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Secondo anno/Analisi 2/Introduzione derivate/main.tex

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+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	%\title{}
+	%\maketitle
+
+	\begin{definition}[prodotto scalare standard in $\RR^n$]
+		Si definisce \textbf{prodotto scalare} (standard)
+		la forma bilineare simmetrica definita
+		positiva di $\RR^n$ la cui matrice associata nella
+		base canonica di $\RR^n$ è l'identità. In particolare
+		vale che:
+		\[ v \cdot w = \sum_{i=1}^n v_i w_i. \]
+	\end{definition}
+	
+	\begin{remark}
+		Dall'Algebra lineare, ogni iperpiano $P$ di $\RR^{n}$ è
+		rappresentabile tramite traslazione di una giacitura che è ortogonale rispetto a una retta,
+		ossia esistono sempre $c \in \RR$ e $v \in \RR^{n}$ tale per cui:
+		\[ x \in P \iff x \cdot v = c. \]
+	\end{remark}
+	
+	\begin{definition}[derivata direzionale]
+		Dati $x_0 \in \RR^n$, $f : \RR^n \to \RR$, e
+		$v \in \RR^n$, definisco la \textbf{derivata direzionale}
+		come:
+		\[ \frac{\partial f}{\partial v}(x_0) = \lim_{\eps \to 0} \frac{f(x + \eps v) - f(x)}{\eps}. \]
+	\end{definition}
+	
+	\begin{remark}
+		Si osserva che vale la seguente identità:
+		\[ \frac{\partial f}{\partial \lambda v} = \lambda \frac{\partial f}{\partial v}, \]
+		e che se $v = 0$, allora la derivata direzionale vale
+		sempre $0$.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{remark}
+		Non vale la linearità sui vettori della derivata
+		direzionale, ossia, in generale, vale che:
+		\[ \frac{\partial f}{\partial (v + w)} \neq \frac{\partial f}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial w}. \]
+		Se infatti si definisce $f$ tale per cui:
+		\[ f(x, y) = \begin{cases}
+			\frac{x^2 y}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq 0,
+			\\ 0 & (x, y) = 0,
+		\end{cases} \]
+		allora $\frac{\partial f}{\partial e_1}(0) =
+		\frac{\partial f}{\partial e_2}(0) = 0$, ma
+		$\frac{\partial f}{\partial (1,1)}(0) = \frac{1}{2}$.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{remark}
+		Trovando un'analogia con $\RR$, vale la seguente identità:
+		\[ f(x_0 + \eps v) = f(x_0) + \eps \frac{\partial f}{\partial v}(x_0) + o(\abs{\eps v}). \]
+		In particolare si osserva che l'$o$-piccolo dipende dal
+		vettore direzionale scelto.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{definition}[derivata parziale]
+		Si definisce \textbf{derivata parziale} rispetto a
+		$x_i$, la derivata direzionale rispetto al vettore
+		$e_i$, e si indica con:
+		\[ \frac{\partial f}{\partial x_i} := \frac{\partial f}{\partial e_i} \]
+	\end{definition}
+	
+	\begin{remark}
+		Se $\frac{\partial f}{\partial v}$ fosse lineare su $v$,
+		allora si potrebbe riscrivere la derivata direzionale come:
+		\[ \frac{\partial f}{\partial v} = \nabla \! f \, v, \quad
+			\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial f}{\partial x_n}\right), \]
+		dove $\nabla f$ è così composto perché in ogni colonna
+		raccoglie la sua valutazione nella base canonica, ossia
+		le derivate parziali.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{definition}[gradiente di $f$]
+		Si definisce \textbf{gradiente} di una funzione $f : \RR^n \to \RR$ il vettore:
+		\[ \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial f}{\partial x_n}\right). \]
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}[differenziabilità]
+		Si dice che $f$ è \textbf{differenziabile} se esiste
+		$\omega \in \RR^n$ tale per cui:
+		\[ f(x) = f(x_0) + (x-x_0) \cdot \omega + o(\abs{x-x_0}). \]
+		In tal caso si dice che $\omega$ è il suo \textbf{differenziale} e si indica con $Df(x_0)$.
+	\end{definition}
+\end{document}