aritmetica: insieme delle corrispondenze biunivoche

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@ -149,6 +149,7 @@ essendo anch'essa un'applicazione.
ossia che $(\alpha \circ \beta) \circ \gamma = \alpha \circ (\beta \circ \gamma)$. ossia che $(\alpha \circ \beta) \circ \gamma = \alpha \circ (\beta \circ \gamma)$.
\begin{lemma}[Proprietà associativa della composizione] \begin{lemma}[Proprietà associativa della composizione]
\label{lemma:associativita_composizione}
Date tre applicazioni $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, Date tre applicazioni $\alpha$, $\beta$, $\gamma$,
$(\alpha \circ \beta) \circ \gamma = \alpha \circ (\beta \circ \gamma)$. $(\alpha \circ \beta) \circ \gamma = \alpha \circ (\beta \circ \gamma)$.
\end{lemma} \end{lemma}
@ -202,6 +203,7 @@ ereditate dalle applicazioni di cui è composta se tutte queste le rispettano, o
\end{proof} \end{proof}
\begin{lemma}[Bigettività della composizione] \begin{lemma}[Bigettività della composizione]
\label{lemma:bigettivita_composizione}
$(\tau \circ \sigma)$ è bigettiva se $\tau$ e $\sigma$ lo sono. $(\tau \circ \sigma)$ è bigettiva se $\tau$ e $\sigma$ lo sono.
\end{lemma} \end{lemma}
@ -231,6 +233,7 @@ ossia l'identità di $\sigma$, per la quale ogni elemento viene associato a sé
Banalmente, per ogni applicazione $\alpha$, $(\alpha \circ \Id) = (\Id \circ \alpha) = \alpha$. Banalmente, per ogni applicazione $\alpha$, $(\alpha \circ \Id) = (\Id \circ \alpha) = \alpha$.
\begin{lemma} \begin{lemma}
\label{lemma:inversa_applicazione}
$\sigma : S \to T$ è una corrispondenza biunivoca se e solo se $\sigma : S \to T$ è una corrispondenza biunivoca se e solo se
esiste un'applicazione $\mu : T \to S$ tale per cui esiste un'applicazione $\mu : T \to S$ tale per cui
$(\sigma \circ \mu) = (\mu \circ \sigma) = \Id$. $(\sigma \circ \mu) = (\mu \circ \sigma) = \Id$.
@ -260,3 +263,38 @@ Banalmente, per ogni applicazione $\alpha$, $(\alpha \circ \Id) = (\Id \circ \al
di $\sigma$. Allora $\alpha = \alpha \circ (\sigma \circ \beta) = di $\sigma$. Allora $\alpha = \alpha \circ (\sigma \circ \beta) =
(\alpha \circ \sigma) \circ \beta = \beta$, che è una contraddizione. (\alpha \circ \sigma) \circ \beta = \beta$, che è una contraddizione.
\end{proof} \end{proof}
\section{Il gruppo \texorpdfstring{$A(S)$}{A(S)} delle corrispondenze biunivoche}
Si definisce $A(S)$ come l'insieme $\{\sigma : S \to S \mid \sigma \text{ sia biunivoca}\} =
\{\sigma : S \to S \mid \forall s \in S \existsone t \in S \mid t = \sigma(s)\}$.
Prendendo in considerazione l'operazione di composizione $\circ$, si può dimostrare
che $(A(S), \circ)$ è un gruppo:
\begin{itemize}
\item $\forall \alpha, \beta \in A(S), \alpha \circ \beta \in A(S)$ (vd. Lemma \ref{lemma:bigettivita_composizione}).
\item $\forall \alpha, \beta, \gamma \in A(S), (\alpha \circ \beta) \circ \gamma = \alpha \circ (\beta \circ \gamma)$ (vd. Lemma \ref{lemma:associativita_composizione}).
\item $\exists \Id \in A(S) \mid \forall \alpha \in A(S), (\Id \circ \alpha) = (\alpha \circ \Id) = \alpha$.
\item $\forall \alpha \in A(S), \exists \alpha^{-1} \in A(S) \mid (\alpha \circ \alpha^{-1}) = (\alpha^{-1} \circ \alpha) = \Id$ (vd. Lemma \ref{lemma:inversa_applicazione}).
\end{itemize}
\begin{lemma}
Se $S$ consta di più di due elementi ($\nnorm{S} > 2$), allora esistono sicuramente
due applicazioni $\alpha, \beta \in A(S)$ tale per cui $(\alpha \circ \beta) \neq
(\beta \circ \alpha)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Se $S$ consta di due elementi, $S$ possiede almeno tre elementi $s_1, s_2, s_3$,
possiamo definire due applicazioni $\sigma$ e $\tau$ come segue:
\begin{itemize}
\item $\sigma(s_1) = s_2$, $\sigma(s_2) = s_3$, $\sigma(s_3) = s_1$.
\item $\tau(s_1) = s_1$, $\tau(s_2) = s_2$, $\tau(s_3) = s_3$.
\item $\sigma(a) = \tau(a) = a \forall a \notin \{s_1, s_2, s_3\}$.
\end{itemize}
Allora $(\sigma \circ \tau)(s_1) = \sigma(s_1) = s_2$ e
$(\tau \circ \sigma)(s_1) = \tau(s_2) = s_3$, ma $s_2 \neq s_3$.
\end{proof}

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