In particolare, se $\sigma_k$ è un $k$-ciclo, $\sgn(\sigma_k)=(-1)^{k-1}$ e $\ord(\sigma_k)= k$. Si osserva inoltre che vi sono esattamente $\binom{n}{k}\frac{k!}{k}=
In particolare, se $\sigma_k$ è un $k$-ciclo, $\sgn(\sigma_k)=(-1)^{k-1}$ e $\ord(\sigma_k)= k$. Si osserva inoltre che vi sono esattamente $\binom{n}{k}\frac{k!}{k}=
\binom{n}{k} (k-1)!$$k$-cicli in $S_n$ e che in generale l'ordine
\binom{n}{k} (k-1)!$$k$-cicli in $S_n$ e che in generale l'ordine
di una permutazione è il minimo comune multiplo degli
di una permutazione è il minimo comune multiplo degli
ordini dei suoi cicli. \medskip
ordini dei suoi cicli. In particolare vale la seguente identità\footnote{
Si verifica facilmente che il prodotto a destra fornisce un omomorfismo. Allora
è sufficiente mostrare che è ben definito e che vale $-1$ sulle trasposizioni.
Se si considera $\sigma=(a, b)$, per $i$ e $j$ tali per cui
$\{i, j\}\cap\{a, b\}=\emptyset$ il termine della produttoria è unitario;
per $\{i, j\}=\{a, b\}$ il termine è $-1$ e per un'intersezione di un solo
termine si osserva che vi sono due termini del prodotto che valgono $-1$ e
che moltiplicati si annullano nell'unità. Poiché $\sgn$ vale anch'esso $-1$ sulle trasposizioni, i due omomorfismi coincidono (infatti le trasposizioni generano $S_n$).
}:
\[\sgn(\sigma)=\prod_{1\leq i < j \leq n}\frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i - j}. \]
Si definisce \textit{tipo} di una permutazione $\sigma$ la sua decomposizione
Si definisce \textit{tipo} di una permutazione $\sigma$ la sua decomposizione
in cicli disgiunti a meno degli elementi presenti nei cicli. Sia $\sigma$
in cicli disgiunti a meno degli elementi presenti nei cicli. Sia $\sigma$
