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@ -445,7 +445,7 @@
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e dunque chiuso essendo $N$ uno spazio T2. Quindi $f\left(M \setminus \bigcup_{i = 1}^n A_i\right)^c$ è aperto.
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Si conclude dunque che $V$ è aperto. \smallskip
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Su $V$, $\abs{f\inv(\cdot)}$ è necessariamente costante: la prima intersezione assicura che esistano
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Su $V$, $\abs{f\inv(-)}$ è necessariamente costante: la prima intersezione assicura che esistano
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almeno $\abs{f\inv(y)}$ controimmagini, e la sottrazione insiemistica assicura che non possano esisterne di più.
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\end{proof}
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@ -1113,8 +1113,8 @@
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Sia $H$ una omotopia $C^\infty$ da $f$ a $g$. Allora, poiché $M$ è compatta,
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per il Lemma \ref{lem:pila}:
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\begin{itemize}
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\item esiste un intorno $V_1$ di $y \in N$ su cui $\abs{f\inv(\cdot)}$ è costante;
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\item esiste un intorno $V_2$ di $y \in N$ su cui $\abs{g\inv(\cdot)}$ è costante.
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\item esiste un intorno $V_1$ di $y \in N$ su cui $\abs{f\inv(-)}$ è costante;
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\item esiste un intorno $V_2$ di $y \in N$ su cui $\abs{g\inv(-)}$ è costante.
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\end{itemize}
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È sufficiente allora mostrare la tesi per un qualsiasi valore $y' \in V_1 \cap V_2$;
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poiché i valori regolari sono densi per il Teorema di Brown (per le varietà, Corollario \ref{cor:brown}),
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@ -1264,6 +1264,22 @@
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dove $y$ è un qualsiasi valore regolare di $f$.
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\end{definition}
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\begin{lemma} \label{lem:valori_regolari_aperto}
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Siano $M$ e $N$ varietà della stessa dimensione. Sia $M$ chiusa (ovverosia
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anche compatta)
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e $N$ connessa. Se $f : M \to N$ è liscia, allora i valori regolari di $f$
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formano un aperto di $N$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Dall'Osservazione \ref{rmk:punti_regolari_formano_aperto} sappiamo che
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i punti regolari di $f$ formano un aperto di $M$; dunque i punti critici
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formano un chiuso di $M$. Dacché $M$ è compatta, in particolare i punti
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critici formano un compatto di $M$. Tramite $f$, si deduce che i valori
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critici formano un compatto di $N$, che, essendo $N$ T2, è dunque
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chiuso in $N$. Quindi i valori regolari formano un aperto.
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\end{proof}
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\begin{theorem} \label{thm:fondamentale_grado_2}
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Siano $M$ e $N$ varietà della stessa dimensione. Sia $M$ chiusa (ovverosia
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anche compatta)
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@ -1275,17 +1291,12 @@
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Dall'Osservazione \ref{rmk:punti_regolari_formano_aperto} sappiamo che
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i punti regolari di $f$ formano un aperto di $M$; dunque i punti critici
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formano un chiuso di $M$. Dacché $M$ è compatta, in particolare i punti
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critici formano un compatto di $M$. Tramite $f$, si deduce che i valori
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critici formano un compatto di $N$, che, essendo $N$ T2, è dunque
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chiuso in $N$. \smallskip
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\smallskip
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Allora i valori regolari di $f$ formano un aperto in $N$: per il Teorema
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di Brown (per varietà, Corollario \ref{cor:brown}) esiste in questo
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Per il Lemma \ref{lem:valori_regolari_aperto}, i valori regolari di $f$ formano un aperto in $N$. Allora, per il Teorema
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di Brown (per varietà, Corollario \ref{cor:brown}), esiste in questo
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aperto anche un valore regolare di $g$. Per il Lemma \ref{lem:omotopia},
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allora $f$ e $g$ condividono lo stesso grado modulo $2$.
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dunque $f$ e $g$ condividono lo stesso grado modulo $2$.
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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@ -1489,7 +1500,7 @@
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Dunque $M$ è orientabile secondo l'orientazione canonica di $\RR^m$.
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\end{proof}
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\subsection{Orientazione sul bordo della varietà, semispazio interno o esterno}
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\subsection{Semispazio interno o esterno}
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\begin{remark}[Il semispazio interno è ben definito]
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L'orientazione locale di una $m$-varietà $M$ con bordo determina sempre la scelta di uno dei semispazi di
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@ -1543,6 +1554,33 @@
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$T_x M$, e i suoi vettori sono detti \textbf{esterni}.
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\end{definition}
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\begin{lemma} \label{lem:0_interno_1_esterno}
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Sia $M \cong [0, 1]$. Si fissi un diffeomorfismo
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$\varphi : [0, 1] \to M$. Allora
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$\dif \varphi_0(1)$ è un vettore interno,
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mentre $\dif \varphi_1(1)$ è esterno.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Si fissi $\eps$ tale per cui $0 < \eps < 1$. Poniamo
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$I_0 = [0, \eps)$ e $I_1 = (\eps, 1]$.
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Osserviamo che $\restr{\varphi}{I_0}$ è una
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parametrizzazione locale di $\varphi(0)$, una
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volta identificato $I_1$ naturalmente con $H^1$.
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Allora $\dif \varphi_0(1)$ è interno dal momento
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che $\dif \varphi_0\inv(\dif \varphi_0(1)) = 1 > 0$. \smallskip
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Per quanto riguarda invece $\varphi(1)$, una parametrizzazione
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locale è data su $I_1$ con $H^1$
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secondo $\Psi(t) = \varphi(1-t)$. \smallskip
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Osserviamo che $\dif \Psi_0\inv (\dif \varphi_1(1)) = -1 < 0$, e dunque
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$\dif \varphi_1(1)$ è invece esterno.
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\end{proof}
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\subsection{Orientazione sul bordo della varietà}
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\begin{remark}[L'orientazione indotta sul bordo è ben definita -- \textit{esistenza}]
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Sia $x \in \partial M$ un punto della $m$-varietà orientata $(M, \Theta)$, con $m > 1$.
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Sia $g : U \subseteq H^m \to g(U)$ una parametrizzazione locale di $x$ con $g(u) = x$ che
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@ -1648,5 +1686,123 @@
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in $\RR^{n+1}$.
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\end{proof}
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%\section{Teoria del grado su \texorpdfstring{$\ZZ$}{ℤ}}
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\section{Teoria del grado su \texorpdfstring{$\ZZ$}{ℤ}}
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\subsection{Grado intero rispetto a un valore regolare}
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\begin{definition}[Segno di un differenziale in un punto]
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Sia $M$ una varietà orientata con $\Theta^M$ e $N$ orientata
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con $\Theta^N$ e $\dim M = \dim N$. Se $f : M \to N$ è una mappa liscia, si definisce
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il \textbf{segno di $\dif f_x$} per un punto regolare $x \in M$ come:
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\[
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\boxed{\sgn(\dif f_x) = \begin{cases}
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+1 & \text{se } \dif f_x(\Theta^M) = \Theta^N, \\
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-1 & \text{se } \dif f_x(\Theta^M) = -\Theta^N.
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\end{cases}}
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\]
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\end{definition}
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\begin{definition}[Grado intero di un valore regolare]
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Sia $M$ una varietà chiusa e sia $N$ una varietà connessa con $\partial N = \emptyset$
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e $\dim M = \dim N$. Sia $M$ orientata con $\Theta^M$ e sia $N$ orientata con $\Theta^N$. \smallskip
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Se $y \in N$ è regolare per $f : M \to N$ liscia, si definisce il \textbf{grado di $f$ rispetto a $y$} come:
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\[
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\boxed{\deg(f; y) \defeq \sum_{x \in f\inv(y)} \sgn(\dif f_x).}
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\]
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\end{definition}
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\begin{remark}[Il grado intero è localmente costante] \label{rmk:grado_loc_costante}
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Se $y \in N$ è regolare, possiamo scegliere per il Lemma \ref{lem:pila} un intorno $I_1$
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sul quale $\abs{f\inv(-)}$ è costante. \smallskip
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Inoltre, per il Teorema della permanenza del
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segno applicato sul determinante dello jacobiano di $h\inv \circ f \circ g$, dove
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$g : U \to g(U)$ parametrizza localmente $x \in f\inv(y)$ e $h : V \to h(V)$
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un intorno di $y$, esiste un intorno $I_2$ di $y$ sul quale le orientazioni sono
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preservate allo stesso modo in cui lo sono preservate dalle controimmagini di $y$. \smallskip
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Poiché i valori regolari sono aperti (vd. Lemma \ref{lem:valori_regolari_aperto}),
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possiamo allora prendere un intorno aperto di valori regolari
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in $I_1 \cap I_2$ entro cui $\deg(f; -)$ è costante; quindi il grado intero è \textit{localmente}
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costante.
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\end{remark}
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\begin{lemma}[Il grado di una mappa estendibile dal bordo è nullo]
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Sia $X$ una varietà compatta e orientata con bordo non nullo. Sia $N$
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una varietà connessa, orientata, senza bordo e con $\dim X = \dim N + 1$.
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Sia $F : X \to N$ una mappa liscia. \smallskip
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Se $y \in N$ è un valore regolare per $f \defeq \restr{F}{\partial X}$, allora
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$\deg(f; y) = 0$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Denotiamo con $n$ la dimensione di $X$. \smallskip
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Grazie all'Osservazione \ref{rmk:grado_loc_costante}, sappiamo che esiste un intorno
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di $y$ fatto di valori regolari di $f$ su cui $\deg(f; -)$ è costante. Possiamo prendere allora in questo intorno,
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per il Teorema di Brown (per varietà, Corollario \ref{cor:brown}), un valore regolare
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$z$ di $F$. Per definizione, $z$ è valore regolare sia di $F$ che di $f$; mostrando che
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$\deg(f; z) = 0$, mostriamo dunque anche che $\deg(f; y) = 0$, per costruzione. \smallskip
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Per il Teorema \ref{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare}, allora $F\inv(z)$ è una $1$-varietà
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compatta e chiusa topologicamente con bordo $F\inv(z) \cap \partial M = f\inv(z)$. Per il
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Corollario \ref{cor:classificazione_dim_1}, $F\inv(z)$ è unione di archi (con $2$ punti sul bordo ciascuno)
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e cerchi (che non hanno bordo). Per mostrare la tesi è sufficiente mostrare che per ogni arco
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i punti di bordo abbiano segno opposto sul differenziale, in modo tale che la somma complessiva dei
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segni sia ancora nulla. \smallskip
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Sia $A \subseteq F\inv(z) \subseteq X$ un tale arco. Fissiamo un diffeomorfismo $\varphi : [0, 1] \to A$.
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Poniamo $v_1(t) \defeq \dif \varphi_t (1)$. Allora vale:
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\[
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T_{\varphi(t)} X = \underbrace{T_{\varphi(t)} A}_{\mathclap{=\, \Span(v_1(t))}} \oplus (T_{\varphi(t)} A)^\perp,
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\]
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dove ricordiamo che, per una generalizzazione della Proposizione \ref{prop:tangente_valore_regolare},
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$\restr{\dif F_{\varphi(t)}}{(T_{\varphi(t)} A)^\perp} : (T_{\varphi(t)} A)^\perp \to T_z N$ è un isomorfismo. \smallskip
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Fissiamo una base positiva $\{w_2, \ldots, w_n\}$ di $T_y N$. Possiamo allora porre:
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\[
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v_i(t) = \restr{\dif F_{\varphi(t)}}{(T_{\varphi(t)} A)^\perp}\inv(w_i), \quad i = 2, \ldots, n.
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\]
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Poiché $v_1(t)$ è ortogonale agli altri $v_i(t)$, $\{v_i(t)\}_i$ è una base
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di $T_{\varphi(t)} X$. \smallskip
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Se poniamo $A \defeq \{t \mid \{v_i(t)\}_i \text{ positiva}\} \subseteq [0, 1]$,
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allora $A$ è un aperto di $[0, 1]$. Infatti, per il Teorema della permanenza del segno applicato
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allo jacobiano di una parametrizzazione locale, in un
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intorno di $t_0$ si mantiene la stessa orientazione.
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Analogamente anche il complementare
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di $A$ è aperto. Dacché $[0, 1]$ è connesso, allora uno tra $A$ e il suo complementare è vuoto: in altre
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parole $\{v_i(t)\}_i$ è sempre positiva per ogni $t \in [0, 1]$, o altrimenti è sempre negativa. \smallskip
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A meno di invertire l'orientazione di $\varphi$ usando al suo posto $\varphi(1 - t)$, possiamo
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assumere che $\basis(t) \defeq \{v_i(t)\}_i$ sia sempre positiva. \smallskip
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Mostriamo che $\sgn(\dif f_{\varphi(0)}) = -1$. Sia $\basis' \defeq \{v_1(0), v_2'(0), \ldots, v_n'(0)\}$
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una base di $T_{\varphi(0)} \partial X$ tale per cui $\{ \dif F_{\varphi(0)} (v_i'(0)) \}_{i \geq 2} $ è
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una base positiva di $T_z N$. Se mostriamo che $\basis$ e $\basis'$ hanno la stessa orientazione,
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dal momento che $\basis$ è positiva e $v_1(0)$ è \underline{interno} per il Lemma \ref{lem:0_interno_1_esterno},
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si deduce dalla definizione di orientazione di bordo che
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$\{ v_2'(0), \ldots, v_n'(0)\}$ è negativa; in particolare $\dif f_{\varphi(0)}$ invertirebbe l'orientazione,
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e quindi avrebbe segno $-1$. \smallskip
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Consideriamo la matrice di cambio di base da $\basis$ a $\basis'$, della seguente forma:
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\[
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M \defeq \begin{pmatrix}
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1 & \vline & * \\
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\hline
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0 & \vline & B
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\end{pmatrix}.
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\]
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Osserviamo che $B$ è la matrice di cambio di base ottenuta togliendo ad entrambi le
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basi il vettore $v_1(0)$. Per costruzione, queste tali basi hanno la stessa orientazione
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dal momento che $\dif F_{\varphi(0)}$ mantiene invariate le orientazioni. Dunque
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$\det(B) > 0$, da cui si deduce che $\det(M) > 0$, e quindi che $\basis$ e
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$\basis'$ hanno effettivamente la stessa orientazione. \smallskip
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Per $\varphi(1)$ il ragionamento è del tutto analogo, ma essendo $v_1(1)$ \underline{esterno} per
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il Lemma \ref{lem:0_interno_1_esterno}, il segno sarà invece $+1$. Questo conclude la dimostrazione
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per le osservazioni fatte in precedenza.
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\end{proof}
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\end{multicols*}
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