis=[\w]_\basis^*0=0$, da cui si
conclude che $\v\in V^\perp$, e quindi che $V^\perp\supseteq[\cdot]_\basis\inv(\Ker M_\basis(\varphi))$, da cui
