@ -67,7 +67,7 @@
$ f _ x : W _ x \cap M \to U $ verso un aperto $ U $ in $ \RR ^ m $ . Per $ m = 0 $ , si richiede invece
che ogni $ W _ x \cap M $ sia un singoletto. \medskip
Gli insiemi della forma $ W _ x \cap M $ si dicono \textbf { carte locali} , e formano un \textbf { atlante} della varietà. L'inversa di
Le coppie della forma $ ( f _ x, W _ x \cap M ) $ si dicono \textbf { carte locali} , e formano un \textbf { atlante} della varietà. L'inversa di
$ f _ x $ si dice invece \textbf { parametrizzazione locale} di $ x $ in $ M $ .
\end { definition}
@ -77,7 +77,9 @@
\begin { remark}
Le carte locali inducono un ricoprimento aperto di $ M $ , e quindi, qualora $ M $ fosse compatta, si potrebbe
sempre prendere un atlante finito.
sempre prendere un atlante finito. \smallskip
Inoltre, poiché $ \RR ^ k $ è II-numerabile, si può sempre prendere un atlante numerabile.
\end { remark}
\begin { remark}
@ -244,7 +246,9 @@
\end { enumerate}
\end { remark}
\subsection { Punti e valori regolari o critici}
\section { Valori regolari e critici}
\subsection { Prime definizioni}
\begin { definition} [Punti regolari o critici]
Sia $ f : M \to N $ una mappa liscia tra varietà, con
@ -252,7 +256,10 @@
Sia $ x \in M $ . Si dice che $ x $ è un \textbf { punto critico}
se $ \rk ( \dif f _ x ) < n $ , e altrimenti si dice che è un
\textbf { punto regolare} .
\textbf { punto regolare} . \smallskip
Indichiamo con $ \crit ( f ) $ l'insieme dei punti critici di
$ f $ .
\end { definition}
\begin { definition} [Valori regolari o critici]
@ -264,4 +271,115 @@
è un \textbf { valore regolare} (in particolare lo è se
$ f \inv ( y ) = \emptyset $ ).
\end { definition}
\begin { remark}
È immediato osservare che l'insieme dei valori critici di
$ f $ è esattamente $ f ( \crit ( f ) ) $ .
\end { remark}
\subsection { Teorema di invertibilità locale per varietà e lemma della pila di dischi}
\begin { theorem} [di invertibilità locale per varietà] \label { thm:invertibilità_ locale_ varietà}
Siano $ M $ e $ N $ due varietà di stessa dimensione. Sia
$ f : M \to N $ una mappa liscia. Se $ x \in M $ è regolare,
allora esiste un intorno $ A $ di $ x $ in $ M $ tale per cui
$ \restr { f } { A } : A \to f ( A ) $ è un diffeomorfismo.
\end { theorem}
\begin { proof}
Sia $ g : U \to g ( U ) $ una parametrizzazione locale di $ x $ in $ M $
con $ g ( u ) = x $ .
Sia $ h : V \to h ( V ) $ una parametrizzazione locale di $ f ( x ) $ in $ N $
con $ h ( v ) = f ( x ) $ .
A meno di restringere il dominio di $ g $ , possiamo supporre che
$ f ( g ( U ) ) \subseteq h ( V ) $ .
\[ \begin { tikzcd }
M & & N \\
\\
U & & V
\arrow ["f"{description}, from=1-1, to=1-3]
\arrow ["g", from=3-1, to=1-1]
\arrow ["{h\inv \circ f \circ g}"{description}, dashed, from=3-1, to=3-3]
\arrow ["h", from=3-3, to=1-3]
\end { tikzcd} \]
Osserviamo che:
\[ \dif f _ x \circ \dif g _ u = \dif h _ { f ( x ) } \circ \dif ( h \inv \circ f \circ g ) _ u. \]
Dal momento che $ x $ è regolare, $ \dif f _ x $ è un isomorfismo. Poiché anche $ \dif g _ u $
e $ \dif h _ { f ( x ) } $ sono isomorfismi ($ g $ e $ h $ sono diffeomorfismi, vd. Proposizione
\ref { prop:diffeomorfismo_ iso_ diff} ), allora anche $ \dif ( h \inv \circ f \circ g ) _ u $ è
un isomorfismo. \smallskip
Per il Teorema di invertibilità locale sugli aperti di $ \RR ^ n $ , allora esiste un
aperto $ A' $ di $ U $ su cui $ \restr { h \inv \circ f \circ g } { A' } $ è un diffeomorfismo.
Osserviamo che:
\[
\restr { f} { g(A')} = \restr { h} { h\inv (f(g(A')))} \circ \restr { h\inv \circ f \circ g} { A'} \circ \restr { g\inv } { g(A')} .
\]
Quindi $ \restr { f } { g ( A' ) } $ è un diffeomorfismo in quanto composizione di restrizioni di
diffeomorfismi (vd. Proposizione \ref { prop:comp_ liscia} ), e $ A \defeq g ( A' ) $ è l'intorno cercato.
\end { proof}
\begin { proposition} \label { prop:controimmagine_ regolare_ finita}
Sia $ M $ una varietà compatta. Sia $ f : M \to N $ una mappa liscia tra varietà della
\underline { stessa dimensione} . Se $ y \in N $ è un valore regolare, allora $ f \inv ( y ) $ è un insieme finito.
\end { proposition}
\begin { proof}
Poiché $ N $ è T1, $ f \inv ( y ) $ è un chiuso di $ M $ ; pertanto, essendo $ M $ compatta, $ f \inv ( y ) $ è
un compatto. \smallskip
Mostriamo ora che $ f \inv ( y ) $ è discreto. Sia $ x \in f \inv ( y ) $ . Dal momento che $ y $ è un valore regolare,
$ x $ è un punto regolare. Quindi esiste per il Teorema \ref { thm:invertibilità_ locale_ varietà} un
intorno aperto $ A \subseteq M $ di $ x $ per cui $ \restr { f } { A } $ è un diffeomorfismo. In questo intorno $ x $
è l'unica controimmagine di $ y $ mediante $ f $ , e quindi $ f \inv ( y ) $ è discreto. \smallskip
Dal momento che $ f \inv ( y ) $ è sia compatto che discreto, $ f \inv ( y ) $ è finito.
\end { proof}
\begin { lemma} [della pila dei dischi] Siano $ M $ e $ N $ varietà della \underline { stessa dimensione} .
Sia $ M $ compatta. Sia $ f : M \to N $ una mappa liscia con $ y \in N $ valore regolare.
Allora esiste un intorno $ V $ di $ y $ tale per cui:
\[
\abs { f\inv (y')} = \abs { f\inv (y)} , \quad \forall y' \in V.
\]
\end { lemma}
\begin { proof}
Sappiamo dalla Proposizione \ref { prop:controimmagine_ regolare_ finita} che
$ f \inv ( y ) $ è finito. Se $ f \inv ( y ) = \{ x _ 1 , \ldots , x _ n \} $ , riprendendo gli intorni aperti $ A _ i $
come definiti nella dimostrazione della Proposizione \ref { prop:controimmagine_ regolare_ finita} ,
allora possiamo definire:
\[
V \defeq \bigcap _ { i = 1} ^ n f(A_ i) \setminus f(M \setminus \bigcup _ { i = 1} ^ n A_ i).
\]
Gli $ f ( A _ i ) $ sono aperti dal momento che $ f $ è un diffeomorfismo. L'insieme $ M \setminus \bigcup _ { i = 1 } ^ n A _ i $
è un chiuso in un compatto, e quindi è compatto; allora $ f ( M \setminus \bigcup _ { i = 1 } ^ n A _ i ) $ è compatto,
e dunque chiuso essendo $ N $ uno spazio T2. Quindi $ f ( M \setminus \bigcup _ { i = 1 } ^ n A _ i ) ^ c $ è aperto.
Si conclude dunque che $ V $ è aperto. \smallskip
Su $ V $ , $ \abs { f \inv ( \cdot ) } $ è necessariamente costante: la prima intersezione assicura che esistano
almeno $ \abs { f \inv ( y ) } $ controimmagini, e la sottrazione insiemistica assicura che non possano esisterne di più.
\end { proof}
\subsection { Misura nulla e teoremi di Sard e Brown}
\begin { definition} [Sottinsiemi di varietà di misura nulla]
Sia $ A $ un sottinsieme di una varietà $ M $ di dimensione $ m $ .
Si dice che
$ A $ ha \textbf { misura nulla (rispetto a $ M $ )} se per ogni
carta locale $ ( f, W \cap M ) $ , $ f ( A \cap W ) $ ha misura nulla
in $ \RR ^ m $ .
\end { definition}
\begin { theorem} [di Sard, per le varietà] Sia $ f : M \to N $ una
mappa liscia tra due varietà. Allora l'insieme dei valori
critici $ f ( \crit ( f ) ) $ ha misura nulla in $ N $ .
\end { theorem}
\begin { corollary} [di Brown] Sia $ f : M \to N $ una
mappa liscia tra due varietà. Allora l'insieme dei valori
regolari di $ f $ è denso in $ N $ .
\end { corollary}
\end { multicols*}
