feat(eps): reindirizzamento al caso discreto di alcuni risultati

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/0-notazioni.tex

@@ -5,7 +5,7 @@
 
 \begin{multicols*}{2}
     \section*{Algebra lineare}
-    \addcontentsline{toc}{section}{Teoria della misura}
+    \addcontentsline{toc}{section}{Algebra lineare}
 
     \begin{itemize}
         \item $q_\varphi$ -- dato uno spazio vettoriale $V$ equipaggiato con un
@@ -157,6 +157,9 @@
         \item $\pi$-sistema -- insieme $I \subseteq \FF$, $I \neq \emptyset$ con $(\Omega, \FF)$ spazio misurabile, $\sigma(I) = \FF$ e $I$ chiuso per intersezioni.
         \item $\mu$ -- misura su uno spazio misurabile.
         \item $m$ -- misura di Lebesgue sullo spazio misurabile $(\RR, \BB(\RR))$. È tale per cui $m([a, b]) = b-a$ per $b > a$.
+        \item $m$ -- misura di Lebesgue sullo spazio misurabile $\left(\RR^d, \BB\left(\RR^d\right)\right)$ con $d \geq 1$. È tale per cui
+        $m\left([a_1, b_1] \times \cdots \times [a_d, b_d]\right) = (b_1 - a_1) \cdots (b_d - a_d)$ con $a_i$, $b_i \in \RR$ e
+        $b_i > a_i$ per $1 \leq i \leq d$. Non si distingue generalmente la notazione dal caso unidimensionale.
         \item $P$ -- misura di probabilità su uno spazio misurabile.
         \item $(\Omega, \FF, P)$ -- spazio di probabilità.
         \item \qc -- quasi certo/quasi certamente.

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/0-prerequisiti.tex

@@ -65,13 +65,17 @@
     $\abs{x}$ e $\abs{y}$ ($t^p$ è convessa per $t \geq 0$).
     \item \textbf{Una funzione crescente ammette un insieme discreto di discontinuità} --
     È possibile costruire facilmente una funzione iniettiva da tale insieme a $\QQ$ sfruttando
-    i limiti sinistri nelle discontinuità.
+    i limiti sinistri e destri nelle discontinuità.
     \item \textbf{Lemma di Dynkin, versione probabilistica} -- Se
     due misure di probabilità $P$ e $Q$ su $(\Omega, \FF)$ coincidono su un $\pi$-sistema di $\FF$
     contenente $\Omega$, allora $P \equiv Q$.
     \item \textbf{Esistenza e unicità della misura di Lebesgue} -- Esiste ed
     è unica la misura $m$ su $(\RR, \BB(\RR))$ tale per cui
     $m([a, b]) = b-a$. Segue dalla versione più generale del lemma di Dynkin.
+    \item \textbf{Esistenza e unicità della misura di Lebesgue $d$-dimensionale} -- Esiste ed
+    è unica la misura $m$ su $\left(\RR^d, \BB\left(\RR^d\right)\right)$ tale per cui
+    $m\left([a_1, b_1] \times \cdots \times [a_d, b_d]\right) = (b_1 - a_1) \cdots (b_d - a_d)$ con $a_i$, $b_i \in \RR$ e
+    $b_i > a_i$ per $1 \leq i \leq d$.
     \item \textbf{Lemma di Fatou} --
     Sia $(X, \FF)$ uno spazio misurabile e sia $(f_i : X \to \RR)_{i \in \NN}$ una successione di funzioni misurabili rispetto
     a $(\RR, m)$ con $f_i \geq 0$ e con

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/2-probabilità-discreta.tex

@@ -653,6 +653,7 @@ aspettarsi il seguente:
 \end{lemma}
 
 \subsection{Momenti (assoluti) \texorpdfstring{$n$}{n}-esimi}
+\label{sec:momenti_assoluti}
 
 \begin{definition}[Momento $n$-esimo assoluto]
     Data $X$ v.a.~reale e $n \in \RR^+$, definiamo il

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/3-probabilità-reale.tex

@@ -260,7 +260,9 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
     $F$ come funzione di ripartizione. \smallskip
 
 
-    L'unicità segue dal lemma di Dynkin.
+    L'unicità segue dal lemma di Dynkin. Per l'esistenza è utile considerare
+    che l'insieme delle discontinuità di $F$ è discreto dacché
+    $F$ è crescente.
 \end{proposition}
 
 \begin{remark}
@@ -717,4 +719,33 @@ che $\mu$ assuma valori finiti per le funzioni semplici).
     \hyperref[th:convergenza_monotona]{Teorema di convergenza monotona}. 
 \end{proposition}
 
+\begin{remark}
+    In particolare, per $X$ v.a.~assolutamente continua vale che:
+    \[
+        \EE[X] = \int_\RR x f(x) \dx.
+    \]
+\end{remark}
+
+\section{Momenti e disuguaglianze, (co)varianza, dev.~standard, mediana e moda}
+
+Tutti le disuguaglianze sul valore atteso (e.g.~Markov) e tutti i risultati
+riguardanti i momenti (assoluti e non), la covarianza, la varianza, la
+deviazione standard, la mediana e la moda passano direttamente al
+caso reale a partire dalle proprietà del funzionale lineare
+$\EE[\cdot]$. Si rimanda dunque alla \hyperref[sec:momenti_assoluti]{\textit{Parte 2}}.
+
+\begin{proposition}
+    Sia $X$ v.a.~reale e siano $A$ e $B$ tali per cui:
+    \[
+        A = \left\{t \in \RR \mid F(t) < \frac{1}{2} \right\}, \quad B = \left\{t \in \RR \mid F(t) > \frac{1}{2} \right\}.
+    \]
+    Allora $m$ è una mediana se e solo se $m \in [\underline{m}, \overline{m}]$, dove $\underline{m} = \sup \, A$ e
+    $\overline{m} = \inf \, B$. \smallskip
+
+    
+    Infatti ogni mediana $m$ è maggiorante di $A$ e minorante di $B$ per la monotonia di
+    $F$ (e dunque $m \in [\underline{m}, \overline{m}]$). Si verifica poi che ogni elemento
+    di tale intervallo è mediana.
+\end{proposition}
+
 \end{multicols*}