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gtd(scheda): aggiunge la prima parte di teoria delle curve
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\newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
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\newcommand*\dif{\mathop{}\!\textnormal{\slshape d}}
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\newcommand{\dx}{\dif{x}}
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\newcommand{\dy}{\dif{y}}
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\newcommand{\du}{\dif{u}}
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+24
-21
@@ -4,27 +4,30 @@
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\setlength{\parindent}{2pt}
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\begin{multicols*}{2}
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||||
Impiegheremo caratteri latini ($x$, $y$, $z$) per indicare quantità reali;
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caratteri latini sottolineati ($\vec{x}$, $\vec{y}$, $\vec{z}$) per indicare
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vettori o campi vettoriali; caratteri greci minuscoli ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$) per indicare
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curve; e caratteri greci maiuscoli ($\Sigma$) per indicare superfici.
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Impiegheremo caratteri latini ($x$, $y$, $z$) per indicare quantità reali;
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caratteri latini sottolineati ($\vec{x}$, $\vec{y}$, $\vec{z}$) per indicare
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vettori o campi vettoriali; caratteri greci minuscoli ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$) per indicare
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curve; e caratteri greci maiuscoli ($\Sigma$) per indicare superfici.
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\section*{Analisi matematica}
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\addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}
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\section*{Analisi matematica}
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\addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}
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\begin{itemize}
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\item $f_i$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$, la proiezione di $f$ sulla $i$-esima coordinata, ovverosia
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$\pi_i \circ f : \RR^n \to \RR$.
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\item $\der{f}{t}(x)$, $f'(x)$ -- derivata di una funzione $f : I \subseteq \RR \to \RR^n$. Nel caso $n > 1$, coincide con
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il vettore $({f_i}'(t))_i)$. La notazione può essere iterata per ottenere le derivate successive.
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\item $\partial_{x_i} f(\vec{x})$, $\pd{f}{x_i}(\vec{x})$, $f_{x_i}(\vec{x})$ -- derivata parziale nella $i$-esima coordinata
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di una funzione $f : \RR^n \to \RR$ nel punto $\vec{x}$. La notazione può essere iterata per ottenere le
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derivate successive.
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\item $\nabla f(\vec{x})$ -- gradiente di una funzione $f : \RR^n \to \RR$, ovverosia il vettore $(\partial_{x_i} f(\vec{x}))_i^\top$.
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||||
\item $J f(\vec{x})$ -- jacobiano di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$ nel punto $x$, ovverosia la matrice
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$(\partial_{x_j} f_i (\vec{x}))_{i, j} = (\nabla f_i(\vec{x}))_{i}$.
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\item $J_{\vec{y}} f(\vec{p})$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^{m} \times \RR^{n} \to \RR^{n}$,
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||||
la sottomatrice $n \times n$ quadrata di $J f(\vec{p})$ date dalle ultime $n$ colonne. Coincide
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con $J (\pi_{\RR^n} \circ f)(\vec{p})$.
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\end{itemize}
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\begin{itemize}
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\item $f_i$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$, la proiezione di $f$ sulla $i$-esima coordinata, ovverosia
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$\pi_i \circ f : \RR^n \to \RR$.
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\item $\der{f}{t}(x)$, $f'(x)$ -- derivata di una funzione $f : I \subseteq \RR \to \RR^n$. Nel caso $n > 1$, coincide con
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il vettore $({f_i}'(t))_i)$. La notazione può essere iterata per ottenere le derivate successive.
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\item $\partial_{x_i} f(\vec{x})$, $\pd{f}{x_i}(\vec{x})$, $f_{x_i}(\vec{x})$ -- derivata parziale nella $i$-esima coordinata
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di una funzione $f : \RR^n \to \RR$ nel punto $\vec{x}$. La notazione può essere iterata per ottenere le
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derivate successive.
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\item $\nabla f(\vec{x})$ -- gradiente di una funzione $f : \RR^n \to \RR$, ovverosia il vettore $(\partial_{x_i} f(\vec{x}))_i^\top$.
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||||
\item $J f(\vec{x})$ -- jacobiano di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$ nel punto $x$, ovverosia la matrice
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$(\partial_{x_j} f_i (\vec{x}))_{i, j} = (\nabla f_i(\vec{x}))_{i}$.
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||||
\item $J_{\vec{y}} f(\vec{p})$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^{m} \times \RR^{n} \to \RR^{n}$,
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la sottomatrice $n \times n$ quadrata di $J f(\vec{p})$ date dalle ultime $n$ colonne. Coincide
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con $J (\pi_{\RR^n} \circ f)(\vec{p})$.
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\item $C^n$ -- classe delle funzioni dotate di derivate parziali continue fino all'ordine $n$. Per $n = 0$, coincide con la classe delle funzioni continue ($C^0$).
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\item $C^\infty$, liscio -- classe delle funzioni derivabili parzialmente per un numero arbitrario di volte con continuità.
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\item diffeomorfismo di classe $C^k$ -- funzione di classe $C^k$ con inversa di classe $C^k$.
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\end{itemize}
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\end{multicols*}
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+10
-3
@@ -47,8 +47,8 @@
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$\vec{y} : (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \to \RR^n$ di classe $C^1$ che risolve il problema di Cauchy:
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\[
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\begin{cases}
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||||
\vec{y}'(t) = \vec{f}(t, \vec{y}(t)) \\
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||||
\vec{y}(t_0) = \vec{y_0}
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||||
\vec{y}'(t) = \vec{f}(t, \vec{y}(t)), \\
|
||||
\vec{y}(t_0) = \vec{y_0}.
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||||
\end{cases}
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\]
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@@ -58,7 +58,14 @@
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problema di Cauchy con dato iniziale $\vec{y}(t_0) = \vec{y_0}$. \smallskip
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Allora l'insieme di definizione del flusso:
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\[ \mathcal{D} = \big\{ (t, t_0, \vec{y_0}) \in \RR \times \Omega : \text{la soluzione esiste al tempo } t \big\} \]
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\[
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||||
\mathcal{D} = \left\{ (t, t_0, \vec{y_0}) \in \RR \times \Omega :
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\begin{array}{c}
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||||
\text{la soluzione } \vec{y}(t, t_0, \vec{y_0}) \\
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||||
\text{esiste al tempo } t
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||||
\end{array}
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\right\}
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\]
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è un aperto di $\RR \times \Omega$ e l'applicazione $\Phi : \mathcal{D} \to \RR^n$ è di classe $C^k$.
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\end{itemize}
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@@ -4,4 +4,165 @@
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\begin{multicols*}{2}
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Qualora non specificato, assumeremo l'utilizzo di funzioni di classe $C^\infty$. \smallskip
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Se $\vec{x} \in \RR^3$ e $f$ è una funzione relativa a una curva $\alpha$, ammettiamo l'abuso di notazione
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$f(\vec{x})$, intendendo $f(\alpha\inv(\vec{x}))$ (e.g., $k(P)$ per intendere $k(\alpha\inv(P)))$).
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\section{Definizioni preliminari}
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\subsection{Curve, tracce e velocità}
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\begin{definition}[Curva parametrizzata]
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Una \textbf{curva parametrizzata} (o semplicemente \textit{curva})
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è una mappa $\alpha : I \subseteq \RR \to \RR^3$
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di classe $C^\infty$, dove $I$ è un intervallo
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\end{definition}
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\begin{definition}[Traccia di una curva]
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||||
Si dice \textbf{traccia} (o \textit{supporto}) di una curva
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parametrizzata $\alpha : I \to \RR^3$, la sua immagine $\alpha(I)$.
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\end{definition}
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||||
\begin{definition}[Velocità di una curva]
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||||
Si definisce la \textbf{velocità} di una curva parametrizzata
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$\alpha(t) = (x(t), y(t), z(t))$ come la curva indotta dalla derivata di $\alpha$:
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||||
\[ \alpha'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{\alpha(t + h) - \alpha(t)}{h} = (x'(t), y'(t), z'(t)). \]
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||||
\end{definition}
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||||
\subsection{Lunghezza e intuizione geometrica}
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\begin{definition}[Lunghezza di una curva]
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Si definisce la \textbf{lunghezza} $\ell(\alpha)$ di una curva
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||||
$\alpha : I \to \RR^3$ come:
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\[
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||||
\ell(\alpha) \defeq \int_I \norm{\alpha'(t)} \dt.
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||||
\]
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||||
\end{definition}
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\begin{remark}
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||||
La definizione data per la lunghezza di una curva corrisponde alla nostra
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idea intuitiva di lunghezza tramite i seguenti due risultati:
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{Validità sul segmento:} Su un segmento lineare $\alpha(t) = A + t(B-A)$ con $I = [0, 1]$,
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$\ell(\alpha) = \norm{B-A}$.
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\item \textbf{Approssimazione poligonale:} La lunghezza $\ell(\alpha)$ è il limite delle lunghezze delle poligonali
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inscritte nella curva. In termini teorici:
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\begin{quote}
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Sia dato $\eps > 0$. Allora esiste $\delta > 0$ tale per cui, per ogni partizione $\{t_i\}_{i=0}^n$
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di $I$ di finezza inferiore a $\delta$ (i.e., $\max \abs{t_{i+1} - t_i} < \delta$), vale $\norm{S - \ell(\alpha)} < \eps$,
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||||
dove $S \defeq \sum_{i=0}^{n-1} \norm{\alpha(t_{i+1}) - \alpha(t_{i})}$.
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||||
\end{quote}
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{remark}
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\section{(Ri)parametrizzazioni, regolarità e parametrizzazioni p.l.a.}
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\subsection{Riparametrizzazione e prime proprietà}
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\begin{definition}[Riparametrizzazione di una curva]
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Data una curva $\alpha : I \to \RR^3$, una \textbf{riparametrizzazione $\beta$ di $\alpha$}
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è una curva $\beta : J \to \RR^3$ tale per cui esiste un diffeomorfismo liscio
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$h : I \to J$ con $\alpha = \beta \circ h$.
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\[\begin{tikzcd}
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I && {\RR^3} \\
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\\
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||||
J
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\arrow["\alpha"', from=1-1, to=1-3]
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||||
\arrow["h", from=1-1, to=3-1]
|
||||
\arrow["\beta", from=3-1, to=1-3]
|
||||
\end{tikzcd}\]
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||||
Se $h' > 0$, si dice che $h$ mantiene l'orientazione di $\alpha$; se $h' < 0$,
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$h$ inverte l'orientazione.
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\end{definition}
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\begin{proposition}
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Se $\beta$ è una riparametrizzazione di $\alpha$, allora $\ell(\beta) = \ell(\alpha)$.
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\end{proposition}
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\subsection{Regolarità e coordinate date dalla lunghezza d'arco}
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\begin{definition}[Curva regolare]
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||||
Si dice che una curva $\alpha : I \to \RR^3$ è \textbf{regolare} se
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$\alpha'(t) \neq 0$ per ogni $t \in I$.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Curva parametrizzata a lunghezza d'arco]
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||||
Si dice che una curva $\alpha : I \to \RR^3$ è \textbf{parametrizzata
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a lunghezza d'arco} (\textbf{p.l.a.}) se $\alpha'$ è un vettore
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unitario (i.e., $\norm{\alpha'} = 1$).
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||||
In tal caso, $\ell\left(\restr{\alpha}{[a, b]}\right) = b-a$.
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\end{definition}
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\begin{proposition}[Riparametrizzazione a lunghezza d'arco]
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||||
Se $\alpha : [a, b] \to \RR^3$ è una curva regolare, allora $\alpha$
|
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ammette una riparametrizzazione a lunghezza d'arco, ossia ammette
|
||||
una riparametrizzazione $\beta : J \to \RR^3$ tale per cui
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$\beta$ sia p.l.a.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Poiché $\alpha$ è regolare, la funzione $s : I \to [0, \ell(\alpha)]$ tale per cui
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\[ s(t) = \int_{a}^t \norm{\alpha'(t)} \dt \]
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||||
è un diffeomorfismo liscio. Quindi $\beta = \alpha \circ s\inv$ è una riparametrizzazione
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di $\alpha$, e vale:
|
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\[
|
||||
\beta'(s) = \frac{\alpha'(s\inv(s))}{s'(s\inv(s))} = \frac{\alpha'(s\inv(s))}{\norm{\alpha'(s\inv(s))}},
|
||||
\]
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che è un vettore unitario.
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\end{proof}
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\section{Il triedro di Frenet (caso p.l.a.)}
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In tutta questa sezione consideriamo una curva p.l.a. $\beta$.
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\subsection{Versore tangente e curvatura di una curva}
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\begin{definition}[Versore tangente]
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||||
Sia $\beta$ una curva p.l.a., allora si definisce il
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suo \textbf{versore tangente} $T_\beta$ come $\beta'$.
|
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\end{definition}
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\begin{definition}[Curvatura]
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||||
Sia $\beta$ una curva p.l.a., allora si definisce la
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\textbf{curvatura} $k_\beta(s)$ di $\beta$ al tempo $s$ come
|
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$\norm{T_\beta'(s)}$. \smallskip
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Laddove è chiaro dal contesto quale sia $\beta$, scriviamo solo $k(s)$.
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\end{definition}
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\subsection{Curve di Frenet, versore normale e binormale}
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\begin{definition}[Curva di Frenet]
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||||
Una curva p.l.a.~$\beta$ si dice \textbf{curva di Frenet} se
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ad ogni tempo $s$, la curvatura è positiva ($k_\beta(s) > 0$).
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\end{definition}
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||||
\begin{definition}[Versore normale]
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||||
Se $\beta$ è una curva di Frenet, allora è ben definito
|
||||
a ogni tempo $s$ il \textbf{versore normale} $N_\beta(s)$ così
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definito:
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\[
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||||
N_\beta(s) = \frac{T_\beta(s)}{\norm{T_\beta(s)}}.
|
||||
\]
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||||
\end{definition}
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||||
|
||||
\begin{definition}[Versore binormale]
|
||||
Se $\beta$ è una curva di Frenet, allora è ben definito
|
||||
a ogni tempo $s$ il \textbf{versore binormale} $B_\beta(s)$ così
|
||||
definito:
|
||||
\[
|
||||
B_\beta(s) = T_\beta(s) \times N_\beta(s).
|
||||
\]
|
||||
\end{definition}
|
||||
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||||
\begin{remark}[Triedro di Frenet]
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||||
Se $\beta$ è di Frenet, allora, dacché $\dot{T_\beta} \perp T_\beta$,
|
||||
$N_\beta$ e $T_\beta$ sono linearmente indipendenti. Dunque
|
||||
$\{T_\beta, N_\beta, B_\beta\}$ formano una base ortonormale a ogni tempo
|
||||
$s$. Tale base è detta \textbf{triedro di Frenet}.
|
||||
\end{remark}
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||||
\subsection{Equazioni di Frenet}
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||||
\end{multicols*}
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