feat(geometria): aggiunge la base degli appunti di geometria

Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-31, 04, 18, Teoria sulle derivate/main.tex

@@ -4,7 +4,7 @@
 
 \title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}}
 \author{Gabriel Antonio Videtta}
-\date{31 marzo e 4 aprile 2023}
+\date{31 marzo, 4 e 18 aprile 2023}
 
 \begin{document}
 	
@@ -287,6 +287,42 @@
 		f(d) \geq f(c)$, e quindi $f$ è crescente in $I$, da cui la tesi.
 	\end{proof}
 
+	\begin{proposition}
+		Sia $I \subset \RR$ un intervallo e sia $f : I \to \RR$ tale che $f$
+		sia derivabile in $I$. Allora $f$ è convessa
+		se e solo se la derivata è crescente.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+
+		\rightproof Siano $x_0$, $x_1 \in I$ con $x_0 < x_1$. Sia $h$
+		positivo tale che $x_0 < x_0 + h \leq x_1$. Allora $x_0 + h = (1- \lambda) x_0 + \lambda x_1$ con $\lambda = \frac{h}{x_1 - x_0}$.
+		Allora, poiché $f$ è convessa, $f(x_0 + h) \leq (1- \lambda) f(x_0) + f(x_1) \leq f(x_0) + \frac{h}{x_1 - x_0} \left( f(x_1) - f(x_0) \right)$, da cui si ricava che:
+		
+		\[ \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \leq \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}. \]
+		
+		Quindi, passando al limite, $f'(x_0) \leq \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$. Analogamente si dimostra che $\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} \leq f'(x_1)$. Si conclude dunque che $f'(x_1) \geq f'(x_0)$, ossia
+		che $f'$ è crescente. \\
+		
+		\leftproof Siano $x_0$, $x_1 \in I$ con $x_0 < x_1$. Si considera
+		$x = (1 - \lambda) x_0 + \lambda x_1 \in (x_0, x_1)$ con $0 < \lambda < 1$. Per il teorema di Lagrange $\exists \tilde{x_0} \in (x_0, x)$ tale
+		che $f'(\tilde{x_0}) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$. Analogamente
+		$\exists \tilde{x_1} \in (x, x_1)$ tale che $f'(\tilde{x_1}) =
+		\frac{f(x_1) - f(x)}{x_1 - x}$. Poiché allora per ipotesi la
+		derivata $f'$ è crescente, si ricava che:
+		
+		\[ \frac{f(x_1) - f(x)}{x_1 - x} \geq \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}, \]
+		
+		da cui si conclude che:
+		
+		\[ f(x) \leq (1-\lambda) f(x_0) + \lambda f(x_1), \]
+		
+		\vskip 0.05in
+		
+		ossia che vale la disuguaglianza di Jensen, e quindi che
+		$f$ è convessa, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
 	\begin{remark}\nl
 		\li L'interpretazione geometrica del teorema di Cauchy, rispetto
 		a quella di Lagrange, è leggermente più complicata. Si consideri
@@ -297,7 +333,11 @@
 		come $\frac{f'(\xbar)}{g'(\xbar)}$. Allora, il teorema di Cauchy
 		asserisce che esiste un punto della curva $\gamma$ tale per cui
 		la retta tangente alla curva in quel punto è parallela alla secante
-		passante per $(g(a), f(a))$ e $(g(b), f(b))$.
+		passante per $(g(a), f(a))$ e $(g(b), f(b))$. \\
+		
+		\li Inoltre $f$ è strettamente crescente in $I$ se $f' \geq 0$ e
+		non esistono intervalli di punti stazionari. Analogamente se $f' < 0$ in
+		$I$ e non esistono ancora tali intervalli, $f$ è strettamente decrescente in $I$.
 	\end{remark}
 
 	\begin{exercise}
@@ -336,7 +376,7 @@
 			in un intorno $J$ di $\xbar$, allora $f_1(x) + f_2(x) \tendsto{\xbar} +\infty$;
 			\item se $f_1 \tendsto{\xbar} 0$ e $f_2$ è limitata in un intorno $J$
 			di $\xbar$, allora $f_1 f_2(x) \tendsto{\xbar} 0$;
-			\item se $f_1 \tendsto{\xbar} +\infty$ è limitata inferiormente
+			\item se $f_1 \tendsto{\xbar} +\infty$ ed $f_2$ è limitata inferiormente
 			da una costante positiva $c$ in un intorno $J$ di $\xbar$, allora
 			$f_1 f_2 \tendsto{\xbar} +\infty$. 
 		\end{enumerate}
@@ -391,6 +431,56 @@
 		
 		\[ D_+ f(0) =  \lim_{h \to 0^+} \frac{h + 2h^2 \sin\left(\frac{1}{h}\right)}{h} = 1 + \lim_{h \to 0^+} 2 h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 1,   \]
 		
-		dove si è usato lo stesso argomento di prima per computare $\lim_{h \to 0^+} 2 h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 0$. \\
+		dove si è usato lo stesso argomento di prima per computare $\lim_{h \to 0^+} 2 h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 0$.
 	\end{solution}
+
+	\begin{theorem} (di de l'Hopital) %TODO: sistemare nome
+		Siano $I$ intervallo e $x_0 \in I$. Sia detto $I' := I \setminus \{ x_0 \}$. Siano $f$, $g : I' \to \RR$ derivabili tali che:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item esiste $L := \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$,
+			\item $g' \neq 0$ in $I'$,
+			\item vale che (a) $f(x)$, $g(x) \tendsto{x_0} 0$ oppure che (b)
+			$g(x) \tendsto{x_0} \pm \infty$.
+		\end{enumerate}
+	
+		Allora $\frac{f(x)}{g(x)} \tendsto{x_0} L$.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Si consideri il caso (a) per $x_0$ finito. Si ponga $f(x_0) = g(x_0) := 0$. Senza perdità di generalità si
+		assuma che $I$ sia un intorno destro di $x_0$. Sia $x \in I \setminus \{x_0\}$, da cui si ricava che $x > x_0$. \\
+		
+		Si osserva che $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(x_0)}{g(x)} - g(x_0)$. Per il teorema di Cauchy, esiste allora $\tilde{x} \in (x_0, x)$,
+		in funzione di $x$, tale
+		che $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(\tilde x)}{g'(\tilde x)}$. Allora
+		$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(\tilde x)}{g'(\tilde x)} = \lim_{\tilde x \to x_0} \frac{f'(\tilde x)}{g'(\tilde x)} = L$, dove si è utilizzato che $\tilde x \tendsto{x_0} x_0$ per il teorema del confronto applicato sulla
+		relazione $x_0 < \tilde x < x$. \\
+		
+		Si consideri ora il caso (b) per $x_0$ finito. Siano $x_1 > x_0$
+		tali che $x_1 > x > x_0$. Allora vale la seguente identità:
+		
+		\[ \frac{f(x)}{g(x)} = \left( \frac{f(x) - f(x_1)}{g(x) - g(x_1)} + \frac{f(x_1)}{g(x) - g(x_1)} \right) \frac{g(x) - g(x_1)}{g(x)}. \]
+		
+		Si osserva allora che:
+		
+		\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_1)}{g(x) - g(x_1)}. \]
+	\end{proof}
+
+	\begin{remark}
+		È essenziale che $I$ sia un intervallo affinché il teorema di de
+		l'Hopital sia vero.
+		% TODO: scrivi esempio di unione infinita di intervalli (tra x e x^2 + x)
+	\end{remark}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $I$ un intervallo, sia $x_0 \in I$ e sia $f : I \to \RR$ continua
+		e derivabile dappertutto tranne che in $x_0$. Se esiste
+		$L := \lim_{x \to x_0} f'(x)$, allora $f'(x_0) = L$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si consideri il rapporto incrementale $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$.
+		Allora, per $x \to x_0$, per il teorema di de l'Hopital, $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} f'(x)$.
+	\end{proof}
 \end{document}

Geometria 1/Prodotto scalare/2023-03-22, Introduzione al prodotto scalare/main.tex

@@ -172,7 +172,7 @@ forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $\KK^n$.
 	\begin{definition}
 		Si dice \textbf{radicale} di un prodotto scalare $\varphi$ lo spazio:
 		
-		\[ V^\perp = \{ \vec{v} \in V \mid \varphi(\vec{v}, \vec{w}) = 0, \forall \vec{w} \in V \} \]
+		\[ V^\perp = \{ \vec{v} \in V \mid \varphi(\vec{v}, \vec{w}) = 0 \, \forall \vec{w} \in V \} \]
 		
 		\vskip 0.05in
 	\end{definition}

Geometria 1/Prodotto scalare/2023-04-17, Introduzione ai prodotti hermitiani/main.tex

@@ -0,0 +1,138 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{personal_commands}
+\usepackage[italian]{babel}
+
+\title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}}
+\author{Gabriel Antonio Videtta}
+\date{17 aprile 2023}
+
+\begin{document}
+	
+	\maketitle
+	
+	\begin{center}
+		\Large \textbf{Introduzione ai prodotti hermitiani}
+	\end{center}
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento, per $V$ si intenderà uno spazio vettoriale di dimensione
+		finita $n$ e per $\varphi$ un suo prodotto, hermitiano o scalare
+		dipendentemente dal contesto.
+	\end{note}
+
+	\begin{definition} (prodotto hermitiano) Sia $\KK = \CC$. Una mappa $\varphi : V \times V \to \CC$ si dice \textbf{prodotto hermitiano} se:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $\varphi$ è $\CC$-lineare nel secondo argomento, ossia se $\varphi(\v, \U + \w) = \varphi(\v, \U) + \varphi(\v, \w)$ e
+			$\varphi(\v, a \w) = a \, \varphi(\v, \w)$,
+			\item $\varphi(\U, \w) = \conj{\varphi(\w, \U)}$.
+		\end{enumerate}
+	\end{definition}
+
+	\begin{definition} (prodotto hermitiano canonico in $\CC^n$) Si definisce
+		\textbf{prodotto hermitiano canonico} di $\CC^n$ il prodotto $\varphi : \CC^n \times \CC^n \to \CC$ tale per cui, detti $\v = (z_1 \cdots z_n)^\top$ e $\w = (w_1 \cdots w_n)^\top$, $\varphi(\v, \w) = \sum_{i=1}^n \conj{z_i} w_i$.
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}\nl
+		\li $\varphi(\U + \w, \v) = \conj{\varphi(\v, \U + \w)} =
+		\conj{\varphi(\v, \U) + \varphi(\v, \w)} = \conj{\varphi(\v, \U)} + \conj{\varphi(\v, \U)} = \varphi(\w, \v) + \varphi(\U, \v)$, ossia
+		$\varphi$ è additiva anche nel primo argomento. \\
+		\li $\varphi(a \v, \w) = \conj{\varphi(\w, a \v)} = \conj{a} \conj{\varphi(\w, \v)} = \conj{a} \, \varphi(\v, \w)$. \\
+		\li $\varphi(\v, \v) = \conj{\varphi(\v, \v)}$, e quindi $\varphi(\v, \v) \in \RR$. \\
+		\li Sia $\v = \sum_{i=1}^n x_i \vv i$ e sia $\w = \sum_{i=1}^n y_i \vv i$, allora $\varphi(\v, \w) = \sum_{i =1}^n \sum_{j=1}^n \conj{x_i} y_i \varphi(\vv i, \vv j)$. \\
+		\li $\varphi(\v, \w) = 0 \iff \varphi(\w, \v) = 0$.
+	\end{remark}
+
+	\begin{proposition}
+		Data la forma quadratica $q : V \to \RR$  del prodotto hermitiano $\varphi$ tale che $q(\v) = \varphi(\v, \v) \in \RR$, tale
+		forma quadratica individua univocamente il prodotto hermitiano $\varphi$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Innanzitutto si osserva che:
+		
+		\[ \varphi(\v, \w) = \frac{\varphi(\v, \w) + \conj{\varphi(\v, \w)}}{2} +  \frac{\varphi(\v, \w) . \conj{\varphi(\v, \w)}}{2}. \]
+		
+		\vskip 0.05in
+		
+		Si considerano allora le due identità:
+		
+		\[ q(\v + \w) - q(\v) - q(\w) =
+		\varphi(\v, \w) + \conj{\varphi(\w, \v)} = 2 \, \Re(\varphi(\v, \w)), \]
+		
+		\[ q(i\v + \w) - q(\v) - q(\w) = -i(\varphi(\v, \w) - \conj{\varphi(\v, \w)}) = 2 \, \imm(\varphi(\v, \w)), \]
+		
+		\vskip 0.05in
+		
+		da cui si conclude che il prodotto $\varphi$ è univocamente
+		determinato dalla sua forma quadratica.
+	\end{proof}
+
+	\begin{definition}
+		Si definisce \textbf{matrice aggiunta} di $A \in M(n, \KK)$ la matrice coniugata della trasposta di $A$, ossia:
+		
+		\[ A^* = \conj{A^\top} = \conj{A}^\top. \]
+	\end{definition}
+
+	%TODO: aggiungere tr(conj(A^t) B)
+	
+	\begin{definition} (matrice associata del prodotto hermitiano) Analogamente
+		al caso del prodotto scalare, data una base $\basis = \{\vv 1, \ldots, \vv n\}$ si definisce
+		come \textbf{matrice associata del prodotto hermitiano} $\varphi$
+		la matrice $M_\basis(\varphi) = (\varphi(\vv i, \vv j))_{i,j = 1 \textrm{---} n}$.
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}
+		Si osserva che, analogamente al caso del prodotto scalare, vale
+		la seguente identità:
+		
+		\[ \varphi(\v, \w) = [\v]_\basis^* M_\basis(\varphi) [\w]_\basis. \]
+	\end{remark}
+	
+	\begin{proposition}
+		(formula del cambiamento di base per i prodotto hermitiani) Siano
+		$\basis$, $\basis'$ due basi di $V$. Allora vale la seguente
+		identità:
+		
+		\[ M_{\basis'} = M_{\basis}^{\basis'}(\Idv)^* M_\basis(\varphi) M_{\basis}^{\basis'}(\Idv). \]
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Siano $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ e $\basis' = \{ \ww 1, \ldots, \ww n \}$. Allora $\varphi(\ww i, \ww j) = [\ww i]_\basis^* M_\basis(\varphi) [\ww j]_\basis = \left( M_\basis^{\basis'}(\Idv)^i \right)^* M_\basis(\varphi) M_\basis^{\basis'}(\Idv)^j =
+		\left(M_\basis^{\basis'}(\Idv)\right)^*_i M_\basis(\varphi) M_\basis^{\basis'}(\Idv)^j$, da cui si ricava l'identità
+		desiderata.
+	\end{proof}
+
+	\begin{definition} (radicale di un prodotto hermitiano)
+		Analogamente al caso del prodotto scalare, si definisce il \textbf{radicale} del prodotto $\varphi$ come il seguente sottospazio: 
+		
+		\[ V^\perp = \{ \v \in V \mid \varphi(\v, \w) = 0 \, \forall \w \in V \}. \]
+	\end{definition}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $\basis$ una base di $V$ e $\varphi$ un prodotto hermitiano. Allora $V^\perp = [\cdot]_\basis \inv (\Ker M_\basis(\varphi))$\footnote{Stavolta non è sufficiente considerare la mappa $f : V \to V^*$ tale che $f(\v) = \left[ \w \mapsto \varphi(\v, \w) \right]$, dal momento che $f$ non è lineare, bensì antilineare, ossia $f(a \v) = \conj a f(\v)$.}.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Sia $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ e sia $\v \in V^\perp$.
+		Siano $a_1$, ..., $a_n \in \KK$ tali che $\v = a_1 \vv 1 + \ldots + a_n \vv n$. Allora, poiché $\v \in V$, $0 = \varphi(\vv i, \v) =
+		= a_1 \varphi(\vv i, \vv 1) + \ldots + a_n \varphi(\vv i, \vv n) = M_i [\v]_\basis$, da cui si ricava che $[\v]_\basis \in \Ker M_\basis(\varphi)$, e quindi che $V^\perp \subseteq [\cdot]_\basis \inv (\Ker M_\basis(\varphi))$. \\
+		
+		Sia ora $\v \in V$ tale che $[\v]_\basis \in \Ker M_\basis(\varphi)$.
+		Allora, per ogni $\w \in V$, $\varphi(\w, \v) = [\w]_\basis^* M_\basis(\varphi) [\v]_\basis = [\w]_\basis^* 0 = 0$, da cui si
+		conclude che $\v \in V^\perp$, e quindi che  $V^\perp \supseteq [\cdot]_\basis \inv (\Ker M_\basis(\varphi))$, da cui
+		$V^\perp = [\cdot]_\basis \inv (\Ker M_\basis(\varphi))$, ossia
+		la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{remark}
+		Come conseguenza della proposizione appena dimostrata, valgono
+		le principali proprietà già viste per il prodotto scalare. \\
+		
+		\li $\det(M_\basis(\varphi)) = 0 \iff V^\perp \neq \zerovecset \iff \varphi$ è degenere \\
+	\end{remark}
+
+	% TODO: valgono buona parte delle proprietà del prodotto scalare
+	
+	% TODO: aggiunge restrizione e complessificazione
+\end{document}

tex/latex/style/personal_commands.sty

@@ -147,6 +147,7 @@
 \newcommand{\v}{\vec{v}}
 \newcommand{\vv}[1]{\vec{v_{#1}}}
 \newcommand{\w}{\vec{w}}
+\newcommand{\U}{\vec{u}}
 \newcommand{\ww}[1]{\vec{w_{#1}}}
 
 \newcommand{\mapstoby}[1]{\xmapsto{#1}}