@ -4,4 +4,165 @@
\begin { multicols*} { 2}
Qualora non specificato, assumeremo l'utilizzo di funzioni di classe $ C ^ \infty $ . \smallskip
Se $ \vec { x } \in \RR ^ 3 $ e $ f $ è una funzione relativa a una curva $ \alpha $ , ammettiamo l'abuso di notazione
$ f ( \vec { x } ) $ , intendendo $ f ( \alpha \inv ( \vec { x } ) ) $ (e.g., $ k ( P ) $ per intendere $ k ( \alpha \inv ( P ) ) ) $ ).
\section { Definizioni preliminari}
\subsection { Curve, tracce e velocità}
\begin { definition} [Curva parametrizzata]
Una \textbf { curva parametrizzata} (o semplicemente \textit { curva} )
è una mappa $ \alpha : I \subseteq \RR \to \RR ^ 3 $
di classe $ C ^ \infty $ , dove $ I $ è un intervallo
\end { definition}
\begin { definition} [Traccia di una curva]
Si dice \textbf { traccia} (o \textit { supporto} ) di una curva
parametrizzata $ \alpha : I \to \RR ^ 3 $ , la sua immagine $ \alpha ( I ) $ .
\end { definition}
\begin { definition} [Velocità di una curva]
Si definisce la \textbf { velocità} di una curva parametrizzata
$ \alpha ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) $ come la curva indotta dalla derivata di $ \alpha $ :
\[ \alpha ' ( t ) = \lim _ { h \to 0 } \frac { \alpha ( t + h ) - \alpha ( t ) } { h } = ( x' ( t ) , y' ( t ) , z' ( t ) ) . \]
\end { definition}
\subsection { Lunghezza e intuizione geometrica}
\begin { definition} [Lunghezza di una curva]
Si definisce la \textbf { lunghezza} $ \ell ( \alpha ) $ di una curva
$ \alpha : I \to \RR ^ 3 $ come:
\[
\ell (\alpha ) \defeq \int _ I \norm { \alpha '(t)} \dt .
\]
\end { definition}
\begin { remark}
La definizione data per la lunghezza di una curva corrisponde alla nostra
idea intuitiva di lunghezza tramite i seguenti due risultati:
\begin { enumerate}
\item \textbf { Validità sul segmento:} Su un segmento lineare $ \alpha ( t ) = A + t ( B - A ) $ con $ I = [ 0 , 1 ] $ ,
$ \ell ( \alpha ) = \norm { B - A } $ .
\item \textbf { Approssimazione poligonale:} La lunghezza $ \ell ( \alpha ) $ è il limite delle lunghezze delle poligonali
inscritte nella curva. In termini teorici:
\begin { quote}
Sia dato $ \eps > 0 $ . Allora esiste $ \delta > 0 $ tale per cui, per ogni partizione $ \{ t _ i \} _ { i = 0 } ^ n $
di $ I $ di finezza inferiore a $ \delta $ (i.e., $ \max \abs { t _ { i + 1 } - t _ i } < \delta $ ), vale $ \norm { S - \ell ( \alpha ) } < \eps $ ,
dove $ S \defeq \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \norm { \alpha ( t _ { i + 1 } ) - \alpha ( t _ { i } ) } $ .
\end { quote}
\end { enumerate}
\end { remark}
\section { (Ri)parametrizzazioni, regolarità e parametrizzazioni p.l.a.}
\subsection { Riparametrizzazione e prime proprietà}
\begin { definition} [Riparametrizzazione di una curva]
Data una curva $ \alpha : I \to \RR ^ 3 $ , una \textbf { riparametrizzazione $ \beta $ di $ \alpha $ }
è una curva $ \beta : J \to \RR ^ 3 $ tale per cui esiste un diffeomorfismo liscio
$ h : I \to J $ con $ \alpha = \beta \circ h $ .
\[ \begin { tikzcd }
I & & { \RR ^ 3} \\
\\
J
\arrow ["\alpha"', from=1-1, to=1-3]
\arrow ["h", from=1-1, to=3-1]
\arrow ["\beta", from=3-1, to=1-3]
\end { tikzcd} \]
Se $ h' > 0 $ , si dice che $ h $ mantiene l'orientazione di $ \alpha $ ; se $ h' < 0 $ ,
$ h $ inverte l'orientazione.
\end { definition}
\begin { proposition}
Se $ \beta $ è una riparametrizzazione di $ \alpha $ , allora $ \ell ( \beta ) = \ell ( \alpha ) $ .
\end { proposition}
\subsection { Regolarità e coordinate date dalla lunghezza d'arco}
\begin { definition} [Curva regolare]
Si dice che una curva $ \alpha : I \to \RR ^ 3 $ è \textbf { regolare} se
$ \alpha ' ( t ) \neq 0 $ per ogni $ t \in I $ .
\end { definition}
\begin { definition} [Curva parametrizzata a lunghezza d'arco]
Si dice che una curva $ \alpha : I \to \RR ^ 3 $ è \textbf { parametrizzata
a lunghezza d'arco} (\textbf { p.l.a.} ) se $ \alpha ' $ è un vettore
unitario (i.e., $ \norm { \alpha ' } = 1 $ ).
In tal caso, $ \ell \left ( \restr { \alpha } { [ a, b ] } \right ) = b - a $ .
\end { definition}
\begin { proposition} [Riparametrizzazione a lunghezza d'arco]
Se $ \alpha : [ a, b ] \to \RR ^ 3 $ è una curva regolare, allora $ \alpha $
ammette una riparametrizzazione a lunghezza d'arco, ossia ammette
una riparametrizzazione $ \beta : J \to \RR ^ 3 $ tale per cui
$ \beta $ sia p.l.a.
\end { proposition}
\begin { proof}
Poiché $ \alpha $ è regolare, la funzione $ s : I \to [ 0 , \ell ( \alpha ) ] $ tale per cui
\[ s ( t ) = \int _ { a } ^ t \norm { \alpha ' ( t ) } \dt \]
è un diffeomorfismo liscio. Quindi $ \beta = \alpha \circ s \inv $ è una riparametrizzazione
di $ \alpha $ , e vale:
\[
\beta '(s) = \frac { \alpha '(s\inv (s))} { s'(s\inv (s))} = \frac { \alpha '(s\inv (s))} { \norm { \alpha '(s\inv (s))} } ,
\]
che è un vettore unitario.
\end { proof}
\section { Il triedro di Frenet (caso p.l.a.)}
In tutta questa sezione consideriamo una curva p.l.a. $ \beta $ .
\subsection { Versore tangente e curvatura di una curva}
\begin { definition} [Versore tangente]
Sia $ \beta $ una curva p.l.a., allora si definisce il
suo \textbf { versore tangente} $ T _ \beta $ come $ \beta ' $ .
\end { definition}
\begin { definition} [Curvatura]
Sia $ \beta $ una curva p.l.a., allora si definisce la
\textbf { curvatura} $ k _ \beta ( s ) $ di $ \beta $ al tempo $ s $ come
$ \norm { T _ \beta ' ( s ) } $ . \smallskip
Laddove è chiaro dal contesto quale sia $ \beta $ , scriviamo solo $ k ( s ) $ .
\end { definition}
\subsection { Curve di Frenet, versore normale e binormale}
\begin { definition} [Curva di Frenet]
Una curva p.l.a.~$ \beta $ si dice \textbf { curva di Frenet} se
ad ogni tempo $ s $ , la curvatura è positiva ($ k _ \beta ( s ) > 0 $ ).
\end { definition}
\begin { definition} [Versore normale]
Se $ \beta $ è una curva di Frenet, allora è ben definito
a ogni tempo $ s $ il \textbf { versore normale} $ N _ \beta ( s ) $ così
definito:
\[
N_ \beta (s) = \frac { T_ \beta (s)} { \norm { T_ \beta (s)} } .
\]
\end { definition}
\begin { definition} [Versore binormale]
Se $ \beta $ è una curva di Frenet, allora è ben definito
a ogni tempo $ s $ il \textbf { versore binormale} $ B _ \beta ( s ) $ così
definito:
\[
B_ \beta (s) = T_ \beta (s) \times N_ \beta (s).
\]
\end { definition}
\begin { remark} [Triedro di Frenet]
Se $ \beta $ è di Frenet, allora, dacché $ \dot { T _ \beta } \perp T _ \beta $ ,
$ N _ \beta $ e $ T _ \beta $ sono linearmente indipendenti. Dunque
$ \{ T _ \beta , N _ \beta , B _ \beta \} $ formano una base ortonormale a ogni tempo
$ s $ . Tale base è detta \textbf { triedro di Frenet} .
\end { remark}
\subsection { Equazioni di Frenet}
\end { multicols*}
