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feat(eps): v.a. in generale, integrale secondo P e valore atteso
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Load Diff
@@ -98,6 +98,7 @@
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\newcommand{\dy}{\dif{y}}
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\newcommand{\dz}{\dif{z}}
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\newcommand{\dt}{\dif{t}}
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\newcommand{\dP}{\dif{P}}
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%\setcounter{secnumdepth}{1}
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@@ -134,6 +135,8 @@
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\DeclareMathOperator{\Var}{Var}
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\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}
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\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
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\newcommand{\inv}{^{-1}}
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\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
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@@ -18,7 +18,7 @@
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esiti di un esperimento aleatorio.
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\end{definition}
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\subsection{\texorpdfstring{$\sigma$}{σ}-algebre e spazi misurabili}
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\subsection{\texorpdfstring{$\sigma$}{σ}-algebre, spazi e funzioni misurabili}
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\begin{definition}[$\sigma$-algebra]
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||||
Una $\sigma$-algebra $\FF$ di $\Omega$ è un sottoinsieme $\FF \subseteq \PP(\Omega)$ tale per cui:
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@@ -37,9 +37,30 @@
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\begin{definition}[Spazio misurabile]
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||||
Si definisce \textbf{spazio misurabile} una coppia
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$(\Omega, \FF)$, dove $\FF$ è una $\sigma$-algebra
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di $\Omega$.
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di $\Omega$. Gli elementi di $\FF$ sono detti
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\textbf{insiemi misurabili} (e nel caso della probabilità,
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\textbf{eventi}).
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\end{definition}
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\begin{definition}[Funzione misurabile]
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||||
Data una funzione $f$ dallo spazio misurabile $(X, \FF)$ allo spazio
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||||
$(Y, \cS)$ si dice \textbf{misurabile} se $f\inv(A) \in \FF$ per ogni
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||||
$A \in \cS$, ovverosia se la controimmagine di un insieme misurabile è
|
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misurabile.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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||||
Se $\mathcal{G}$ genera $\cS$, allora è sufficiente verifica che
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||||
$f\inv(A) \in \FF$ per ogni $A \in \mathcal{G}$ affinché
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||||
$f$ sia misurabile.
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||||
\end{remark}
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||||
|
||||
\begin{remark}
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||||
Un insieme $A$ è misurabile in $(\Omega, \FF)$ se e solo se
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||||
$1_A$ è misurabile rispetto a $\{0,1\}$ e le sue parti (infatti
|
||||
$1_A\inv(1) = A$ e $1_A\inv(0) = A^c$).
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||||
\end{remark}
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\subsection{Insiemi discreti e \texorpdfstring{$\sigma$}{σ}-algebra naturale}
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||||
In alcuni casi la scelta della $\sigma$-algebra $\FF$ è
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+2
-1
@@ -149,7 +149,7 @@ in modo naturale la $\sigma$-algebra $\PP(\Omega)$.
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||||
come $F(X) = F \circ X \in \VA(\Omega, S')$.
|
||||
\end{definition}
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||||
\subsection{Legge di una v.a.~\texorpdfstring{$X$}{X}}
|
||||
\subsection{Legge di una v.a.~\texorpdfstring{$X$}{X} e costruzione canonica}
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||||
Nel caso di $\Omega$ discreto, $S_X$, ossia l'immagine della v.a.~$X$, è
|
||||
ancora un insieme discreto. Questo ci porta alla:
|
||||
@@ -226,6 +226,7 @@ ancora un insieme discreto. Questo ci porta alla:
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\end{proposition}
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||||
\subsection{Uguaglianza q.c., medesima legge e stabilità per composizione}
|
||||
\label{sec:uguaglianza_qc}
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||||
\begin{definition}[Uguaglianza quasi certa tra v.a.]
|
||||
Date $X$, $Y \in \VA(\Omega, S)$, si dice che
|
||||
|
||||
+244
-2
@@ -65,11 +65,15 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\begin{definition}[Funzione boreliana]
|
||||
Data una funzione $f : X \to Y$ con $X$ e $Y$ spazi metrici separabili, si dice che
|
||||
$f$ è una \textbf{funzione boreliana} se $f\inv(A)$ è boreliano per ogni
|
||||
$A$ boreliano di $Y$. Equivalentemente $f$ è boreliana se la controimmagine di ogni
|
||||
boreliano è un boreliano.
|
||||
boreliano è un boreliano. \smallskip
|
||||
|
||||
|
||||
In particolare una funzione è boreliana se e solo se è misurabile rispetto
|
||||
alle $\sigma$-algebre di Borel.
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||||
\end{definition}
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||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
@@ -451,4 +455,242 @@ i risultati della \textit{Parte 2}.
|
||||
\]
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||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\section{Variabili aleatorie in generale}
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||||
In questa sezione cerchiamo di generalizzare il concetto di variabile aleatoria
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||||
al caso più generale usando il linguaggio delle $\sigma$-algebre e delle
|
||||
funzioni misurabili in modo tale da estendere coerentemente le v.a.~discrete.
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||||
\subsection{Definizione e legge di una v.a.}
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||||
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||||
\begin{definition}[Variabile aleatoria]
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||||
Sia $(\Omega, \FF, P)$ uno spazio di probabilità. Allora, se
|
||||
$(S, \cS)$ è uno spazio misurabile e $X$ è una funzione misurabile
|
||||
da $\Omega$ a $S$, allora si dice che $X$ è una \textbf{variabile aleatoria (v.a.)}.
|
||||
Se $S = \RR$ e $\cS = \BB(\RR)$, si dice che $X$ è una \textit{v.a.~reale},
|
||||
se $S = \RR^d$ e $\cS = \BB(\RR^d)$, si dice che $X$ è una \textit{v.a.~vettoriale}
|
||||
o \textit{vettore aleatorio}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Se $\Omega$ è discreto, $\FF = \PP(\Omega)$, e dunque ogni funzione
|
||||
$X : \Omega \to S$ è una variabile aleatoria. Pertanto la definizione
|
||||
espressa è una perfetta estensione del concetto di v.a.~discreta.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Legge di $X$]
|
||||
Sia $(\Omega, \FF, P)$ uno spazio di probabilità e sia
|
||||
$X : (\Omega, \FF) \to (S, \cS)$ una v.a. Allora si dice
|
||||
\textbf{legge di $X$} (o \textit{distribuzione}) la probabilità
|
||||
su $P^X$ su $(S, \cS)$ tale per cui:
|
||||
\[
|
||||
P^X(A) = P(X \in A) = P(X\inv(A)).
|
||||
\]
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\subsection{F.d.r.~di una v.a.~reale, v.a.~discrete, continue e AC}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[F.d.r.~di una v.a.~reale]
|
||||
Si definisce la \textbf{funzione di ripartizione (f.d.r.) di una
|
||||
v.a.~$X$} come la f.d.r.~$F^X$ associata alla probabilità reale
|
||||
$P^X$, ovverosia:
|
||||
\[
|
||||
F^X(x) = P(X\inv((-\infty, x])) = P(X \leq x).
|
||||
\]
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[V.a.~discreta]
|
||||
Una v.a.~$X : \Omega \to S$ si dice \textbf{discreta} se
|
||||
la probabilità $P^X$ è discreta con densità
|
||||
$p_X : S \ni x \mapsto P(X = x)$. \smallskip
|
||||
|
||||
|
||||
Tale definizione coincide con l'analoga definizione
|
||||
di v.a.~discreta data precedentemente se ci restringiamo
|
||||
a $\Omega$ discreto. Non è detto in generale che
|
||||
$X$ sia una v.a.~discreta se e solo se $\Omega$ è discreto.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Sia $P$ una probabilità reale. Allora $X : \RR \to [1]$ che
|
||||
associa a tutti i reali il numero $1$ è una funzione misurabile.
|
||||
Inoltre $X$ è discreta dacché $[1]$ è discreto, ma $\RR$ non
|
||||
lo è.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[V.a.~continue e AC]
|
||||
Una v.a.~reale $X$ si dice \textbf{continua} se $P^X$ è
|
||||
continua. Analogamente $X$ si dice \textbf{assolutamente
|
||||
continua (AC)} se $P^X$ è AC.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\subsection{Composizione di v.a.}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sia $X : (\Omega, \FF) \to (S, \cS)$ una v.a. Allora, se
|
||||
$\varphi : (S, \cS) \to (S', \cS')$ è una funzione tale per cui
|
||||
$\varphi \circ X$ sia misurabile,
|
||||
si definisce la v.a.~composta $\varphi(X) = \varphi \circ X$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Se $\varphi$ è anch'essa misurabile, allora $\varphi \circ X$ è
|
||||
sicuramente misurabile, e dunque $\varphi(X)$ è una v.a.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Se $X$ è discreta, anche $\varphi(X)$ lo è, con range
|
||||
$\varphi(R_X)$. Non è detto che se $X$ è continua (o AC),
|
||||
$\varphi(X)$ sia continua (o AC).
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\subsection{Costruzione canonica, uguaglianza q.c.~e in legge}
|
||||
|
||||
I concetti espressi nel titolo di questa sottosezione si estendono
|
||||
in modo del tutto naturale dal caso discreto, e pertanto si rimanda
|
||||
alla \textit{\hyperref[sec:uguaglianza_qc]{Parte 2}}.
|
||||
|
||||
\section{Valore atteso come integrale secondo la misura \texorpdfstring{$P$}{P}}
|
||||
|
||||
Cerchiamo in questa sottosezione di dare una definizione di valore
|
||||
atteso che estende la particolare nozione di valore atteso discreto
|
||||
in modo del tutto coerente. Successivamente tutte le disuguaglianze
|
||||
e tutti i risultati espressi nella sezione riguardante il caso
|
||||
discreto saranno tutti validi seguendo le stesse dimostrazioni o
|
||||
idee di dimostrazione.
|
||||
|
||||
\subsection{Costruzione dell'integrale secondo la misura \texorpdfstring{$P$}{P}}
|
||||
|
||||
Questa sezione tornerà familiare per i lettori che avranno già costruito
|
||||
l'integrale secondo Lebesgue (ovverosia l'integrale secondo la misura
|
||||
$m$). Infatti le stesse definizioni e le stesse proposizioni si
|
||||
estendono all'integrale secondo una misura generica $\mu$ (a patto
|
||||
che $\mu$ assuma valori finiti per le funzioni semplici).
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Funzione semplice]
|
||||
Data una v.a.~reale $X$ dello spazio misurabile
|
||||
$(\Omega, \FF)$, si dice che $X$ è una
|
||||
\textbf{funzione semplice} (o \textit{v.a.~semplice}) se $X$ assume un numero
|
||||
finito di valori, ovverosia se esistono $A_1$, ...,
|
||||
$A_n \in \FF$ e $a_1$, ..., $a_n \in \RR$ tali
|
||||
per cui:
|
||||
\[
|
||||
X = \sum_{i \in [n]} a_i 1_{A_i}.
|
||||
\]
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Si verifica alquanto agevolmente che si può ridefinire la
|
||||
semplicità di $X$ richiedendo che gli $A_i$ siano
|
||||
disgiunti (per esempio, se i $b_i$ rappresentano i valori finiti
|
||||
e distinti assunti da $X$, gli insiemi $X = b_i$ sono dei possibili
|
||||
candidati).
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
Data $X$ una v.a.~semplice sullo spazio di probabilità
|
||||
$(\Omega, \FF, P)$, allora, per ogni scrittura $\sum_{i \in [n]} a_i 1_{A_i}$ di $X$,
|
||||
il valore $\sum_{i \in [n]} a_i P(A_i)$ è lo stesso (ossia non dipende dagli
|
||||
$a_i$ e dagli $A_i$). \smallskip
|
||||
|
||||
|
||||
Segue dalle proprietà della $\sigma$-algebre e delle misure.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Integrale secondo la misura $P$ di $X$ v.a.~semplice]
|
||||
Data $X$ una v.a.~semplice sullo spazio di probabilità
|
||||
$(\Omega, \FF, P)$, allora si definisce l'\textbf{integrale di $X$ su
|
||||
$\Omega$ secondo la misura $P$}
|
||||
$\int_\Omega X \dP$ come il valore $\sum_{i \in [n]} a_i P(A_i)$, dove
|
||||
$\sum_{i \in [n]} a_i 1_{A_i}$ è una scrittura di $X$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Data $X$ v.a.~reale con $X \geq 0$, allora esiste una successione $(X_i)_{i \in \NN}$ di
|
||||
v.a.~semplici con $X_i \geq 0$ tale per cui $X_i \goesup X$ puntualmente (ovverosia
|
||||
$X_i(\omega) \goesup X(\omega)$ per ogni $\omega \in \Omega$).
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
Data $X$ una v.a.~reale con $X \geq 0$ e data una successione $(X_i)_{i \in \NN}$ di
|
||||
v.a.~semplici con $X_i \geq 0$ tale per cui $X_i \goesup X$ puntualmente (ovverosia
|
||||
$X_i(\omega) \goesup X(\omega)$ per ogni $\omega \in \Omega$), allora il
|
||||
valore $\lim_{i \to \infty} \int_\Omega X_i \dP$ esiste, è finito non negativo o infinito e
|
||||
non dipende dalla successione $(X_i)_{i \in \NN}$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Integrale su $\Omega$ secondo la misura $P$ di $X \geq 0$]
|
||||
Data $X$ v.a.~reale con $X \geq 0$, si definisce l'\textbf{integrale di $X$
|
||||
su $\Omega$ secondo la misura $P$},
|
||||
$\int_\Omega X \dP$, il valore $\lim_{i \to \infty} \int_\Omega X_i \dP$ come
|
||||
ottenuto dal lemma e la proposizione precedente.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[V.a.~integrabili e integrale in generale]
|
||||
Una v.a.~$X$ si dice \textbf{integrabile (secondo $P$)} se
|
||||
$\int_\Omega \abs{X} \dP$ è finito. In tal caso si definisce
|
||||
l'\textbf{integrale di $X$ su $\Omega$ secondo la misura $P$} come:
|
||||
\[
|
||||
\int_\Omega X \dP = \int_\Omega X^+ \dP - \int_\Omega X^- \dP,
|
||||
\]
|
||||
dove $X^+$ e $X^-$ sono la parte positiva e negativa di $X$ ed
|
||||
entrambi gli addendi del secondo membro sono finiti dacché
|
||||
$\int_\Omega \abs{X} \dP$ lo è (infatti $\abs{X} = X^+ + X^-$).
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Integrale su un sottoinsieme $A \subseteq \Omega$]
|
||||
Data $X$ v.a.~reale, si definisce l'integrale $\int_A X \dP$ come il valore
|
||||
$\int_\Omega 1_A \cdot X \dP$, qualora definito.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Si osserva che $\int_A 1 \dP = \int_\Omega 1_A \dP = P(A)$, ossia
|
||||
$\int_\Omega$ misura in questo caso l'insieme $A$ secondo $P$.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\subsection{Definizione di valore atteso e teoremi correlati}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Valore atteso come integrale secondo la misura $P$]
|
||||
Sia $X$ una v.a.~integrabile o tale per cui $X \geq 0$.
|
||||
Allora si definisce il \textbf{valore
|
||||
atteso di $X$} $\EE[X]$ come il valore $\int_\Omega X \dP$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
In questo modo $X$ è integrabile se e solo se $\EE[\abs{X}]$ è finito.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
I risultati della \textit{Proposizione \ref{prop:prop_valore_atteso}} passano
|
||||
al caso reale.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}[di Fatou]
|
||||
Sia $(X_i)_{i \in \NN}$ una successione di v.a.~reali con $X_i \geq 0$. Allora vale che:
|
||||
\[
|
||||
\EE[\liminf X_i] \leq \liminf \; \EE[X_i].
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Segue la stessa idea di dimostrazione per il lemma nella sua forma per l'integrale di Lebesgue.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[di convergenza monotona]
|
||||
Sia $(X_i)_{i \in \NN}$ una successione di v.a.~reali con $X_i \geq 0$ e con
|
||||
$X_i \goesup X$ q.c.~(cioè $X_i \geq 0$, la successione è crescente e
|
||||
$X_i(\omega) \to X(\omega)$ per $P$-quasi ovunque). Allora $\EE[X_i] \goesup \EE[X]$. \smallskip
|
||||
|
||||
|
||||
Segue la stessa idea di dimostrazione per il teorema nella sua forma per l'integrale di Lebesgue.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[di convergenza dominata]
|
||||
Sia $(X_i)_{i \in \NN}$ una successione di v.a.~reali e sia $X$ una v.a. reale tale per cui
|
||||
$X_i \to X$ q.c. (cioè $X_i(\omega) \to X(\omega)$ per $P$-quasi ovunque). Se esiste una
|
||||
v.a.~integrabile $Y \geq 0$ con $\abs{X_i} \leq Y$ q.c. per ogni $i \in \NN$. Allora $X_n$ e
|
||||
$X$ sono integrabili e $\EE[X_i] \to \EE[X]$. \smallskip
|
||||
|
||||
|
||||
Segue la stessa idea di dimostrazione per il teorema nella sua forma per l'integrale di Lebesgue.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\end{multicols*}
|
||||
+1
-1
@@ -15,7 +15,7 @@
|
||||
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. uniforme\\ $X \sim U(B)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Estrazione di un\\ punto reale a caso\\ su $B$ senza preferenze.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$B \in \BB(\RR)$ -- insieme\\ da cui estrarre.\end{tabular} & $f(x) = \frac{1}{m(B)} 1_B(x)$ & $F(x) = \frac{m((-\infty, x] \cap B)}{m(B)}$ & $P(X \in A) = \frac{m(A \cap B)}{m(B)}$ \\ \hline
|
||||
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. esponenz.\\ $X \sim \Exp(\lambda)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Processo di Poisson\\ in senso continuo.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\lambda > 0$ -- parametro\\ di Poisson.\end{tabular} & $f(x) = \lambda e^{-\lambda x} 1_{(0, \infty)} (x)$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$F(x) = 1-e^{-\lambda x}$\\ per $x \geq 0$, $0$ altrimenti.\end{tabular} & \\ \hline
|
||||
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. gamma\\ $X \sim \Gamma(r, \lambda)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Estensione della distr.\\ binomiale in senso\\ continuo.\end{tabular} & $r > 0$, $\lambda > 0$. & $f(x) = \frac{\lambda^r}{\Gamma(r)} x^{r-1} e^{-\lambda x} 1_{(0, \infty)}(x)$ & & \\ \hline
|
||||
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. normale\\ $X \sim N(\mu, \sigma^2)$\end{tabular} & & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\mu$ -- media.\\ $\sigma^2 > 0$ -- varianza.\end{tabular} & $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\nicefrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\nicefrac{t^2}{2}} \dt$\\ per $N(0, 1)$ e si standardizza\\ le altre distr. con il cambio\\ di var. $z = \nicefrac{(x-\mu)}{\sigma}$.\end{tabular} & \\ \hline
|
||||
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. normale\\ $X \sim N(m, \sigma^2)$\end{tabular} & & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$m$ -- media.\\ $\sigma^2 > 0$ -- varianza.\end{tabular} & $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\nicefrac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\nicefrac{t^2}{2}} \dt$\\ per $N(0, 1)$ e si standardizza\\ le altre distr. con il cambio\\ di var. $z = \nicefrac{(x-m)}{\sigma}$.\end{tabular} & \\ \hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
}
|
||||
\end{table}
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
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