\begin{example} Si possono individuare facilmente alcune orbite per alcune azioni classiche.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Se $G =\GL(n, \KK)$ è il gruppo delle matrici invertibili su $\KK$ di taglia $n$ rispetto
all'operazione di moltiplicazione matriciale, $G$ opera naturalmente su $M(n, \KK)$ tramite
la similitudine, ossia $G$ agisce in modo tale che $P \cdot M = P M P\inv$$\forall P \in\GL(n, \KK)$,
$M \in M(n, \KK)$. In particolare, data $M \in M(n, \KK)$, $\Orb(M)$ coincide esattamente
con la classe di similitudine di $M$.
\item Se $G =\GL(n, \KK)$, $G$ opera naturalmente anche su $\Sym(n, \KK)$
tramite la congruenza, ossia tramite la mappa $(P, A)\mapsto P^\top A P$. L'orbita $\Orb(A)$ è la classe di congruenza delle matrice simmetria $A \in\Sym(n, \KK)$. Analogamente si può costruire un'azione per le
\item Se $G = O_n$, il gruppo delle matrici ortogonali di taglia $n$ su $\KK$, $G$ opera su $\RR^n$ tramite la mappa $O \cdot\vec v \mapsto O \vec v$. L'orbita $\Orb(\vec v)$ è in particolare la sfera $n$-dimensionale di raggio $\norm{v}$.
Sia $\tau$ l'applicazione da $G/\Stab(x)$ a $\Orb(x)$ tale
che $\tau(g\Stab(x))= g \cdot x$. Si dimostra innanzitutto che $\tau$ è
ben definita. Sia infatti $g' = g s \in G$, con $g \in G$ e $s \in\Stab(x)$, allora $\tau(g' \Stab(x))= g' \cdot x = g \cdot(s \cdot x)= g \cdot x =\tau(g \Stab(x))$, per cui $\tau$ è ben definita. \\
Chiaramente $\tau$ è surgettiva: sia infatti $y \in\Orb(x)$, allora
$\exists g \in G \mid g \cdot x = y \implies\tau(g \Stab(x))= g \cdot x = y$. Siano ora $g$, $g' \in G$ tali che $\tau(g \Stab(x))=\tau(g' \Stab(x))$, allora $g \cdot x = g' \cdot x \implies(g' g\inv)\cdot x = x \implies g' g\inv\in\Stab(x)$. Pertanto $g \Stab(x)= g' \Stab(x)$, e $\tau$ è allora iniettiva, da cui la tesi.
infatti $\Stab(e_H)=\{ g \in G \mid g \cdot e_H = f(g) e_H = f(g)= e_H \}=\Ker f$. Inoltre,
$\Orb(e_H)=\Im f$, dal momento che $\Orb(e_H)=\{ h \in H \mid\exists g \in G \tc g \cdot h = f(g) h = e_H \iff f(g)= h\inv\}=\{ h \in H \mid\exists g \in G \text{ t.c. } f(g)= h \}=\Im f$, dove
si è usato che $h\inv\in\Im f \iff h \in\Im f$. \\
Dal momento allora che $\Stab(e_H)$ è il kernel di $f$, vale che $\Stab(e_H)\nsg G$, e quindi
che $G/\Stab(e_H)$ è un gruppo.
Si verifica allora che l'applicazione $\tau$ costruita nella dimostrazione del teorema di orbita-stabilizzatore
è un omomorfismo. Siano infatti $g \Stab(e_H)$, $g' \Stab(e_H)\in G/\Stab(e_H)$, allora
Si dice che $G$\textbf{opera transitivamente} su $X$ se, dato $x \in X$, l'applicazione da $G$ in $X$ tale che $g \mapsto g \cdot x$ è surgettiva, ossia se $x \sim_G y$$\forall x$, $y \in X$, cioè se c'è un'unica orbita, che coincide con $X$. In
tal caso si dice che $X$ è un insieme \textbf{omogeneo} per l'azione di $G$ (o semplicemente che è
\item$O_n$ opera sulla sfera $n$-dimensione di $\RR^n$ transitivamente. In particolare, si può trovare un'analogia per lo stabilizzatore di una coordinata di un vettore $\v$ di $\RR^n$.
Per esempio, se si vuole fissare il vettore $\e n$,
$\forall O \in\Stab(\e n)$ deve valere che $O \e n =\e n$,
ossia l'ultima colonna di $O$ deve essere esattamente
$\e n$. Dal momento però che $O$ è ortogonale, le sue
colonne devono formare una base ortonormale di $\RR^n$,
e quindi tutta l'ultima riga di $O$, eccetto per il suo
ultimo elemento, deve essere nulla. Allora $O$ deve
\[ O =\Matrix{&&&&&&\rvline&0\,\\&&&&&&\rvline&\vdots\,\\&&&\mbox{\normalfont\Large$A$}&&&\rvline&\vdots\,\\&&&&&&\rvline&\vdots\,\\&&&&&&\rvline&\vdots\,\\\hline&0&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\rvline&1\,}, \]
\item Sia $\Gr_k(\RR^n)=\{ W \subseteq\RR^n \mid\dim W = k \}$, detto la Grassmanniana di $\RR^n$ di ordine $k$. $O_n$ opera transitivamente su $\Gr_k(\RR^n)$.
\li Se $X$ è $G$-omogeneo principale, l'azione di $G$ su $X$ è fedele. Infatti, $f_g =\Id\implies g \cdot x = x$$\forall x \in X$. Dal momento però che $X$ è $G$-omogeneo principale, $G$ opera liberamente su $X$,
e quindi $\Stab(x)=\{e\}$$\forall x \in X \implies g = e$. \\
\li Se $X$ è $G$-omogeneo e $G$ è abeliano, allora $G$ agisce fedelmente su $X$$\iff$$X$ è $G$-omogeneo principale. \\
Se $G$ agisce fedelmente su $X$, dato $x \in X$, si può considerare infatti $g \in\Stab(x)\implies g \cdot x = x$. Si osserva allora
che $f_g =\Id$. Dato infatti $y \in X$, dacché $X$ è $G$-omogeneo, $\exists g' \in G \mid y = g' \cdot x$,
da cui si ricava che $f_g(y)= g \cdot y = g \cdot(g' \cdot x)=(gg')\cdot x =(g'g)\cdot x = g' \cdot(g \cdot x)= g' \cdot x = y$, ossia proprio che $f_g =\Id$. Dal momento però che l'azione di $G$ su $X$ è fedele,
$f_g =\Id\implies g = e$, ossia $\Stab(x)=\{e\}$$\forall x \in X$, per cui si conclude che l'azione
di $G$ opera in maniera semplicemente transitiva su $X$, e dunque che $X$ è $G$-omogeneo principale. \\
Viceversa, se $X$ è $G$-omogeneo principale, $\Stab(x)=\{ e \}$$\forall x \in X$. Allora, se $f_g =\Id$,
per ogni $x \in X$ deve valere che $g \in\Stab(x)=\{ e \}\implies g = e$.
Siano adesso $P_1$, ..., $P_n$ punti di $E$. Dati $\lambda_1$, ..., $\lambda_n \in\KK$ e $O \in E$ si può allora individuare il punto $P = O +\sum_{i=1}^n \lambda_i (P_1- O)\in E$.
$P_1$, ..., $P_n$ se $\exists\lambda_1$, ..., $\lambda_n \in\KK$, $O \in E$ tali che $P = O +\sum_{i=1}^n \lambda_i (P_i - O)$ e che
$\sum_{i=1}^n \lambda_i =1$. Dal momento che per la precedente proposizione $P$ è invariante al variare di $O \in E$, si scriverà, senza alcuna ambiguità, che
\li Siano $P_1$, $P_2\in E$. Allora il sottospazio affine $\Aff(P_1, P_2)=\{\lambda_1 P_1+\lambda_2 P_2\mid\lambda_1+\lambda_2=1, \lambda_1, \lambda_2\in\KK\}=\{(1-\lambda) P_1+\lambda P_2\mid\lambda\in\KK\}=\{ P_1+\lambda(P_2- P_1)\mid\lambda\in\KK\}$ è detto \textit{retta affine passante per $P_1$ e $P_2$}. Analogamente il sottospazio affine generato da tre elementi è detto \textit{piano affine}. \\
\li Dato un insieme di punti $S \subseteq E$, $\Aff(S)$ è il più piccolo sottospazio affine, per inclusione,
contenente $S$. Infatti, se $T$ è un sottospazio affine contenente $S$, per definizione $T$ deve
contenere tutte le combinazioni affini di $S$, e quindi $\Aff(S)$.
