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gtd(scheda): valori regolari, critici, teorema di Sard e di Brown

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2025-12-15 15:45:02 +01:00
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Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex
+3
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@@ -89,6 +89,9 @@
\DeclareMathOperator{\SO}{SO}
\DeclareMathOperator{\rk}{rk}
\DeclareMathOperator{\vol}{vol}
\DeclareMathOperator{\crit}{crit}
\DeclareMathOperator{\Span}{span}
\newcommand{\defeq}{\overset{\mathrm{def}}{=}}
Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-notazioni.tex
+39 -2
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@@ -9,10 +9,18 @@
vettori o campi vettoriali; caratteri greci minuscoli ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$) per indicare
curve; e caratteri greci maiuscoli ($\Sigma$) per indicare superfici.
\section*{Algebra lineare}
\addcontentsline{toc}{section}{Algebra lineare}
\begin{itemize}
\item $\rk$ -- rango di un'applicazione lineare o di una matrice.
\end{itemize}
\section*{Analisi matematica}
\addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}
\begin{itemize}
\item $\restr{f}{A}$ -- restrizione di una funzione $f$ al sottinsieme $A$ del dominio.
\item $f_i$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$, la proiezione di $f$ sulla $i$-esima coordinata, ovverosia
$\pi_i \circ f : \RR^n \to \RR$.
\item $\der{f}{t}(x)$, $f'(x)$, $\dot{f}$ -- derivata di una funzione $f : I \subseteq \RR \to \RR^n$. Nel caso $n > 1$, coincide con
@@ -33,8 +41,8 @@
\item diffeomorfismo di classe $C^k$ -- funzione di classe $C^k$ con inversa di classe $C^k$.
\end{itemize}
\section*{Geometria differenziale}
\addcontentsline{toc}{section}{Geometria differenziale}
\section*{Geometria differenziale delle curve e delle superfici}
\addcontentsline{toc}{section}{Geometria differenziale delle curve e delle superfici}
\begin{itemize}
\item $B_R(P, \RR^n)$, $B_R(P)$ -- la palla $n$-dimensionale di raggio $R$ e centro $P$. Ometteremo $\RR^n$ quando la dimensione si deduce dal contesto.
@@ -88,4 +96,33 @@
\item $\chi(\Sigma)$ -- caratteristica di Eulero di una superficie con bordo.
\end{itemize}
\section*{Teoria della misura}
\addcontentsline{toc}{section}{Teoria della misura}
\begin{itemize}
\item $\vol$ -- applicazione per calcolare il volume di un rettangolo in $\RR^n$; tale per cui
$\vol([a_1, b_1] \times \cdots \times [a_n, b_n]) = \prod_i {(b_i - a_i)}$.
\item $m$ -- misura di Lebesgue su $\RR^n$.
\end{itemize}
\section*{Teoria delle varietà}
\addcontentsline{toc}{section}{Teoria delle varietà}
\begin{itemize}
\item $\dim M$ -- dimensione di una varietà $M$.
\item $(f, W \cap M)$ -- carta locale di una varietà $M$; si sottintende che $W$ sia un aperto dello spazio ambiente in cui è contenuto $M$ e
che $f$ sia un diffeomorfismo con dominio $W \cap M$ verso un aperto di $\RR^{\dim M}$.
\item $T_x M$ -- spazio tangente di un punto $x$ di una varietà $M$.
\item $\dif f_x$ -- differenziale di una mappa liscia $f : M \to N$ tra varietà nel punto $x$.
\item $\crit(f)$ -- insieme dei punti critici di una mappa liscia $f : M \to N$ tra varietà.
\end{itemize}
\section*{Topologia}
\addcontentsline{toc}{section}{Topologia}
\begin{itemize}
\item II-numerabile -- spazio topologico che ammette una base numerabile.
\item T1 -- spazio topologico i cui singoletti sono insiemi chiusi.
\item T2 -- spazio topologico in cui per due punti distinti esiste una coppia di intorni disgiunti dei due punti.
\end{itemize}
\end{multicols*}
Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-prerequisiti.tex
+13 -2
View File
@@ -5,8 +5,8 @@
\begin{multicols*}{2}
\section*{Analisi matematica}
\addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}
\section*{Analisi matematica e teoria della misura}
\addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica e teoria della misura}
\begin{itemize}
\item \textbf{Teorema di Schwarz} -- Sia $f : \RR^n \to \RR$ una funzione che ammette derivate seconde
@@ -71,6 +71,17 @@
\right\}
\]
è un aperto di $\RR \times \Omega$ e l'applicazione $\Phi : \mathcal{D} \to \RR^n$ è di classe $C^k$.
\item \textbf{Caratterizzazione dell'annullamento della misura di Lebesgue} -- Sia $A$ un sottinsieme di $\RR^n$. Allora
$A$ ha misura nulla se e solo se, per ogni scelta di $\eps > 0$, esiste una famiglia numerabile $\{B_i\}_{i \geq 0}$
di rettangoli $B_i \subseteq \RR^n$ tali per cui:
\[ A \subseteq \bigcup_{i \geq 0} B_i, \quad \sum_{i \geq 0} \vol(B_i) < \eps. \]
\item \textbf{Lemma per la nullità della misura su un unione numerabile di insiemi di misura nulla} -- Se $\{A_k\}_{k \geq 0}$
è una famiglia di sottinsiemi di misura nulla di $\RR^n$, allora anche $\bigcup_{k \geq 0} A_k$ ha misura nulla.
\item \textbf{Teorema di Sard sugli aperti di $\RR^n$} -- Sia $U \subseteq \RR^n$ aperto, e sia $f : U \to \RR^n$ una mappa
liscia. Allora l'insieme $\crit(f)$ dei valori critici di $f$ ha misura nulla.
\end{itemize}
\end{multicols*}
Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/4-varieta-e-teoria-del-grado.tex
+122 -4
View File
@@ -67,7 +67,7 @@
$f_x : W_x \cap M \to U$ verso un aperto $U$ in $\RR^m$. Per $m = 0$, si richiede invece
che ogni $W_x \cap M$ sia un singoletto. \medskip
Gli insiemi della forma $W_x \cap M$ si dicono \textbf{carte locali}, e formano un \textbf{atlante} della varietà. L'inversa di
Le coppie della forma $(f_x, W_x \cap M)$ si dicono \textbf{carte locali}, e formano un \textbf{atlante} della varietà. L'inversa di
$f_x$ si dice invece \textbf{parametrizzazione locale} di $x$ in $M$.
\end{definition}
@@ -77,7 +77,9 @@
\begin{remark}
Le carte locali inducono un ricoprimento aperto di $M$, e quindi, qualora $M$ fosse compatta, si potrebbe
sempre prendere un atlante finito.
sempre prendere un atlante finito. \smallskip
Inoltre, poiché $\RR^k$ è II-numerabile, si può sempre prendere un atlante numerabile.
\end{remark}
\begin{remark}
@@ -244,7 +246,9 @@
\end{enumerate}
\end{remark}
\subsection{Punti e valori regolari o critici}
\section{Valori regolari e critici}
\subsection{Prime definizioni}
\begin{definition}[Punti regolari o critici]
Sia $f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà, con
@@ -252,7 +256,10 @@
Sia $x \in M$. Si dice che $x$ è un \textbf{punto critico}
se $\rk(\dif f_x) < n$, e altrimenti si dice che è un
\textbf{punto regolare}.
\textbf{punto regolare}. \smallskip
Indichiamo con $\crit(f)$ l'insieme dei punti critici di
$f$.
\end{definition}
\begin{definition}[Valori regolari o critici]
@@ -264,4 +271,115 @@
è un \textbf{valore regolare} (in particolare lo è se
$f\inv(y) = \emptyset$).
\end{definition}
\begin{remark}
È immediato osservare che l'insieme dei valori critici di
$f$ è esattamente $f(\crit(f))$.
\end{remark}
\subsection{Teorema di invertibilità locale per varietà e lemma della pila di dischi}
\begin{theorem}[di invertibilità locale per varietà] \label{thm:invertibilità_locale_varietà}
Siano $M$ e $N$ due varietà di stessa dimensione. Sia
$f : M \to N$ una mappa liscia. Se $x \in M$ è regolare,
allora esiste un intorno $A$ di $x$ in $M$ tale per cui
$\restr{f}{A} : A \to f(A)$ è un diffeomorfismo.
\end{theorem}
\begin{proof}
Sia $g : U \to g(U)$ una parametrizzazione locale di $x$ in $M$
con $g(u) = x$.
Sia $h : V \to h(V)$ una parametrizzazione locale di $f(x)$ in $N$
con $h(v) = f(x)$.
A meno di restringere il dominio di $g$, possiamo supporre che
$f(g(U)) \subseteq h(V)$.
\[\begin{tikzcd}
M && N \\
\\
U && V
\arrow["f"{description}, from=1-1, to=1-3]
\arrow["g", from=3-1, to=1-1]
\arrow["{h\inv \circ f \circ g}"{description}, dashed, from=3-1, to=3-3]
\arrow["h", from=3-3, to=1-3]
\end{tikzcd}\]
Osserviamo che:
\[ \dif f_x \circ \dif g_u = \dif h_{f(x)} \circ \dif (h\inv \circ f \circ g)_u. \]
Dal momento che $x$ è regolare, $\dif f_x$ è un isomorfismo. Poiché anche $\dif g_u$
e $\dif h_{f(x)}$ sono isomorfismi ($g$ e $h$ sono diffeomorfismi, vd. Proposizione
\ref{prop:diffeomorfismo_iso_diff}), allora anche $\dif (h\inv \circ f \circ g)_u$ è
un isomorfismo. \smallskip
Per il Teorema di invertibilità locale sugli aperti di $\RR^n$, allora esiste un
aperto $A'$ di $U$ su cui $\restr{h\inv \circ f \circ g}{A'}$ è un diffeomorfismo.
Osserviamo che:
\[
\restr{f}{g(A')} = \restr{h}{h\inv(f(g(A')))} \circ \restr{h\inv \circ f \circ g}{A'} \circ \restr{g\inv}{g(A')}.
\]
Quindi $\restr{f}{g(A')}$ è un diffeomorfismo in quanto composizione di restrizioni di
diffeomorfismi (vd. Proposizione \ref{prop:comp_liscia}), e $A \defeq g(A')$ è l'intorno cercato.
\end{proof}
\begin{proposition} \label{prop:controimmagine_regolare_finita}
Sia $M$ una varietà compatta. Sia $f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà della
\underline{stessa dimensione}. Se $y \in N$ è un valore regolare, allora $f\inv(y)$ è un insieme finito.
\end{proposition}
\begin{proof}
Poiché $N$ è T1, $f\inv(y)$ è un chiuso di $M$; pertanto, essendo $M$ compatta, $f\inv(y)$ è
un compatto. \smallskip
Mostriamo ora che $f\inv(y)$ è discreto. Sia $x \in f\inv(y)$. Dal momento che $y$ è un valore regolare,
$x$ è un punto regolare. Quindi esiste per il Teorema \ref{thm:invertibilità_locale_varietà} un
intorno aperto $A \subseteq M$ di $x$ per cui $\restr{f}{A}$ è un diffeomorfismo. In questo intorno $x$
è l'unica controimmagine di $y$ mediante $f$, e quindi $f\inv(y)$ è discreto. \smallskip
Dal momento che $f\inv(y)$ è sia compatto che discreto, $f\inv(y)$ è finito.
\end{proof}
\begin{lemma}[della pila dei dischi] Siano $M$ e $N$ varietà della \underline{stessa dimensione}.
Sia $M$ compatta. Sia $f : M \to N$ una mappa liscia con $y \in N$ valore regolare.
Allora esiste un intorno $V$ di $y$ tale per cui:
\[
\abs{f\inv(y')} = \abs{f\inv(y)}, \quad \forall y' \in V.
\]
\end{lemma}
\begin{proof}
Sappiamo dalla Proposizione \ref{prop:controimmagine_regolare_finita} che
$f\inv(y)$ è finito. Se $f\inv(y) = \{x_1, \ldots, x_n\}$, riprendendo gli intorni aperti $A_i$
come definiti nella dimostrazione della Proposizione \ref{prop:controimmagine_regolare_finita},
allora possiamo definire:
\[
V \defeq \bigcap_{i = 1}^n f(A_i) \setminus f(M \setminus \bigcup_{i = 1}^n A_i).
\]
Gli $f(A_i)$ sono aperti dal momento che $f$ è un diffeomorfismo. L'insieme $M \setminus \bigcup_{i = 1}^n A_i$
è un chiuso in un compatto, e quindi è compatto; allora $f(M \setminus \bigcup_{i = 1}^n A_i)$ è compatto,
e dunque chiuso essendo $N$ uno spazio T2. Quindi $f(M \setminus \bigcup_{i = 1}^n A_i)^c$ è aperto.
Si conclude dunque che $V$ è aperto. \smallskip
Su $V$, $\abs{f\inv(\cdot)}$ è necessariamente costante: la prima intersezione assicura che esistano
almeno $\abs{f\inv(y)}$ controimmagini, e la sottrazione insiemistica assicura che non possano esisterne di più.
\end{proof}
\subsection{Misura nulla e teoremi di Sard e Brown}
\begin{definition}[Sottinsiemi di varietà di misura nulla]
Sia $A$ un sottinsieme di una varietà $M$ di dimensione $m$.
Si dice che
$A$ ha \textbf{misura nulla (rispetto a $M$)} se per ogni
carta locale $(f, W \cap M)$, $f(A \cap W)$ ha misura nulla
in $\RR^m$.
\end{definition}
\begin{theorem}[di Sard, per le varietà] Sia $f : M \to N$ una
mappa liscia tra due varietà. Allora l'insieme dei valori
critici $f(\crit(f))$ ha misura nulla in $N$.
\end{theorem}
\begin{corollary}[di Brown] Sia $f : M \to N$ una
mappa liscia tra due varietà. Allora l'insieme dei valori
regolari di $f$ è denso in $N$.
\end{corollary}
\end{multicols*}