mirror of https://github.com/hearot/notes
You cannot select more than 25 topics
Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
89 lines
2.3 KiB
TeX
89 lines
2.3 KiB
TeX
3 years ago
|
\documentclass{book}
|
||
|
|
|
||
|
|
\usepackage{amsmath}
|
||
|
|
\usepackage{amsthm}
|
||
|
|
\usepackage[italian]{babel}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{document}
|
||
|
|
|
||
|
|
\author{Gabriel Antonio Videtta}
|
||
|
|
\title{Appunti di Fisica}
|
||
|
|
\maketitle
|
||
|
|
\thispagestyle{empty}
|
||
|
|
|
||
|
|
\newcommand{\gfrac}[2]{\displaystyle \frac{#1}{#2}}
|
||
|
|
|
||
|
|
\newpage
|
||
|
|
|
||
|
|
\chapter{I moti principali della fisica}
|
||
|
|
|
||
|
|
\section{Moto rettilineo uniforme (m.u.a.)}
|
||
|
|
|
||
|
|
Conoscendo le definizioni di accelerazione ($\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$)
|
||
|
|
e di velocità ($\vec{v} = \frac{d\vec{x}}{dt}$) è possibile, ponendo l'accelerazione
|
||
|
|
costante (i.e. il \textit{jerk} è nullo, $\frac{d\vec{a}}{dt} = 0$), ricavare numerose formule.
|
||
|
|
|
||
|
|
\subsection{Le equazioni del moto in un sistema di riferimento unidimensionale}
|
||
|
|
|
||
|
|
Le equazioni del moto sono le seguenti:
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{equation}
|
||
|
|
\begin{cases}
|
||
|
|
x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}a_0t^2 \\
|
||
|
|
v(t)=v_0+at
|
||
|
|
\end{cases}
|
||
|
|
\end{equation}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{proof}
|
||
|
|
Da $a=\frac{dv}{dt}$, si ricava $dv=a\cdot dt$, da cui:
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{equation*}
|
||
|
|
\int dv=\int a\, dt = a \int dt \Rightarrow v=v_0+at
|
||
|
|
\end{equation*}
|
||
|
|
|
||
|
|
Dimostrata questa prima equazione, è possibile dimostrare in modo analogo l'altra:
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{equation*}
|
||
|
|
\int dx=\int v\cdot dt = \int v_0\, dt + \int at\, dt = x_0+v_0t+\frac12at^2
|
||
|
|
\end{equation*}
|
||
|
|
|
||
|
|
La dimostrazione può essere inoltre resa immediata se si sviluppano $x(t)$ e
|
||
|
|
$v(t)$ come serie di Taylor-Maclaurin.
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{proof}
|
||
|
|
|
||
|
|
\subsection{Lo spostamento in funzione della velocità e dell'accelerazione}
|
||
|
|
|
||
|
|
Senza ricorrere alla variabile di tempo $t$, è possibile
|
||
|
|
esprimere lo spostamento in funzione della velocità e dell'accelerazione
|
||
|
|
mediante le seguente formula:
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{equation}
|
||
|
|
x-x_0=\frac{v^2-v_0^2}{2a}
|
||
|
|
\end{equation}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{proof}
|
||
|
|
|
||
|
|
Considerando $a=\frac{dv}{dt}$, è possibile riscrivere mediante l'impiego
|
||
|
|
delle formule di derivazione delle funzioni composte quest'ultima formula in
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{equation*}
|
||
|
|
a=\frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}=v\,\frac{dv}{dx}
|
||
|
|
\end{equation*}
|
||
|
|
|
||
|
|
Da ciò si può ricavare infine l'ultima formula:
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{equation*}
|
||
|
|
a\,dx=v\,dv \Rightarrow a \int dx = \int v \, dv
|
||
|
|
\end{equation*}
|
||
|
|
|
||
|
|
E quindi:
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{equation*}
|
||
|
|
a(x-x_0)=\frac{v^2-v_0^2}{2} \Rightarrow x-x_0=\frac{v^2-v_0^2}{2a}
|
||
|
|
\end{equation*}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{proof}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{document}
|