feat(algebra1): aggiunge delle note sul gruppo dei quaternioni

Secondo anno/Algebra 1/13. Il gruppo dei quaternioni/main.tex

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+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il gruppo dei quaternioni}
+	\maketitle
+	
+	Si illustra in questo documento il \textbf{gruppo dei quaternioni}, spesso
+	e volentieri impiegato in teoria dei gruppi per fornire controesempi. Storicamente
+	si definisce tale gruppo, indicato con $Q_8$, come il gruppo formato dai
+	quaternioni $\pm 1$, $\pm i$, $\pm j$ e $\pm k$ sotto le usuali regole
+	dei moltiplicazione di $\HH$. In particolare, si può definire $Q_8$ mediante
+	la seguente presentazione:
+	\[ Q_8 = \gen{i, j \mid i^2 = j^2, i^4 = j^4 = e, ij = j^3 i}, \]
+	dove $1 := e$, $k := ij$ e $-1 := i^2$. In particolare $-i := i^3$ è l'inverso
+	di $i$, $-j := j^3$ quello di $j$ e
+	$-k := j^3 i$ quello di $k$. Si osserva che $Q_8$ ha otto elementi, sei di ordine
+	$4$ ($\pm i$, $\pm j$ e $\pm k$), uno di ordine $2$ ($-1$)
+	e, ovviamente, uno di ordine $1$ ($1$). \medskip
+	
+	
+	Le moltiplicazioni tra $i$, $j$ e $k$ si possono riassumere col seguente
+	diagramma:
+	\[  \begin{tikzpicture}[->,scale=.7] % rubato a Diego Monaco -- dispense di Algebra 1, p. 52
+		\foreach \a/\t in {90/i,-30/j,210/k}{
+			\node (\t) at (\a:1cm) {$\t$};
+			\draw (\a-20:1cm)  arc (\a-20:\a-100:1cm);
+		} 
+		\end{tikzpicture}
+	\]
+	
+	Moltiplicando in senso orario viene restituito il terzo termine, in senso
+	antiorario viene restituita la terza potenza del terzo termine rimanente
+	(per esempio, $ik=j^3=-j$, si ``aggiunge'' in pratica il segno meno). \medskip
+
+	
+	Si possono classificare molto facilmente i sottogruppi di $Q_8$, che sono:
+	
+	\begin{itemize}
+		\item $Q_8$ stesso, di ordine $8$, banalmente normale,
+		\item $\gen{i}$, $\gen{j}$ e $\gen{k}$, di ordine $4$, normali perché
+			di indice $2$,
+		\item $\gen{-1}$ di ordine $2$, normale perché caratteristico (è l'unico sottogruppo
+			di ordine $2$ ed è anche il centro $Z(Q_8)$ di $Q_8$),
+		\item $\{1\}$, di ordine $1$, banalmente normale.
+	\end{itemize}
+	
+	Pertanto $Q_8$ è un esempio di gruppo non abeliano i cui sottogruppi sono tutti normali
+	(e in particolare anche ciclici).
+	Inoltre $Q_8$ non può essere decomposto non banalmente in un prodotto semidiretto
+	tra i suoi sottogruppi: andrebbero infatti scelti due sottogruppi di ordine $4$, che,
+	essendo normali, indurrebbero obbligatoriamente un prodotto diretto tra gruppi ciclici;
+	poiché questo prodotto è abeliano, $Q_8$ non può essergli isomorfo.
+\end{document}