feat(eps): aggiorna i prerequisiti

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/preamble.tex

@@ -99,6 +99,7 @@
 \newcommand{\dz}{\dif{z}}
 \newcommand{\dt}{\dif{t}}
 \newcommand{\dP}{\dif{P}}
+\newcommand{\dm}{\dif{\mathrm{\ \!\!m}}}
 
 
 %\setcounter{secnumdepth}{1}

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/0-notazioni.tex

@@ -53,22 +53,22 @@
         \]
         Per $p = 2$, si scrive semplicemente $\norm{x}$, e coincide con la norma
         indotta dal prodotto scalare canonico di $\RR^n$.
-        \item $f > g$ -- Per una funzione $f$ a valori reali, come affermazione
+        \item $f > g$ -- per una funzione $f$ a valori reali, come affermazione
         corrisponde a dire che per un qualsiasi punto del dominio $x$, $f(x) > g(x)$. Si estende naturalmente a $<$, $\geq$, $\leq$ (eventualmente con
         catene di disuguaglianze). Da non
         confondersi con l'insieme $f > g$.
-        \item $a$ -- Per una costante $a \in \RR$ la mappa costante $D \ni d \mapsto a \in \RR$;
+        \item $a$ -- per una costante $a \in \RR$ la mappa costante $D \ni d \mapsto a \in \RR$;
         la sua interpretazione dipende dal contesto.
-        \item $f^+$ -- Parte positiva di una mappa $f$ a valori reali, ovverosia
+        \item $f^+$ -- parte positiva di una mappa $f$ a valori reali, ovverosia
         $f^+(a)$ è uguale a $f(a)$ se $f(a) \geq 0$ e $0$ altrimenti.
-        \item $f^-$ -- Parte negativa di una mappa $f$ a valori reali, ovverosia
+        \item $f^-$ -- parte negativa di una mappa $f$ a valori reali, ovverosia
         $f^-(a)$ è uguale a $-f(a)$ se $f(a) \leq 0$ e $0$ altrimenti. In questo
         modo $f = f^+ - f^-$.
-        \item $\exp$ -- Funzione esponenziale $e^x$.
-        \item $\log \equiv \ln = \log_e$ -- Logaritmo naturale, ossia logaritmo in base $e$.
-        \item $C^n$ -- Classe di funzioni derivabili $n$ volte con $n$-esima derivata continua. Per $n = 0$, classe di funzioni continue.
-        \item $C^\infty$ -- Classe di funzioni derivabili un numero illimitato di volte.
-        \item $\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \dt$ -- Funzione gamma. È tale per cui $\Gamma(n+1) = n!$ per ogni $n \in \NN$. 
+        \item $\exp$ -- funzione esponenziale $e^x$.
+        \item $\log \equiv \ln = \log_e$ -- logaritmo naturale, ossia logaritmo in base $e$.
+        \item $C^n$ -- classe di funzioni derivabili $n$ volte con $n$-esima derivata continua. Per $n = 0$, classe di funzioni continue.
+        \item $C^\infty$ -- classe di funzioni derivabili un numero illimitato di volte.
+        \item $\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \dt$ -- funzione gamma. È tale per cui $\Gamma(n+1) = n!$ per ogni $n \in \NN$. 
     \end{itemize}
 
     \section*{Combinatoria}
@@ -156,7 +156,7 @@
         \item $(\Omega, \FF)$ -- spazio misurabile.
         \item $\pi$-sistema -- insieme $I \subseteq \FF$, $I \neq \emptyset$ con $(\Omega, \FF)$ spazio misurabile, $\sigma(I) = \FF$ e $I$ chiuso per intersezioni.
         \item $\mu$ -- misura su uno spazio misurabile.
-        \item $m$ -- misura di Lebesgue sullo spazio misurabile $(\RR, \BB(\RR))$.
+        \item $m$ -- misura di Lebesgue sullo spazio misurabile $(\RR, \BB(\RR))$. È tale per cui $m([a, b]) = b-a$ per $b > a$.
         \item $P$ -- misura di probabilità su uno spazio misurabile.
         \item $(\Omega, \FF, P)$ -- spazio di probabilità.
         \item \qc -- quasi certo/quasi certamente.

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/0-prerequisiti.tex

@@ -22,8 +22,8 @@
     dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
 \end{itemize}
 
-\section*{Analisi matematica}
-\addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}  
+\section*{Analisi matematica e teoria della misura}
+\addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica e teoria della misura}  
 
 \begin{itemize}
     \item \textbf{Limite delle successioni monotone} -- Se una successione
@@ -63,6 +63,30 @@
     \]
     Segue dalla disuguaglianza di Jensen applicata a $f(t) = t^p$ per
     $\abs{x}$ e $\abs{y}$ ($t^p$ è convessa per $t \geq 0$).
+    \item \textbf{Una funzione crescente ammette un insieme discreto di discontinuità} --
+    È possibile costruire facilmente una funzione iniettiva da tale insieme a $\QQ$ sfruttando
+    i limiti sinistri nelle discontinuità.
+    \item \textbf{Lemma di Dynkin, versione probabilistica} -- Se
+    due misure di probabilità $P$ e $Q$ su $(\Omega, \FF)$ coincidono su un $\pi$-sistema di $\FF$
+    contenente $\Omega$, allora $P \equiv Q$.
+    \item \textbf{Esistenza e unicità della misura di Lebesgue} -- Esiste ed
+    è unica la misura $m$ su $(\RR, \BB(\RR))$ tale per cui
+    $m([a, b]) = b-a$. Segue dalla versione più generale del lemma di Dynkin.
+    \item \textbf{Lemma di Fatou} --
+    Sia $(X, \FF)$ uno spazio misurabile e sia $(f_i : X \to \RR)_{i \in \NN}$ una successione di funzioni misurabili rispetto
+    a $(\RR, m)$ con $f_i \geq 0$ e con
+    $f_i \goesup f$ puntualmente. Allora $\int_X \liminf_{i \to \infty} f_i \dm \leq \liminf_{i \to \infty} \int_X f_i \dm$.
+    \item \textbf{Teorema di convergenza monotona, o di Beppo Levi} --
+    Sia $(X, \FF)$ uno spazio misurabile e sia $(f_i : X \to \RR)_{i \in \NN}$ una successione di funzioni misurabili rispetto
+    a $(\RR, m)$ con $f_i \geq 0$ e con
+    $f_i \goesup f$ puntualmente. Allora $f$ è misurabile e $\int_X f \dm = \lim_{i \to \infty} \int_X f_i \dm$.
+    \item \textbf{Teorema di convergenza dominata} --
+    Sia $(X, \FF)$ uno spazio misurabile e sia $(f_i : X \to \RR)_{i \in \NN}$ una successione di funzioni misurabili rispetto
+    a $(\RR, m)$. Sia $f : X \to \RR$ tale per cui
+    $f_i \to f$ puntualmente. Se esiste una
+    $g : X \to \RR$ Lebesgue-integrabile con $g \geq 0$ con
+    $\abs{f_i} \leq g$ per ogni $i \in \NN$, allora le $f_i$ e $f$
+    sono Lebesgue-integrabili e $\lim_{i \to \infty} \int_X f_i \dm = \int_X \lim_{i \to \infty} f_i \dm = \int_X f \dm$.
 \end{itemize}
 
 \section*{Combinatoria}
@@ -139,15 +163,4 @@
     per $A \subseteq C'$.
 \end{itemize}
 
-\section*{Teoria della misura}
-\addcontentsline{toc}{section}{Teoria della misura}
-
-Per quanto riguarda teoria della misura si è preferito
-riportare i risultati principali dati a lezione anche sotto la
-\textit{Parte 3}.
-
-% \begin{itemize}
-%     \item 
-% \end{itemize}
-
 \end{multicols*}

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/3-probabilità-reale.tex

@@ -85,7 +85,7 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
     aperte, e dunque boreliane.
 \end{proposition}
 
-\subsection{Definizione e proprietà di misura, \texorpdfstring{$\pi$}{π}-sistemi per \texorpdfstring{$\sigma$}{σ}-algebre}
+\subsection{Definizione e proprietà di misura, \texorpdfstring{$\pi$}{π}-sistemi per \texorpdfstring{$\sigma$}{σ}-algebre e lemma di Dynkin}
 
 \begin{definition}[Misura]
     Dato $(\Omega, \FF)$ spazio misurabile, una misura $\mu$ su $(\Omega, \FF)$ è una
@@ -155,22 +155,23 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
 \end{definition}
 
 \begin{remark}
-    Un $\pi$-sistema di una $\sigma$-algebra svolge lo ``stesso ruolo'' che una
+    Un $\pi$-sistema contenente di una $\sigma$-algebra contenente $\Omega$ svolge lo ``stesso ruolo'' che una
     base svolge per una topologia.
 \end{remark}
 
 \begin{lemma}[di Dynkin, versione probabilistica]
-    Sia $(\Omega, \FF)$ uno spazio misurabile e sia $\mathcal{C}$ un suo $\pi$-sistema. Siano
+    Sia $(\Omega, \FF)$ uno spazio misurabile e sia $\mathcal{C}$ un suo $\pi$-sistema contenente
+    $\Omega$. Siano
     $P$ e $Q$ due probabilità sullo spazio misurabile di $\Omega$. Se $P$ e $Q$ coincidono su
     $\mathcal{C}$, allora $P \equiv Q$.
 \end{lemma}
 
 \begin{example}
-    Alcuni esempi di $\pi$-sistemi per $(\RR, \BB(\RR))$ sono:
+    Alcuni esempi di $\pi$-sistemi contenenti $\RR$ per $(\RR, \BB(\RR))$ sono:
     \begin{itemize}
         \item gli aperti, ovverosia $\mathcal{C} = \{ A \in \FF \mid A \text{ aperto}\, \}$ (oppure i chiusi),
-        \item le semirette (a sinistra), ovverosia $\mathcal{C} = \{ (-\infty, a] \mid a \in \RR \}$ (oppure le semirette a destra),
-        \item gli intervalli semiaperti (a sinistra), ovverosia $\mathcal{C} = \{ (a, b] \mid a, b \in \RR, b > a \}$ (oppure semiaperti a destra).
+        \item le semirette (a sinistra), ovverosia $\mathcal{C} = \{ (-\infty, a] \mid a \in \RR \cup \{\infty\} \}$ (oppure le semirette a destra),
+        \item gli intervalli semiaperti (a sinistra) con aggiunti $\emptyset$ e $\RR$, ovverosia $\mathcal{C} = \{ (a, b] \mid a, b \in \RR, b > a \} \cup \{\emptyset, \RR\}$ (oppure semiaperti a destra).
     \end{itemize}
 \end{example}
 
@@ -199,6 +200,13 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
     $\restr{m}{[0,1]}$ a $([0, 1], \PP([0, 1]))$.
 \end{remark}
 
+\begin{remark}
+    La misura di Lebesgue è nulla su un punto di $\RR$. Infatti, se $a \in \RR$, $m(\{a\}) =
+    m([a-1, a] \cap [a, a+1]) = m([a-1, a]) + m([a, a+1]) - m([a-1, a] \cup [a, a+1]) =
+    1 + 1 - m([a-1, a+1]) = 1 + 1 - 2 = 0$. Dunque, $m$ è in particolare nulla su insiemi
+    numerabili (dacché si partizionano in modo numerabili sui punti). 
+\end{remark}
+
 \section{Probabilità reale, funzione di ripartizione (f.d.r.) e proprietà}
 
 \subsection{Definizioni e proprietà della f.d.r.}
@@ -668,16 +676,16 @@ che $\mu$ assuma valori finiti per le funzioni semplici).
 \begin{lemma}[di Fatou]
     Sia $(X_i)_{i \in \NN}$ una successione di v.a.~reali con $X_i \geq 0$. Allora vale che:
     \[
-        \EE[\liminf X_i] \leq \liminf \; \EE[X_i].
+        \EE\left[\liminf_{i \to \infty} X_i\right] \leq \liminf_{i \to \infty} \; \EE[X_i].
     \]
 
     Segue la stessa idea di dimostrazione per il lemma nella sua forma per l'integrale di Lebesgue.
 \end{lemma}
 
-\begin{theorem}[di convergenza monotona]
-    Sia $(X_i)_{i \in \NN}$ una successione di v.a.~reali con $X_i \geq 0$ e con
-    $X_i \goesup X$ q.c.~(cioè $X_i \geq 0$, la successione è crescente e
-    $X_i(\omega) \to X(\omega)$ per $P$-quasi ovunque). Allora $\EE[X_i] \goesup \EE[X]$. \smallskip
+\begin{theorem}[di convergenza monotona, o di Beppo Levi]
+    Sia $(X_i)_{i \in \NN}$ una successione di v.a.~reali non negative q.c.~con
+    $X_i \goesup X$ q.c.~(cioè la successione è crescente e
+    $X_i(\omega) \to X(\omega)$ $P$-quasi ovunque). Allora $\EE[X_i] \goesup \EE[X]$. \smallskip
 
 
     Segue la stessa idea di dimostrazione per il teorema nella sua forma per l'integrale di Lebesgue.
@@ -685,7 +693,7 @@ che $\mu$ assuma valori finiti per le funzioni semplici).
 
 \begin{theorem}[di convergenza dominata]
     Sia $(X_i)_{i \in \NN}$ una successione di v.a.~reali e sia $X$ una v.a. reale tale per cui
-    $X_i \to X$ q.c. (cioè $X_i(\omega) \to X(\omega)$ per $P$-quasi ovunque). Se esiste una
+    $X_i \to X$ q.c. (cioè $X_i(\omega) \to X(\omega)$ $P$-quasi ovunque). Se esiste una
     v.a.~integrabile $Y \geq 0$ con $\abs{X_i} \leq Y$ q.c. per ogni $i \in \NN$. Allora $X_n$ e
     $X$ sono integrabili e $\EE[X_i] \to \EE[X]$. \smallskip