@ -61,6 +61,29 @@
superficie.
\end { remark}
\begin { proposition}
$ \Sigma $ è una superficie se e solo se ogni suo punto ammette una parametrizzazione
regolare della forma $ \vec { x } : B _ \eps ( 0 ) \subseteq \RR ^ 2 \to \Sigma $ .
\end { proposition}
\begin { proof}
Siccome ogni parametrizzazione regolare $ \vec { x } : U \to \Sigma $ ha come dominio
è un aperto, possiamo restringerci a una palla di raggio $ \eps $ di $ \vec { x } \inv ( P ) $ .
Tramite traslazione possiamo infine riportare $ \vec { x } \inv ( P ) $ al centro,
ottenendo una parametrizzazione del tipo desiderato.
\end { proof}
\begin { proposition}
Se $ \Sigma $ è una superficie, una funzione $ f : \Sigma \to \RR ^ n $ è
continua se e solo se $ f \circ \vec { x } $ è una funzione continua
per ogni parametrizzazione regolare $ \vec { x } $ di un punto di $ \Sigma $ .
\end { proposition}
\begin { proof}
Deriva dal fatto che una funzione è continua se e solo se è
localmente continua.
\end { proof}
\section { Classi fondamentali di superfici}
\subsection { Superfici di rotazione}
@ -95,7 +118,8 @@
\begin { proposition}
Sia $ f : A \to \RR $ con $ A \subseteq \RR ^ 3 $ una funzione liscia. Allora, se
$ a $ è un valore regolare per $ f $ , $ f \inv ( a ) $ è una superficie.
$ a $ è un valore regolare per $ f $ , $ f \inv ( a ) $ è una superficie ed è detta
\textbf { superficie di livello $ a $ rispetto a $ f $ } .
\end { proposition}
\begin { proof}
@ -109,12 +133,12 @@
\subsection { Piano tangente e compatibilità tra parametrizzazioni regolari diverse}
\begin { definition}
\begin { definition} [Funzione di transizione]
Siano $ \vec { x } $ , $ \vec { y } : U, U' \to \RR ^ 3 $ due parametrizzazioni regolari per $ P $
su una superficie $ \Sigma $ aventi stessa immagine. Si definisce allora la
\textbf { funzione di transizione} $ f _ { \vec { x } , \vec { y } } : U \to U' $ da $ \vec { x } $ a $ \vec { y } $ come:
\[
f_ { \vec { x} , \vec { y} } = \vec { y} \inv \circ \vec { x} ,
\boxed { _ { \vec { x} , \vec { y} } \defeq \vec { y} \inv \circ \vec { x} ,}
\]
in modo tale che il seguente diagramma commuti:
\[ \begin { tikzcd }
@ -138,11 +162,84 @@
$ f $ composizione di variazioni di queste, anche $ f $ lo è.
\end { proof}
\begin { proposition}
\begin { proposition} \label { prop:stesso_ piano_ tangente_ param_ regolari}
Siano $ \vec { x } $ e $ \vec { y } $ due parametrizzazioni regolari per $ P $ su una
superficie $ \Sigma $ . Allora vale:
\[ \Span ( \vec { x _ u } ( P ) , \vec { x _ v } ( P ) ) = \Span ( \vec { y _ u } ( P ) , \vec { y _ v } ( P ) ) . \]
\end { proposition}
% TODO
\begin { proof}
Possiamo assumere senza perdita di generalità che le immagini di $ \vec { x } $ e $ \vec { y } $ (basta
prendere l'intersezione delle immagini). \smallskip
Posto allora $ f _ { \vec { x } , \vec { y } } ( s, t ) = ( u ( s, t ) , v ( s, t ) ) $ ,
vale $ \vec { x } ( s, t ) = \vec { y } ( u ( s, t ) , v ( s, t ) ) $ , e quindi:
\[
\begin { cases}
\vec { x_ s} (P) = u_ s(P) \cdot \vec { y_ u} (P) + v_ s(P) \cdot \vec { y_ t} (P), \\
\vec { x_ t} (P) = u_ t(P) \cdot \vec { y_ u} (P) + v_ t(P) \cdot \vec { y_ t} (P).
\end { cases}
\]
Dal momento che $ J f _ { \vec { x } , \vec { y } } ( P ) $ ha rango $ 2 $ , allora
il precedente sistema induce un cambio di base da $ \{ \vec { x _ u } ( P ) , \vec { x _ v } ( P ) \} $
a $ \{ \vec { y _ u } ( P ) , \vec { y _ v } ( P ) \} $ , da cui la tesi.
\end { proof}
\begin { definition} [Piano tangente]
Sia $ \Sigma $ una superficie. Allora, se $ P $ è un punto di $ \Sigma $ , si definisce
il \textbf { piano tangente di $ T _ P \Sigma $ di $ P $ su $ \Sigma $ } come:
\[
\boxed { T_ P \Sigma \defeq \Span (\vec { x_ u} (P), \vec { x_ v} (P)),}
\]
dove $ \vec { x } $ è una qualsiasi parametrizzazione regolare di $ P $ .
\end { definition}
\subsection { Versori normali e orientabilità}
\begin { definition} [Versore normale su $ \vec { x } $ ]
Sia $ \vec { x } $ una parametrizzazione regolare di un punto $ P $ su
una superficie $ \Sigma $ . Definiamo il \textbf { versore normale}
$ n _ \vec { x } ( P ) $ come:
\[ \boxed { n _ \vec { x } ( P ) \defeq \frac { \vec { x _ u } \times \vec { x _ v } } { \norm { \vec { x _ u } \times \vec { x _ v } } } . } \]
\end { definition}
\begin { proposition}
Due parametrizzazioni regolari $ \vec { x } $ , $ \vec { y } : U, U' \to \Sigma $
con stessa immagine hanno stessa normale in ogni punto se e solo se
la funzione di transizione ha in ogni punto jacobiano di determinante
positivo.
\end { proposition}
\begin { proof}
Segue dal sistema trovato nella dimostrazione della Proposizione
\ref { prop:stesso_ piano_ tangente_ param_ regolari} .
\end { proof}
\begin { definition} [Parametrizzazioni regolari compatibili]
Due parametrizzazioni regolari $ \vec { x } $ , $ \vec { y } : U, U' \to \Sigma $
si dicono \textbf { compatibili} se l'intersezione delle immagini è vuota o
se hanno stessa normale sull'intersezione delle immagini.
\end { definition}
\begin { definition} [Superficie orientabile]
Una superficie $ \Sigma $ si dice \textbf { orientabile} se è ricoperta
da parametrizzazioni regolari a due a due compatibili.
\end { definition}
\begin { proposition} \label { prop:normale_ continua}
Una superficie $ \Sigma $ è orientabile se e solo se esiste una
funzione continua $ \vec { n } : \Sigma \to \RR ^ 3 $ tale per cui
$ \vec { n } ( P ) $ sia unitario e perpendicolare a $ T _ P \Sigma $ per
ogni punto $ P $ di $ \Sigma $ .
\end { proposition}
\begin { corollary}
Ogni superficie $ \Sigma $ di livello $ \ell $ rispetto a $ f $ , per $ f $ liscia e $ \ell $ regolare, è orientabile.
\end { corollary}
\begin { proof}
Il gradiente $ \nicefrac { \nabla f } { \norm { \nabla f } } $ è un campo vettoriale unitario e
ortogonale a $ T _ P \Sigma $ per ogni punto $ P $ . Si conclude per la Proposizione \ref { prop:normale_ continua} .
\end { proof}
\end { multicols*}
