@ -1300,9 +1300,9 @@
le due mappe non possono essere $ C ^ \infty $ -omotope.
\end { proof}
\section { Teoria del grado su \texorpdfstring { $ \ZZ $ } { ℤ } }
\section { Varietà orientate }
\subsection { Orientazione di basi su spazi vettoriali}
\subsection { Orientazione di basi su spazi vettoriali, orientazione canonica di \texorpdfstring { $ \RR ^ n $ } { ℝⁿ} }
\begin { definition} [Stessa orientazione]
Si dice che due basi (ordinate) $ \basis $ , $ \basis ' $ di un $ \RR $ -spazio vettoriale finito-dimensionale
@ -1342,7 +1342,7 @@
Indicheremo tale mappa con il simbolo dell'isomorfismo da cui è indotta.
\end { remark}
\subsection { Orientazione su varietà}
\subsection { Orientazione su varietà e prime proprietà }
\begin { definition} [$ m $ -varietà orientata, $ m > 1 $ o $ \partial M = \emptyset $ ]
Una \textbf { varietà orientata di dimensione $ m $ } (con $ \underline { m> 1 } $ o $ \underline { \partial M = \emptyset } $ )
@ -1447,6 +1447,12 @@
\end { itemize}
\end { proof}
\begin { definition} [Base positiva o negativa per $ T _ x M $ ]
Sia $ ( M, \Theta ) $ una varietà orientata. Allora una base per $ T _ x M $ si dice
\textbf { positiva} se è della stessa orientazione di $ \Theta _ x $ ; altrimenti
si dice \textbf { negativa} .
\end { definition}
\begin { definition} [Varietà di orientazione opposta]
Data $ ( M, \Theta ) $ una varietà orientata, indichiamo con $ - M $ la varietà
$ ( M, - \Theta ) $ , dove $ - \Theta $ è l'unica altra orientazione possibile.
@ -1457,7 +1463,33 @@
prendere l'orientazione indotta da un'unica parametrizzazione locale.
\end { remark}
\subsection { Orientazione sul bordo della varietà}
\begin { proposition} [$ m $ -varietà immerse in $ \RR ^ m $ sono orientabili] \label { prop:orientazione_ immersa_ Rm}
Sia $ M $ una $ m $ -varietà immersa in $ \RR ^ m $ . Allora
$ M $ è orientabile secondo l'orientazione canonica di $ \RR ^ m $ .
\end { proposition}
\begin { proof}
Sia $ x \in M $ . Osserviamo
che deve valere necessariamente $ T _ x M = \RR ^ m $ , dal momento che
$ T _ x M $ è uno spazio vettoriale $ m $ -dimensionale immerso in $ \RR ^ m $ .
Definiamo allora $ \Theta _ x \defeq \Theta _ 0 $ ,
dove $ \Theta _ 0 $ è l'orientazione canonica di $ \RR ^ m $ . \smallskip
Se $ g : U \subseteq H ^ m \to g ( U ) $ è una parametrizzazione locale di $ x $ , possiamo restringere e
riparametrizzare $ g $
in modo tale che il suo dominio sia una semipalla di $ \RR ^ m $ . Se $ \dif g _ { - } $ preserva
l'orientazione canonica, scegliamo $ g $ come parametrizzazione locale compatibile
per $ \Theta \defeq \{ \Theta _ x \} _ { x \in M } $ . Altrimenti possiamo precomporre $ g $
con una riflessione rispetto all'asse della semipalla e ottenere una nuova parametrizzazione,
stavolta compatibile. \smallskip
Infatti, $ g $ si estende a un diffeomorfismo tra aperti di $ \RR ^ m $ e,
per il Teorema della permanenza del segno, lo jacobiano deve essere localmente o positivo
o negativo, e quindi $ g $ preserva localmente l'orientazione.
Dunque $ M $ è orientabile secondo l'orientazione canonica di $ \RR ^ m $ .
\end { proof}
\subsection { Orientazione sul bordo della varietà, semispazio interno o esterno}
\begin { remark} [Il semispazio interno è ben definito]
L'orientazione locale di una $ m $ -varietà $ M $ con bordo determina sempre la scelta di uno dei semispazi di
@ -1511,16 +1543,110 @@
$ T _ x M $ , e i suoi vettori sono detti \textbf { esterni} .
\end { definition}
\begin { lemma} [L'orientazione indotta sul bordo è ben definita]
...
\end { lemma}
\begin { remark} [L'orientazione indotta sul bordo è ben definita -- \textit { esistenza} ]
Sia $ x \in \partial M $ un punto della $ m $ -varietà orientata $ ( M, \Theta ) $ , con $ m > 1 $ .
Sia $ g : U \subseteq H ^ m \to g ( U ) $ una parametrizzazione locale di $ x $ con $ g ( u ) = x $ che
sia compatibile con l'orientazione $ \Theta $ . Allora:
\begin { definition}
Data una varietà orientata $ M $ con bordo e $ \dim M > 1 $ , la famiglia $ \{ \Theta _ x ^ { \partial M } \} _ { x \in \partial m } $
di orientazioni di $ T _ x \partial M $ indotte dall'orientazione di $ M $ è un'orientazione su $ \partial M $
detta \textbf { orientazione indotta sul bordo} (o \textit { orientazione di bordo} ). \smallskip
\begin { itemize}
\item per definizione, $ \dif g _ u ( - e _ m ) $ è
un vettore \textit { esterno} per $ x $ ;
\item $ \{ \dif g _ u ( e _ i ) \} _ { i = 1 - - m - 1 } $ è una base
di $ T _ x \partial M $ , dacché $ \restr { g } { \partial H ^ m } $
si identifica come una parametrizzazione locale di $ x $
in $ \partial M $ ;
\item $ \{ \dif g _ u ( e _ i ) \} _ { i = 1 - - m } $ è una base positiva
di $ T _ x M $ , dacché $ g $ è compatibile e $ \{ e _ i \} _ i $ ha
l'orientazione canonica in $ \RR ^ m $ .
\end { itemize}
\end { remark}
\begin { remark} [L'orientazione indotta sul bordo è ben definita -- \textit { unicità} ]
Sia $ x \in \partial M $ un punto della $ m $ -varietà orientata $ ( M, \Theta ) $ , con $ m > 1 $ .
Sia $ \{ v _ 1 , \ldots , v _ n \} $ una base di $ T _ x M $ tale per cui
$ v _ 1 $ un vettore \underline { esterno} per $ x \in \partial M $ e
$ \{ v _ 2 , \ldots , v _ n \} $ è base di $ T _ x \partial M $ . \smallskip
Sia $ \{ v _ 1 ', \ldots , v _ n' \} $ un'altra tale base di $ T _ x M $ .
Sia $ g : U \to g ( U ) $ una parametrizzazione locale di $ x $ con
$ g ( u ) = x $ . Allora $ \dif g _ u $ è un isomorfismo, e in quanto tale
lascia invariate le relazioni di orientazioni delle basi di $ T _ u U = \RR ^ m $
quando portate in $ T _ x M $ . \smallskip
Sia $ w _ i = \dif g _ u \inv ( v _ i ) $ e sia $ w _ i' = \dif g _ u \inv ( v _ i' ) $ . Dal momento
che $ v _ 1 $ e $ v _ 1 ' $ sono vettori esterni, si deve avere necessariamente
$ ( w _ 1 ) _ m $ , $ ( w _ 1 ' ) _ m < 0 $ . Dal momento che $ \restr { g } { \partial H ^ m } $ si identifica
naturalmente come una parametrizzazione locale di $ x $ in $ \partial M $ , e che i $ v _ i $ e i $ v _ i' $ per $ i > 1 $ formano
una base di $ T _ x \partial M $ , si ha $ ( w _ i ) _ m = ( w _ i' ) _ m = 0 $ per ogni $ i > 1 $ . \smallskip
Dunque la matrice di cambio di base da $ \{ v _ 1 , \ldots , v _ n \} $ a
$ \{ v _ 1 ', \ldots , v _ n' \} $ è della seguente forma:
\[
M = \begin { pmatrix}
\lambda & \vline & 0 \\
\hline
* & \vline & A
\end { pmatrix} ,
\]
dove $ \lambda > 0 $ affinché $ w _ 1 $ e $ w _ 1 ' $ abbiano ancora lo stesso segno
sull'ultima coordinata. Dal momento che $ \{ v _ 1 , \ldots , v _ n \} $ e
$ \{ v _ 1 ', \ldots , v _ n' \} $ sono basi positive di $ T _ x M $ , allora hanno
stesso orientazione, e quindi $ \det ( M ) > 0 $ . Ne segue che $ \det ( A ) > 0 $ . \smallskip
Osserviamo che $ A $ è proprio la matrice di cambio di base da $ \{ v _ 2 , \ldots , v _ n \} $ a
$ \{ v _ 2 ', \ldots , v _ n' \} $ . Dunque queste due basi hanno stessa orientazione.
\end { remark}
\begin { remark} [L'orientazione indotta sul bordo è ben definita -- \textit { è effettivamente un'orientazione} ]
Sia $ x \in \partial M $ un punto della $ m $ -varietà orientata $ ( M, \Theta ) $ , con $ m > 1 $ .
Denotiamo con $ \Theta _ x ^ { \partial M } $ l'orientazione indotta da $ \{ v _ 2 , \ldots , v _ n \} $
su $ T _ x \partial M $ da una base positiva $ \{ v _ 1 , v _ 2 , \ldots , v _ n \} $ di $ T _ x M $
con $ v _ 1 $ \underline { esterno} e $ \{ v _ 2 , \ldots , v _ n \} $ base di $ T _ x \partial M $ . \smallskip
Definiamo:
\[ \Theta ^ { \partial M } \defeq \{ \Theta _ x ^ { \partial M } \} _ { x \in \partial M } . \]
Data $ g : U \subseteq H ^ m \to g ( U ) \subseteq M $ parametrizzazione locale
compatibile di
$ x \in \partial M $ in $ M $ , $ \restr { g } { \partial U } $ , identificata come parametrizzazione da $ \RR ^ { m - 1 } $ ,
è compatibile rispetto a $ \Theta ^ { \partial M } $ , a meno di restringimento del dominio a una palla
con conseguente riflessione rispetto a un asse. \smallskip
Si può infatti estendere in tal caso la base canonica di $ \RR ^ { m - 1 } \cong \partial H ^ m $ a una base di $ \RR ^ m $ con l'aggiunta di
un vettore la cui immagine tramite $ \dif g _ { - } $ risulta essere sempre esterna. Quindi
$ \Theta ^ { \partial M } $ è un'orientazione per $ \partial M $ .
\end { remark}
\begin { definition} [Orientazione indotta sul bordo]
Sia $ ( M, \Theta ) $ una $ m $ -varietà bordata e orientata con $ m > 1 $ . Per $ x \in \partial M $ denotiamo con
$ \Theta _ x ^ { \partial M } $ l'orientazione indotta da $ \{ v _ 2 , \ldots , v _ n \} $ su $ T _ x \partial M $ da una base positiva $ \{ v _ 1 , v _ 2 , \ldots , v _ n \} $ di $ T _ x M $
con $ v _ 1 $ \underline { esterno} e $ \{ v _ 2 , \ldots , v _ n \} $ base di $ T _ x \partial M $ . \smallskip
Si definisce allora $ \Theta ^ { \partial M } = \{ \Theta _ x ^ { \partial M } \} _ { x \in \partial M } $ come
l'\textbf { orientazione indotta sul bordo} (o \textit { orientazione di bordo} ) per $ \partial M $ .
Per $ M $ orientata tramite un diffeomorfismo $ \varphi : [ 0 , 1 ] \to M $ , si associa
Per $ M \cong [ 0 , 1 ] $ orientata tramite un diffeomorfismo $ \varphi : [ 0 , 1 ] \to M $ , si associa
$ - 1 $ a $ \varphi ( 0 ) $ e $ + 1 $ a $ \varphi ( 1 ) $ .
\end { definition}
\begin { corollary} \label { cor:bordo_ orientabile_ immersa_ Rm}
Sia $ M $ una $ m $ -varietà orientabile immersa in $ \RR ^ m $ . Allora
$ \partial M $ è orientabile con l'orientazione indotta sul bordo dall'orientazione
canonica di $ \RR ^ m $ .
\end { corollary}
\begin { proof}
Segue immediatamente dalla Proposizione \ref { prop:orientazione_ immersa_ Rm} .
\end { proof}
\begin { corollary}
$ S ^ n $ è orientabile per ogni $ n $ .
\end { corollary}
\begin { proof}
Segue immediatamente dal Corollario \ref { cor:bordo_ orientabile_ immersa_ Rm} ,
dacché $ S ^ n = \partial D ^ { n + 1 } $ e $ D ^ { n + 1 } $ è una $ ( n + 1 ) $ -varietà immersa
in $ \RR ^ { n + 1 } $ .
\end { proof}
% \section { Teoria del grado su \texorpdfstring { $ \ZZ $ } { ℤ } }
\end { multicols*}
