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gtd(scheda): buona definizione del grado intero

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Gabriel Antonio Videtta 4 months ago
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Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/sections/4-varieta-e-teoria-del-grado.tex
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@ -1068,7 +1068,7 @@
\subsection{Omotopie \texorpdfstring{$C^\infty$}{C∞}}
\begin{remark}[{$M \times [0,1]$} è una varietà con bordo]
\begin{remark}[{$M \times [0,1]$} è una varietà con bordo] \label{rmk:m_01_varietà}
Sia $M$ una $m$-varietà senza bordo. Allora, per la Proposizione \ref{prop:prodotto_varietà},
$M \times \RR$ è una $(m+1)$-varietà senza bordo. \smallskip
@ -1291,8 +1291,6 @@
\end{theorem}
\begin{proof}
\smallskip
Per il Lemma \ref{lem:valori_regolari_aperto}, i valori regolari di $f$ formano un aperto in $N$. Allora, per il Teorema
di Brown (per varietà, Corollario \ref{cor:brown}), esiste in questo
aperto anche un valore regolare di $g$. Per il Lemma \ref{lem:omotopia},
@ -1339,7 +1337,7 @@
\begin{definition}[Orientazione canonica]
Si definisce l'\textbf{orientazione canonica} $\Theta_0$ di $\RR^n$
come la classe di equivalenza indotta dall'orientazione della base
canonica.
canonica. \smallskip
\end{definition}
\begin{remark}
@ -1353,6 +1351,50 @@
Indicheremo tale mappa con il simbolo dell'isomorfismo da cui è indotta.
\end{remark}
\begin{definition}[Segno di una base]
Dato uno spazio vettoriale $V$ orientato con $\Theta$, si definisce
il \textbf{segno} di una base $\basis$ come:
\[
\boxed{\sgn_\Theta(\basis) \defeq \begin{cases}
+1 & \text{se } \basis \sim \Theta, \\
-1 & \text{altrimenti}.
\end{cases}}
\]
\end{definition}
\subsection{Orientazione su prodotti di spazi vettoriali}
\begin{definition}[Orientazione prodotto]
Siano $V$ e $W$ due $\RR$-spazi vettoriali di dimensione finita.
Se $\Theta^V$ è un'orientazione di $V$ e $\Theta^W$ lo è di $W$,
allora si definisce l'\textbf{orientazione prodotto} $\Theta^V \times \Theta^W$ su
$V \times W$ come l'orientazione indotta dalla giustapposizione di $\basis_V$ e $\basis_W$:
\[ \boxed{\basis_V \sqcup \basis_W \defeq \basis_V \times \{0_W\} \cup \{0_V\} \times \basis_W,} \]
dove $\basis_V$ e $\basis_W$ sono basi di $V$ e $W$ con
$[\basis_V] = \Theta^V$ e $[\basis_W] = \Theta^W$.
\end{definition}
\begin{remark}[Regola dei segni per l'orientazione prodotto] \label{rmk:regola_segni}
Siano $V$ e $W$ $\RR$-spazi orientati con $\Theta^V$ e $\Theta^W$.
Siano $\basis_V$ e $\basis_W$ basi di $V$ e $W$. Sia $M_V$
la matrice di cambio di base da una base positiva di $V$ a $\basis_V$. Sia
$M_W$ l'analogo per $W$. \smallskip
La matrice di cambio di base dalla giustapposizione delle basi positive alla giustapposizione di $\basis_V$
e $\basis_W$ è esattamente:
\[
M = \begin{pmatrix}
M_V & \vline & 0 \\
\hline
0 & \vline & M_W
\end{pmatrix}.
\]
Quindi vale la seguente \textit{regola dei segni}:
\[
\boxed{\sgn_{\Theta^V \times \Theta^W}(\basis_V \sqcup \basis_W) = \sgn_{\Theta^V}(\basis_V) \sgn_{\Theta^W}(\basis_W).}
\]
\end{remark}
\subsection{Orientazione su varietà e prime proprietà}
\begin{definition}[$m$-varietà orientata, $m > 1$ o $\partial M = \emptyset$]
@ -1474,6 +1516,8 @@
prendere l'orientazione indotta da un'unica parametrizzazione locale.
\end{remark}
\subsection{Orientabilità di \texorpdfstring{$m$}{m}-varietà immerse in \texorpdfstring{$\RR^m$}{ℝᵐ}}
\begin{proposition}[$m$-varietà immerse in $\RR^m$ sono orientabili] \label{prop:orientazione_immersa_Rm}
Sia $M$ una $m$-varietà immersa in $\RR^m$. Allora
$M$ è orientabile secondo l'orientazione canonica di $\RR^m$.
@ -1500,6 +1544,23 @@
Dunque $M$ è orientabile secondo l'orientazione canonica di $\RR^m$.
\end{proof}
\subsection{Orientazione nel prodotto di due varietà orientate}
\begin{definition}[Orientazione prodotto per varietà]
Siano $(M, \Theta^M)$ e $(N, \Theta^N)$ due varietà orientate.
Si definisce l'\textbf{orientazione prodotto} su $M \times N$
come l'orientazione $\Theta^{M \times N}$ tale per cui:
\[
\boxed{\Theta_{(x, y)}^{M \times N} = \Theta_x^M \times \Theta_y^N, \quad \forall x \in M, y \in N}
\]
dove $\Theta_x^M \times \Theta_y^N$ è l'orientazione prodotto su
$T_{(x, y)} M \times N \cong T_x M \times T_y N$ indotta da
$\Theta_x^M$ e $\Theta_y^N$. \smallskip
Il prodotto di parametrizzazioni locali compatibili induce parametrizzazioni
locali compatibili con l'orientazione prodotto appena definita.
\end{definition}
\subsection{Semispazio interno o esterno}
\begin{remark}[Il semispazio interno è ben definito]
@ -1728,7 +1789,9 @@
costante.
\end{remark}
\begin{lemma}[Il grado di una mappa estendibile dal bordo è nullo]
\subsection{Grado di una mappa estendibile dal bordo}
\begin{lemma}[Il grado di una mappa estendibile dal bordo è nullo] \label{lem:grado_mappa_estendibile}
Sia $X$ una varietà compatta e orientata con bordo non nullo. Sia $N$
una varietà connessa, orientata, senza bordo e con $\dim X = \dim N + 1$.
Sia $F : X \to N$ una mappa liscia. \smallskip
@ -1805,4 +1868,97 @@
il Lemma \ref{lem:0_interno_1_esterno}, il segno sarà invece $+1$. Questo conclude la dimostrazione
per le osservazioni fatte in precedenza.
\end{proof}
\subsection{Passaggio per omotopia e buona definizione del grado intero di una mappa}
\begin{lemma}[di omotopia, per il grado intero] \label{lem:omotopia_intero}
Siano $M$ e $N$ due varietà orientate con $M$ chiusa e $\dim M = \dim N$.
Sia $F : M \times [0, 1] \to N$ un'omotopia $C^\infty$ con $f \defeq F_0$
e $g \defeq F_1$. Se $y \in N$ è un valore regolare comune a $f$ e $g$,
allora:
\[ \boxed{\deg(f; y) = \deg(g; y).} \]
\end{lemma}
\begin{proof}
Dal momento che $M \times [0, 1]$ è un prodotto, allora acquisisce l'orientazione
prodotto di quella di $M$ con quella canonica di $[0, 1]$. Grazie
all'Osservazione \ref{rmk:grado_loc_costante} e al Teorema di Brown (per varietà, Corollario \ref{cor:brown}),
possiamo assumere senza perdita di generalità che $y$ sia un valore regolare anche di $F$. \smallskip
Sia $\basis_x$ una base positiva di $T_x M$ per $x \in M$. Allora,
per l'Osservazione \ref{rmk:regola_segni} la base $\basis_x \cup \{1\}$
è positiva per $T_{(x, t)} M \times [0, 1] \cong T_x M \times T_t [0, 1]$. \smallskip
Ricordiamo che il bordo di $M \times [0, 1]$ è $M \times \{0\} \sqcup M \times \{1\}$
per \ref{rmk:m_01_varietà}. Studiamo l'orientazione indotta su tale bordo.
Poiché $(0, 1) \in T_{(x, 0)} M \times [0, 1]$ è interno per il Lemma \ref{lem:0_interno_1_esterno},
$\{-\basis_x\} \cup \{-1\}$ è positiva per $(x, 0)$, e quindi $\basis_x$ è una base negativa di $(x, 0)$ sul
bordo. Dunque $M \times \{0\} \cong M$ è orientata come $-M$. Analogamente, $(0, 1) \in T_{(x, 1)} M \times [0, 1]$ è
esterno, quindi $M \times \{1\} \cong M$ è orientata come $M$. \smallskip
Allora, per il Lemma \ref{lem:grado_mappa_estendibile}, si ha:
\[
\deg(g; y) - \deg(f; y) = \deg(\restr{F}{\partial(M \times [0, 1])}; y) = 0,
\]
da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{theorem}[Il grado intero è ben definito]
Siano $M$ e $N$ varietà con $M$ chiusa, $N$ connessa e $\dim M = \dim N$. Se
$f : M \to N$ è liscia e $y$, $z \in N$ sono suoi valori regolari, allora:
\[
\boxed{\deg(f; y) = \deg(f; z).}
\]
\end{theorem}
\begin{proof}
Per il Lemma \ref{lem:omogeneità}, esiste un diffeomorfismo $h : N \to N$
con $h(y) = z$ isotopo all'identità $\id_N$. Sia $H : N \times [0, 1] \to N$
una tale isotopia. \smallskip
Consideriamo la mappa $f(t) = \sgn(\dif (H_t)_y (\Theta^N_y))$. Poiché
$H_1 = \id_N$, si ha chiaramente $f(1) = 1$. Inoltre $f$ è continua e localmente
costante, utilizzando l'usuale argomento sulla permanenza del segno
sul determinante dello jacobiano, una volta scelta una parametrizzazione locale.
Dunque, poiché $[0, 1]$ è connesso, $f$ deve essere costantemente uguale a $1$.
Quindi $\dif (H_t)_y (\Theta^N_y) = \Theta^N_{H_t(y)}$ per ogni $t \in [0, 1]$. \smallskip
Segue quindi che $\dif h_y (\Theta^N_y) = \Theta^N_z$, da cui per la regola della catena:
\[
\deg(h \circ f; z) = \deg(f; y).
\]
D'altra parte $h \circ f$ e $f$ sono $C^\infty$-omotope tramite $H \circ (f \times \id_{0, 1})$,
e quindi, per il Lemma \ref{lem:omotopia_intero}:
\[
\deg(f; y) = \deg(h \circ f; z) = \deg(f; z).
\]
\end{proof}
\begin{definition}[Grado intero di una mappa liscia]
Sia $M$ una varietà chiusa e sia $N$ una varietà connessa.
Siano $M$ e $N$ della stessa dimensione e orientate. Se
$f : M \to N$ è una mappa liscia, si definisce il suo
\textbf{grado intero} come:
\[
\boxed{\deg(f) \defeq \deg(f; y),}
\]
dove $y$ è un valore regolare qualsiasi di $f$.
\end{definition}
\begin{theorem} \label{thm:fondamentale_grado_intero}
Sia $M$ una varietà chiusa e sia $N$ una varietà connessa.
Siano $M$ e $N$ della stessa dimensione e orientate.
Se $f$ e $g$ sono due mappe lisce $C^\infty$-omotope da $M$ in $N$,
allora:
\[
\boxed{\deg(f) = \deg(g).}
\]
\end{theorem}
\begin{proof}
Per il Lemma \ref{lem:valori_regolari_aperto}, i valori regolari di $f$ formano un aperto in $N$. Allora, per il Teorema
di Brown (per varietà, Corollario \ref{cor:brown}), esiste in questo
aperto anche un valore regolare di $g$. Per il Lemma \ref{lem:omotopia_intero},
dunque $f$ e $g$ condividono lo stesso grado intero.
\end{proof}
\end{multicols*}

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