\chapter*{Tabella e proprietà delle distribuzioni discrete}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabella e proprietà delle distribuzioni discrete}
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\begin{table}[htb]
\label{tab:distr_discrete}
\scalebox{0.74}{
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
Nome distribuzione & Caso di utilizzo & Parametri & Densità discreta & Valore atteso & Momento secondo & Varianza \\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. di Bernoulli\\$X \sim B(\pp)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Esperimento con esito\\ di successo ($1$) o\\ insuccesso ($0$).\end{tabular}&$\pp$ -- probabilità di successo. &$P(X=1)=\pp$, $P(X=0)=1-\pp$&$\EE[X]=\pp$&$\EE[X^2]=\pp$&$\Var(X)=\pp(1-\pp)$\\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. binomiale\\$X \sim B(n, \pp)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una serie di $n$ esperimenti\\ col modello delle prove ripetute,\\$X$ conta il numero di successi.\\$X$ è in particolare somma di $n$\\ v.a.~i.i.d.~distribuite come $B(\pp)$.\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$n$ -- numero di esperimenti\\$\pp$ -- probabilità di successo\\ dell'$i$-esimo esperimento\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k)=\binom{n}{k}{\pp}^k (1-\pp)^{n-k}$\\ per $0\leq k \leq n$ e $0$ altrimenti.\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X]= n \pp$\\ (è somma di $n$ Bernoulliane)\end{tabular}&$\EE[X^2]= n \pp+ n(n-1)\pp^2$&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Var(X)= n \pp(1-\pp)$\\ (è somma di $n$\\ Bernoulliane indipendenti)\end{tabular}\\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. binomiale\\ negativa\\$X \sim\BinNeg(h, \pp)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una serie di infiniti esperimenti\\ col modello delle prove ripetute,\\$X$ conta l'esperimento in cui si\\ ha l'$h$-esimo successo.\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$h$ -- numero dei successi da misurare\\$\pp\in(0, 1)$ -- probabilità di successo\\ dell'$i$-esimo esperimento\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k)=\binom{k-1}{h-1}\pp^h (1-\pp)^{k-h}$\\ laddove definibile e $0$ altrimenti.\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X]=\frac{h}{\pp}$\\ (è somma di $h$ Geometriche)\end{tabular}&$\EE[X^2]=\frac{h(1+h-\pp)}{\pp^2}$&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Var(X)=\frac{h(1-\pp)}{\pp^2}$\\ (è somma di $h$\\Geometriche indipendenti)\end{tabular}\\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. geometrica\\$X \sim\Geom(\pp)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una serie di infiniti esperimenti\\ col modello delle prove ripetute,\\$X$ conta l'esperimento in cui si\\ ha il primo successo. È pari a\\$\BinNeg(1, \pp)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\pp\in(0, 1)$ -- probabilità di successo\\ all'$i$-esimo esperimento.\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k)=\pp(1-\pp)^{k-1}$ per\\$k \geq1$ e $0$ per $k=0$.\end{tabular}&$\EE[X]=\frac{1}{\pp}$&$\EE[X^2]=\frac{2-\pp}{\pp^2}$&$\Var(X)=\frac{1-\pp}{\pp^2}$\\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. ipergeometrica\\$X \sim H(N, N_1, n)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In un'estrazione di $n$ palline in\\ un'urna di $N$ palline, di cui\\$N_1$ sono rosse, $X$ conta\\ il numero di palline rosse estratte.\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$N$ -- numero di palline nell'urna\\$N_1$ -- numero di palline rosse\\ nell'urna\\$n$ -- numero di palline estratte\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k)=\frac{\binom{N_1}{k}\binom{N-N_1}{n-k}}{\binom{N}{n}}$\\ laddove definibile e $0$ altrimenti.\end{tabular}&&&\\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distri.di Poisson\\ (o degli eventi rari)\\$X \sim\Poisson(\lambda)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una sequenza di $n \gg1$\\ esperimenti di parametro $\pp\ll1$\\ con $n \pp\approx\lambda$,\\$X$ misura il numero di successi.\\ Si può studiare come distribuzione\\ limite della distribuzione binomiale.\end{tabular}&$\lambda$ -- tasso di successo. &$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$&$\EE[X]=\lambda$&$\EE[X^2]=\lambda(\lambda+1)$&$\Var(X)=\lambda$\\\hline
\end{tabular}}
\scalebox{0.85}{
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
Nome distribuzione & Caso di utilizzo & Parametri & Densità discreta & Valore atteso e momenti & Varianza \\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. di Bernoulli\\$X \sim B(\pp)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Esperimento con esito\\ di successo ($1$) o\\ insuccesso ($0$).\end{tabular}&$\pp$ -- probabilità di successo. &$P(X=1)=\pp$, $P(X=0)=1-\pp$&$\EE[X]=\EE[X^2]=\pp$&$\Var(X)=\pp(1-\pp)$\\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. binomiale\\$X \sim B(n, \pp)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una serie di $n$ esperimenti\\ col modello delle prove ripetute,\\$X$ conta il numero di successi.\\$X$ è in particolare somma di $n$\\ v.a.~i.i.d.~distribuite come $B(\pp)$.\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$n$ -- numero di esperimenti\\$\pp$ -- probabilità di successo\\ dell'$i$-esimo esperimento\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k)=\binom{n}{k}{\pp}^k (1-\pp)^{n-k}$\\ per $0\leq k \leq n$ e $0$ altrimenti.\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X]= n \pp$\\ (è somma di $n$ Bernoulliane) \\$\EE[X^2]= n \pp+ n(n-1)\pp^2$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Var(X)= n \pp(1-\pp)$\\ (è somma di $n$\\ Bernoulliane indipendenti)\end{tabular}\\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. binomiale\\ negativa\\$X \sim\BinNeg(h, \pp)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una serie di infiniti esperimenti\\ col modello delle prove ripetute,\\$X$ conta l'esperimento in cui si\\ ha l'$h$-esimo successo.\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$h$ -- numero dei successi da misurare\\$\pp\in(0, 1)$ -- probabilità di successo\\ dell'$i$-esimo esperimento\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k)=\binom{k-1}{h-1}\pp^h (1-\pp)^{k-h}$\\ laddove definibile e $0$ altrimenti.\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X]=\frac{h}{\pp}$\\ (è somma di $h$ Geometriche) \\$\EE[X^2]=\frac{h(1+h-\pp)}{\pp^2}$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Var(X)=\frac{h(1-\pp)}{\pp^2}$\\ (è somma di $h$\\Geometriche indipendenti)\end{tabular}\\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. geometrica\\$X \sim\Geom(\pp)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una serie di infiniti esperimenti\\ col modello delle prove ripetute,\\$X$ conta l'esperimento in cui si\\ ha il primo successo. È pari a\\$\BinNeg(1, \pp)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\pp\in(0, 1)$ -- probabilità di successo\\ all'$i$-esimo esperimento.\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k)=\pp(1-\pp)^{k-1}$ per\\$k \geq1$ e $0$ per $k=0$.\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X]=\frac{1}{\pp}$\\$\EE[X^2]=\frac{2-\pp}{\pp^2}$\end{tabular}&$\Var(X)=\frac{1-\pp}{\pp^2}$\\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. ipergeometrica\\$X \sim H(N, N_1, n)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In un'estrazione di $n$ palline in\\ un'urna di $N$ palline, di cui\\$N_1$ sono rosse, $X$ conta\\ il numero di palline rosse estratte.\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$N$ -- numero di palline nell'urna\\$N_1$ -- numero di palline rosse\\ nell'urna\\$n$ -- numero di palline estratte\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k)=\frac{\binom{N_1}{k}\binom{N-N_1}{n-k}}{\binom{N}{n}}$\\ laddove definibile e $0$ altrimenti.\end{tabular}&&\\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distri.di Poisson\\ (o degli eventi rari)\\$X \sim\Poisson(\lambda)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una sequenza di $n \gg1$\\ esperimenti di parametro $\pp\ll1$\\ con $n \pp\approx\lambda$,\\$X$ misura il numero di successi.\\ Si può studiare come distribuzione\\ limite della distribuzione binomiale.\end{tabular}&$\lambda$ -- tasso di successo. &$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X]=\lambda$\\$\EE[X^2]=\lambda(\lambda+1)$\end{tabular}&$\Var(X)=\lambda$\\\hline
\chapter*{Tabella e proprietà delle distribuzioni assolutamente continue}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabella e proprietà delle distribuzioni assolutamente continue}
\vskip -0.3in
\vskip -0.45in
\begin{center}
\begin{table}[htb]
\scalebox{1.1}{
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
Nome distribuzione & Caso di utilizzo & Parametri & Densità & Funzione di ripartizione & Probabilità\\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. uniforme\\$X \sim U(B)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Estrazione di un\\ punto reale a caso\\ su $B$ senza preferenze.\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$B \in\BB(\RR)$ -- insieme\\ da cui estrarre.\end{tabular}&$f(x)=\frac{1}{m(B)}1_B(x)$&$F(x)=\frac{m((-\infty, x]\cap B)}{m(B)}$&$P(X \in A)=\frac{m(A \cap B)}{m(B)}$\\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. esponenz.\\$X \sim\Exp(\lambda)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Processo di Poisson\\ in senso continuo.\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\lambda > 0$ -- parametro\\ di Poisson.\end{tabular}&$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}1_{(0, \infty)}(x)$&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$F(x)=1-e^{-\lambda x}$\\ per $x \geq0$, $0$ altrimenti.\end{tabular}&\\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. gamma\\$X \sim\Gamma(r, \lambda)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Estensione della distr.\\ binomiale in senso\\ continuo.\end{tabular}&$r > 0$, $\lambda > 0$. &$f(x)=\frac{\lambda^r}{\Gamma(r)} x^{r-1} e^{-\lambda x}1_{(0, \infty)}(x)$&&\\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. normale\\$X \sim N(m, \sigma^2)$\end{tabular}&&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$m$ -- media.\\$\sigma^2 > 0$ -- varianza.\end{tabular}&$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\nicefrac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-\nicefrac{t^2}{2}}\dt$\\ per $N(0, 1)$ e si standardizza\\ le altre distr. con il cambio\\ di var. $z =\nicefrac{(x-m)}{\sigma}$.\end{tabular}&\\\hline
\scalebox{1}{
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
Nome distribuzione & Caso di utilizzo & Parametri & Densità & Funzione di ripartizione &\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Valore atteso \\ e momenti\end{tabular}& Varianza \\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. uniforme\\$X \sim U(B)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Estrazione di un\\ punto reale a caso\\ su $B$ senza preferenze.\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$B \in\BB(\RR)$ -- insieme\\ da cui estrarre.\end{tabular}&$f(x)=\frac{1}{m(B)}1_B(x)$&$F(x)=\frac{m((-\infty, x]\cap B)}{m(B)}$&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X]=\frac{a+b}2$ se\\$B =(a, b)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$\\ se $B =(a,b)$\end{tabular}\\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. esponenz.\\$X \sim\Exp(\lambda)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Processo di Poisson\\ in senso continuo.\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\lambda > 0$ -- parametro\\ di Poisson.\end{tabular}&$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}1_{(0, \infty)}(x)$&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$F(x)=1-e^{-\lambda x}$\\ per $x \geq0$, $0$ altrimenti.\end{tabular}&$\EE[X]=\frac{1}{\lambda}$&$\Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}$\\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. gamma\\$X \sim\Gamma(r, \lambda)$\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Estensione della distr.\\ binomiale in senso\\ continuo.\end{tabular}&$r > 0$, $\lambda > 0$. &$f(x)=\frac{\lambda^r}{\Gamma(r)} x^{r-1} e^{-\lambda x}1_{(0, \infty)}(x)$&&$\EE[X]=\frac{r}{\lambda}$&$\Var(X)=\frac{r}{\lambda^2}$\\\hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. normale\\$X \sim N(m, \sigma^2)$\end{tabular}&&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$m$ -- media.\\$\sigma^2 > 0$ -- varianza.\end{tabular}&$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\nicefrac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-\nicefrac{t^2}{2}}\dt$\\ per $N(0, 1)$ e si standardizza\\ le altre distr. con il cambio\\ di var. $z =\nicefrac{(x-m)}{\sigma}$.\end{tabular}&\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X]= m$. Inoltre\\$\EE[(X-m)^p]=0$ se\\$p$ è dispari\\ e $\EE[(X-m)^p]=$\\$=\sigma^p(p-1)!!$\\ se $p$ è pari, dove\\$!!$ indica il\\\textit{doppio fattoriale}.\end{tabular}&$\Var(X)=\sigma^2$\\\hline
\end{tabular}
}
\end{table}
\end{table}
\end{center}
Si ricorda che la funzione $\Gamma$ è definita in modo tale che $\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\dt$; si tratta
di un'estensione della nozione di fattoriale ai valori reali (infatti, $\Gamma(n+1)= n!$ per $n \in\NN$).
di un'estensione della nozione di fattoriale ai valori reali (infatti, $\Gamma(n+1)= n!$ per $n \in\NN$).\smallskip
%Valgono inoltre le seguenti altre proprietà:
%
%\small
%\begin{itemize}
%\item
%\end{itemize}
Valgono inoltre le seguenti altre proprietà:
\small
\begin{itemize}
\item La distribuzione $\Exp(\lambda)$ coincide con la distribuzione $\Gamma(1, \lambda)$.
\chapter*{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} della normale standard \texorpdfstring{$N(0, 1)$}{N(0, 1)}}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} della normale standard \texorpdfstring{$N(0, 1)$}{N(0, 1)}}
\chapter*{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} della distr.~normale standard \texorpdfstring{$N(0, 1)$}{N(0, 1)}}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} della distr.~normale standard \texorpdfstring{$N(0, 1)$}{N(0, 1)}}
Per $a \in\RR$ si definisce la funzione $\Phi(a)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^a e^{-\nicefrac{x^2}{2}}\dx$. L'integrale $\Phi(\infty)\defeq\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^a e^{-\nicefrac{x^2}{2}}\dx$ vale
esattamente $1$, mentre $\Phi(-\infty)\defeq0$. Per la parità di $e^{-\nicefrac{x^2}{2}}$ vale che $\Phi(a)=1-\Phi(-a)$ (\textbf{simmetria}). A partire da questa funzione si può calcolare
