gtd(scheda): derivata direzionale

Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.tex

@@ -24,5 +24,6 @@
 \input{sections/0-prerequisiti.tex}
 \input{sections/1-curve.tex}
 \input{sections/2-superfici.tex}
+\input{sections/3-curve_su_superfici.tex}
 
 \end{document}

Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex

@@ -32,7 +32,7 @@
 
 \renewcommand{\vec}[1]{{\underaccent{\bar}{{#1}}}}
 
-\newtheorem*{warn}{\warning \; Attenzione}
+\newtheorem*{warn}{{\fontencoding{U}\fontfamily{futs}\selectfont\char 49\relax} \; Attenzione}
 
 \newtheoremstyle{customth}
 {\topsep}{\topsep}
@@ -99,6 +99,8 @@
 \newcommand{\der}[2]{\frac{\mathop{}\!\textnormal{\slshape d} #1}{\mathop{}\!\textnormal{\slshape d} #2}}
 \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
 
+\newcommand{\dertime}[1]{\frac{\mathop{}\!\textnormal{\slshape d}}{\mathop{}\!\textnormal{\slshape d} t} \bigg|_{#1}}
+
 \newcommand*\dif{\mathop{}\!\textnormal{\slshape d}}
 
 \newcommand{\dx}{\dif{x}}

Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-prerequisiti.tex

@@ -9,6 +9,10 @@
     \addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}
 
     \begin{itemize}
+        \item \textbf{Teorema di Schwarz} -- Sia $f : \RR^n \to \RR$ una funzione che ammette derivate seconde
+              miste continue in $\vec{x}$. Allora $\partial_{x_i x_j} f(\vec{x}) = \partial_{x_j x_i} f(\vec{x})$ per
+              ogni variabile $x_i$, $x_j$.
+
         \item \textbf{Teorema della funzione implicita} -- Sia $U$ un aperto di $\RR^m \times \RR^n$ e sia
               $f : U \to \RR^n$ una funzione di classe $C^k$ con $k \geq 1$. Sia $\vec{p} = (\vec{x_0}, \vec{y_0})$ un punto in $U$ con
               $f(\vec{x_0}, \vec{y_0}) = \vec{a}$ e $J_{\vec{y}} f(\vec{p})$ invertibile. \smallskip

Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/1-curve.tex

@@ -161,7 +161,7 @@
         a ogni tempo $s$ il \textbf{versore normale} $N_\beta(s)$ così
         definito:
         \[
-            N_\beta(s) = \frac{T_\beta(s)}{\norm{T_\beta(s)}}.
+            N_\beta(s) \defeq \frac{T_\beta(s)}{\norm{T_\beta(s)}}.
         \]
     \end{definition}
 
@@ -170,7 +170,7 @@
         a ogni tempo $s$ il \textbf{versore binormale} $B_\beta(s)$ così
         definito:
         \[
-            B_\beta(s) = T_\beta(s) \times N_\beta(s).
+            B_\beta(s) \defeq T_\beta(s) \times N_\beta(s).
         \]
     \end{definition}
 

Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex

@@ -91,12 +91,20 @@
         Sia $\alpha : I \to \RR^3$ una curva parametrizzata della forma
         $(a(t), 0, b(t))$ tale che $\alpha$ è regolare e omeomorfismo locale.
         Si definisce allora la \textbf{superficie di rotazione} (intorno
-        all'asse $z$) di $\alpha$ come l'immagine della seguente parametrizzazione:
+        all'asse $z$) di $\alpha$ come l'immagine della seguente
+        parametrizzazione canonica:
         \[
             \vec{x}(u, v) = (a(u) \cos(v), a(u) \sin(v), b(u)).
         \]
     \end{definition}
 
+    \begin{definition}[Paralleli e meridiani]
+        Sia $\Sigma$ una superficie di rotazione con parametrizzazione canonica
+        $\vec{x}$. Allora l'immagine della curva $\alpha_{u_0}(t) = \vec{x}(u_0, t)$
+        è detta \textbf{parallelo}, mentre quella della curva
+        $\gamma_{v_0}(t) = \vec{x}(t, v_0)$ è detta \textbf{meridiano}.
+    \end{definition}
+
     \begin{proposition}
         Una superficie di rotazione è effettivamente una superficie, poiché
         la sua parametrizzazione canonica è regolare.
@@ -242,4 +250,10 @@
         Il gradiente $\nicefrac{\nabla f}{\norm{\nabla f}}$ è un campo vettoriale unitario e
         ortogonale a $T_P \Sigma$ per ogni punto $P$. Si conclude per la Proposizione \ref{prop:normale_continua}.
     \end{proof}
+
+    \begin{warn}
+        Ogni superficie è localmente orientabile! \\[0.5em]
+        È sufficiente prendere per ogni
+        punto come ricoprimento la sua stessa parametrizzazione regolare.
+    \end{warn}
 \end{multicols*}

Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/3-curve_su_superfici.tex

@@ -0,0 +1,90 @@
+%--------------------------------------------------------------------
+\chapter{Curve su superfici}
+\setlength{\parindent}{2pt}
+
+\begin{multicols*}{2}
+    \section{Piano tangente e derivata direzionale}
+
+    \subsection{Coordinate di una curva rispetto a una parametrizzazione regolare}
+
+    \begin{proposition} \label{prop:coordinate_curva_parametrizzazione}
+        Sia $\vec{x} : U \to \RR^3$ una parametrizzazione regolare e sia $\alpha : I \to \vec{x}(U)$
+        una curva. Allora $\alpha$ si scrive come:
+        \[
+            \alpha(t) = \vec{x}(u(t), v(t)),
+        \]
+        con $u(t)$, $v(t) : I \to U$ funzioni di classe $C^\infty$.
+    \end{proposition}
+
+    \begin{proof}
+        Segue immediatamente dalla Proposizione \ref{prop:parametrizzazione_è_cinf}.
+    \end{proof}
+
+    \subsection{Relazione tra il piano tangente e le velocità delle curve}
+
+    \begin{proposition}[Il piano tangente è l'insieme delle velocità delle curve sulla superficie considerata]
+        Sia $\Sigma$ una superficie. Allora vale:
+        \[
+            T_P \Sigma = \{ \alpha'(P) \mid \alpha : I \to \Sigma \textnormal{ curva con } P \in \alpha(I) \}.
+        \]
+    \end{proposition}
+
+    \begin{proof}
+        Sia $P = \vec{x}(0, 0)$, dove $\vec{x} : B_\eps \to \Sigma$ è una parametrizzazione regolare di $P$.
+        È sufficiente osservare che ogni vettore tangente è una combinazione lineare della forma
+        $\lambda \vec{x_u} + \mu \vec{x_v}$; allora la curva
+        $\alpha(t) = \vec{x}(t \lambda, t \mu)$ ha velocità $\lambda \vec{x_u} + \mu \vec{x_v}$ in
+        $P$.
+    \end{proof}
+
+    \subsection{Funzioni lisce sulla superficie e derivata direzionale}
+
+    \begin{definition}[Funzioni $C^\infty$ sulla superficie]
+        Sia $\Sigma$ una superficie. Una funzione $f : \Sigma \to \RR^n$ si
+        dice di classe $C^\infty$ se per ogni parametrizzazione regolare
+        $\vec{x}$ di ogni punto $P \in \Sigma$, $f \circ \vec{x}$ è di
+        classe $C^\infty$.
+    \end{definition}
+
+    \begin{proposition}
+        Sia $\Sigma$ una superficie. Sia $P \in \Sigma$ e venga dato
+        $\xi \in T_P \Sigma$. Sia data una funzione $f : \Sigma \to \RR^n$.
+        Se $\alpha$, $\beta$ sono due curve su $\Sigma$
+        passanti per $P$ al tempo $0$ con $\alpha'(0) = \beta'(0) = \xi$, allora:
+        \[
+            (f \circ \alpha)'(0) = (f \circ \beta)'(0).
+        \]
+    \end{proposition}
+
+    \begin{proof}
+        Sia $\vec{x}$ una parametrizzazione regolare di $P$ rispetto a $\Sigma$.
+        Allora, per la Proposizione \ref{prop:coordinate_curva_parametrizzazione},
+        $\alpha(t) = (u(t), v(t))$ e $\beta(t) = (p(t), q(t))$, con $u$, $v$, $p$, $q$ lisce. \smallskip
+
+        Pertanto:
+        \[
+            \begin{aligned}
+                (f \circ \alpha)'(0) & = \dertime{t=0} (f \circ x)(u(t), v(t))      \\[1em]
+                                     & = (f \circ x)_u u'(0) + (f \circ x)_v v'(0).
+            \end{aligned}
+        \]
+
+        Osserviamo che $(u'(0), v'(0)) = (p'(0), q'(0))$, dal momento che rappresentano le coordinate
+        in $U$ del vettore $\xi$.
+        La tesi segue allora dal fatto
+        che il membro a destra diventa $(f \circ \beta)'(0)$.
+    \end{proof}
+
+    \begin{definition}[Derivata direzionale]
+        Sia $\Sigma$ una superficie. Sia $P \in \Sigma$ e venga dato
+        $\xi \in T_P \Sigma$. Allora, data una funzione $f : \Sigma \to \RR^n$,
+        la derivata direzionale $D_\xi f(P)$ è definita come:
+        \[
+            D_\xi f(P) \defeq (f \circ \alpha)'(0),
+        \]
+        dove $\alpha$ è una qualsiasi curva su $\Sigma$
+        passante per $P$ al tempo $0$ con $\alpha'(0) = \xi$.
+    \end{definition}
+
+    %\section{Operatore forma, I e II forma fondamentale}
+\end{multicols*}