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feat(eps): aggiorna le tabelle con le distribuzioni

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Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/3-probabilità-reale.tex
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@ -683,6 +683,7 @@ che $\mu$ assuma valori finiti per le funzioni semplici).
\end{lemma}
\begin{theorem}[di convergenza monotona, o di Beppo Levi]
\label{th:convergenza_monotona}
Sia $(X_i)_{i \in \NN}$ una successione di v.a.~reali non negative q.c.~con
$X_i \goesup X$ q.c.~(cioè la successione è crescente e
$X_i(\omega) \to X(\omega)$ $P$-quasi ovunque). Allora $\EE[X_i] \goesup \EE[X]$. \smallskip
@ -701,4 +702,19 @@ che $\mu$ assuma valori finiti per le funzioni semplici).
Segue la stessa idea di dimostrazione per il teorema nella sua forma per l'integrale di Lebesgue.
\end{theorem}
\subsection{Calcolo del valore atteso}
\begin{proposition}
Sia $X : \Omega \to \RR$ una v.a.~assolutamente continua con densità $f$
e sia $\varphi : \RR \to \RR$ una funzione
boreliana. Allora valgono le seguenti affermazioni:
\begin{enumerate}[(i.)]
\item $\varphi(X)$ è integrabile se e solo se $\int_\RR \abs{\varphi(x)} f(x) \dx$ è finito.
\item se $\varphi(X)$ ammette valore atteso, allora $\EE[\varphi(X)] = \int_\RR \varphi(x) f(x) \dx$.
\end{enumerate}
Il risultato segue considerando in ordine a) le funzioni indicatrici, b) le funzioni semplici,
c) le funzioni non negative e d) le funzioni integrabili, applicando il
\hyperref[th:convergenza_monotona]{Teorema di convergenza monotona}.
\end{proposition}
\end{multicols*}

25
Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/tabella-modelli-discreti.tex
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@ -4,21 +4,22 @@
\chapter*{Tabella e proprietà delle distribuzioni discrete}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabella e proprietà delle distribuzioni discrete}
\vskip -0.3in
\vskip -0.45in
\begin{table}[htb]
\label{tab:distr_discrete}
\scalebox{0.74}{
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
Nome distribuzione & Caso di utilizzo & Parametri & Densità discreta & Valore atteso & Momento secondo & Varianza \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. di Bernoulli\\ $X \sim B(\pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Esperimento con esito\\ di successo ($1$) o\\ insuccesso ($0$).\end{tabular} & $\pp$ -- probabilità di successo. & $P(X=1) = \pp$, $P(X=0) = 1-\pp$ & $\EE[X] = \pp$ & $\EE[X^2] = \pp$ & $\Var(X) = \pp(1-\pp)$ \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. binomiale\\ $X \sim B(n, \pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una serie di $n$ esperimenti\\ col modello delle prove ripetute,\\ $X$ conta il numero di successi.\\ $X$ è in particolare somma di $n$\\ v.a.~i.i.d.~distribuite come $B(\pp)$.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$n$ -- numero di esperimenti\\ $\pp$ -- probabilità di successo\\ dell'$i$-esimo esperimento\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k) = \binom{n}{k}{\pp}^k (1-\pp)^{n-k}$\\ per $0 \leq k \leq n$ e $0$ altrimenti.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X] = n \pp$\\ (è somma di $n$ Bernoulliane)\end{tabular} & $\EE[X^2] = n \pp + n(n-1)\pp^2$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Var(X) = n \pp(1-\pp)$\\ (è somma di $n$\\ Bernoulliane indipendenti)\end{tabular} \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. binomiale\\ negativa\\ $X \sim \BinNeg(h, \pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una serie di infiniti esperimenti\\ col modello delle prove ripetute,\\ $X$ conta l'esperimento in cui si\\ ha l'$h$-esimo successo.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$h$ -- numero dei successi da misurare\\ $\pp \in (0, 1)$ -- probabilità di successo\\ dell'$i$-esimo esperimento\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k) = \binom{k-1}{h-1} \pp^h (1-\pp)^{k-h}$\\ laddove definibile e $0$ altrimenti.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X] = \frac{h}{\pp}$\\ (è somma di $h$ Geometriche)\end{tabular} & $\EE[X^2] = \frac{h(1+h-\pp)}{\pp^2}$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Var(X) = \frac{h(1-\pp)}{\pp^2}$ \\ (è somma di $h$\\Geometriche indipendenti)\end{tabular} \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. geometrica\\ $X \sim \Geom(\pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una serie di infiniti esperimenti\\ col modello delle prove ripetute,\\ $X$ conta l'esperimento in cui si\\ ha il primo successo. È pari a\\ $\BinNeg(1, \pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\pp \in (0, 1)$ -- probabilità di successo\\ all'$i$-esimo esperimento.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k) = \pp (1-\pp)^{k-1}$ per\\ $k \geq 1$ e $0$ per $k=0$.\end{tabular} & $\EE[X] = \frac{1}{\pp}$ & $\EE[X^2] = \frac{2-\pp}{\pp^2}$ & $\Var(X) = \frac{1-\pp}{\pp^2}$ \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. ipergeometrica\\ $X \sim H(N, N_1, n)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In un'estrazione di $n$ palline in\\ un'urna di $N$ palline, di cui\\ $N_1$ sono rosse, $X$ conta\\ il numero di palline rosse estratte.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$N$ -- numero di palline nell'urna\\ $N_1$ -- numero di palline rosse\\ nell'urna\\ $n$ -- numero di palline estratte\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k) = \frac{\binom{N_1}{k} \binom{N-N_1}{n-k}}{\binom{N}{n}}$\\ laddove definibile e $0$ altrimenti.\end{tabular} & & & \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distri.di Poisson\\ (o degli eventi rari)\\ $X \sim \Poisson(\lambda)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una sequenza di $n \gg 1$\\ esperimenti di parametro $\pp \ll 1$\\ con $n \pp \approx \lambda$,\\ $X$ misura il numero di successi.\\ Si può studiare come distribuzione\\ limite della distribuzione binomiale.\end{tabular} & $\lambda$ -- tasso di successo. & $P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$ & $\EE[X] = \lambda$ & $\EE[X^2] = \lambda(\lambda + 1)$ & $\Var(X) = \lambda$ \\ \hline
\end{tabular}}
\scalebox{0.85}{
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
Nome distribuzione & Caso di utilizzo & Parametri & Densità discreta & Valore atteso e momenti & Varianza \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. di Bernoulli\\ $X \sim B(\pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Esperimento con esito\\ di successo ($1$) o\\ insuccesso ($0$).\end{tabular} & $\pp$ -- probabilità di successo. & $P(X=1) = \pp$, $P(X=0) = 1-\pp$ & $\EE[X] = \EE[X^2] = \pp$ & $\Var(X) = \pp(1-\pp)$ \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. binomiale\\ $X \sim B(n, \pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una serie di $n$ esperimenti\\ col modello delle prove ripetute,\\ $X$ conta il numero di successi.\\ $X$ è in particolare somma di $n$\\ v.a.~i.i.d.~distribuite come $B(\pp)$.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$n$ -- numero di esperimenti\\ $\pp$ -- probabilità di successo\\ dell'$i$-esimo esperimento\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k) = \binom{n}{k}{\pp}^k (1-\pp)^{n-k}$\\ per $0 \leq k \leq n$ e $0$ altrimenti.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X] = n \pp$\\ (è somma di $n$ Bernoulliane) \\ $\EE[X^2] = n \pp + n(n-1)\pp^2$ \end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Var(X) = n \pp(1-\pp)$\\ (è somma di $n$\\ Bernoulliane indipendenti)\end{tabular} \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. binomiale\\ negativa\\ $X \sim \BinNeg(h, \pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una serie di infiniti esperimenti\\ col modello delle prove ripetute,\\ $X$ conta l'esperimento in cui si\\ ha l'$h$-esimo successo.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$h$ -- numero dei successi da misurare\\ $\pp \in (0, 1)$ -- probabilità di successo\\ dell'$i$-esimo esperimento\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k) = \binom{k-1}{h-1} \pp^h (1-\pp)^{k-h}$\\ laddove definibile e $0$ altrimenti.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X] = \frac{h}{\pp}$\\ (è somma di $h$ Geometriche) \\ $\EE[X^2] = \frac{h(1+h-\pp)}{\pp^2}$ \end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Var(X) = \frac{h(1-\pp)}{\pp^2}$ \\ (è somma di $h$\\Geometriche indipendenti)\end{tabular} \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. geometrica\\ $X \sim \Geom(\pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una serie di infiniti esperimenti\\ col modello delle prove ripetute,\\ $X$ conta l'esperimento in cui si\\ ha il primo successo. È pari a\\ $\BinNeg(1, \pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\pp \in (0, 1)$ -- probabilità di successo\\ all'$i$-esimo esperimento.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k) = \pp (1-\pp)^{k-1}$ per\\ $k \geq 1$ e $0$ per $k=0$.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X] = \frac{1}{\pp}$\\ $\EE[X^2] = \frac{2-\pp}{\pp^2}$\end{tabular} & $\Var(X) = \frac{1-\pp}{\pp^2}$ \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. ipergeometrica\\ $X \sim H(N, N_1, n)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In un'estrazione di $n$ palline in\\ un'urna di $N$ palline, di cui\\ $N_1$ sono rosse, $X$ conta\\ il numero di palline rosse estratte.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$N$ -- numero di palline nell'urna\\ $N_1$ -- numero di palline rosse\\ nell'urna\\ $n$ -- numero di palline estratte\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k) = \frac{\binom{N_1}{k} \binom{N-N_1}{n-k}}{\binom{N}{n}}$\\ laddove definibile e $0$ altrimenti.\end{tabular} & & \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distri.di Poisson\\ (o degli eventi rari)\\ $X \sim \Poisson(\lambda)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una sequenza di $n \gg 1$\\ esperimenti di parametro $\pp \ll 1$\\ con $n \pp \approx \lambda$,\\ $X$ misura il numero di successi.\\ Si può studiare come distribuzione\\ limite della distribuzione binomiale.\end{tabular} & $\lambda$ -- tasso di successo. & $P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X] = \lambda$\\ $\EE[X^2] = \lambda(\lambda + 1)$\end{tabular} & $\Var(X) = \lambda$ \\ \hline
\end{tabular}
}
\end{table}
Valgono inoltre le seguenti altre proprietà:

30
Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/tabella-modelli-reali.tex
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@ -4,31 +4,31 @@
\chapter*{Tabella e proprietà delle distribuzioni assolutamente continue}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabella e proprietà delle distribuzioni assolutamente continue}
\vskip -0.3in
\vskip -0.45in
\begin{center}
\begin{table}[htb]
\scalebox{1.1}{
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\scalebox{1}{
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
Nome distribuzione & Caso di utilizzo & Parametri & Densità & Funzione di ripartizione & Probabilità \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. uniforme\\ $X \sim U(B)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Estrazione di un\\ punto reale a caso\\ su $B$ senza preferenze.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$B \in \BB(\RR)$ -- insieme\\ da cui estrarre.\end{tabular} & $f(x) = \frac{1}{m(B)} 1_B(x)$ & $F(x) = \frac{m((-\infty, x] \cap B)}{m(B)}$ & $P(X \in A) = \frac{m(A \cap B)}{m(B)}$ \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. esponenz.\\ $X \sim \Exp(\lambda)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Processo di Poisson\\ in senso continuo.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\lambda > 0$ -- parametro\\ di Poisson.\end{tabular} & $f(x) = \lambda e^{-\lambda x} 1_{(0, \infty)} (x)$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$F(x) = 1-e^{-\lambda x}$\\ per $x \geq 0$, $0$ altrimenti.\end{tabular} & \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. gamma\\ $X \sim \Gamma(r, \lambda)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Estensione della distr.\\ binomiale in senso\\ continuo.\end{tabular} & $r > 0$, $\lambda > 0$. & $f(x) = \frac{\lambda^r}{\Gamma(r)} x^{r-1} e^{-\lambda x} 1_{(0, \infty)}(x)$ & & \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. normale\\ $X \sim N(m, \sigma^2)$\end{tabular} & & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$m$ -- media.\\ $\sigma^2 > 0$ -- varianza.\end{tabular} & $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\nicefrac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\nicefrac{t^2}{2}} \dt$\\ per $N(0, 1)$ e si standardizza\\ le altre distr. con il cambio\\ di var. $z = \nicefrac{(x-m)}{\sigma}$.\end{tabular} & \\ \hline
Nome distribuzione & Caso di utilizzo & Parametri & Densità & Funzione di ripartizione & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Valore atteso \\ e momenti\end{tabular} & Varianza \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. uniforme\\ $X \sim U(B)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Estrazione di un\\ punto reale a caso\\ su $B$ senza preferenze.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$B \in \BB(\RR)$ -- insieme\\ da cui estrarre.\end{tabular} & $f(x) = \frac{1}{m(B)} 1_B(x)$ & $F(x) = \frac{m((-\infty, x] \cap B)}{m(B)}$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X] = \frac{a+b}2$ se\\ $B = (a, b)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$\\ se $B = (a,b)$\end{tabular} \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. esponenz.\\ $X \sim \Exp(\lambda)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Processo di Poisson\\ in senso continuo.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\lambda > 0$ -- parametro\\ di Poisson.\end{tabular} & $f(x) = \lambda e^{-\lambda x} 1_{(0, \infty)} (x)$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$F(x) = 1-e^{-\lambda x}$\\ per $x \geq 0$, $0$ altrimenti.\end{tabular} & $\EE[X] = \frac{1}{\lambda}$ & $\Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$ \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. gamma\\ $X \sim \Gamma(r, \lambda)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Estensione della distr.\\ binomiale in senso\\ continuo.\end{tabular} & $r > 0$, $\lambda > 0$. & $f(x) = \frac{\lambda^r}{\Gamma(r)} x^{r-1} e^{-\lambda x} 1_{(0, \infty)}(x)$ & & $\EE[X] = \frac{r}{\lambda}$ & $\Var(X) = \frac{r}{\lambda^2}$ \\ \hline
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. normale\\ $X \sim N(m, \sigma^2)$\end{tabular} & & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$m$ -- media.\\ $\sigma^2 > 0$ -- varianza.\end{tabular} & $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\nicefrac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\nicefrac{t^2}{2}} \dt$\\ per $N(0, 1)$ e si standardizza\\ le altre distr. con il cambio\\ di var. $z = \nicefrac{(x-m)}{\sigma}$.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X] = m$. Inoltre\\ $\EE[(X-m)^p] = 0$ se\\ $p$ è dispari\\ e $\EE[(X-m)^p] =$ \\ $= \sigma^p(p-1)!!$\\ se $p$ è pari, dove\\ $!!$ indica il\\ \textit{doppio fattoriale}.\end{tabular} & $\Var(X) = \sigma^2$ \\ \hline
\end{tabular}
}
\end{table}
\end{center}
Si ricorda che la funzione $\Gamma$ è definita in modo tale che $\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \dt$; si tratta
di un'estensione della nozione di fattoriale ai valori reali (infatti, $\Gamma(n+1) = n!$ per $n \in \NN$).
di un'estensione della nozione di fattoriale ai valori reali (infatti, $\Gamma(n+1) = n!$ per $n \in \NN$). \smallskip
% Valgono inoltre le seguenti altre proprietà:
%
% \small
% \begin{itemize}
% \item
% \end{itemize}
Valgono inoltre le seguenti altre proprietà:
\small
\begin{itemize}
\item La distribuzione $\Exp(\lambda)$ coincide con la distribuzione $\Gamma(1, \lambda)$.
\end{itemize}
\end{landscape}

4
Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/tabella-phi.tex
Unescape Escape View File

@ -1,6 +1,6 @@
%--------------------------------------------------------------------
\chapter*{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} della normale standard \texorpdfstring{$N(0, 1)$}{N(0, 1)}}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} della normale standard \texorpdfstring{$N(0, 1)$}{N(0, 1)}}
\chapter*{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} della distr.~normale standard \texorpdfstring{$N(0, 1)$}{N(0, 1)}}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} della distr.~normale standard \texorpdfstring{$N(0, 1)$}{N(0, 1)}}
Per $a \in \RR$ si definisce la funzione $\Phi(a) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^a e^{-\nicefrac{x^2}{2}} \dx$. L'integrale $\Phi(\infty) \defeq \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^a e^{-\nicefrac{x^2}{2}} \dx$ vale
esattamente $1$, mentre $\Phi(-\infty) \defeq 0$. Per la parità di $e^{-\nicefrac{x^2}{2}}$ vale che $\Phi(a) = 1 - \Phi(-a)$ (\textbf{simmetria}). A partire da questa funzione si può calcolare

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