ossia l'iperpiano affine di $\Aa_{n+1}(\KK)$ dei vettori con l'ultima coordinata pari a $1$. Per comodità
si indica $\iota(\x)$ con $\hat\x$.
\begin{proposition}
$\iota$ è un'isomorfismo affine.
\end{proposition}
\begin{proof}
Si verifica innanzitutto che $\iota$ è un'applicazione affine. Siano $\lambda_1$, ..., $\lambda_k \in\KK$ tali
che $\sum_{i=1}^k \lambda_i =1$, e siano $\xx1$, ..., $\xx k \in E$. Allora vale che:
\[\iota\left(\sum_{i=1}^k \lambda_i \xx i \right)=\Vector{\sum_{i=1}^k \lambda_i \xx i \\1}=\Vector{\sum_{i=1}^k \lambda_i \xx i \\\sum_{i=1}^k \lambda_i}=\sum_{i=1}^k \lambda_i \,\iota(\xx i). \]
\vskip 0.05in
Si consideri\footnote{Per concludere in modo più diretto la dimostrazione è sufficiente anche esibire l'inverso di $g$, ottenuto ignorando l'ultima coordinata di un vettore di $H_{n+1}$.} ora l'applicazione lineare $g$ associata a $\iota$. Allora, posto $O =\vec0$, $g(\v)= f(O +\v)- f(O)=
f(\v) - f(\vec 0) = f(\v) - \Vector{0 &\cdots& 0 & 1}^\top$. Dal momento che la direzione di $H_{n+1}$ è
$n$-dimensionale (scegliendo $O$ come origine, tutti i vettori ottenibili scartano l'ultima coordinata, sempre
pari a $0$), $g$ mappa due spazi vettoriali di stessa dimensione. \\
Pertanto, è sufficiente dimostrare che $g$ è surgettiva affinché sia invertibile (e dunque $\iota$ sia un isomorfismo affine). Chiaramente $g$ è surgettiva, dal momento che ad ogni vettore $\hat\v=\Matrix{\v&0}\in\Giac(H_{n+1})$ è tale che $g(\v)=\hat\v$. Si conclude dunque che $g$ è invertibile, e che $\iota$ è
un isomorfismo affine.
\end{proof}
\begin{proposition}
Sia $f \in A(\AnK)$ e sia $f' =\iota\circ f \circ\iota\inv\in A(H_{n+1})$
l'identificazione di $f$ in $H_{n+1}$. Allora si può estendere $f'$ ad un'applicazione lineare invertibile $\hat f$ di $\KK^{n+1}$ (ossia ad un'applicazione $\hat f$ tale per cui $\restr{\hat f}{H_{n+1}}= f'$). Viceversa, data un'applicazione lineare invertibile $g \in\End(\KK^{n+1})$ tale che $\restr{g}{H_{n+1}}= H_{n+1}$, allora la restrizione $\restr{g}{H_{n+1}}$ è un'affinità di $H_{n+1}$ ed
induce un'affinità $f$ di $\AnK$ in modo tale che $f =\iota\inv\circ\restr{g}{H_{n+1}}\circ\iota$. \\
In particolare, una tale $\hat f$ è tale che $\hat f(\x')= A' \x'$$\forall\x' \in\KK^{n+1}$, dove
vale che:
\[ A' =\Matrix{ A &\rvline&\vec b \,\\\hline0&\rvline&1\,}, \qquad f(\v)= A \v+\vec b \quad\forall\v\in\AnK. \]
\end{proposition}
\begin{proof}
Si consideri $\hat f \in\End(\KK^{n+1})$ tale che $\hat f(\x')= A' \x'$. $\hat f$ è invertibile dal
momento che $A'$ lo è. Infatti vale che:
\[(A')\inv=\Matrix{ A\inv&\rvline&-A\inv\,\vec b \,\\\hline0&\rvline&1\,}. \]
\vskip 0.05in
Sia $\hat x =\Vector{\x&1}^\top\in H_{n+1}$. Sia ora $\hat x \in H_{n+1}$. Allora $\hat f(\hat x)=\Vector{A \x+\vec b &1}^\top=\Vector{f(\x)&1}^\top=\iota(f(\vec x))=\iota(f(\iota\inv(\hat x)))= f'(\hat x)\in H_{n+1}$$\forall\hat x \in H_{n+1}$. Pertanto $\restr{\hat f}{H_{n+1}}= f'$. \\
Si consideri adesso $g \in\GL(\KK^{n+1})$ tale che $\restr{g}{H_{n+1}}= H_{n+1}$. Sia $A'$ tale che
$g(\x')= A' \x'$$\forall\x' \in\KK^{n+1}$. Poiché $\restr{g}{H_{n+1}}= H_{n+1}$, allora
$(A')_{n+1,n+1}= g(\e{n+1})_{n+1}=1$. Poiché $g(\e n +\e{n+1})_{n+1}=1$, allora $(A')_{n+1,n}=0$.
In particolare, partendo da $j=n$ fino a $j=1$, si deduce, per induzione, che $g(\e j +\ldots+\e{n+1})_{n+1}=1\implies(A')_{n+1,j}=0$. \\
Allora $A'$ è della seguente forma:
\[ A' =\Matrix{ A &\rvline&\vec b \,\\\hline0&\rvline&1\,}, \quad A \in M(n, \KK), \,\vec b \in\KK^n. \]
\vskip 0.05in
Considerando allora l'applicazione affine $f \in\AnK$ tale che $f(\v)= A \v+\vec b$,
$g$ è l'applicazione lineare invertibile che estende $f' =\iota\circ f \circ\iota\inv$, come
visto prima, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{remark}
Le matrici della forma:
\[\Matrix{ A &\rvline&\vec b \,\\\hline0&\rvline&1\,}, \quad A \in M(n, \KK), \,\vec b \in\KK^n, \]
Si definisce lo \textbf{spazio proiettivo}$\PP(\KK^{n+1})=\PP^n(\KK)$ come l'insieme
dei sottospazi di dimensione unitaria di $\KK^{n+1}$.
\end{definition}
\begin{remark}
Se si definisce la relazione di equivalenza $\sim$ su $V$ in modo tale che $\x\sim\y\defiff\exists\alpha\in\KK^*\mid\x=\alpha\y$, $V \quot\sim$ è in bigezione con lo spazio proiettivo. In particolare,
ogni elemento di $V \quot\sim$ è un unico elemento dello spazio proiettivo a cui è stato tolto il vettore $\vec0$.
\end{remark}
\begin{remark}
Ogni elemento $\hat x =\Vector{\x&1}^\top$ di $H_{n+1}$ identifica un unico elemento dello spazio proiettivo, ossia $\Span(\hat x)$, dal momento che due vettori di $H_{n+1}$ appartengono alla stessa retta se e solo se
sono linearmente dipendenti, ossia se sono uguali. \\
Gli elementi di $\PP^n(\KK)$ che non contengono elementi di $H_{n+1}$ sono esattamente i sottospazi
contenenti vettori la cui ultima coordinata è nulla. Pertanto questi elementi, detti \textbf{punti all'infinito}
di $\PP^n(\KK)$, si possono identificare in particolare come elementi di $\PP^{n+1}(\KK)$. \\
\end{remark}
\begin{remark}
Si può ricoprire $\PP^n(\KK)$ con iperpiani analoghi ad $H_{n+1}$, ossia con gli iperpiani della
Sia $E$ uno spazio affine sullo spazio $V$ di dimensione $n$. Allora
valgono i seguenti due risultati.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Se $f \in A(E)$ e i punti $P_1$, ..., $P_k$ sono affinemente
indipendenti, allora anche i punti $f(P_1)$, ..., $f(P_k)$ sono
affinemente indipendenti.
\item Se i punti $P_1$, ..., $P_{n+1}$ sono affinemente indipendenti, e lo sono anche i punti $Q_1$, ..., $Q_{n+1}$,
allora esiste un'unica affinità
$f \in A(E)$ tale che $f(P_i)= Q_i$$\forall1\leq i \leq n+1$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
Si dimostrano i due risultati separatamente.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Poiché $f \in A(E)$, allora $g \in\GL(V)$, ed è
dunque invertibile. Si considerino i vettori $f(P_i)- f(P_1)= g(P_i - P_1)$
con $2\leq i \leq k$. Dal momento che è invertibile,
$g$ mappa vettori linearmente indipendenti a vettori
ancora linearmente indipendenti.
Allora, poiché i punti
$P_1$, ..., $P_k$ sono affinemente indipendenti, i
vettori $P_i - P_1$ sono linearmente indipendenti per
$2\leq i \leq k$. Pertanto anche i vettori $g(P_i - P_1)= f(P_i)- f(P_1)$ con $2\leq i \leq k$ sono linearmente indipendenti, da cui si conclude che i punti $f(P_1)$, ...,
$f(P_k)$ sono affinemente indipendenti.
\item Dal momento che i punti $P_1$, ..., $P_{n+1}$ sono
affinemente indipendenti, allora i vettori $P_i - P_1$ con
$2\leq i \leq n+1$ sono linearmente indipendenti, e formano
dunque una base di $V$, essendo tanti quanti la dimensione
di $V$. Analogamente anche i vettori $Q_i - Q_1$ con $2\leq i \leq n+1$ formano una base di $V$.
In particolare esiste una sola applicazione lineare $g$ che
associa a $P_i - P_1$ il vettore $Q_i - Q_1$, con $2\leq i \leq n+1$. Dacché le immagini formano una base di $V$, $g$ è suriettiva,
e dunque, poiché $g \in\End(V)$, $g$ è anche invertibile.
Un'affinità $f \in A(E)$ tale che $f(P_i)= Q_i$ con $1\leq i \leq n+1$ è per esempio $f(P)= Q_1+ g(P - P_1)$. \\
Si mostra che tale $f$ è anche unica. Se esistesse $f' \in A(E)$
con le stesse proprietà di $f$, varrebbe che $Q_i - Q_1= f'(P_i)- f'(P_1)= g'(P_i - P_1)$$\forall2\leq i \leq n+1$. Tuttavia
una $g'$ tale che mappi $P_i - P_1$ a $Q_i - P_1$$\forall2\leq i \leq n+1$ è unica, e quindi $g' = g$. Allora $f'(P)= Q_1+ g(P - P_1)= f(P)$$\forall P \in E$$\implies f' = f$. \qedhere
\[\vec u =\underbrace{\left(\sum_{i=1}^k \lambda_i P_i +\sum_{j=1}^{k'}\mu_j P\right)}_{\in D}- P +\underbrace{\left(\sum_{i=1}^k \lambda_i P +\sum_{j=1}^{k'}\mu_j Q_j\right)}_{\in D'}- P, \]
dove, ricordando che $P \in D \cap D'$, vale che:
\[\left(\sum_{i=1}^k \lambda_i P_i +\sum_{j=1}^{k'}\mu_j P\right)- P \in D_0, \quad
\left(\sum_{i=1}^k \lambda_i P + \sum_{j=1}^{k'}\mu_j Q_j\right) - P \in D'_0, \]
da cui si conclude che $\vec u \in D_0+ D_0' \implies\Aff(D \cup D')_0\subseteq D_0+ D'_0$,
e quindi che $\Aff(D \cup D')_0= D_0+ D'_0$.
\item Come prima, si dimostra l'identità mostrando che vale la doppia inclusione dei due
spazi vettoriali. Sia $\vec u \in D_0\cap D_0'$. Sia $P \in D \cap D'$. Allora esiste $P_1\in D$
tale che $\vec u = P - P_1$. Analogamente esiste $P_2\in D'$ tale che $\vec u = P - P_2$. Poiché
$E$ è $V$-omogeneo, esiste un solo punto $P'$ tale che $P = P' +\vec u$. Si conclude dunque
che $P_1= P_2$, e dunque che $P_1$ appartiene anche a $D'$. Pertanto $\vec u \in(D \cap D')_0\implies
D_0 \cap D_0' \subseteq (D \cap D')_0$.
Sia ora invece $\vec u \in(D \cap D')_0$. Allora esiste $P_1\in D \cap D'$ tale che
$\vec u = P - P_1$. In particolare, dal momento che $P$ e $P_1$ appartengono a $D$,
$\vec u \in D_0$. Analogamente $\vec u \in D_0'$. Pertanto $\vec u \in D_0\cap D_0' \implies
(D \cap D')_0 \subseteq D_0 \cap D_0'$, da cui si conclude che $(D \cap D')_0 = D_0 \cap D_0'$. \qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{proposition} [formula di Grassmann per i sottospazi affini]
Siano $D$ e $D'$ due sottospazi affini di $E$ con $D \cap D' \neq\emptyset$. Allora
$\dim\Aff(D \cup D')=\dim D +\dim D' -\dim(D \cap D')$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Per la proposizione precedente, $\dim\Aff(D \cup D')=\dim(D_0+ D_0')$. Allora, applicando
la formula di Grassmann per i sottospazi vettoriali, $\dim(D_0+ D_0')=\dim D_0+\dim D_0' -\dim(D_0\cap D_0')=\dim D +\dim D' -\dim(D_0\cap D_0')$. Sempre per la proposizione precedente,
$D_0\cap D_0' =(D \cap D')_0$, da cui si deduce che $\dim(D_0\cap D_0')=\dim(D \cap D')_0=\dim D \cap D'$. Pertanto $\dim\Aff(D \cup D')=\dim D +\dim D' -\dim(D \cap D')$.
