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feat(geometria): aggiunge gli appunti dell'esercitazione del 20/03/2023
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f292cf3bdf
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0f21dbc536
@ -0,0 +1,150 @@
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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{\today}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Esercitazione: algoritmi per la ricerca del polinomio minimo}
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\end{center}
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\begin{definition} Dato $f \in \End(V)$, si definisce
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come $\val_{f, \vec{v}}$ l'applicazione
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lineare da $\KK[x]$ in $V$ tale che
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$\val_{f, \vec{v}}(p) = p(f)(\vec{v})$.
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\end{definition}
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\begin{remark} Vi sono varie proprietà
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che legano $\Ker \val_{f, \vec{v}}$
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a $\Ker \val_f$, ed in particolare
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il generatore monico di $\Ker \val_{f, \vec{v}}$
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$\varphi_{f, \vec{v}}$ a quello
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$\varphi_{f}$ di $\Ker \val_f$, ossia al polinomio minimo di $f$. \\
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\li $\varphi_{f, \vec{v}} \mid \varphi_{f}$, $\forall \vec{v} \in V$. \\
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\li $\varphi_{f} = \mcm(\varphi_{f, \vec{v_1}}, ..., \varphi_{f, \vec{v_n}}).$, dove i $\vec{v_1}$, ...,
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$\vec{v_n}$ formano una base di $V$. \\
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\end{remark}
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\begin{example} Sia $A = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$. Allora
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si possono considerare le seguenti
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catene: \\
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\li $\vec{e_1} \mapsto 2\vec{e_1} + \vec{e_2} + \vec{e_3} \mapsto 2(2\vec{e_1} + \vec{e_2} + \vec{e_3}) + (-\vec{e_2} + 3\vec{e_3})
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+ (3\vec{e_2} -\vec{e_3}) = 4\vec{e_1} + 4\vec{e_2} + 4\vec{e_3} = 4 A \vec{e_1} - 4 \vec{e_1}$.
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Pertanto $A^2 \vec{e_1} - 4 A \vec{e_1} + 4 \vec{e_1} = \vec{0}$.
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Essendo $A \vec{e_1}$ e $\vec{e_1}$ linearmente indipendenti, si conclude
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che $\varphi_{A, \vec{e_1}}(x) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. \\
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\li $\vec{e_2} \mapsto -\vec{e_2} + 3\vec{e_3} \mapsto -(-\vec{e_2} + 3\vec{e_3}) + 3(3\vec{e_2} -\vec{e_3}) = 10\vec{e_2} - 6\vec{e_3} = -2(-\vec{e_2} + 3\vec{e_3}) + 8\vec{e_2}$.
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Si conclude dunque che $\varphi_{A, \vec{e_2}}(x) = x^2+2x-8 = (x-2)(x+4)$. \\
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\li $\vec{e_3} \mapsto 3\Vec{e_2}-\Vec{e_3} \mapsto 3(-\Vec{e_2} + 3\Vec{e_3}) - (3\Vec{e_2} - \Vec{e_3}) = -6\Vec{e_2} + 10\Vec{e_3} = -2(3\Vec{e_2} - \Vec{e_3}) + 8\Vec{e_3}$. Dunque
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$\varphi_{A,\Vec{e_3}}(x) = x^2+2x-8 = \varphi_{A,\Vec{e_2}}(x)$. \\
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Pertanto $\varphi_A(x) = \mcm(\varphi_{A,\Vec{e_1}}(x),\varphi_{A,\Vec{e_2}}(x),\varphi_{A,\Vec{e_3}}(x)) = (x-2)^2(x+4)$.
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\end{example}
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\begin{definition}
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Si dice che un vettore $\Vec{v}$ è \textit{ciclico} su $f$ se il ciclo
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$\Span(\vec{v}, f(\vec{v}), f^2(\Vec{v}), ...)$ coincide
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con $V$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Riguardo all'esistenza di un vettore ciclico si possono
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fare alcune osservazioni. \\
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\li Se esiste un vettore $\vec{v}$ ciclico rispetto a $f$, i primi $n = \dim V$
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vettori del suo ciclo devono essere linearmente indipendenti
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(altrimenti non potrebbe generare $V$), e quindi $\varphi_{f,\Vec{v}}$ deve avere grado $n$. Allora
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anche $\varphi_f$ deve avere grado $n$, ossia lo stesso
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grado di $p_f$. Allora, dal momento che $\varphi_f \mid p_f$
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e $\deg \varphi_f = \deg p_f$, deve valere necessariamente
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$\varphi_f = \pm p_f$. \\
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\li Dal momento che $\varphi_{f,\Vec{v}}$ è monico, ha lo stesso grado
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di $\varphi_f$ e lo divide, deve anche valere che $\varphi_{f,\Vec{v}} = \varphi_f$. \\
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\li Nella base ordinata $\basis$ costituita dai primi $n$ vettori del ciclo di $\Vec{v}$, la matrice associata di $f$ è della forma:
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\[ M_{\basis}(f) = \begin{pmatrix}
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0 & 0 & \ldots & \ldots & 0 & -a_0 \\
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1 & 0 & \ldots & \ldots & 0 & -a_1 \\
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0 & 1 & \ddots & & \vdots & \vdots \\
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\vdots & \vdots & & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\
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0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & -a_{n-1}
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\end{pmatrix}, \]
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dove gli $a_i$ sono i coefficienti di $\varphi_f(x) = \varphi_{f,\Vec{v}} = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$.
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\end{remark}
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\begin{proposition}
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Se $\KK$ è un campo infinito\footnote{In realtà la tesi è vera per qualsiasi campo, benché la dimostrazione che è stata fornita sia valida solo per campi infiniti.}, esiste sempre un vettore $\vec{v} \in V$ tale che $\varphi_{f, \vec{v}} = \varphi_f$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Si definisce il seguente insieme:
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\[ S = \{ \varphi_{f, \vec{v}} \mid \vec{v} \in V \}. \]
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\vskip 0.1in
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Poiché $S$ è un sottoinsieme dei divisori di $\phi_f$, $S$ è finito.
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In particolare $\exists v_1$, ..., $v_n$ tali che $S = \{ \varphi_{f, \vec{v_1}}, ..., \varphi_{f, \vec{v_n}} \}$. Dal momento
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che ogni $\vec{v} \in V$ è associato
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ad un unico polinomio caratteristico,
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vale che $V = \bigcup_{i=1}^n \Ker \varphi_{f, \vec{v_i}}$. Tuttavia, se
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tutti i $\Ker \varphi_{f, \vec{v_i}}$
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fossero propri, questo sarebbe
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impossibile, dal momento che uno spazio vettoriale fondato su un campo finito non può essere unione finita di sottospazi propri. Quindi $V = \Ker \varphi_{f, \vec{v_i}}$ per un $i$ tale che $1 \leq i \leq n$. Allora
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$\varphi_f \mid \varphi_{f, \vec{v_i}}$, da cui si ricava
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l'uguaglianza.
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\end{proof}
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\begin{theorem}
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Lo spazio $V$ ammette un vettore ciclico su $f \in \End(V)$ se e
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solo se $p_f = \pm \varphi_f$.
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\end{theorem}
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\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
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($\implies$) Dall'osservazione precedente. \\
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($\impliedby$) Dalla proposizione precedente esiste sicuramente
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un vettore $\Vec{v}$ tale che $\varphi_{f,\Vec{v}} = \varphi_f$. Allora, essendo $\varphi_f = \pm p_f$, deve valere
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che $p_f = \pm \varphi_{f, \Vec{v}}$, ossia che la minima
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combinazione lineare linearmente dipendente di $\Vec{v}$, ..., $f^k(\Vec{v})$ si può ottenere coinvolgendo almeno $n+1$
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termini (i.e.~con $k\geq n$). Allora i vettori
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$\Vec{v}$, ...,
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$f^{n-1}(\Vec{v})$ sono linearmente indipendenti, ed essendo
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in totale $n$ formano una base di $V$. Pertanto $V = \Span(\Vec{v}, f(\Vec{v}), ...)$.
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\end{proof}
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\begin{example}
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Riprendendo l'esempio di prima, $\varphi_A(x) = (x-2)^2(x+4)$. Poiché $\deg p_A = 3$, allora $\varphi_A(x) - p_A(x)$. Allora per il teorema appena dimostrato deve
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necessariamente esistere un vettore ciclico di $\RR^3$ su
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$A$. \\
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In effetti, posto $\Vec{v} = \begin{pmatrix}
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4 \\ -3 \\ 5
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\end{pmatrix}$, si ottiene che $\Vec{v}$, $A\Vec{v}$ e
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$A^2\Vec{v}$ sono linearmente indipendenti, e sono
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dunque una base $\basis$ di $\RR^3$. In particolare, la
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matrice associata su questa base è la seguente:
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\[ M_\basis(A) = \begin{pmatrix}
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0 & 0 & -16 \\
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1 & 0 & 12 \\
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0 & 1 & 0 \\
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\end{pmatrix}, \]
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\vskip 0.1in
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proprio come ci aspettavamo che venisse da una delle osservazioni
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iniziali, dal momento che $\varphi_A(x) = (x-2)^2(x+4) = x^3 - 12x + 16$.
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\end{example}
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\end{document}
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@ -0,0 +1,189 @@
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\ProvidesPackage{personal_commands}
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\usepackage{amsmath,amssymb}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsopn}
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage{marvosym}
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\usepackage{floatflt}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{float}
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\hfuzz=\maxdimen
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\tolerance=10000
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\hbadness=10000
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\newcommand{\cororef}[1]{\textit{Corollario \ref{#1}}}
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\newcommand{\exref}[1]{\textit{Esercizio \ref{#1}}}
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\newcommand{\propref}[1]{\textit{Proposizione \ref{#1}}}
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\newcommand{\lemmaref}[1]{\textit{Lemma \ref{#1}}}
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\newcommand{\thref}[1]{\textit{Teorema \ref{#1}}}
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\newcommand{\li}[0]{$\blacktriangleright\;\;$}
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\newcommand{\tendsto}[1]{\xrightarrow[\text{$x \to #1$}]{}}
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\newcommand{\tendston}[0]{\xrightarrow[\text{$n \to \infty$}]{}}
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\setlength\parindent{0pt}
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% Personal commands
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\newcommand{\card}[1]{\left|#1\right|}
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\newcommand{\nsqrt}[2]{\!\sqrt[#1]{#2}\,}
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\newcommand{\zeroset}{\{0\}}
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\newcommand{\setminuszero}{\setminus \{0\}}
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\newenvironment{solution}
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{\begin{proof}[Soluzione]}
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{\end{proof}}
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\theoremstyle{definition}
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\let\abstract\undefined
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\newtheorem*{abstract}{Abstract}
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\newtheorem{corollary}{Corollario}
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\newtheorem*{definition}{Definizione}
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\newtheorem*{example}{Esempio}
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\newtheorem{exercise}{Esercizio}
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\newtheorem*{goal}{Obiettivo}
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\newtheorem{lemma}{Lemma}
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\newtheorem*{remark}{Osservazione}
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\newtheorem*{proposition}{Proposizione}
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\newtheorem{theorem}{Teorema}
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\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
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\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
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\newcommand{\KK}{\mathbb{K}}
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\newcommand{\ZZp}{\mathbb{Z}_p}
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\newcommand{\CCx}{\mathbb{C}[x]}
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\newcommand{\FFpp}{\mathbb{F}_p}
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\newcommand{\FFpd}{\mathbb{F}_{p^d}}
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\newcommand{\FFpm}{\mathbb{F}_{p^m}}
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\newcommand{\FFpn}{\mathbb{F}_{p^n}}
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\newcommand{\FFp}[1]{\mathbb{F}_{p^{#1}}}
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\newcommand{\KKx}{\mathbb{K}[x]}
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\newcommand{\QQx}{\mathbb{Q}[x]}
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\newcommand{\ZZi}{\mathbb{Z}[i]}
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\newcommand{\ZZom}{\mathbb{Z}[\omega]}
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\newcommand{\ZZpx}{\mathbb{Z}_p[x]}
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\newcommand{\ZZsqrt}[1]{\mathbb{Z}[\sqrt{#1}]}
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\newcommand{\ZZx}{\mathbb{Z}[x]}
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\newcommand{\ii}{\mathbf{i}}
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\newcommand{\jj}{\mathbf{j}}
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\newcommand{\kk}{\mathbf{k}}
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\newcommand{\valalpha}{\varphi_\alpha}
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\newcommand{\Frob}{\mathcal{F}}
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\newcommand{\Frobexp}{\mathcal{F}{\mkern 1.5mu}}
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\newcommand{\dual}[1]{#1^{*}}
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\newcommand{\LL}[2]{\mathcal{L} \left(#1, \, #2\right)}
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\newcommand{\M}[1]{\mathcal{M}_{#1}\left(\KK\right)}
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\newcommand{\nsg}{\mathrel{\unlhd}}
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\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}}
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\newcommand{\hatpi}{\hat{\pi}}
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\newcommand{\hatpip}{\hat{\pi}_p}
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% evan.sty original commands
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\newcommand{\cbrt}[1]{\sqrt[3]{#1}}
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\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
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\newcommand{\ceiling}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
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\newcommand{\mailto}[1]{\href{mailto:#1}{\texttt{#1}}}
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\newcommand{\eps}{\varepsilon}
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\newcommand{\vocab}[1]{\textbf{\color{blue}\sffamily #1}}
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\providecommand{\alert}{\vocab}
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\newcommand{\catname}{\mathsf}
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\providecommand{\arc}[1]{\wideparen{#1}}
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% From H113 "Introduction to Abstract Algebra" at UC Berkeley
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\newcommand{\CC}{\mathbb C}
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\newcommand{\FF}{\mathbb F}
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\newcommand{\NN}{\mathbb N}
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\newcommand{\QQ}{\mathbb Q}
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\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
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\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
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\DeclareMathOperator{\val}{val}
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\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
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\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
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%From Kiran Kedlaya's "Geometry Unbound"
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\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
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\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
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\newcommand{\dang}{\measuredangle} %% Directed angle
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\newcommand{\ray}[1]{\overrightarrow{#1}}
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\newcommand{\seg}[1]{\overline{#1}}
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% From M275 "Topology" at SJSU
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\newcommand{\taking}[1]{\xrightarrow{#1}}
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\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
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\newcommand{\defeq}{\overset{\mathrm{def}}{=}}
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\newcommand{\defiff}{\overset{\mathrm{def}}{\iff}}
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% From the USAMO .tex files
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\newcommand{\dg}{^\circ}
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\newcommand{\liff}{\leftrightarrow}
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\newcommand{\lthen}{\rightarrow}
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\newcommand{\opname}{\operatorname}
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\newcommand{\surjto}{\twoheadrightarrow}
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\newcommand{\injto}{\hookrightarrow}
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\DeclareMathOperator{\Fix}{\textit{Fix}\,}
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\DeclareMathOperator{\End}{End}
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\DeclareMathOperator{\Span}{Span}
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\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
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\DeclareMathOperator{\Imm}{Imm}
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\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
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\DeclareMathOperator{\rank}{rank}
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\DeclareMathOperator{\MCD}{MCD}
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\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor}
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\newcommand{\basis}{\mathcal{B}}
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\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
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\let\oldemptyset\emptyset
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\let\emptyset\varnothing
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\let\oldcirc\circ
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\let\circ\undefined
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\DeclareMathOperator{\circ}{\oldcirc}
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\let\oldexists\exists
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\let\exists\undefined
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\DeclareMathOperator{\exists}{\oldexists}
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\let\oldforall\forall
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\let\forall\undefined
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\DeclareMathOperator{\forall}{\oldforall}
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\let\oldnexists\nexists
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\let\nexists\undefined
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\DeclareMathOperator{\nexists}{\oldnexists}
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\let\oldland\land
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\let\land\undefined
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\DeclareMathOperator{\land}{\oldland}
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\let\oldlnot\lnot
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\let\lnot\undefined
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\let\oldlor\lor
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\let\lor\undefined
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\DeclareMathOperator{\lor}{\oldlor}
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Reference in New Issue