Una superficie di rotazione è effettivamente una superficie, poiché
la sua parametrizzazione canonica è regolare.
\end{proposition}
\subsection{Grafici, valori regolari e superfici di livello}
\begin{proposition}[Il grafico di una funzione $C^\infty$ a valori reali con dominio $U \subseteq\RR^2$ è una superficie] \label{prop:grafici_sono_superfici}
Il grafico $\Gamma_f$ di una funzione $f : U \to\RR$ con $U \subseteq\RR^2$ è
parametrizzato come $\vec{x}(u, v)=(u, v, f(u, v))$, ed è dunque una superficie.
\end{proposition}
\begin{definition}
Sia $f : A \to\RR$ con $A \subseteq\RR^3$ una funzione liscia. Allora si dice che
$a \in f(A)$ è un \textbf{valore regolare} per $f$ se:
\[
\nabla f(p) \neq 0, \quad\forall p \in f\inv(a).
\]
\end{definition}
\begin{proposition}
Sia $f : A \to\RR$ con $A \subseteq\RR^3$ una funzione liscia. Allora, se
$a$ è un valore regolare per $f$, $f\inv(a)$ è una superficie.
\end{proposition}
\begin{proof}
La tesi discende direttamente come applicazione del teorema della funzione
implicita. Infatti, se $a$ è un valore regolare, $f\inv(a)$ è localmente
un grafico su ogni suo punto. Allora, per la Proposizione \ref{prop:grafici_sono_superfici},
$f\inv(a)$ è una superficie.
\end{proof}
\section{Piano tangente e orientabilità}
\subsection{Piano tangente e compatibilità tra parametrizzazioni regolari diverse}
\begin{definition}
Siano $\vec{x}$, $\vec{y} : U, U' \to\RR^3$ due parametrizzazioni regolari per $P$
su una superficie $\Sigma$ aventi stessa immagine. Si definisce allora la
\textbf{funzione di transizione}$f_{\vec{x}, \vec{y}} : U \to U'$ da $\vec{x}$ a $\vec{y}$ come:
\[
f_{\vec{x}, \vec{y}} = \vec{y}\inv\circ\vec{x},
\]
in modo tale che il seguente diagramma commuti:
\[\begin{tikzcd}
&\Sigma\\
\\
U &&{U'}
\arrow["{\vec{x}}"', from=3-1, to=1-2]
\arrow["f_{\vec{x}, \vec{y}}", from=3-1, to=3-3]
\arrow["{\vec{y}}", from=3-3, to=1-2]
\end{tikzcd}\]
\end{definition}
\begin{proposition}
Una funzione di transizione $f_{\vec{x}, \vec{y}}$ è
un diffeomorfismo $C^\infty$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Dal momento che $\vec{x}$ e $\vec{y}$ sono diffeomorfismi $C^\infty$ per
la Proposizione \ref{prop:parametrizzazione_è_cinf}, essendo
$f$ composizione di variazioni di queste, anche $f$ lo è.
\end{proof}
\begin{proposition}
Siano $\vec{x}$ e $\vec{y}$ due parametrizzazioni regolari per $P$ su una
