Al contrario, il prodotto scalare $\varphi : \RR^2\to\RR$ tale che $\varphi((x_1, x_2), (y_1, y_2))= x_1 y_1- x_2 y_2$ non è definito positivo: $\varphi((x, y), (x, y))=0$, $\forall$$(x, y)\mid x^2= y^2$, ossia se
$y = x$ o $y =-x$.
\end{example}
\begin{definition}
Dato un prodotto scalare $\varphi$ di $V$, ad ogni vettore $\vec{v}\in V$ si associa una \textbf{forma quadratica}
$q : V \to\KK$ tale che $q(\vec{v})=\varphi(\vec{v}, \vec{v})$.
Ad un dato prodotto scalare $\varphi$ di $V$ si associa una mappa
$q : V \to\KK$, detta \textbf{forma quadratica}, tale che $q(\vec{v})=\varphi(\vec{v}, \vec{v})$.
\end{definition}
\begin{remark}
@ -100,31 +100,29 @@ forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $\KK^n$.
\begin{example}
Rispetto al prodotto scalare $\varphi : \RR^3\to\RR$ tale che $\varphi((x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3))=
x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$, i vettori isotropi $(x, y, z)$ sono quelli tali che $x^2 + y^2 = z^2$, ossia
i vettori stanti sul cono di eq.~$x^2+ y^2= z^2$.
x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$, i vettori isotropi sono i vettori della forma $(x, y, z)$ tali che $x^2 + y^2 = z^2$, ossia
i vettori stanti sul cono di equazione $x^2+ y^2= z^2$.
\end{example}
\begin{remark}
Come già osservato in generale per le app.~multilineari, il prodotto scalare è univocamente determinato
Come già osservato in generale per le applicazioni multilineari, il prodotto scalare è univocamente determinato
dai valori che assume nelle coppie $\vv{i}, \vv{j}$ estraibili da una base $\basis$. Infatti, se
$\basis=(\vv1, ..., \vv{k})$, $\vec{v}=\sum_{i=1}^k \alpha_i \vv{i}$ e $\vec{w}=\sum_{i=1}^k \beta_i \vv{i}$,
@ -140,10 +138,10 @@ forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $\KK^n$.
\end{proof}
\begin{definition}
Si definisce \textbf{congruenza} la relazione di equivalenza $\cong$ definita nel seguente
Si definisce \textbf{congruenza} la relazione di equivalenza $\cong$(denotata anche come $\equiv$) definita nel seguente
modo su $A, B \in M(n, \KK)$:
\[ A \cong B \iff\exists P \in GL(n, \KK)\mid A = P^\top A P. \]
\[ A \cong B \defiff\exists P \in GL(n, \KK)\mid A = P^\top A P. \]
\end{definition}
\begin{remark}
@ -151,7 +149,7 @@ forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $\KK^n$.
\li$A = I^\top A I \implies A \cong A$ (riflessione), \\
\li$A \cong B \implies A = P^\top B P \implies B =(P^\top)\inv A P\inv=(P\inv)^\top A P\inv\implies B \cong A$ (simmetria), \\
\li$A \cong B\implies A = P^\top B P$, $B \cong C \impliesB = Q^\top C Q$, quindi $A = P^\top Q^\top C Q P =
\li$A \cong B$,$B \cong C$$\implies A = P^\top B P$, $B = Q^\top C Q$, quindi $A = P^\top Q^\top C Q P =
(QP)^\top C (QP) \implies A \cong C$(transitività).
\end{remark}
@ -163,14 +161,14 @@ forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $\KK^n$.
endomorfismo sono sempre simili).
\li Se $A$ e $B$ sono congruenti, $A = P^\top B P \implies\rg(A)=\rg(P^\top B P)=\rg(BP)=\rg(B)$,
dal momento che $P$ e $P^\top$ sono invertibili; quindi il rango è un invariante per congruenza. Allora
è ben definito il rango $\rg(\varphi)$ di un prodotto scalare come il rango di una sua qualsiasi matrice
associata.
si può ben definire il rango $\rg(\varphi)$ di un prodotto scalare come il rango della matrice
associata di $\varphi$ in una qualsiasi base di $V$.\\
\li Se $A$ e $B$ sono congruenti, $A = P^\top B P \implies\det(A)=\det(P^\top B P)=\det(P^\top)\det(B)\det(P)=
\det(P)^2 \det(B)$. Quindi, per $\KK = \RR$, il segno del determinante è invariante per congruenza.
\det(P)^2 \det(B)$. Quindi, per $\KK = \RR$, il segno del determinante è un altro invariante per congruenza.
\end{remark}
\begin{definition}
Si dice \textbf{radicale} di un prodotto scalare $\varphi$ lo spazio:
Si definisce il\textbf{radicale} di un prodotto scalare $\varphi$ come lo spazio:
\[ V^\perp=\{\vec{v}\in V \mid\varphi(\vec{v}, \vec{w})=0\,\forall\vec{w}\in V \}\]
@ -178,7 +176,9 @@ forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $\KK^n$.
\end{definition}
\begin{remark}
Il radicale di $\RR^n$ con il prodotto scalare canonico ha dimensione nulla, dal momento che $\forall\vec{v}\in\RR^n \setminus\{\vec{0}\}$, $q(\vec{v})=\varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$.
Il radicale del prodotto scalare canonico su $\RR^n$ ha dimensione nulla, dal momento che $\forall\vec{v}\in\RR^n \setminus\{\vec{0}\}$, $q(\vec{v})=\varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0\implies\v\notin V^\perp$. In
generale ogni prodotto scalare definito positivo (o negativo) è non degenere, dal momento che ogni vettore
non nullo non è isotropo, e dunque non può appartenere a $V^\perp$.
\end{remark}
\begin{definition}
@ -186,14 +186,19 @@ forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $\KK^n$.
dimensione non nulla.
\end{definition}
%TODO: spiegare perché \alpha_\varphi è lineare e aggiungere esempi nella parte precedente.
%TODO: aggiungere osservazioni sul radicale (i.e. che è uno spazio, che ogni suo vettore è isotropo, ...).
\begin{remark}
Si definisce l'applicazione lineare $\alpha_\varphi : V \to\dual{V}$ in modo tale che
$\alpha_\varphi(\vec{v})= p$, dove $p(\vec{w})=\varphi(\vec{v}, \vec{w})$. \\
Allora $V^\perp$ altro non è che $\Ker\alpha_\varphi$. Se $V$ ha dimensione finita, $\dim V =\dim\dual{V}$,
Sia $\alpha_\varphi : V \to\dual{V}$ la mappa\footnote{In letteratura questa mappa, se invertibile, è nota come \textit{isomorfismo musicale}, ed è in realtà indicata come $\flat$.} tale che
$\alpha_\varphi(\vec{v})= p$, dove $p(\vec{w})=\varphi(\vec{v}, \vec{w})$$\forall\v$, $\w\in V$. \\
Si osserva che $\alpha_\varphi$ è un'applicazione lineare. Infatti, $\forall\v$, $\w$, $\U\in V$,
Si osserva inoltre che $\Ker\alpha_\varphi$ raccoglie tutti
i vettori $\v\in V$ tali che $\varphi(\v, \w)=0$$\forall\w\in W$, ossia esattamente i vettori di $V^\perp$, per cui si conclude che $V^\perp=\Ker\alpha_\varphi$ (per cui $V^\perp$ è effettivamente uno
spazio vettoriale). Se $V$ ha dimensione finita, $\dim V =\dim\dual{V}$,
e si può allora concludere che $\dim V^\perp > 0\iff\Ker\alpha_\varphi\neq\{\vec{0}\}\iff\alpha_\varphi$ non è
invertibile (infatti lo spazio di partenza e di arrivo di $\alpha_\varphi$ hanno la stessa dimensione). In
particolare, $\alpha_\varphi$ non è invertibile se e solo se $\det(\alpha_\varphi)=0$. \\
@ -205,6 +210,6 @@ forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $\KK^n$.
Al contrario, il prodotto scalare $\varphi : \RR^2\to\RR$ tale che $\varphi((x_1, x_2), (y_1, y_2))= x_1 y_1- x_2 y_2$ non è definito positivo: $\varphi((x, y), (x, y))=0$, $\forall$$(x, y)\mid x^2= y^2$, ossia se
$y = x$ o $y =-x$.
\end{example}
\begin{definition}
Dato un prodotto scalare $\varphi$ di $V$, ad ogni vettore $\vec{v}\in V$ si associa una \textbf{forma quadratica}
$q : V \to\KK$ tale che $q(\vec{v})=\varphi(\vec{v}, \vec{v})$.
Ad un dato prodotto scalare $\varphi$ di $V$ si associa una mappa
$q : V \to\KK$, detta \textbf{forma quadratica}, tale che $q(\vec{v})=\varphi(\vec{v}, \vec{v})$.
\end{definition}
\begin{remark}
@ -86,31 +86,29 @@
\begin{example}
Rispetto al prodotto scalare $\varphi : \RR^3\to\RR$ tale che $\varphi((x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3))=
x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$, i vettori isotropi $(x, y, z)$ sono quelli tali che $x^2 + y^2 = z^2$, ossia
i vettori stanti sul cono di eq.~$x^2+ y^2= z^2$.
x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$, i vettori isotropi sono i vettori della forma $(x, y, z)$ tali che $x^2 + y^2 = z^2$, ossia
i vettori stanti sul cono di equazione $x^2+ y^2= z^2$.
\end{example}
\begin{remark}
Come già osservato in generale per le app.~multilineari, il prodotto scalare è univocamente determinato
Come già osservato in generale per le applicazioni multilineari, il prodotto scalare è univocamente determinato
dai valori che assume nelle coppie $\vv{i}, \vv{j}$ estraibili da una base $\basis$. Infatti, se
$\basis=(\vv1, ..., \vv{k})$, $\vec{v}=\sum_{i=1}^k \alpha_i \vv{i}$ e $\vec{w}=\sum_{i=1}^k \beta_i \vv{i}$,
Si definisce \textbf{congruenza} la relazione di equivalenza $\cong$ definita nel seguente
Si definisce \textbf{congruenza} la relazione di equivalenza $\cong$(denotata anche come $\equiv$) definita nel seguente
modo su $A, B \in M(n, \KK)$:
\[ A \cong B \iff\exists P \in GL(n, \KK)\mid A = P^\top A P. \]
\[ A \cong B \defiff\exists P \in GL(n, \KK)\mid A = P^\top A P. \]
\end{definition}
\begin{remark}
@ -137,7 +135,7 @@
\li$A = I^\top A I \implies A \cong A$ (riflessione), \\
\li$A \cong B \implies A = P^\top B P \implies B =(P^\top)\inv A P\inv=(P\inv)^\top A P\inv\implies B \cong A$ (simmetria), \\
\li$A \cong B\implies A = P^\top B P$, $B \cong C \impliesB = Q^\top C Q$, quindi $A = P^\top Q^\top C Q P =
\li$A \cong B$,$B \cong C$$\implies A = P^\top B P$, $B = Q^\top C Q$, quindi $A = P^\top Q^\top C Q P =
(QP)^\top C (QP) \implies A \cong C$(transitività).
\end{remark}
@ -149,14 +147,14 @@
endomorfismo sono sempre simili).
\li Se $A$ e $B$ sono congruenti, $A = P^\top B P \implies\rg(A)=\rg(P^\top B P)=\rg(BP)=\rg(B)$,
dal momento che $P$ e $P^\top$ sono invertibili; quindi il rango è un invariante per congruenza. Allora
è ben definito il rango $\rg(\varphi)$ di un prodotto scalare come il rango di una sua qualsiasi matrice
associata.
si può ben definire il rango $\rg(\varphi)$ di un prodotto scalare come il rango della matrice
associata di $\varphi$ in una qualsiasi base di $V$.\\
\li Se $A$ e $B$ sono congruenti, $A = P^\top B P \implies\det(A)=\det(P^\top B P)=\det(P^\top)\det(B)\det(P)=
\det(P)^2 \det(B)$. Quindi, per $\KK = \RR$, il segno del determinante è invariante per congruenza.
\det(P)^2 \det(B)$. Quindi, per $\KK = \RR$, il segno del determinante è un altro invariante per congruenza.
\end{remark}
\begin{definition}
Si dice \textbf{radicale} di un prodotto scalare $\varphi$ lo spazio:
Si definisce il\textbf{radicale} di un prodotto scalare $\varphi$ come lo spazio:
\[ V^\perp=\{\vec{v}\in V \mid\varphi(\vec{v}, \vec{w})=0\,\forall\vec{w}\in V \}\]
@ -164,7 +162,9 @@
\end{definition}
\begin{remark}
Il radicale di $\RR^n$ con il prodotto scalare canonico ha dimensione nulla, dal momento che $\forall\vec{v}\in\RR^n \setminus\{\vec{0}\}$, $q(\vec{v})=\varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$.
Il radicale del prodotto scalare canonico su $\RR^n$ ha dimensione nulla, dal momento che $\forall\vec{v}\in\RR^n \setminus\{\vec{0}\}$, $q(\vec{v})=\varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0\implies\v\notin V^\perp$. In
generale ogni prodotto scalare definito positivo (o negativo) è non degenere, dal momento che ogni vettore
non nullo non è isotropo, e dunque non può appartenere a $V^\perp$.
\end{remark}
\begin{definition}
@ -172,14 +172,19 @@
dimensione non nulla.
\end{definition}
%TODO: spiegare perché \alpha_\varphi è lineare e aggiungere esempi nella parte precedente.
%TODO: aggiungere osservazioni sul radicale (i.e. che è uno spazio, che ogni suo vettore è isotropo, ...).
\begin{remark}
Si definisce l'applicazione lineare $\alpha_\varphi : V \to\dual{V}$ in modo tale che
$\alpha_\varphi(\vec{v})= p$, dove $p(\vec{w})=\varphi(\vec{v}, \vec{w})$. \\
Allora $V^\perp$ altro non è che $\Ker\alpha_\varphi$. Se $V$ ha dimensione finita, $\dim V =\dim\dual{V}$,
Sia $\alpha_\varphi : V \to\dual{V}$ la mappa\footnote{In letteratura questa mappa, se invertibile, è nota come \textit{isomorfismo musicale}, ed è in realtà indicata come $\flat$.} tale che
$\alpha_\varphi(\vec{v})= p$, dove $p(\vec{w})=\varphi(\vec{v}, \vec{w})$$\forall\v$, $\w\in V$. \\
Si osserva che $\alpha_\varphi$ è un'applicazione lineare. Infatti, $\forall\v$, $\w$, $\U\in V$,
Si osserva inoltre che $\Ker\alpha_\varphi$ raccoglie tutti
i vettori $\v\in V$ tali che $\varphi(\v, \w)=0$$\forall\w\in W$, ossia esattamente i vettori di $V^\perp$, per cui si conclude che $V^\perp=\Ker\alpha_\varphi$ (per cui $V^\perp$ è effettivamente uno
spazio vettoriale). Se $V$ ha dimensione finita, $\dim V =\dim\dual{V}$,
e si può allora concludere che $\dim V^\perp > 0\iff\Ker\alpha_\varphi\neq\{\vec{0}\}\iff\alpha_\varphi$ non è
invertibile (infatti lo spazio di partenza e di arrivo di $\alpha_\varphi$ hanno la stessa dimensione). In
particolare, $\alpha_\varphi$ non è invertibile se e solo se $\det(\alpha_\varphi)=0$. \\
