@ -65,11 +65,15 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
\end { enumerate}
\end { proposition}
\begin { definition}
\begin { definition} [Funzione boreliana]
Data una funzione $ f : X \to Y $ con $ X $ e $ Y $ spazi metrici separabili, si dice che
$ f $ è una \textbf { funzione boreliana} se $ f \inv ( A ) $ è boreliano per ogni
$ A $ boreliano di $ Y $ . Equivalentemente $ f $ è boreliana se la controimmagine di ogni
boreliano è un boreliano.
boreliano è un boreliano. \smallskip
In particolare una funzione è boreliana se e solo se è misurabile rispetto
alle $ \sigma $ -algebre di Borel.
\end { definition}
\begin { proposition}
@ -451,4 +455,242 @@ i risultati della \textit{Parte 2}.
\]
\end { remark}
\section { Variabili aleatorie in generale}
In questa sezione cerchiamo di generalizzare il concetto di variabile aleatoria
al caso più generale usando il linguaggio delle $ \sigma $ -algebre e delle
funzioni misurabili in modo tale da estendere coerentemente le v.a.~discrete.
\subsection { Definizione e legge di una v.a.}
\begin { definition} [Variabile aleatoria]
Sia $ ( \Omega , \FF , P ) $ uno spazio di probabilità. Allora, se
$ ( S, \cS ) $ è uno spazio misurabile e $ X $ è una funzione misurabile
da $ \Omega $ a $ S $ , allora si dice che $ X $ è una \textbf { variabile aleatoria (v.a.)} .
Se $ S = \RR $ e $ \cS = \BB ( \RR ) $ , si dice che $ X $ è una \textit { v.a.~reale} ,
se $ S = \RR ^ d $ e $ \cS = \BB ( \RR ^ d ) $ , si dice che $ X $ è una \textit { v.a.~vettoriale}
o \textit { vettore aleatorio} .
\end { definition}
\begin { remark}
Se $ \Omega $ è discreto, $ \FF = \PP ( \Omega ) $ , e dunque ogni funzione
$ X : \Omega \to S $ è una variabile aleatoria. Pertanto la definizione
espressa è una perfetta estensione del concetto di v.a.~discreta.
\end { remark}
\begin { definition} [Legge di $ X $ ]
Sia $ ( \Omega , \FF , P ) $ uno spazio di probabilità e sia
$ X : ( \Omega , \FF ) \to ( S, \cS ) $ una v.a. Allora si dice
\textbf { legge di $ X $ } (o \textit { distribuzione} ) la probabilità
su $ P ^ X $ su $ ( S, \cS ) $ tale per cui:
\[
P^ X(A) = P(X \in A) = P(X\inv (A)).
\]
\end { definition}
\subsection { F.d.r.~di una v.a.~reale, v.a.~discrete, continue e AC}
\begin { definition} [F.d.r.~di una v.a.~reale]
Si definisce la \textbf { funzione di ripartizione (f.d.r.) di una
v.a.~$ X $ } come la f.d.r.~$ F ^ X $ associata alla probabilità reale
$ P ^ X $ , ovverosia:
\[
F^ X(x) = P(X\inv ((-\infty , x])) = P(X \leq x).
\]
\end { definition}
\begin { definition} [V.a.~discreta]
Una v.a.~$ X : \Omega \to S $ si dice \textbf { discreta} se
la probabilità $ P ^ X $ è discreta con densità
$ p _ X : S \ni x \mapsto P ( X = x ) $ . \smallskip
Tale definizione coincide con l'analoga definizione
di v.a.~discreta data precedentemente se ci restringiamo
a $ \Omega $ discreto. Non è detto in generale che
$ X $ sia una v.a.~discreta se e solo se $ \Omega $ è discreto.
\end { definition}
\begin { example}
Sia $ P $ una probabilità reale. Allora $ X : \RR \to [ 1 ] $ che
associa a tutti i reali il numero $ 1 $ è una funzione misurabile.
Inoltre $ X $ è discreta dacché $ [ 1 ] $ è discreto, ma $ \RR $ non
lo è.
\end { example}
\begin { definition} [V.a.~continue e AC]
Una v.a.~reale $ X $ si dice \textbf { continua} se $ P ^ X $ è
continua. Analogamente $ X $ si dice \textbf { assolutamente
continua (AC)} se $ P ^ X $ è AC.
\end { definition}
\subsection { Composizione di v.a.}
\begin { definition}
Sia $ X : ( \Omega , \FF ) \to ( S, \cS ) $ una v.a. Allora, se
$ \varphi : ( S, \cS ) \to ( S', \cS ' ) $ è una funzione tale per cui
$ \varphi \circ X $ sia misurabile,
si definisce la v.a.~composta $ \varphi ( X ) = \varphi \circ X $ .
\end { definition}
\begin { remark}
Se $ \varphi $ è anch'essa misurabile, allora $ \varphi \circ X $ è
sicuramente misurabile, e dunque $ \varphi ( X ) $ è una v.a.
\end { remark}
\begin { remark}
Se $ X $ è discreta, anche $ \varphi ( X ) $ lo è, con range
$ \varphi ( R _ X ) $ . Non è detto che se $ X $ è continua (o AC),
$ \varphi ( X ) $ sia continua (o AC).
\end { remark}
\subsection { Costruzione canonica, uguaglianza q.c.~e in legge}
I concetti espressi nel titolo di questa sottosezione si estendono
in modo del tutto naturale dal caso discreto, e pertanto si rimanda
alla \textit { \hyperref [sec:uguaglianza_qc] { Parte 2} } .
\section { Valore atteso come integrale secondo la misura \texorpdfstring { $ P $ } { P} }
Cerchiamo in questa sottosezione di dare una definizione di valore
atteso che estende la particolare nozione di valore atteso discreto
in modo del tutto coerente. Successivamente tutte le disuguaglianze
e tutti i risultati espressi nella sezione riguardante il caso
discreto saranno tutti validi seguendo le stesse dimostrazioni o
idee di dimostrazione.
\subsection { Costruzione dell'integrale secondo la misura \texorpdfstring { $ P $ } { P} }
Questa sezione tornerà familiare per i lettori che avranno già costruito
l'integrale secondo Lebesgue (ovverosia l'integrale secondo la misura
$ m $ ). Infatti le stesse definizioni e le stesse proposizioni si
estendono all'integrale secondo una misura generica $ \mu $ (a patto
che $ \mu $ assuma valori finiti per le funzioni semplici).
\begin { definition} [Funzione semplice]
Data una v.a.~reale $ X $ dello spazio misurabile
$ ( \Omega , \FF ) $ , si dice che $ X $ è una
\textbf { funzione semplice} (o \textit { v.a.~semplice} ) se $ X $ assume un numero
finito di valori, ovverosia se esistono $ A _ 1 $ , ...,
$ A _ n \in \FF $ e $ a _ 1 $ , ..., $ a _ n \in \RR $ tali
per cui:
\[
X = \sum _ { i \in [n]} a_ i 1_ { A_ i} .
\]
\end { definition}
\begin { remark}
Si verifica alquanto agevolmente che si può ridefinire la
semplicità di $ X $ richiedendo che gli $ A _ i $ siano
disgiunti (per esempio, se i $ b _ i $ rappresentano i valori finiti
e distinti assunti da $ X $ , gli insiemi $ X = b _ i $ sono dei possibili
candidati).
\end { remark}
\begin { proposition}
Data $ X $ una v.a.~semplice sullo spazio di probabilità
$ ( \Omega , \FF , P ) $ , allora, per ogni scrittura $ \sum _ { i \in [ n ] } a _ i 1 _ { A _ i } $ di $ X $ ,
il valore $ \sum _ { i \in [ n ] } a _ i P ( A _ i ) $ è lo stesso (ossia non dipende dagli
$ a _ i $ e dagli $ A _ i $ ). \smallskip
Segue dalle proprietà della $ \sigma $ -algebre e delle misure.
\end { proposition}
\begin { definition} [Integrale secondo la misura $ P $ di $ X $ v.a.~semplice]
Data $ X $ una v.a.~semplice sullo spazio di probabilità
$ ( \Omega , \FF , P ) $ , allora si definisce l'\textbf { integrale di $ X $ su
$ \Omega $ secondo la misura $ P $ }
$ \int _ \Omega X \dP $ come il valore $ \sum _ { i \in [ n ] } a _ i P ( A _ i ) $ , dove
$ \sum _ { i \in [ n ] } a _ i 1 _ { A _ i } $ è una scrittura di $ X $ .
\end { definition}
\begin { lemma}
Data $ X $ v.a.~reale con $ X \geq 0 $ , allora esiste una successione $ ( X _ i ) _ { i \in \NN } $ di
v.a.~semplici con $ X _ i \geq 0 $ tale per cui $ X _ i \goesup X $ puntualmente (ovverosia
$ X _ i ( \omega ) \goesup X ( \omega ) $ per ogni $ \omega \in \Omega $ ).
\end { lemma}
\begin { proposition}
Data $ X $ una v.a.~reale con $ X \geq 0 $ e data una successione $ ( X _ i ) _ { i \in \NN } $ di
v.a.~semplici con $ X _ i \geq 0 $ tale per cui $ X _ i \goesup X $ puntualmente (ovverosia
$ X _ i ( \omega ) \goesup X ( \omega ) $ per ogni $ \omega \in \Omega $ ), allora il
valore $ \lim _ { i \to \infty } \int _ \Omega X _ i \dP $ esiste, è finito non negativo o infinito e
non dipende dalla successione $ ( X _ i ) _ { i \in \NN } $ .
\end { proposition}
\begin { definition} [Integrale su $ \Omega $ secondo la misura $ P $ di $ X \geq 0 $ ]
Data $ X $ v.a.~reale con $ X \geq 0 $ , si definisce l'\textbf { integrale di $ X $
su $ \Omega $ secondo la misura $ P $ } ,
$ \int _ \Omega X \dP $ , il valore $ \lim _ { i \to \infty } \int _ \Omega X _ i \dP $ come
ottenuto dal lemma e la proposizione precedente.
\end { definition}
\begin { definition} [V.a.~integrabili e integrale in generale]
Una v.a.~$ X $ si dice \textbf { integrabile (secondo $ P $ )} se
$ \int _ \Omega \abs { X } \dP $ è finito. In tal caso si definisce
l'\textbf { integrale di $ X $ su $ \Omega $ secondo la misura $ P $ } come:
\[
\int _ \Omega X \dP = \int _ \Omega X^ + \dP - \int _ \Omega X^ - \dP ,
\]
dove $ X ^ + $ e $ X ^ - $ sono la parte positiva e negativa di $ X $ ed
entrambi gli addendi del secondo membro sono finiti dacché
$ \int _ \Omega \abs { X } \dP $ lo è (infatti $ \abs { X } = X ^ + + X ^ - $ ).
\end { definition}
\begin { definition} [Integrale su un sottoinsieme $ A \subseteq \Omega $ ]
Data $ X $ v.a.~reale, si definisce l'integrale $ \int _ A X \dP $ come il valore
$ \int _ \Omega 1 _ A \cdot X \dP $ , qualora definito.
\end { definition}
\begin { remark}
Si osserva che $ \int _ A 1 \dP = \int _ \Omega 1 _ A \dP = P ( A ) $ , ossia
$ \int _ \Omega $ misura in questo caso l'insieme $ A $ secondo $ P $ .
\end { remark}
\subsection { Definizione di valore atteso e teoremi correlati}
\begin { definition} [Valore atteso come integrale secondo la misura $ P $ ]
Sia $ X $ una v.a.~integrabile o tale per cui $ X \geq 0 $ .
Allora si definisce il \textbf { valore
atteso di $ X $ } $ \EE [ X ] $ come il valore $ \int _ \Omega X \dP $ .
\end { definition}
\begin { remark}
In questo modo $ X $ è integrabile se e solo se $ \EE [ \abs { X } ] $ è finito.
\end { remark}
\begin { proposition}
I risultati della \textit { Proposizione \ref { prop:prop_ valore_ atteso} } passano
al caso reale.
\end { proposition}
\begin { lemma} [di Fatou]
Sia $ ( X _ i ) _ { i \in \NN } $ una successione di v.a.~reali con $ X _ i \geq 0 $ . Allora vale che:
\[
\EE [\liminf X_i] \leq \liminf \; \EE [X_i] .
\]
Segue la stessa idea di dimostrazione per il lemma nella sua forma per l'integrale di Lebesgue.
\end { lemma}
\begin { theorem} [di convergenza monotona]
Sia $ ( X _ i ) _ { i \in \NN } $ una successione di v.a.~reali con $ X _ i \geq 0 $ e con
$ X _ i \goesup X $ q.c.~(cioè $ X _ i \geq 0 $ , la successione è crescente e
$ X _ i ( \omega ) \to X ( \omega ) $ per $ P $ -quasi ovunque). Allora $ \EE [ X _ i ] \goesup \EE [ X ] $ . \smallskip
Segue la stessa idea di dimostrazione per il teorema nella sua forma per l'integrale di Lebesgue.
\end { theorem}
\begin { theorem} [di convergenza dominata]
Sia $ ( X _ i ) _ { i \in \NN } $ una successione di v.a.~reali e sia $ X $ una v.a. reale tale per cui
$ X _ i \to X $ q.c. (cioè $ X _ i ( \omega ) \to X ( \omega ) $ per $ P $ -quasi ovunque). Se esiste una
v.a.~integrabile $ Y \geq 0 $ con $ \abs { X _ i } \leq Y $ q.c. per ogni $ i \in \NN $ . Allora $ X _ n $ e
$ X $ sono integrabili e $ \EE [ X _ i ] \to \EE [ X ] $ . \smallskip
Segue la stessa idea di dimostrazione per il teorema nella sua forma per l'integrale di Lebesgue.
\end { theorem}
\end { multicols*}
