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feat(geometria): aggiunge la base degli appunti di geometria
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\title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{31 marzo e 4 aprile 2023}
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\date{31 marzo, 4 e 18 aprile 2023}
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\begin{document}
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@@ -287,6 +287,42 @@
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f(d) \geq f(c)$, e quindi $f$ è crescente in $I$, da cui la tesi.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Sia $I \subset \RR$ un intervallo e sia $f : I \to \RR$ tale che $f$
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sia derivabile in $I$. Allora $f$ è convessa
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se e solo se la derivata è crescente.
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\end{proposition}
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\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
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\rightproof Siano $x_0$, $x_1 \in I$ con $x_0 < x_1$. Sia $h$
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positivo tale che $x_0 < x_0 + h \leq x_1$. Allora $x_0 + h = (1- \lambda) x_0 + \lambda x_1$ con $\lambda = \frac{h}{x_1 - x_0}$.
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Allora, poiché $f$ è convessa, $f(x_0 + h) \leq (1- \lambda) f(x_0) + f(x_1) \leq f(x_0) + \frac{h}{x_1 - x_0} \left( f(x_1) - f(x_0) \right)$, da cui si ricava che:
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\[ \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \leq \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}. \]
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Quindi, passando al limite, $f'(x_0) \leq \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$. Analogamente si dimostra che $\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} \leq f'(x_1)$. Si conclude dunque che $f'(x_1) \geq f'(x_0)$, ossia
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che $f'$ è crescente. \\
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\leftproof Siano $x_0$, $x_1 \in I$ con $x_0 < x_1$. Si considera
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$x = (1 - \lambda) x_0 + \lambda x_1 \in (x_0, x_1)$ con $0 < \lambda < 1$. Per il teorema di Lagrange $\exists \tilde{x_0} \in (x_0, x)$ tale
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che $f'(\tilde{x_0}) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$. Analogamente
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$\exists \tilde{x_1} \in (x, x_1)$ tale che $f'(\tilde{x_1}) =
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\frac{f(x_1) - f(x)}{x_1 - x}$. Poiché allora per ipotesi la
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derivata $f'$ è crescente, si ricava che:
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\[ \frac{f(x_1) - f(x)}{x_1 - x} \geq \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}, \]
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da cui si conclude che:
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\[ f(x) \leq (1-\lambda) f(x_0) + \lambda f(x_1), \]
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\vskip 0.05in
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ossia che vale la disuguaglianza di Jensen, e quindi che
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$f$ è convessa, da cui la tesi.
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\end{proof}
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\begin{remark}\nl
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\li L'interpretazione geometrica del teorema di Cauchy, rispetto
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a quella di Lagrange, è leggermente più complicata. Si consideri
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@@ -297,7 +333,11 @@
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come $\frac{f'(\xbar)}{g'(\xbar)}$. Allora, il teorema di Cauchy
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asserisce che esiste un punto della curva $\gamma$ tale per cui
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la retta tangente alla curva in quel punto è parallela alla secante
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passante per $(g(a), f(a))$ e $(g(b), f(b))$.
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passante per $(g(a), f(a))$ e $(g(b), f(b))$. \\
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\li Inoltre $f$ è strettamente crescente in $I$ se $f' \geq 0$ e
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non esistono intervalli di punti stazionari. Analogamente se $f' < 0$ in
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$I$ e non esistono ancora tali intervalli, $f$ è strettamente decrescente in $I$.
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\end{remark}
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\begin{exercise}
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@@ -336,7 +376,7 @@
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in un intorno $J$ di $\xbar$, allora $f_1(x) + f_2(x) \tendsto{\xbar} +\infty$;
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\item se $f_1 \tendsto{\xbar} 0$ e $f_2$ è limitata in un intorno $J$
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di $\xbar$, allora $f_1 f_2(x) \tendsto{\xbar} 0$;
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\item se $f_1 \tendsto{\xbar} +\infty$ è limitata inferiormente
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\item se $f_1 \tendsto{\xbar} +\infty$ ed $f_2$ è limitata inferiormente
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da una costante positiva $c$ in un intorno $J$ di $\xbar$, allora
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$f_1 f_2 \tendsto{\xbar} +\infty$.
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\end{enumerate}
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@@ -391,6 +431,56 @@
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\[ D_+ f(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{h + 2h^2 \sin\left(\frac{1}{h}\right)}{h} = 1 + \lim_{h \to 0^+} 2 h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 1, \]
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dove si è usato lo stesso argomento di prima per computare $\lim_{h \to 0^+} 2 h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 0$. \\
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dove si è usato lo stesso argomento di prima per computare $\lim_{h \to 0^+} 2 h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 0$.
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\end{solution}
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\begin{theorem} (di de l'Hopital) %TODO: sistemare nome
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Siano $I$ intervallo e $x_0 \in I$. Sia detto $I' := I \setminus \{ x_0 \}$. Siano $f$, $g : I' \to \RR$ derivabili tali che:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item esiste $L := \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$,
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\item $g' \neq 0$ in $I'$,
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\item vale che (a) $f(x)$, $g(x) \tendsto{x_0} 0$ oppure che (b)
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$g(x) \tendsto{x_0} \pm \infty$.
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\end{enumerate}
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Allora $\frac{f(x)}{g(x)} \tendsto{x_0} L$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Si consideri il caso (a) per $x_0$ finito. Si ponga $f(x_0) = g(x_0) := 0$. Senza perdità di generalità si
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assuma che $I$ sia un intorno destro di $x_0$. Sia $x \in I \setminus \{x_0\}$, da cui si ricava che $x > x_0$. \\
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Si osserva che $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(x_0)}{g(x)} - g(x_0)$. Per il teorema di Cauchy, esiste allora $\tilde{x} \in (x_0, x)$,
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in funzione di $x$, tale
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che $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(\tilde x)}{g'(\tilde x)}$. Allora
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$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(\tilde x)}{g'(\tilde x)} = \lim_{\tilde x \to x_0} \frac{f'(\tilde x)}{g'(\tilde x)} = L$, dove si è utilizzato che $\tilde x \tendsto{x_0} x_0$ per il teorema del confronto applicato sulla
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relazione $x_0 < \tilde x < x$. \\
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Si consideri ora il caso (b) per $x_0$ finito. Siano $x_1 > x_0$
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tali che $x_1 > x > x_0$. Allora vale la seguente identità:
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\[ \frac{f(x)}{g(x)} = \left( \frac{f(x) - f(x_1)}{g(x) - g(x_1)} + \frac{f(x_1)}{g(x) - g(x_1)} \right) \frac{g(x) - g(x_1)}{g(x)}. \]
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Si osserva allora che:
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\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_1)}{g(x) - g(x_1)}. \]
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\end{proof}
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\begin{remark}
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È essenziale che $I$ sia un intervallo affinché il teorema di de
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l'Hopital sia vero.
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% TODO: scrivi esempio di unione infinita di intervalli (tra x e x^2 + x)
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\end{remark}
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\begin{proposition}
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Sia $I$ un intervallo, sia $x_0 \in I$ e sia $f : I \to \RR$ continua
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e derivabile dappertutto tranne che in $x_0$. Se esiste
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$L := \lim_{x \to x_0} f'(x)$, allora $f'(x_0) = L$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Si consideri il rapporto incrementale $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$.
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Allora, per $x \to x_0$, per il teorema di de l'Hopital, $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} f'(x)$.
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\end{proof}
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\end{document}
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Binary file not shown.
@@ -172,7 +172,7 @@ forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $\KK^n$.
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\begin{definition}
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Si dice \textbf{radicale} di un prodotto scalare $\varphi$ lo spazio:
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\[ V^\perp = \{ \vec{v} \in V \mid \varphi(\vec{v}, \vec{w}) = 0, \forall \vec{w} \in V \} \]
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\[ V^\perp = \{ \vec{v} \in V \mid \varphi(\vec{v}, \vec{w}) = 0 \, \forall \vec{w} \in V \} \]
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\vskip 0.05in
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\end{definition}
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Binary file not shown.
+138
@@ -0,0 +1,138 @@
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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{17 aprile 2023}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Introduzione ai prodotti hermitiani}
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\end{center}
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\begin{note}
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Nel corso del documento, per $V$ si intenderà uno spazio vettoriale di dimensione
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finita $n$ e per $\varphi$ un suo prodotto, hermitiano o scalare
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dipendentemente dal contesto.
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\end{note}
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\begin{definition} (prodotto hermitiano) Sia $\KK = \CC$. Una mappa $\varphi : V \times V \to \CC$ si dice \textbf{prodotto hermitiano} se:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $\varphi$ è $\CC$-lineare nel secondo argomento, ossia se $\varphi(\v, \U + \w) = \varphi(\v, \U) + \varphi(\v, \w)$ e
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$\varphi(\v, a \w) = a \, \varphi(\v, \w)$,
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\item $\varphi(\U, \w) = \conj{\varphi(\w, \U)}$.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{definition} (prodotto hermitiano canonico in $\CC^n$) Si definisce
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\textbf{prodotto hermitiano canonico} di $\CC^n$ il prodotto $\varphi : \CC^n \times \CC^n \to \CC$ tale per cui, detti $\v = (z_1 \cdots z_n)^\top$ e $\w = (w_1 \cdots w_n)^\top$, $\varphi(\v, \w) = \sum_{i=1}^n \conj{z_i} w_i$.
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\end{definition}
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\begin{remark}\nl
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\li $\varphi(\U + \w, \v) = \conj{\varphi(\v, \U + \w)} =
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\conj{\varphi(\v, \U) + \varphi(\v, \w)} = \conj{\varphi(\v, \U)} + \conj{\varphi(\v, \U)} = \varphi(\w, \v) + \varphi(\U, \v)$, ossia
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$\varphi$ è additiva anche nel primo argomento. \\
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\li $\varphi(a \v, \w) = \conj{\varphi(\w, a \v)} = \conj{a} \conj{\varphi(\w, \v)} = \conj{a} \, \varphi(\v, \w)$. \\
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\li $\varphi(\v, \v) = \conj{\varphi(\v, \v)}$, e quindi $\varphi(\v, \v) \in \RR$. \\
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\li Sia $\v = \sum_{i=1}^n x_i \vv i$ e sia $\w = \sum_{i=1}^n y_i \vv i$, allora $\varphi(\v, \w) = \sum_{i =1}^n \sum_{j=1}^n \conj{x_i} y_i \varphi(\vv i, \vv j)$. \\
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\li $\varphi(\v, \w) = 0 \iff \varphi(\w, \v) = 0$.
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\end{remark}
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\begin{proposition}
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Data la forma quadratica $q : V \to \RR$ del prodotto hermitiano $\varphi$ tale che $q(\v) = \varphi(\v, \v) \in \RR$, tale
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forma quadratica individua univocamente il prodotto hermitiano $\varphi$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Innanzitutto si osserva che:
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\[ \varphi(\v, \w) = \frac{\varphi(\v, \w) + \conj{\varphi(\v, \w)}}{2} + \frac{\varphi(\v, \w) . \conj{\varphi(\v, \w)}}{2}. \]
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\vskip 0.05in
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Si considerano allora le due identità:
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\[ q(\v + \w) - q(\v) - q(\w) =
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\varphi(\v, \w) + \conj{\varphi(\w, \v)} = 2 \, \Re(\varphi(\v, \w)), \]
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\[ q(i\v + \w) - q(\v) - q(\w) = -i(\varphi(\v, \w) - \conj{\varphi(\v, \w)}) = 2 \, \imm(\varphi(\v, \w)), \]
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\vskip 0.05in
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da cui si conclude che il prodotto $\varphi$ è univocamente
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determinato dalla sua forma quadratica.
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\end{proof}
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\begin{definition}
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Si definisce \textbf{matrice aggiunta} di $A \in M(n, \KK)$ la matrice coniugata della trasposta di $A$, ossia:
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\[ A^* = \conj{A^\top} = \conj{A}^\top. \]
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\end{definition}
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%TODO: aggiungere tr(conj(A^t) B)
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\begin{definition} (matrice associata del prodotto hermitiano) Analogamente
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al caso del prodotto scalare, data una base $\basis = \{\vv 1, \ldots, \vv n\}$ si definisce
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come \textbf{matrice associata del prodotto hermitiano} $\varphi$
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la matrice $M_\basis(\varphi) = (\varphi(\vv i, \vv j))_{i,j = 1 \textrm{---} n}$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Si osserva che, analogamente al caso del prodotto scalare, vale
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la seguente identità:
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\[ \varphi(\v, \w) = [\v]_\basis^* M_\basis(\varphi) [\w]_\basis. \]
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\end{remark}
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\begin{proposition}
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(formula del cambiamento di base per i prodotto hermitiani) Siano
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$\basis$, $\basis'$ due basi di $V$. Allora vale la seguente
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identità:
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\[ M_{\basis'} = M_{\basis}^{\basis'}(\Idv)^* M_\basis(\varphi) M_{\basis}^{\basis'}(\Idv). \]
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Siano $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ e $\basis' = \{ \ww 1, \ldots, \ww n \}$. Allora $\varphi(\ww i, \ww j) = [\ww i]_\basis^* M_\basis(\varphi) [\ww j]_\basis = \left( M_\basis^{\basis'}(\Idv)^i \right)^* M_\basis(\varphi) M_\basis^{\basis'}(\Idv)^j =
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\left(M_\basis^{\basis'}(\Idv)\right)^*_i M_\basis(\varphi) M_\basis^{\basis'}(\Idv)^j$, da cui si ricava l'identità
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desiderata.
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\end{proof}
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\begin{definition} (radicale di un prodotto hermitiano)
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Analogamente al caso del prodotto scalare, si definisce il \textbf{radicale} del prodotto $\varphi$ come il seguente sottospazio:
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\[ V^\perp = \{ \v \in V \mid \varphi(\v, \w) = 0 \, \forall \w \in V \}. \]
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\end{definition}
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\begin{proposition}
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Sia $\basis$ una base di $V$ e $\varphi$ un prodotto hermitiano. Allora $V^\perp = [\cdot]_\basis \inv (\Ker M_\basis(\varphi))$\footnote{Stavolta non è sufficiente considerare la mappa $f : V \to V^*$ tale che $f(\v) = \left[ \w \mapsto \varphi(\v, \w) \right]$, dal momento che $f$ non è lineare, bensì antilineare, ossia $f(a \v) = \conj a f(\v)$.}.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ e sia $\v \in V^\perp$.
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Siano $a_1$, ..., $a_n \in \KK$ tali che $\v = a_1 \vv 1 + \ldots + a_n \vv n$. Allora, poiché $\v \in V$, $0 = \varphi(\vv i, \v) =
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= a_1 \varphi(\vv i, \vv 1) + \ldots + a_n \varphi(\vv i, \vv n) = M_i [\v]_\basis$, da cui si ricava che $[\v]_\basis \in \Ker M_\basis(\varphi)$, e quindi che $V^\perp \subseteq [\cdot]_\basis \inv (\Ker M_\basis(\varphi))$. \\
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||||
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Sia ora $\v \in V$ tale che $[\v]_\basis \in \Ker M_\basis(\varphi)$.
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Allora, per ogni $\w \in V$, $\varphi(\w, \v) = [\w]_\basis^* M_\basis(\varphi) [\v]_\basis = [\w]_\basis^* 0 = 0$, da cui si
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conclude che $\v \in V^\perp$, e quindi che $V^\perp \supseteq [\cdot]_\basis \inv (\Ker M_\basis(\varphi))$, da cui
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$V^\perp = [\cdot]_\basis \inv (\Ker M_\basis(\varphi))$, ossia
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la tesi.
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\end{proof}
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\begin{remark}
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Come conseguenza della proposizione appena dimostrata, valgono
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le principali proprietà già viste per il prodotto scalare. \\
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\li $\det(M_\basis(\varphi)) = 0 \iff V^\perp \neq \zerovecset \iff \varphi$ è degenere \\
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\end{remark}
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% TODO: valgono buona parte delle proprietà del prodotto scalare
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% TODO: aggiunge restrizione e complessificazione
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\end{document}
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@@ -147,6 +147,7 @@
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\newcommand{\v}{\vec{v}}
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\newcommand{\vv}[1]{\vec{v_{#1}}}
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\newcommand{\w}{\vec{w}}
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\newcommand{\U}{\vec{u}}
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\newcommand{\ww}[1]{\vec{w_{#1}}}
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\newcommand{\mapstoby}[1]{\xmapsto{#1}}
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