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gtd(scheda): aggiunge prima parte della teoria delle superfici

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2025-11-30 18:32:59 +01:00
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Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf
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Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex
+16 -14
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@@ -62,14 +62,14 @@
\makeatletter
\renewenvironment{proof}[1][\proofname]{\par
\pushQED{\qed}%
\normalfont \topsep6\p@\@plus6\p@\relax
\trivlist
\item[\hskip\labelsep
\itshape
#1\@addpunct{.}]\mbox{}\\*
\pushQED{\qed}%
\normalfont \topsep6\p@\@plus6\p@\relax
\trivlist
\item[\hskip\labelsep
\itshape
#1\@addpunct{.}]\mbox{}\\*
}{%
\popQED\endtrivlist\@endpefalse
\popQED\endtrivlist\@endpefalse
}
\makeatother
@@ -79,8 +79,10 @@
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\CC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\TT}{\mathbb{T}}
\DeclareMathOperator{\SO}{SO}
\DeclareMathOperator{\rk}{rk}
\DeclareMathOperator{\Span}{span}
@@ -109,7 +111,7 @@
%\setcounter{secnumdepth}{1}
\newcommand{\restr}[2]{
#1\arrowvert_{#2}
#1\arrowvert_{#2}
}
\newcommand{\inv}{^{-1}}
@@ -131,12 +133,12 @@
% A TikZ style for curved arrows of a fixed height, due to AndréC.
\tikzset{curve/.style={settings={#1},to path={(\tikztostart)
.. controls ($(\tikztostart)!\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
and ($(\tikztostart)!1-\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
.. (\tikztotarget)\tikztonodes}},
settings/.code={\tikzset{quiver/.cd,#1}
\def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/quiver/##1}}},
quiver/.cd,pos/.initial=0.35,height/.initial=0}
.. controls ($(\tikztostart)!\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
and ($(\tikztostart)!1-\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
.. (\tikztotarget)\tikztonodes}},
settings/.code={\tikzset{quiver/.cd,#1}
\def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/quiver/##1}}},
quiver/.cd,pos/.initial=0.35,height/.initial=0}
% TikZ arrowhead/tail styles.
\tikzset{tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{tikzcd to}}}
Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-notazioni.tex
+11
View File
@@ -20,6 +20,8 @@
\item $\partial_{x_i} f(\vec{x})$, $\pd{f}{x_i}(\vec{x})$, $f_{x_i}(\vec{x})$ -- derivata parziale nella $i$-esima coordinata
di una funzione $f : \RR^n \to \RR$ nel punto $\vec{x}$. La notazione può essere iterata per ottenere le
derivate successive.
\item $\vec{x_i}$ -- derivate parziali nella $i$-esima coordinata di un campo $\vec{x}$ da $\RR^n$ a $\RR^m$, ovverosia
$((x_1)_i, \ldots, (x_m)_i)^\top$.
\item $\nabla f(\vec{x})$ -- gradiente di una funzione $f : \RR^n \to \RR$, ovverosia il vettore $(\partial_{x_i} f(\vec{x}))_i^\top$.
\item $J f(\vec{x})$ -- jacobiano di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$ nel punto $x$, ovverosia la matrice
$(\partial_{x_j} f_i (\vec{x}))_{i, j} = (\nabla f_i(\vec{x}))_{i}$.
@@ -30,4 +32,13 @@
\item $C^\infty$, liscio -- classe delle funzioni derivabili parzialmente per un numero arbitrario di volte con continuità.
\item diffeomorfismo di classe $C^k$ -- funzione di classe $C^k$ con inversa di classe $C^k$.
\end{itemize}
\section*{Geometria}
\addcontentsline{toc}{section}{Geometria}
\begin{itemize}
\item $S_a^i(p)$ -- l'ipersfera $i$-dimensionale di raggio $a$ e centro $p$, ovverosia $\{\vec{x} \in \RR^{i+1} \mid \norm{\vec{x} - p} = p\}$.
\item $\TT_{a, b}$ -- toro di raggio maggiore $a$ e raggio minore $b$.
\end{itemize}
\end{multicols*}
Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex
+141
View File
@@ -3,5 +3,146 @@
\setlength{\parindent}{2pt}
\begin{multicols*}{2}
Qualora non specificato, assumeremo l'utilizzo di funzioni di classe $C^\infty$. \smallskip
Se $\vec{x}$ è una parametrizzazione regolare o una funzione con dominio un sottinsieme di $\RR^2$,
ammettiamo l'abuso di notazione $\vec{x}(P)$ per sottintendere $\vec{x}(\vec{y}\inv(P))$, dove
$\vec{y}$ è una parametrizzazione regolare di $P$ sulla superficie studiata.
\section{Definizioni preliminari}
\subsection{Parametrizzazioni regolare}
\begin{definition}[Parametrizzazione regolare]
Si dice \textbf{parametrizzazione regolare} una mappa
$\vec{x} : U \to \RR^3$ con $U$ aperto di $\RR^3$ tale che:
\begin{itemize}
\item $\vec{x}$ è iniettiva;
\item $\vec{x_u} \times \vec{x_v} \neq 0$ per ogni $(u, v) \in U$ (\textbf{regolarità});
\item $\vec{x\inv}$ è continua.
\end{itemize}
\end{definition}
\begin{remark}
Osserviamo che $J \vec{x} = [\vec{x_u} \;\; \vec{x_v}]$.
Allora richiedere la regolarità è equivalente a richiedere che $\rk(J \vec{x})$ sia sempre massimo,
ovvero:
\[ \rk(J \vec{x}) = 2. \]
\end{remark}
\begin{proposition} \label{prop:parametrizzazione_è_cinf}
Ogni parametrizzazione regolare è un diffeomorfismo $C^\infty$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Sia $\vec{x} : U \to \Sigma$ una parametrizzazione regolare surgettiva su $\Sigma$. Sia $(u_0, v_0) \in U$.
Dal momento che $\vec{x}$ è regolare, esiste un minore $2 \times 2$ in $J \vec{x}(u_0, v_0)$ invertibile.
Sia $\pi$ la proiezione da $\RR^3$ sul piano $\Span(e_i, e_j) \cong \RR^2$, dove $i$ e $j$ sono gli indici delle
righe del minore rispetto a $J \vec{x}(u_0, v_0)$. \smallskip
Allora $J (\pi \circ \vec{x})(u_0, v_0)$ è invertibile,
e per il teorema di invertibilità locale, $\pi \circ \vec{x}$ è localmente invertibile. Dacché
$\vec{x}\inv$ è localmente uguale a $(\pi \circ \vec{x})\inv \circ \pi\inv$, che è composizione di
funzioni $C^\infty$, si ricava che $\vec{x}$ è un diffeomorfismo $C^\infty$ locale. Dal momento che
$\vec{x}$ è però iniettiva, si ricava che è anche un diffeomorfismo $C^\infty$.
\end{proof}
\subsection{Superficie}
\begin{definition}[Superficie]
Una \textbf{superficie} è un sottinsieme $\Sigma$ di $\RR^3$ tale per cui
ogni punto $P$ di $\Sigma$ ammette una parametrizzazione regolare $\vec{x_P}$ la cui immagine
sia contenuta in $\Sigma$ e che sia intorno di $P$ in $\Sigma$. Ci riferiremo a
$\vec{x_P}$ come a una \textbf{parametrizzazione regolare per $P$}.
\end{definition}
\begin{remark}
Chiaramente, se $\vec{x} : U \to \RR^3$ è una parametrizzazione regolare, allora $\vec{x}(U)$ è una
superficie.
\end{remark}
\section{Classi fondamentali di superfici}
\subsection{Superfici di rotazione}
\begin{definition}[Superficie di rotazione]
Sia $\alpha : I \to \RR^3$ una curva parametrizzata della forma
$(a(t), 0, b(t))$ tale che $\alpha$ è regolare e omeomorfismo locale.
Si definisce allora la \textbf{superficie di rotazione} (intorno
all'asse $z$) di $\alpha$ come l'immagine della seguente parametrizzazione:
\[
\vec{x}(u, v) = (a(u) \cos(v), a(u) \sin(v), b(u)).
\]
\end{definition}
\begin{proposition}
Una superficie di rotazione è effettivamente una superficie, poiché
la sua parametrizzazione canonica è regolare.
\end{proposition}
\subsection{Grafici, valori regolari e superfici di livello}
\begin{proposition}[Il grafico di una funzione $C^\infty$ a valori reali con dominio $U \subseteq \RR^2$ è una superficie] \label{prop:grafici_sono_superfici}
Il grafico $\Gamma_f$ di una funzione $f : U \to \RR$ con $U \subseteq \RR^2$ è
parametrizzato come $\vec{x}(u, v) = (u, v, f(u, v))$, ed è dunque una superficie.
\end{proposition}
\begin{definition}
Sia $f : A \to \RR$ con $A \subseteq \RR^3$ una funzione liscia. Allora si dice che
$a \in f(A)$ è un \textbf{valore regolare} per $f$ se:
\[
\nabla f(p) \neq 0, \quad \forall p \in f\inv(a).
\]
\end{definition}
\begin{proposition}
Sia $f : A \to \RR$ con $A \subseteq \RR^3$ una funzione liscia. Allora, se
$a$ è un valore regolare per $f$, $f\inv(a)$ è una superficie.
\end{proposition}
\begin{proof}
La tesi discende direttamente come applicazione del teorema della funzione
implicita. Infatti, se $a$ è un valore regolare, $f\inv(a)$ è localmente
un grafico su ogni suo punto. Allora, per la Proposizione \ref{prop:grafici_sono_superfici},
$f\inv(a)$ è una superficie.
\end{proof}
\section{Piano tangente e orientabilità}
\subsection{Piano tangente e compatibilità tra parametrizzazioni regolari diverse}
\begin{definition}
Siano $\vec{x}$, $\vec{y} : U, U' \to \RR^3$ due parametrizzazioni regolari per $P$
su una superficie $\Sigma$ aventi stessa immagine. Si definisce allora la
\textbf{funzione di transizione} $f_{\vec{x}, \vec{y}} : U \to U'$ da $\vec{x}$ a $\vec{y}$ come:
\[
f_{\vec{x}, \vec{y}} = \vec{y}\inv \circ \vec{x},
\]
in modo tale che il seguente diagramma commuti:
\[\begin{tikzcd}
& \Sigma \\
\\
U && {U'}
\arrow["{\vec{x}}"', from=3-1, to=1-2]
\arrow["f_{\vec{x}, \vec{y}}", from=3-1, to=3-3]
\arrow["{\vec{y}}", from=3-3, to=1-2]
\end{tikzcd}\]
\end{definition}
\begin{proposition}
Una funzione di transizione $f_{\vec{x}, \vec{y}}$ è
un diffeomorfismo $C^\infty$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Dal momento che $\vec{x}$ e $\vec{y}$ sono diffeomorfismi $C^\infty$ per
la Proposizione \ref{prop:parametrizzazione_è_cinf}, essendo
$f$ composizione di variazioni di queste, anche $f$ lo è.
\end{proof}
\begin{proposition}
Siano $\vec{x}$ e $\vec{y}$ due parametrizzazioni regolari per $P$ su una
superficie $\Sigma$. Allora vale:
\[ \Span(\vec{x_u}(P), \vec{x_v}(P)) = \Span(\vec{y_u}(P), \vec{y_v}(P)). \]
\end{proposition}
% TODO
\end{multicols*}