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feat(algebrario): aggiunge la base dell'Algebrario
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d3667d5e27
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35ff43fc0f
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\section*{Premessa}
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TODO
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@ -1,121 +0,0 @@
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\section{Gruppi}
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\subsection{Definizione e motivazione}
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Innanzitutto, prima di dare una definizione formale, un
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\vocab{gruppo} è una struttura algebrica, ossia un insieme
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di oggetti di varia natura che rispettano alcune determinate
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regole.
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Il motivo (con ogni probabilità l'unico) per cui la teoria dei
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gruppi risulta interessante è la facilità con cui un'astrazione
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come la struttura di gruppo permette di desumere teoremi universali
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per oggetti matematici apparentemente scollegati.
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Infatti, dimostrato un teorema in modo astratto per un gruppo
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generico, esso è valido per ogni gruppo. Per quanto questo
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fatto risulti di una banalità assoluta, esso è di fondamentale
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aiuto nello studio della matematica. Si pensi ad esempio all'
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aritmetica modulare, o alle funzioni bigettive, o ancora
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alle trasformazioni del piano: tutte queste nozioni condividono
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teoremi e metodi che si fondano su una stessa logica. Come vedremo,
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esse condividono la natura di gruppo.
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\begin{definition}
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Dato un insieme non vuoto $G$, $(G, \cdot)$ si dice \textbf{gruppo} se data
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un'operazione ben definita $\cdot : G \times G \to G$ essa è t.c:
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\begin{itemize}
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\item (\vocab{associatività}) $\forall a, b, c \in G, \, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
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\item (\vocab{esistenza dell'elem. neutro}) $\exists e \in G \mid a \cdot e = a = e \, \cdot a \,\, \forall a \in G$
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\item (\vocab{esistenza dell'elem. inverso}) $\forall a \in G, \, \exists a^{-1} \in G \mid a \cdot a^{-1} = e$
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Nella definizione di gruppo si è chiaramente specificato che l'operazione dev'essere
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ben definita e, soprattutto, che l'insieme $G$ dev'essere chiuso rispetto ad esso.
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Pertanto, non è sufficiente aver verificato le tre proprietà sopraelencate senza
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aver prima verificato che l'operazione sia effettivamente un'operazione di
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gruppo.
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\end{remark}
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\begin{example}[Gruppo ciclico elementare]
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L'insieme $\ZZ/n\ZZ$ (che talvolta indicheremo semplicemente come $\ZZ_n$) degli interi modulo $n$ è un gruppo con l'operazione di
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somma $+$. Infatti:
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\begin{itemize}
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\item $\forall \left[a\right]_n, \left[b\right]_n \in \ZZ/n\ZZ, \, \left[a\right]_n + \left[b\right]_n = \left[a+b\right]_n \in \ZZ/n\ZZ$ (\textit{chiusura rispetto all'operazione})
|
||||
\item $\forall \left[a\right]_n, \left[b\right]_n, \left[c\right]_n \in \ZZ/n\ZZ, \, \left(\left[a\right]_n + \left[b\right]_n\right) + \left[c\right]_n = \left[a+b\right]_n +
|
||||
\left[c\right]_n = \left[a+b+c\right]_n = \left[a\right]_n + \left[b+c\right]_n = \left[a\right]_n + \left(\left[b\right]_n + \left[c\right]_n\right)$ (\textit{associatività})
|
||||
\item $\forall \left[a\right]_n \in \ZZ/n\ZZ, \, \left[a\right]_n + 0 = \left[a\right]_n$ (\textit{esistenza dell'elem. neutro})
|
||||
\item $\forall \left[a\right]_n \in \ZZ/n\ZZ, \, \exists \left[-a\right]_n \in \ZZ/n\ZZ \mid \left[a\right]_n + \left[-a\right]_n = 0$ (\textit{esistenza dell'elem. inverso})
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\end{itemize}
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\end{example}
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\begin{example}[Gruppo simmetrico]
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L'insieme $S_n$ delle funzioni bigettive da $X_n = \{1, 2, \ldots, n\}$ in sé stesso è un
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gruppo rispetto all'operazione di composizione, detto \vocab{gruppo simmetrico}. Infatti:
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\begin{itemize}
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\item $\forall f, g \in S_n, \, f \circ g \in S_n$ (\textit{chiusura rispetto all'operazione})
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||||
\item $\forall f, g, h \in S_n, \, (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$ (\textit{associatività})
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||||
\item $\exists e = \Id \in S_n \mid f \circ e = f = e \circ f \forall f \in S_n$ (\textit{esistenza dell'elem. neutro})
|
||||
\item $\forall f \in S_n, \, \exists f^{-1} \in S_n \mid f \circ f^{-1} = e$ (\textit{esistenza dell'elem. inverso})
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\end{itemize}
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\end{example}
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Le proprietà date dalla definizione di un gruppo ci permettono immediatamente di desumere
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altre proprietà fondamentali, e che sulle quali faremo affidamento d'ora in poi.
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\begin{theorem}
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\label{th:gruppo:inverso_unico}
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L'inverso $a^{-1}$ di un elemento $a$ di un gruppo $G$ è unico.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Supponiamo che $b$ e $c$ siano due elementi inversi distinti di $a$. Allora
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$b=b\cdot e=b\cdot \underbrace{(a \cdot c)}_{=e}=\underbrace{(b \cdot a)}_{=e} \cdot c=c$, \Lightning. Pertanto l'inverso è unico.
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\end{proof}
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\begin{theorem}
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L'inverso dell'inverso $\left(a^{-1}\right)^{-1}$ è pari a $a$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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||||
Dal momento che l'inverso è unico (per il \vocab{Teorema~\ref{th:gruppo:inverso_unico}}),
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$\left(a^{-1}\right)^{-1} a^{-1} = e \implies \left(a^{-1}\right)^{-1} = a$.
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\end{proof}
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\begin{theorem}
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L'inverso di $ab$ è $b^{-1}a^{-1}$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Si verifica facilmente che $ab b^{-1}a^{-1}= a e a^{-1} = a a^{-1} = e$. Poiché
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l'inverso è unico (per il \vocab{Teorema~\ref{th:gruppo:inverso_unico}}), allora
|
||||
$\left(ab\right)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$.
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\end{proof}
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\begin{remark}
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In realtà, sebbene a prima vista potrebbe sembrare inusuale l'inversione dei due
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fattori nell'ultima identità, essa è una conseguenza del modo in cui operiamo
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naturalmente. Si prenda per esempio la composizione $f \circ g$, per ottenere
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l'identità è necessario prima decomporre $f$, l'ultima funzione aggiunta, ed infine
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$g$, ossia seguendo l'ordine da sinistra a destra.
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Nel corso di Geometria vi sarà spiegato come anche la matrici si comportano in
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questo modo (non è un caso, dal momento che anch'esse, sotto talune condizioni,
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formano un gruppo, il cosiddetto \vocab{gruppo lineare} $\GL_n(\KK)$).
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\end{remark}
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\begin{theorem}
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Un'equazione della forma $ax=bx$ è vera se e solo se $a=b$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Infatti, moltiplicando per l'inverso di $x$, $ax=bx \iff axx^{-1}=bxx^{-1} \iff a=b$.
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\end{proof}
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@ -0,0 +1,318 @@
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\section{Introduzione alla teoria degli anelli}
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\subsection{Definizione e prime proprietà}
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\begin{definition}
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Si definisce \textbf{anello}\footnote{In realtà, si parla in questo caso di anello \textit{con unità}, in cui vale l'assioma di esistenza di un'identità
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moltiplicativa. In queste dispense si identificherà con "anello" solamente un anello con unità.} una struttura algebrica
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costruita su un insieme $A$ e due operazioni binarie $+$
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e $\cdot$\footnote{D'ora in avanti il punto verrà omesso.} avente le seguenti proprietà:
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\begin{itemize}
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\item $\left(A,\, +\right)$ è un \textit{gruppo abeliano}, alla cui
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identità, detta \textit{identità additiva}, ci si riferisce con il simbolo $0$,
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\item $\forall a, b, c \in A$, $(ab)c = a(bc)$,
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\item $\forall a, b, c \in A$, $(a+b)c=ac+bc$,
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||||
\item $\forall a, b, c \in A$, $a(b+c)=ab+ac$,
|
||||
\item $\exists 1 \in A \mid \forall a \in A$, $1a=a=a1$, e tale $1$ viene
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detto \textit{identità moltiplicativa}.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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Come accade per i gruppi, gli anelli soddisfano alcune proprietà algebriche
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particolari, tra le quali si citano le più importanti:
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\begin{proposition}
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$\forall a \in A$, $0a=0=a0$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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$0a=(0+0)a=0a+0a \implies 0a=0$. Analogamente $a0=a(0+0)=a0+a0 \implies a0=0$.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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$\forall a \in A$, $-(-a)=a$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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$-(-a)-a=0 \,\land\, a-a=0 \implies -(-a)=a$, per la proprietà di unicità
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dell'inverso in un gruppo\footnote{In questo caso, il gruppo additivo dell'anello.}.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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\label{prop:inverso_inverso}
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$a(-b)=(-a)b=-(ab)$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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$a(-b)+ab=a(b-b)=a0=0 \implies a(-b)=-(ab)$, per la proprietà di unicità dell'inverso in un gruppo. Analogamente $(-a)b+ab=(a-a)b=0b=0 \implies
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(-a)b=-(ab)$.
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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$(-1)a=a(-1)=-a$.
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\end{corollary}
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\begin{proposition}
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$(-a)(-b)=ab$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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$(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab$, per la \textit{Proposizione \ref{prop:inverso_inverso}}.
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\end{proof}
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Si enuncia invece adesso la nozione di \textbf{sottoanello}, in tutto e per
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tutto analoga a quella di \textit{sottogruppo}.
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\begin{definition}
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Si definisce sottoanello rispetto all'anello $A$ un anello $B$ avente le
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seguenti proprietà:
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\begin{itemize}
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\item $B \subseteq A$,
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\item $0, 1 \in B$,
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\item $\forall a, b \in B,$ $a + b \in B \,\land\, ab \in B$.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{definition}
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||||
Un sottoanello $B$ rispetto ad $A$ si dice \textbf{proprio} se
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||||
$B \neq A$.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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||||
Un anello si dice \textbf{commutativo} se $\forall a$, $b \in A$, $ab=ba$.
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\end{definition}
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\begin{example}
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Un facile esempio di anello commutativo è $\ZZ/n\ZZ$.
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\end{example}
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\begin{definition}
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||||
Un elemento $a$ di un anello $A$ si dice \textbf{invertibile} se
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||||
$\exists b \in A \mid ab = ba = 1$.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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||||
Dato un anello $A$, si definisce $A^*$ come l'insieme degli elementi
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||||
invertibili di $A$, che a sua volta forma un \textit{gruppo moltiplicativo}.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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||||
Un anello $A$ si dice \textbf{corpo} se $\forall a \neq 0 \in A$, $\exists b \in A \mid ab=ba=1$,
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||||
ossia se $A \setminus \{0\} = A^*$.
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||||
\end{definition}
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\begin{example}
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L'esempio più rilevante di corpo è quello dei \textit{quaternioni} $\HH$, definiti
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nel seguente modo:
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\[\HH = \{a+b\ii+c\jj+d\kk \mid a,\, b,\, c,\, d \in \RR\},\]
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dove:
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\[\ii^2 = \jj^2 = \kk^2 = -1, \quad \ii\jj = \kk,\, \jj\kk = \ii,\, \kk\ii = \jj. \]
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||||
Infatti ogni elemento non nullo di $\HH$ possiede un inverso moltiplicativo:
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\[\left(a+b\ii+c\jj+d\kk\right)^{-1} = \frac{a-b\ii-c\jj-d\kk}{a^2+b^2+c^2+d^2},\]
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||||
mentre la moltiplicazione non è commutativa.
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\end{example}
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\begin{definition}
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Un anello commutativo che è anche un corpo si dice \textbf{campo}.
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\end{definition}
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\begin{example}
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Alcuni campi, tra i più importanti, sono $\QQ$, $\RR$, $\CC$ e $\ZZ/p\ZZ$ con
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$p$ primo.
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\end{example}
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\begin{definition}
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||||
Un elemento $a \neq 0$ appartenente a un anello $A$ si dice \textbf{divisore di zero} se
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$\exists b \neq 0 \in A \mid ab = 0$ o $ba = 0$.
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\end{definition}
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\begin{example}
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$2$ è un divisore di zero in $\ZZ/6\ZZ$, infatti $2 \cdot 3 \equiv 0 \pmod 6.$
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\end{example}
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\begin{definition}
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||||
Un anello commutativo in cui non sono presenti divisori di zero si dice \textbf{dominio d'integrità},
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||||
o più semplicemente \textit{dominio}.
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\end{definition}
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\begin{proposition}[\textit{Legge di annullamento del prodotto}]
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Sia $D$ un dominio. Allora $ab=0 \implies a=0 \,\lor\, b=0$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Siano $a$, $b \in D \mid ab = 0$. Se $a=0$, la condizione è soddisfatta.
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Se invece $a \neq 0$, $b$ deve essere per forza nullo, altrimenti si
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||||
sarebbe trovato un divisore di $0$, e $D$ non sarebbe un dominio, \Lightning.
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\end{proof}
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\begin{example}
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L'anello dei polinomi su un campo, $\KK[x]$, è un dominio.
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\end{example}
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\subsection{Omomorfismi di anelli e ideali}
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\begin{definition}
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Un \textbf{omomorfismo di anelli}\footnote{La specificazione "di anelli" è d'ora in avanti omessa.} è una mappa $\phi : A \to B$ -- con
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||||
$A$ e $B$ anelli -- soddisfacente alcune particolari proprietà:
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\begin{itemize}
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\item $\phi$ è un \textit{omomorfismo di gruppi} rispetto all'addizione
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||||
di $A$ e di $B$, ossia $\forall a, b \in A, \, \phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)$,
|
||||
\item $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$,
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||||
\item $\phi(1_A)=1_B$.
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||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition}
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||||
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||||
\begin{definition}
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||||
Se $\phi : A \to B$ è un omomorfismo iniettivo, si dice che
|
||||
$\phi$ è un \textbf{monomorfismo}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Se $\phi : A \to B$ è un omomorfismo suriettivo, si dice che
|
||||
$\phi$ è un \textbf{epimorfismo}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Se $\phi : A \to B$ è un omomorfismo bigettivo\footnote{Ovvero se è sia un monomorfismo che un epimorfismo.}, si dice che
|
||||
$\phi$ è un \textbf{isomorfismo}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
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||||
Prima di enunciare l'analogo del \textit{Primo teorema d'isomorfismo} dei gruppi
|
||||
in relazione agli anelli, si rifletta su un esempio di omomorfismo:
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||||
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||||
\begin{example}
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||||
Sia $\phi : \ZZ \to \ZZ, k \mapsto 2k$ un omomorfismo. Esso è un monomorfismo,
|
||||
infatti $\phi(x)=\phi(y) \implies 2x=2y \implies x=y$. Pertanto $\Ker \phi = \{0\}$. Sebbene $\Ker \phi < \ZZ$, esso \textbf{non è un sottoanello}\footnote{Infatti $1 \notin \Ker \phi$.}.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
Dunque, con lo scopo di definire meglio le proprietà di un \textit{kernel},
|
||||
così come si introdotto il concetto di \textit{sottogruppo normale} per i gruppi, si introduce ora il concetto di \textbf{ideale}.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
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||||
Si definisce ideale rispetto all'anello $A$ un insieme $I$ avente le seguenti proprietà:
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||||
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\begin{itemize}
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||||
\item $I \leq A$,
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||||
\item $\forall a \in A$, $\forall b \in I$, $ab \in I$ e $ba \in I$.
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{definition}
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||||
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||||
\begin{example}
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||||
\label{exmpl:polinomi}
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||||
Sia $I$ l'insieme dei polinomi di $\RR[x]$ tali che $2$ ne sia radice. Esso
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||||
altro non è che un ideale, infatti $0 \in I \,\land\, \forall f(x), g(x) \in I, (f+g)(2)=0$ (i.e. $I<\RR[x]$) e $\forall f(x) \in A, \, g(x) \in I, \, (fg)(2) = 0$.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
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\begin{proposition}
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Sia $I$ un ideale di $A$. $1 \in I \implies I = A$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Per le proprietà dell'ideale $I$, $\forall a \in A$, $a1 = a \in I \implies
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||||
A \subseteq I$. Dal momento che anche $I \subseteq A$, si deduce che $I = A$.
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||||
\end{proof}
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||||
\begin{proposition}
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||||
Sia $\phi : A \to B$ un omomorfismo. $\Ker \phi$ è allora un ideale di $A$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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||||
Poiché $\phi$ è anche un omomorfismo tra gruppi, si deduce che $\Ker \phi \leq A$.
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||||
Inoltre $\forall a \in A$, $\forall b \in \Ker \phi$, $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)=\phi(a)0=0 \implies ab \in I$.
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||||
\end{proof}
|
||||
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||||
\begin{proposition}
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||||
Sia $\phi : A \to B$ un omomorfismo. $\Imm \phi$ è allora un sottoanello di $B$.
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\end{proposition}
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||||
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||||
\begin{proof}
|
||||
Chiaramente $0, 1 \in \Imm \phi$, dal momento che $\phi(0) = 0,\, \phi(1)=1$. Inoltre, dalla teoria dei gruppi, si ricorda anche che $\Imm \phi \leq B$.
|
||||
Infine, $\forall \phi(a),\, \phi(b) \in \Imm \phi, \, \phi(a)\phi(b) = \phi(ab) \in \Imm \phi$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Si definisce con la notazione $(a)$ l'ideale \textit{bilatero} generato da $a$ in $A$, ossia:
|
||||
|
||||
\[(a)=\{ba \mid b \in A\} \cup \{ab \mid b \in A\}.\]
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Si dice che un ideale $I$ è \textit{principale} o \textbf{monogenerato}, quando $\exists a \in I \mid I = (a)$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
In relazione all'\textit{Esempio \ref{exmpl:polinomi}}, l'ideale $I$ è
|
||||
monogenerato\footnote{Non è un caso: $\RR[x]$, in quanto anello euclideo, si dimostra essere un PID (\textit{principal ideal domain}), ossia un dominio che ammette \textit{solo} ideali monogenerati.}. In particolare, $I=(x-2)$.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\subsection{Quoziente per un ideale e primo teorema d'isomorfismo}
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Si definisce invece adesso il concetto di \textbf{anello quoziente}, in modo
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completamente analogo a quello di \textit{gruppo quoziente}:
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\begin{definition}
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Sia $A$ un anello e $I$ un suo ideale, si definisce $A/I$ l'anello ottenuto
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quozientando $A$ per $I$. Gli elementi di tale anello sono le classi di equivalenza di $\sim$ (i.e. gli elementi di $A/{\sim}$), dove $\forall a$, $b \in A$, $a\sim b \iff a-b \in I$. Tali classi di equivalenza vengono indicate come
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$a + I$, dove $a$ è un rappresentante della classe. L'anello è così dotato di due operazioni:
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\begin{itemize}
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\item $\forall a$, $b \in A$, $(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$,
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\item $\forall a$, $b \in A$, $(a+I)(b+I)=ab+I$.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{remark*}
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L'addizione di $A/I$ è ben definita, dal momento che $I \nsg A$, in quanto sottogruppo di un gruppo abeliano.
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\end{remark*}
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\begin{remark*}
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Anche la moltiplicazione di $A/I$ è ben definita. Siano $a\sim a'$, $b \sim b'$ quattro elementi di $A$ tali che $a = a' + i_1$ e $b = b' + i_2$ con $i_1$, $i_2 \in I$. Allora $ab=(a'+i_1)(b'+i_2)=a'b' + \underbrace{i_1b' + i_2a' + i_1i_2}_{\in I} \implies ab \sim a'b'$.
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\end{remark*}
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\begin{proposition}
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\label{prop:quoziente_pieno}
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$A/\{0\} \cong A$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia $\pi : A \to A/\{0\}$, $a \mapsto a + \{0\}$ l'omomorfismo di proiezione
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al quoziente. Innanzitutto, $a \sim a' \iff a-a'=0 \iff a=a'$, per cui $\pi$ è
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un monomorfismo (altrimenti si troverebbero due $a$, $b \mid a \neq b \,\land\, a \sim b$). Infine, $\pi$ è un epimorfismo, dal momento che $\forall a + \{0\} \in A/\{0\}, \, \pi(a) = a + \{0\}$. Pertanto $\pi$ è un isomorfismo.
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\end{proof}
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Adesso è possibile enunciare il seguente fondamentale teorema:
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\begin{theorem}[\textit{Primo teorema d'isomorfismo}]
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\label{th:primo_isomorfismo}
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Sia $\phi : A \to B$ un omomorfismo. $A/\Ker \phi \cong \Imm \phi$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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La dimostrazione procede in modo analogo a quanto visto per il teorema correlato
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in teoria dei gruppi. \\
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Sia $\zeta : A/\Ker \phi \to \Imm \phi$, $a + \Ker \phi \mapsto \phi(a)$.
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Si verifica che $\zeta$ è un omomorfismo: essendolo già per i
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gruppi, è sufficiente verificare che $\zeta((a+I)(b+I))=\zeta(ab+I)=\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)=\zeta(a+I)\zeta(b+I)$. \\
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||||
$\zeta$ è chiaramente anche un epimorfismo, dal momento che $\forall \phi(a) \in \Imm \phi$, $\zeta(a + \Ker \phi) = \phi(a)$. Inoltre, dal momento che $\zeta(a + \Ker \phi) = 0 \iff \phi(a) = 0 \iff a + \Ker \phi = \Ker \phi$, ossia l'identità di $A/\Ker \phi$, si deduce anche che $\zeta$ è un monomorfismo. Pertanto $\zeta$ è un isomorfismo.
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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Sia $\phi : A \to B$ un monomorfismo. $A \cong \Imm \phi$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Poiché $\phi$ è un monomorfismo, $\Ker \phi = \{0\}$. Allora, per il \textit{Primo teorema di isomorfismo}, $A/\{0\} \cong \Imm \phi$. Dalla
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\textit{Proposizione \ref{prop:quoziente_pieno}}, si desume che $A \cong A/\{0\}$. Allora, per la proprietà transitiva degli isomorfismi, $A \cong \Imm \phi$.
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\end{proof}
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@ -0,0 +1,203 @@
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\section{Teoremi rilevanti sui campi finiti}
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\subsection{Campo di spezzamento di un irriducibile in $\FFpp$}
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\begin{theorem}
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Sia $f(x)$ un polinomio irriducibile in $\FFpp$ e sia
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$n$ il suo grado. Allora $\FFpn$ è il suo campo
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di spezzamento.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Dacché $f(x)$ è irriducibile, $\FFpp/((f(x))$ è un
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campo con $p^n$ elementi, ed è quindi isomorfo
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a $\FFpn$. \\
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Sia $\alpha = x + (f(x))$ una radice di $f(x)$
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in $\FFpn$. Dal momento che $f(x)$ è irriducibile in
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$\FFpp$, esso è il polinomio minimo di $\alpha$. Tuttavia,
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||||
poiché $\alpha \in \FFpn$, $\alpha$ è anche radice
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di $x^{p^n}-x$. Pertanto si deduce che $f(x)$ divide
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$x^{p^n}-x$. \\
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Dunque, poiché $x^{p^n}-x$ in $\FFpn$ è prodotto di
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fattori lineari, tutte le radici di $f(x)$ sono già
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in $\FFpn$. \\
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||||
Inoltre, $\FFpn$ è il più piccolo sottocampo contenente
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$\alpha$, dacché $\FFpn \cong \FFpp/(f(x)) \cong \FFpp(\alpha)$.
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Quindi si deduce che $\FFpn$ è un campo di spezzamento per
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$f(x)$, ossia la tesi.
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\end{proof}
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\begin{lemma}
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\label{lem:frobexp}
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Sia $f(x)$ un irriducibile di grado $n$ su $\FFpp[x]$ e sia $\alpha$
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una sua radice in $\FFpn$. Allora $f(\Frobexp^k(\alpha))=0$, $\forall k \geq 0$
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||||
\footnote{$\Frob$ è l'omomorfismo di Frobenius, definito come $\Frob : \FFpp \to \FFpp$,
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||||
$a \mapsto a^p$.}.
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\end{lemma}
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\begin{proof} Sia $f(x) = a_n x^n + \ldots + a_0$ a coefficienti in $\FFpp$.
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Si dimostra la tesi applicando il principio di induzione su $k$. \\
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\ (\textit{passo base})\; $f(\Frobexp^0(\alpha))=f(\alpha)=0$. \\
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||||
\ (\textit{passo induttivo})\; Per l'ipotesi induttiva, $f(\Frobexp^{k-1}(\alpha))=0$.
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Allora, si verifica algebricamente che:
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\begin{multline*}
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f(\Frobexp^k(\alpha)) = a_n (\Frobexp^k(\alpha))^n + \ldots + a_0 =
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\Frob(a_n) \Frob((\Frobexp^{k-1}(\alpha))^n) + \ldots + \Frob(a_0) = \\
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||||
\Frob(f(\Frobexp^{k-1}(\alpha))) = \Frob(0) = 0,
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||||
\end{multline*}
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\vskip 0.1in
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||||
dove si è usato che $\Frob(a_i) = a_i$, $\forall 0 \leq i \leq n$, dacché
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ogni elemento di $\FFpp$ è radice di $x^p-x$.
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||||
\end{proof}
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\begin{theorem}
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Sia $f(x)$ un irriducibile di grado $n$ su $\FFpp[x]$ e sia $\alpha$ una
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sua radice in $\FFpn$. Allora vale la seguente fattorizzazione
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in $\FFpn$:
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\[ f(x) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(x - \alpha^{p^i}\right) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(x - \Frobexp^i(\alpha)\right), \]
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\vskip 0.1in
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||||
dove ogni fattore non è associato.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Si verifica innanzitutto che vale chiaramente che $\alpha^{p^i} = \Frobexp^i(\alpha)$.
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||||
Dal momento che $\alpha$ è radice, allora ogni $\alpha^{p^i}$ lo è, per il
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||||
\lemref{lem:frobexp}. \\
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||||
Affinché tutti i fattori della moltiplicazione non siano associati è sufficiente
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dimostrare che $n$ è il più piccolo esponente $j$ per cui $\Frobexp^j(\alpha)=\alpha$.
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||||
Infatti, siano $\Frobexp^i(\alpha)=\Frobexp^j(\alpha)$ con $0\leq j < i < n$, allora,
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||||
applicando più volte $\Frob$, si ricava che:
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\[ \Frobexp^n(\alpha)=\Frobexp^{j+n-i}(\alpha) \implies \Frobexp^{j+n-i}(\alpha)=
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||||
\alpha, \]
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\vskip 0.1in
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||||
che è assurdo, dacché $j < i < n \implies j+n-i < n$, \Lightning{}. \\
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||||
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||||
Innanzitutto, si verifica che $\Frobexp^{n}(\alpha)=\alpha^{p^n}=\alpha$, dacché
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||||
$\alpha \in \FFpn$. Infine, sia $t$ il più piccolo esponente $j$ per cui
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||||
$\Frobexp^j(\alpha)=\alpha$. Se $j$ fosse minore di $n$, $\alpha$ sarebbe
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||||
radice di $x^{p^t}-x$. Tuttavia questo è assurdo, dal momento che così
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||||
$\alpha$ apparterrebbe a $\FFp{t} \neq \FFpn$, quando invece il più
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||||
piccolo campo che lo contiene è $\FFpp(\alpha) \cong \FFpp[x]/(f(x)) \cong \FFpn$,
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||||
\Lightning{}.
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\end{proof}
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\subsection{L'inclusione $\FFpm \subseteq \FFpn$ e il polinomio $x^{p^n}-x$}
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\begin{lemma}
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\label{lem:alpha_radice}
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||||
Sia $\alpha$ una radice di $x^{p^d}-x$ con $d \mid n$. Allora
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||||
$\alpha$ è anche una radice di $x^{p^n}-x$.
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||||
\end{lemma}
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\begin{proof} Sia $s \in \NN$ tale che $n=ds$.
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||||
Si verifica la tesi applicando il principio di induzione su $k \in \NN$. \\
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||||
\ (\textit{passo base})\; Per ipotesi, $\alpha^{p^d}=\alpha$. \\
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||||
\ (\textit{passo induttivo})\; Per ipotesi induttiva, $\alpha^{p^{(k-1)d}}=\alpha$. Allora si ricava che:
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\[ \alpha^{p^{(k-1)d}}=\alpha \implies \alpha^{p^{kd}}=\alpha^{p^d}=\alpha. \]
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\vskip 0.1in
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||||
In particolare, $\alpha^{p^n} = \alpha^{p^{ds}} = \alpha$, da cui la tesi.
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\end{proof}
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\begin{theorem}
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\label{th:inclusione}
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||||
$\FFpm \subseteq \FFpn$ se e solo se $m \mid n$.
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||||
\end{theorem}
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\begin{proof}
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||||
Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
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||||
\ ($\implies$)\; Dal momento che $\FFpm \subseteq \FFpn$,
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||||
si ricava la seguente catena di estensioni:
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||||
\[ \FFpp \subseteq \FFpm \subseteq \FFpn, \]
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\vskip 0.1in
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||||
dalla quale, applicando il \textit{Teorema delle Torri Algebriche},
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||||
si desume la seguente equazione:
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||||
\[ \underbrace{[\FFpn : \FFpp]}_n = [\FFpn : \FFpm] \underbrace{[\FFpm : \FFpp]}_d, \]
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||||
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||||
e quindi che $m$ divide $n$. \\
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||||
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||||
\ ($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Sia $m \mid n$. Si consideri $\alpha \in \FFpm$. $\alpha$
|
||||
è sicuramente radice di $x^{p^m}-x$, e poiché $m$ divide $n$, è
|
||||
anche radice di $x^{p^n}-x$, per il \lemref{lem:alpha_radice}. Allora
|
||||
$\alpha$ appartiene al campo di spezzamento di $x^{p^n}-x$ su $\FFpp$,
|
||||
ossia $\FFpn$. Pertanto $\FFpm \subseteq \FFpn$. \\
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||||
\end{proof}
|
||||
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||||
\begin{corollary}
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||||
$\forall 1 \leq i \leq n$. Allora, detta $m_i$ il grado di $g_i(x)$, il
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||||
campo di spezzamento di $f(x)$ è $\FFp{k}$, dove $k = \mcm(m_1, m_2, \ldots, m_n)$.
|
||||
\end{corollary}
|
||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Il campo di spezzamento di $f(x)$ è il più piccolo campo rispetto all'inclusione
|
||||
che ne contenga tutte le radici, ossia il più piccolo campo che contenga
|
||||
$\FFp{m_1}$, $\FFp{m_2}$, $\ldots,\, \FFp{m_n}$. Si dimostra che tale campo
|
||||
è proprio $\FFp{k}$. \\
|
||||
|
||||
Innanzitutto $\FFp{k}$, per il \thref{th:inclusione}, contiene tutti i campi di spezzamento dei fattori irriducibili di $f(x)$, dacché $m_i$ divide $k$ $\forall 1 \leq i \leq n$. \\
|
||||
|
||||
Sia supponga esista adesso un altro campo $\FFp{t} \subseteq \FFp{k}$ con tutte le
|
||||
radici. Sicuramente $t \mid k$, per il \thref{th:inclusione}. Inoltre, dal momento
|
||||
che dovrebbe includere ogni campo $\FFp{m_i}$, sempre per il \thref{th:inclusione},
|
||||
$m_i$ divide $t$ $\forall 1 \leq i \leq n$. \\
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||||
|
||||
Allora $t$ è un multiplo comune di tutti i $m_i$, e quindi $k$, in quanto minimo
|
||||
comune multiplo, lo divide. Si conclude allora che $t = k$, e quindi che
|
||||
$\FFp{k}$ è un campo di spezzamento di $f(x)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
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||||
\begin{theorem}
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||||
$x^{p^n}-x$ è il prodotto di tutti i polinomi irriducibili in $\FFpp$
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di grado divisore di $n$.
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||||
\end{theorem}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
La proposizione è equivalente a affermare che ogni polinomio irriducibile in $\FFpp$
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ha grado divisore di $n$ se e solo se divide $x^{p^n}-x$. Si dimostrano le
|
||||
due implicazioni separatamente. \\
|
||||
|
||||
\ ($\implies$)\; Sia $f(x)$ un polinomio irriducibile in $\FFpp$ di grado $d$, con
|
||||
$d \mid n$. Si consideri allora il campo $\FFpd \cong \FFpp/(f(x))$, e
|
||||
sia $\alpha$ una radice di $f(x)$ in tale campo. \\
|
||||
|
||||
Per il \lemref{lem:alpha_radice} si verifica che $\alpha$ è anche una radice
|
||||
di $x^{p^n}-x$. Poiché $f(x)$ è irriducibile, esso è il polinomio minimo
|
||||
di $\alpha$, e quindi si deduce che $f(x)$ divide $x^{p^n}-x$. \\
|
||||
|
||||
\ ($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Sia $f(x)$ un polinomio irriducibile in $\FFpp$ di grado
|
||||
$d$ che divide $x^{p^n}-x$. Si consideri allora il campo $\FFpd \cong \FFpp/(f(x))$,
|
||||
e sia $\alpha$ una radice di $f(x)$ in tale campo. Allora $\FFpd \cong
|
||||
\FFpp(\alpha)$, dacché $f(x)$, in quanto irriducibile, è il polinomio minimo
|
||||
di $\alpha$. \\
|
||||
|
||||
Dacché $f(x)$ divide $x^{p^n}-x$, $\alpha$ è anche una radice
|
||||
di $x^{p^n}-x$, e quindi che $\alpha \in \FFpn$. Dal momento che chiaramente
|
||||
anche $\FFpp \subseteq \FFpn$, si deduce che $\FFpd \cong \FFpp(\alpha) \subseteq
|
||||
\FFpn$. Allora, per il \thref{th:inclusione}, $d$ divide $n$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
@ -0,0 +1,492 @@
|
||||
\section{Anelli euclidei, PID e UFD}
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||||
\subsection{Prime proprietà}
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||||
Nel corso della storia della matematica, numerosi studiosi hanno tentato
|
||||
di generalizzare -- o meglio, accomunare a più strutture algebriche -- il
|
||||
concetto di divisione euclidea che era stato formulato per l'anello
|
||||
dei numeri interi $\ZZ$ e, successivamente, per l'anello dei polinomi
|
||||
$\KK[x]$. Lo sforzo di questi studiosi ad oggi è converso in un'unica
|
||||
definizione, quella di anello euclideo, di seguito presentata.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Un \textbf{anello euclideo} è un dominio d'integrità $D$\footnote{Difatti, nella
|
||||
letteratura inglese, si parla di \textit{Euclidean domain} piuttosto che di
|
||||
anello.} sul quale è
|
||||
definita una funzione $g$ detta \textbf{funzione grado} o \textit{norma}
|
||||
soddisfacente le seguenti proprietà:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $g : D \setminus \{0\} \to \NN$,
|
||||
\item $\forall a$, $b \in D \setminus \{0\}$, $g(a) \leq g(ab)$,
|
||||
\item $\forall a \in D$, $b \in D \setminus \{0\}$, $\exists q$, $r \in D \mid
|
||||
a=bq+r$ e $r=0 \,\lor\, g(r)<g(q)$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
Di seguito vengono presentate alcune definizioni, correlate
|
||||
alle proprietà immediate di un anello euclideo.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Dato un anello euclideo $E$, siano $a \in E$ e $b \in E \setminus \{0\}$. Si dice che
|
||||
$b \mid a$, ossia che $b$ \textit{divide} $a$, se $\exists c \in E \mid
|
||||
a=bc$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Si osserva che, per ogni anello euclideo $E$, qualsiasi $a \in E$ divide
|
||||
$0$. Infatti, $0 = a0$.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
Dato un anello euclideo $E$, $a \mid b \,\land\, b \nmid a \implies g(a) < g(b)$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Poiché $b \nmid a$, esistono $q$, $r$ tali che $a = bq + r$, con
|
||||
$g(r) < g(b)$. Dal momento però che $a \mid b$, $\exists c \mid
|
||||
b = ac$. Pertanto $a = ac + r \implies r = a(1-c)$. Dacché $1-c \neq 0$ --
|
||||
altrimenti $r=0$, \Lightning{} --, così come $a \neq 0$, si deduce
|
||||
dalle proprietà della funzione grado che $g(a) \leq g(r)$.
|
||||
Combinando le due disuguaglianze, si ottiene la
|
||||
tesi: $g(a) < g(b)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\label{prop:g1_minimo}
|
||||
$g(1)$ è il minimo di $\Imm g$, ossia il minimo grado assumibile
|
||||
da un elemento di un anello euclideo $E$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sia $a \in E \setminus \{0\}$, allora, per le proprietà della funzione
|
||||
grado, $g(1) \leq g(1a) = g(a)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
Sia $a \in E \setminus \{0\}$, allora $a \in E^* \iff g(a) = g(1)$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Dividiamo la dimostrazione in due parti, ognuna corrispondente a una implicazione. \\
|
||||
|
||||
($\implies$) \;Sia $a \in E^*$, allora $\exists b \in E^*$ tale che $ab=1$. Poiché
|
||||
sia $a$ che $b$ sono diversi da $0$, dalle proprietà della funzione grado si
|
||||
desume che $g(a) \leq g(ab) = g(1)$. Poiché, dalla \textit{Proposizione \ref{prop:g1_minimo}},
|
||||
$g(1)$ è minimo, si conclude che $g(a) = g(1)$. \\
|
||||
|
||||
($\;\Longleftarrow\;$) \;Sia $a \in E \setminus \{0\}$ con $g(a) = g(1)$. Allora
|
||||
esistono $q$, $r$ tali che $1 = aq + r$. Vi sono due possibilità: che $r$ sia $0$, o
|
||||
che $g(r) < g(a)$. Tuttavia, poiché $g(a)=g(1)$, dalla \textit{Proposizione \ref{prop:g1_minimo}} si desume che $g(a)$ è minimo, e quindi che
|
||||
$r$ è nullo. Si conclude quindi che $aq = 1$, e dunque che $a \in E^*$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{Irriducibili e prime definizioni}
|
||||
|
||||
Come accade nell'aritmetica dei numeri interi, anche in un dominio è possibile definire
|
||||
una nozione di \textit{primo}. In un dominio possono essere tuttavia definiti due tipi di "primi",
|
||||
gli elementi \textit{irriducibili} e gli elementi \textit{primi}.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
In un dominio $A$, si dice che $a \in A \setminus A^*$ è \textbf{irriducibile} se
|
||||
$\exists b$, $c \mid a=bc \implies b \in A^*$ o $c \in A^*$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Dalla definizione si escludono gli invertibili di $A$ per permettere
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||||
di definire meglio il concetto di fattorizzazione in seguito. Infatti,
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||||
se li avessimo inclusi, avremmo che ogni dominio sarebbe a fattorizzazione
|
||||
non unica, dal momento che $a=bc$ potrebbe essere scritto anche come
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||||
$a=1bc$.
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||||
\end{remark*}
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||||
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||||
\begin{definition}
|
||||
Si dice che due elementi non nulli $a$, $b$ appartenenti a un anello euclideo
|
||||
$E$ sono \textbf{associati} se $a \mid b$ e $b \mid a$.
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||||
\end{definition}
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||||
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||||
\begin{proposition}
|
||||
\label{prop:associati}
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||||
$a$ e $b$ sono associati $\iff \exists c \in E^* \mid a=bc$ e $a$, $b$ entrambi non nulli.
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||||
\end{proposition}
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||||
|
||||
\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
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||||
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||||
($\implies$) Se $a$ e $b$ sono associati, allora $\exists d$, $e$ tali che $a=bd$ e che $b=ae$. Combinando le due relazioni si ottiene:
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\[ a=aed \implies a(1-ed)=0.\]
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||||
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||||
Poiché $a$ è diverso da zero, si ricava che $ed=1$, ossia
|
||||
che $d$, $e \in E^*$, e quindi la tesi. \\
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||||
|
||||
($\;\Longleftarrow\;$) Se $a$ e $b$ sono entrambi non
|
||||
nulli e $\exists c \in E^* \mid a=bc$, $b$ chiaramente
|
||||
divide $a$. Inoltre, $a=bc \implies b=ac^{-1}$, e quindi
|
||||
anche $a$ divide $b$. Pertanto $a$ e $b$ sono associati.
|
||||
\end{proof}
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||||
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\begin{proposition}
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||||
\label{prop:divisione_associati}
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||||
Siano $a$ e $b$ due associati in $E$. Allora $a \mid c \implies b \mid c$.
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||||
\end{proposition}
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||||
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\begin{proof}
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||||
Poiché $a$ e $b$ sono associati, per la \textit{Proposizione \ref{prop:associati}}, $\exists d \in E^*$ tale che
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$a = db$. Dal momento che $a \mid c$, $\exists \alpha \in E$ tale che
|
||||
$c = \alpha a$, quindi:
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||||
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\[ c = \alpha a = \alpha d b,\]
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||||
|
||||
da cui la tesi.
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{proposition}
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||||
\label{prop:associati_generatori}
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||||
Siano $a$ e $b$ due associati in $E$. Allora
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||||
$(a)=(b)$.
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||||
\end{proposition}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Poiché $a$ e $b$ sono associati, $\exists d \in E^*$ tale che $a = db$. Si dimostra l'uguaglianza dei due insiemi. \\
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||||
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||||
Sia $\alpha = ak \in (a)$, allora $\alpha = dbk$ appartiene anche a $(b)$, quindi $(a) \subseteq (b)$. Sia
|
||||
invece $\beta = bk \in (b)$, allora $\beta = d^{-1}ak$
|
||||
appartiene anche a $(a)$, da cui $(b) \subseteq (a)$.
|
||||
Dalla doppia inclusione si verifica la tesi, $(a)=(b)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
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||||
In un dominio $A$, si dice che $a \in A \setminus A^*$ è \textbf{primo} se
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||||
$a \mid bc \implies a \mid b \,\lor\, a \mid c$.
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||||
\end{definition}
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||||
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\begin{proposition}
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||||
Se $a \in A$ è primo, allora $a$ è anche irriducibile.
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||||
\end{proposition}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Si dimostra la tesi contronominalmente. Sia $a$ non irriducibile. Se
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||||
$a \in A^*$, allora $a$ non può essere primo. Altrimenti $a=bc$ con
|
||||
$b$, $c \in A \setminus A^*$. \\
|
||||
|
||||
Chiaramente $a \mid bc$, ossia sé stesso. Senza perdità di generalità, se $a \mid b$, dal momento che anche $b \mid a$,
|
||||
si dedurrebbe che $a$ e $b$ sono associati secondo la
|
||||
\textit{Proposizione \ref{prop:associati}}. Tuttavia questo
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||||
implicherebbe che $c \in A^*$, \Lightning{}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
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||||
\subsection{PID e MCD}
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||||
Come accade per $\ZZ$, in ogni anello euclideo è possibile definire il
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||||
concetto di \textit{massimo comun divisore}, sebbene con qualche accortezza
|
||||
in più. Pertanto, ancor prima di definirlo, si enuncia la definizione di
|
||||
PID e si dimostra un teorema fondamentale degli anelli euclidei, che
|
||||
si ripresenterà in seguito come ingrediente fondamentale per la fondazione
|
||||
del concetto di MCD.
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||||
\begin{definition}
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||||
Si dice che un dominio è un \textit{principal ideal domain} (\textbf{PID})\footnote{Ossia un \textit{dominio
|
||||
a soli ideali principali}, quindi monogenerati, proprio come da definizione.} se ogni suo ideale è monogenerato.
|
||||
\end{definition}
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\begin{theorem}
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||||
Sia $E$ un anello euclideo. Allora $E$ è un PID.
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||||
\end{theorem}
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\begin{proof}
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||||
Sia $I$ un ideale di $E$. Se $I = (0)$, allora $I$ è già monogenerato.
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||||
Altrimenti si consideri l'insieme $g(I \setminus \{0\})$. Poiché
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||||
$g(I \setminus \{0\}) \subseteq \NN$,
|
||||
esso ammette un minimo per il principio del buon ordinamento. \\
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||||
|
||||
Sia $m \in I$ un valore che assume tale minimo e sia $a \in I$.
|
||||
Poiché $E$ è euclideo, $\exists q$, $r \mid a = mq + r$ con $r=0$ o
|
||||
$g(r)<g(m)$. Tuttavia, poiché $r = a-mg \in I$ e $g(m)$ è minimo, necessariamente $r=0$ -- altrimenti $r$ sarebbe
|
||||
ancor più minimo di $m$, \Lightning{} --,
|
||||
quindi $m \mid a$, $\forall a \in I$. Quindi $I \subseteq (m)$. \\
|
||||
|
||||
Dal momento che per le proprietà degli ideali $\forall a \in E$, $ma \in I$,
|
||||
si conclude che $(m) \subseteq I$. Quindi $I = (m)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Adesso è possibile definire il concetto di massimo comun divisore, basandoci
|
||||
sul fatto che ogni anello euclideo è un PID.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sia $D$ un dominio e siano $a$, $b \in D$. Si definisce
|
||||
\textit{massimo comun divisore} (\textbf{MCD}) di $a$ e $b$ un
|
||||
generatore dell'ideale $(a,b)$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Questa definizione di MCD è una buona definizione dal momento che sicuramente
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||||
esiste un generatore dell'ideale $(a,b)$, dacché $D$ è un PID.
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||||
\end{remark*}
|
||||
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||||
\begin{remark*}
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||||
Non si parla di un unico massimo comun divisore, dal momento che
|
||||
potrebbero esservi più generatori dell'ideale $(a,b)$. Segue tuttavia che tutti questi generatori sono in realtà
|
||||
associati\footnote{Infatti ogni generatore divide ogni
|
||||
altro elemento di un ideale, e così i vari generatori si
|
||||
dividono tra di loro. Pertanto sono associati.}.
|
||||
Quando si scriverà
|
||||
$\MCD(a,b)$ s'intenderà quindi uno qualsiasi di questi associati.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
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||||
\begin{theorem}[\textit{Identità di Bézout}]
|
||||
\label{th:bezout}
|
||||
Sia $d$ un MCD di $a$ e $b$. Allora
|
||||
$\exists \alpha$, $\beta$ tali che $d = \alpha a + \beta b$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Il teorema segue dalla definizione di MCD come generatore
|
||||
dell'ideale $(a,b)$. Infatti, poiché $d \in (a,b)$, esistono
|
||||
sicuramente, per definizione, $\alpha$ e $\beta$ tali che
|
||||
$d = \alpha a + \beta b$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\label{prop:mcd}
|
||||
Siano $a$, $b \in D$. Allora vale la seguente equivalenza:
|
||||
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||||
\[ d = \MCD(a, b) \iff \begin{cases} d \mid a \,\land\, d \mid b \\ \forall c \text{ t.c.\ } c \mid a \,\land\, c \mid b,\;c \mid d\end{cases}\]
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
|
||||
|
||||
($\implies$) Poiché $d$ è generatore dell'ideale $(a, b)$, la prima proprietà segue banalmente. \\
|
||||
|
||||
Inoltre, per l'\nameref{th:bezout}, $\exists \alpha$, $\beta$ tali che
|
||||
$d = \alpha a + \beta b$. Allora, se $c \mid a$ e $c \mid b$, sicuramente
|
||||
esistono $\gamma$ e $\delta$ tali che $a=\gamma c$ e $b=\delta c$. Pertanto
|
||||
si verifica la seconda proprietà, e quindi la tesi:
|
||||
|
||||
\[ d = \alpha a + \beta b = \alpha \gamma c + \beta \delta c = c(\alpha\gamma+\beta\delta). \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
($\;\Longleftarrow\;$) Sia $m = \MCD(a,b)$. Dal momento che $d$ divide
|
||||
sia $a$ che $b$, $d$ deve dividere, per l'implicazione scorsa, anche $m$.
|
||||
Per la seconda proprietà, $m$ divide $d$ a sua volta. Allora $d$ è un
|
||||
associato di $m$, e quindi, dalla \textit{Proposizione \ref{prop:associati_generatori}}, $(m)=(d)=(a,b)$, da cui $d = \MCD(a,b)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\label{prop:divisione_gcd}
|
||||
Se $a \mid bc$ e $d = \MCD(a, b) \in D^*$, allora $a \mid c$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Per l'\nameref{th:bezout} $\exists \alpha$, $\beta$ tali che
|
||||
$\alpha a + \beta b = d$. Allora, poiché $a \mid bc$, $\exists
|
||||
\gamma$ tale che $bc=a\gamma$. Si verifica quindi la tesi:
|
||||
|
||||
\[ \alpha a + \beta b = d \implies \alpha ac + \beta bc = dc \implies
|
||||
a d^{-1} (\alpha c + \beta \gamma) = c.\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{lem:primalità_mcd}
|
||||
Se $a$ è un irriducibile di un PID $D$, allora $\forall b \in D$,
|
||||
$(a,b)=D \,\lor\, (a,b)=(a)$, o equivalentemente $\MCD(a,b) \in D^*$ o
|
||||
$\MCD(a,b) = a$.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Dacché $\MCD(a,b) \mid a$, le uniche opzioni, dal momento che $a$ è irriducibile,
|
||||
sono che $\MCD(a,b)$ sia un invertibile o che sia un associato
|
||||
di $a$ stesso.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
\label{th:irriducibili_primi}
|
||||
Se $a$ è un irriducibile di un PID $D$, allora $a$ è anche un primo.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Siano $b$ e $c$ tali che $a \mid bc$. Per il \textit{Lemma \ref{lem:primalità_mcd}},
|
||||
$\MCD(a,b)$ può essere solo un associato di $a$ o essere un invertibile. Se è
|
||||
un associato di $a$, allora, per la \textit{Proposizione \ref{prop:divisione_associati}}, poiché $\MCD(a,b)$ divide $b$, anche $a$ divide $b$.
|
||||
Altrimenti $\MCD(a,b) \in D^*$, e quindi, per la \textit{Proposizione \ref{prop:divisione_gcd}}, $a \mid c$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{L'algoritmo di Euclide}
|
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||||
Per algoritmo di Euclide si intende un algoritmo che è in grado di
|
||||
produrre in un numero finito di passi un MCD tra due elementi
|
||||
$a$ e $b$ non entrambi nulli di un anello euclideo\footnote{Si richiede che l'anello sia
|
||||
euclideo e non soltanto che sia un PID, dal momento che l'algoritmo
|
||||
usufruisce delle proprietà della funzione grado.}. L'algoritmo
|
||||
classico è di seguito presentato:
|
||||
|
||||
\newpage
|
||||
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||||
\begin{algorithm}
|
||||
$e \gets \max(a,b)$\;
|
||||
$d \gets \min(a,b)$\;
|
||||
\BlankLine\BlankLine
|
||||
\While{$d>0$}
|
||||
{
|
||||
$m \gets d$\;
|
||||
$d \gets e \bmod d$\;
|
||||
$e \gets m$\;
|
||||
}
|
||||
\end{algorithm}
|
||||
|
||||
dove $e$ è l'MCD ricercato e l'operazione $\mathrm{mod}$ restituisce un resto della
|
||||
divisione euclidea\footnote{Ossia $a \bmod b$ restituisce un $r$ tale che $\exists q
|
||||
\mid a = bq+r$ con $r=0$ o $g(r)<g(q)$.}.
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{lem:euclide_finito}
|
||||
L'algoritmo di Euclide termina sempre in un numero finito di passi.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
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||||
\begin{proof}
|
||||
Se $d$ è pari a $0$, l'algoritmo termina immediatamente. \\
|
||||
|
||||
Altrimenti si può costruire una sequenza $(g(d_i))_{i\geq1}$ dove $d_i$ è il valore di $d$ all'inizio
|
||||
di ogni $i$-esimo ciclo $\textbf{while}$. Ad ogni ciclo vi sono due casi: se $d_i$ si annulla dopo
|
||||
l'operazione di $\mathrm{mod}$, il ciclo si conclude al passo successivo, altrimenti,
|
||||
poiché $d_i$ è un resto di una divisione euclidea, segue che $g(d_i)<g(d_{i-1})$, dove
|
||||
si pone $d_{0}=\min(a, b)$. \\
|
||||
|
||||
Per il principio della discesa infinita, $(g(d_i))_{i\geq1}$ non può essere
|
||||
una sequenza infinita, essendo strettamente decrescente. Quindi la sequenza è
|
||||
finita, e pertanto il ciclo $\textbf{while}$ s'interrompe dopo un numero finito
|
||||
di passi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{lem:generatori_euclide}
|
||||
Sia $r = a \bmod b$. Allora vale che $(a,b)=(b,r)$.
|
||||
\end{lemma}
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|
||||
\begin{proof}
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||||
Poiché $r = a \bmod b$, $\exists q$ tale che $a = qb + r$.
|
||||
Siano $k_1$ e $k_2$ tali che $(k_1)=(a,b)$ e $(k_2)=(b,r)$. Dal
|
||||
momento che $k_1$ divide sia $a$ che $b$, si ha che divide anche
|
||||
$r$. Siano $\alpha$, $\beta$ tali che $a = \alpha k_1$ e
|
||||
$b = \beta k_1$. Si verifica infatti che:
|
||||
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||||
\[ r = a - qb = \alpha k_1 - q \beta k_1 = k_1 (\alpha - q \beta). \]
|
||||
|
||||
Poiché $k_1$ divide sia $b$ che $r$, per le proprietà del $\MCD$,
|
||||
$k_1$ divide anche $k_2$. Analogamente, $k_2$ divide $k_1$. Pertanto
|
||||
$k_1$ e $k_2$ sono associati, e dalla \textit{Proposizione \ref{prop:associati_generatori}} generano quindi lo stesso ideale, da
|
||||
cui la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
L'algoritmo di Euclide restituisce sempre correttamente un MCD tra due elementi $a$ e $b$ non entrambi nulli in un numero finito di passi.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Per il \textit{Lemma \ref{lem:euclide_finito}}, l'algoritmo sicuramente termina.
|
||||
Se $d$ è pari a $0$, allora l'algoritmo termina restituendo $e$. Il valore è
|
||||
corretto, dal momento che, senza perdità di generalità, se $b$ è nullo, allora
|
||||
$\MCD(a, b)=a$: infatti $a$ divide sia sé stesso che $0$, e ogni divisore di $a$ è
|
||||
sempre un divisore di $0$. \\
|
||||
|
||||
Se invece $d$ non è pari a $0$, si scelga il $d_n$ tale che $g(d_n)$ sia l'ultimo
|
||||
elemento della sequenza $(g(d_i))_{i\geq1}$ definita nel \textit{Lemma \ref{lem:euclide_finito}}. Per il \textit{Lemma \ref{lem:generatori_euclide}},
|
||||
si ha la seguente uguaglianza:
|
||||
|
||||
\[ (e_0, d_0) = (d_0, d_1) = \cdots = (d_n, 0) = (d_n). \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Poiché quindi $d_n$ è generatore di $(e_0, d_0)=(a,b)$, $d_n = \MCD(a,b)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{UFD e fattorizzazione}
|
||||
|
||||
Si enuncia ora la definizione fondamentale di UFD, sulla
|
||||
quale costruiremo un teorema fondamentale per gli anelli
|
||||
euclidei.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Si dice che un dominio $D$ è uno \textit{unique factorization domain} (\textbf{UFD})\footnote{Ossia
|
||||
un \textit{dominio a fattorizzazione unica}.} se ogni $a \in D$ non nullo e non invertibile può essere scritto
|
||||
in forma unica come prodotto di irriducibili, a meno di associati.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{lem:fattorizzazione}
|
||||
Sia $E$ un anello euclideo. Allora ogni elemento $a \in E$ non nullo e
|
||||
non invertibile può essere scritto come prodotto di irriducibili.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Si definisca $A$ nel seguente modo:
|
||||
|
||||
\[A = \{g(a) \mid a \in E \setminus (E^* \cup \{0\}) \text{ non sia prodotto di irriducibili}\}.\]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Se $A \neq \emptyset$, allora, poiché $A \subseteq \NN$, per il principio
|
||||
del buon ordinamento, esiste un $m \in E$ tale che $g(m)$ sia minimo.
|
||||
Sicuramente $m$ non è irriducibile -- altrimenti $g(m) \notin A$, \Lightning{} --,
|
||||
quindi $m=ab$ con $a$, $b \in E \setminus E^*$. \\
|
||||
|
||||
Poiché $a \mid m$, ma $m \nmid a$ -- altrimenti $a$ e $m$ sarebbero
|
||||
associati, e quindi $b$ sarebbe invertibile --, si deduce che $g(a) < g(m)$, e
|
||||
quindi che $g(a) \notin A$. Allora $a$ può scriversi come prodotto di irriducibili.
|
||||
Analogamente anche $b$ può scriversi come prodotto di irriducibili, e quindi
|
||||
$m$, che è il prodotto di $a$ e $b$, è prodotto di irriducibili, \Lightning{}. \\
|
||||
|
||||
Quindi $A = \emptyset$, e ogni $a \in E$ non nullo e non invertibile è prodotto
|
||||
di irriducibili.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
\label{th:euclidei_ufd}
|
||||
Sia $E$ un anello euclideo. Allora $E$ è un UFD\footnote{In realtà questo teorema
|
||||
è un caso particolare di un teorema più generale: ogni PID è un UFD. Poiché
|
||||
la dimostrazione esula dalle intenzioni di queste dispense, si è preferito
|
||||
dimostrare il caso più familiare. Per la dimostrazione del teorema più generale si
|
||||
rimanda a \cite[pp.~124-126]{di2013algebra}.}.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Innanzitutto, per il \textit{Lemma \ref{lem:fattorizzazione}}, ogni
|
||||
$a \in E$ non invertibile e non nullo ammette una fattorizzazione. \\
|
||||
|
||||
Sia allora $a \in E$ non invertibile e non nullo. Affinché $E$ sia un UFD,
|
||||
deve verificarsi la seguente condizione: se
|
||||
$a=p_1p_2 \cdots p_r=q_1q_2 \cdots q_s \in E$, allora
|
||||
$r=s$ ed esiste una permutazione $\sigma \in S_r$ tale per cui
|
||||
$\sigma$ associ a ogni indice $i$ di un $p_i$ un indice $j$ di
|
||||
un $q_j$ in modo tale che $p_i$ e $q_j$ siano associati. \\
|
||||
|
||||
Si procede per induzione. \\
|
||||
|
||||
\,(\textit{passo base}) \,Se $r=1$, allora $a$ è irriducibile. Allora necessariamente
|
||||
$s=1$, altrimenti $a$ sarebbe prodotto di irriducibili, e quindi contemporaneamente
|
||||
anche non irriducibile. Inoltre esiste la permutazione banale $e \in S_1$ che
|
||||
associa $p_1$ a $q_1$. \\
|
||||
|
||||
\,(\textit{passo induttivo}) \,Si assume che valga la tesi se $a$ è
|
||||
prodotto di $r-1$ irriducibili.
|
||||
Si consideri $p_1$: poiché $p_1$ divide $a$, $p_1$ divide anche
|
||||
$q_1q_2 \cdots q_s$. Dal momento che $E$, in quanto
|
||||
anello euclideo, è anche un dominio, dal \textit{Teorema \ref{th:irriducibili_primi}}, $p_1$ è anche primo,
|
||||
e quindi $p_1 \mid q_1$ o $p_1 \mid q_2 \cdots q_s$. \\
|
||||
|
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Se $p_1 \nmid q_1$ si reitera il procedimento su $q_2 \cdots q_s$, trovando in
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un numero finito di passi un $q_j$ tale per cui $p_1 \mid q_j$. Allora si procede
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la dimostrazione scambiando $q_1$ e $q_j$. \\
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Poiché $q_1$ è irriducibile, $p_1$ e $q_1$ sono associati, ossia $q_1 = kp_1$ con
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$k \in E^*$. Allora $p_1 \cdots p_r = q_1 \cdots q_s = kp_1 \cdots q_s$, quindi,
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dal momento che $p_1 \neq 0$ ed $E$ è un dominio:
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\[p_1(p_2 \cdots p_r - kq_2 \cdots q_s)=0 \implies p_2 \cdots p_r = kq_2 \cdots q_s .\]
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Tuttavia il primo membro è un prodotto $r-1$ irriducibili, pertanto $r=s$ ed
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esiste un $\sigma \in S_{r-1}$ che associa ad ogni irriducibile $p_i$ un suo
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||||
associato $q_i$. Allora si estende $\sigma$ a $S_r$ mappando $p_1$ a $q_1$,
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verificando la tesi.
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\end{proof}
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@ -0,0 +1,226 @@
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\section{Esempi notevoli di anelli euclidei}
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\subsection{I numeri interi: $\ZZ$}
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Senza ombra di dubbio l'esempio più importante di anello euclideo -- nonché
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l'esempio da cui si è generalizzata proprio la stessa nozione di anello
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euclideo -- è l'anello dei numeri interi. \\
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In questo dominio la funzione grado è canonicamente il valore assoluto:
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\[g : \ZZ \setminus \{0\} \to \NN, \, k \mapsto \left|k\right|.\]
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\vskip 0.1in
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Infatti, chiaramente $|a| \leq |ab|\, \forall a$, $b \in \ZZ \setminus \{0\}$. Inoltre
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esistono -- e sono anche unici, a meno di segno -- $q$, $r \in \ZZ \mid a = bq + r$, con $r=0 \,\lor\,
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\left|r\right| < \left|q\right|$. \\
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Dal momento che così si verifica che $\ZZ$ è un anello euclideo, il \textit{Teorema
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fondamentale dell'aritmetica} è una conseguenza del
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\textit{Teorema \ref{th:euclidei_ufd}}.
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\subsection{I campi: $\KK$}
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Ogni campo $\KK$ è un anello euclideo, seppur banalmente. Infatti, eccetto proprio
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per $0$, ogni elemento è "divisibile" per ogni altro elemento: siano $a$, $b \in \KK$,
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allora $a = ab^{-1}b$. \\
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Si definisce quindi la funzione grado come la funzione nulla:
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\[g : \KK^* \to \NN, \, a \mapsto 0.\]
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\vskip 0.1in
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Chiaramente $g$ soddisfa il primo assioma della funzione grado. Inoltre,
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poiché ogni elemento è "divisibile", il resto è sempre zero -- non è pertanto
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necessario verificare nessun'altra proprietà.
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\subsection{I polinomi di un campo: $\KK[x]$}
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I polinomi di un campo $\KK$ formano un anello euclideo rilevante
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nello studio dell'algebra astratta. Come suggerisce la
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terminologia, la funzione grado in questo dominio coincide
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proprio con il grado del polinomio, ossia si definisce come:
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\[g : \KK[x] \setminus \{0\} \to \NN, \, f(x) \mapsto \deg f.\]
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\vskip 0.1in
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Si verifica facilmente che $g(a(x)) \leq g(a(x)b(x)) \, \forall a(x)$, $b(x) \in \KK[x] \setminus \{0\}$, mentre la divisione euclidea -- come negli interi -- ci permette
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||||
di concludere che effettivamente $\KK[x]$ soddisfa tutti gli assiomi di un anello
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||||
euclideo\footnote{Curiosamente i polinomi di $\KK[x]$ e i campi $\KK$ sono gli unici anelli euclidei in cui resti
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e quozienti sono unici, includendo la scelta di segno (vd.
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\cite{10.2307/2315810}).}.
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\begin{example}
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Sia $\alpha \in \KK$ e sia $\varphi_\alpha : \KK[x] \to \KK, \, f(x) \mapsto f(\alpha)$
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la sua valutazione polinomiale in $\KK[x]$. $\varphi_\alpha$ è un omomorfismo, il cui
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||||
nucleo è rappresentato dai polinomi in $\KK[x]$ che hanno $\alpha$ come radice. Poiché
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||||
$\KK[x]$ è un PID, $\Ker \varphi$ deve essere monogenerato. $x-\alpha \in \Ker \varphi$
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è irriducibile, e quindi è il generatore dell'ideale. Si desume così che
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$\Ker \varphi = (x-\alpha)$.
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\end{example}
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\subsection{Gli interi di Gauss: $\ZZ[i]$}
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Un importante esempio di anello euclideo è il dominio degli interi di Gauss $\ZZ[i]$, definito come:
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\[\ZZ[i] = \{a+bi \mid a, b \in \ZZ\}.\]
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\vskip 0.1in
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\begin{wrapfigure}{l}{0pt}
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||||
\begin{tikzpicture}
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||||
\begin{scope}
|
||||
\clip (-2, -0.5) rectangle (3, 3);
|
||||
\draw[step=0.25cm, gray!20!white, very thin] (-7, -3) grid (7, 3);
|
||||
|
||||
\foreach \x in {-4,...,4} {
|
||||
\draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-3 + \x, -3) -- (3 + \x, 3);
|
||||
}
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||||
\foreach \y in {-4,...,5} {
|
||||
\draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-7, 7 + \y) -- (7, -7 + \y);
|
||||
}
|
||||
|
||||
\draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (0.5, 0.5) node[align=center, below=3pt]{$b$};
|
||||
\draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (-0.5, 0.5) node[align=center, below=2pt]{$ib$};
|
||||
|
||||
\draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (0.5, 2.5) node[above=0.5pt]{$bq$};
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||||
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||||
\draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (1, 2.5) node[below, right]{$a$};
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||||
\draw[densely dotted] (0.5, 2.5) -- (1, 2.5) node[below=4pt, left=2.5pt]{$r$};
|
||||
|
||||
\draw[line width=0.2pt, ->] (0, -1) -- (0, 3);
|
||||
\draw[line width=0.2pt, ->] (-3, 0) -- (3, 0);
|
||||
|
||||
\end{scope}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Visualizzazione della divisione euclidea nel piano degli interi di Gauss.}
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||||
\label{fig:z_i}
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||||
\end{wrapfigure}
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||||
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||||
La funzione grado coincide in particolare con il quadrato del modulo di un numero complesso, ossia:
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||||
\[g(z) : \ZZ[i] \setminus \{0\} \to \NN, \, a+bi \mapsto \left| a+bi \right|^2.\]
|
||||
|
||||
Il vantaggio di quest'ultima definizione è l'enfasi sul collegamento tra la funzione grado
|
||||
di $\ZZ$ e quella di $\ZZ[i].$ Infatti, se $a \in \ZZ$, il grado di $a$ in $\ZZ$ e in $\ZZ[i]$
|
||||
sono uno il quadrato dell'altro. In particolare, è possibile ridefinire il grado
|
||||
di $\ZZ$ proprio in modo tale da farlo coincidere con quello di $\ZZ[i]$. \\
|
||||
|
||||
\newpage
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||||
\begin{theorem}
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||||
$\ZZ[i]$ è un anello euclideo.
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||||
\end{theorem}
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\begin{proof}
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Si verifica la prima proprietà della funzione grado. Siano $a$, $b \in \ZZ[i] \setminus \{0\}$,
|
||||
allora $\left|a\right| \geq 1 \,\land\, \left|b\right| \geq 1$. Poiché
|
||||
$\left|ab\right| = \left|a\right|\left|b\right|$\footnote{Questa interessante proprietà del modulo è alla base dell'identità di Brahmagupta-Fibonacci: $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2.$}, si verifica facilmente che
|
||||
$\left|ab\right| \geq \left|a\right|$, ossia che $g(ab) \geq g(a)$. \\
|
||||
|
||||
Si verifica infine che esiste una divisione euclidea, ossia che
|
||||
$\forall a \in \ZZ[i]$, $\forall b \in \ZZ[i] \setminus \{0\}$, $\exists q$, $r \in \ZZ[i] \mid a = bq + r$ e $r=0 \,\lor\, g(r) < g(b)$.
|
||||
Come si visualizza facilmente nella \textit{Figura \ref{fig:z_i}},
|
||||
tutti i multipli di $b$ formano un piano con basi $b$ e $ib$, dove
|
||||
sicuramente esiste un certo $q$ tale che la distanza $\left|r\right| = \left|a-bq\right|$ sia minima. \\
|
||||
|
||||
Se $a$ è un multiplo di $b$, vale sicuramente che $a = bq$. Altrimenti dal momento che $r$ è sicuramente inquadrato in uno dei tasselli del piano, vale
|
||||
sicuramente la seguente disuguaglianza, che lega il modulo di $r$ alla diagonale di
|
||||
ogni quadrato:
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||||
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||||
\[\left|r\right| \leq \frac{\left|b\right|}{\sqrt{2}}.\]
|
||||
|
||||
Pertanto vale la seconda e ultima proprietà della funzione grado:
|
||||
|
||||
\[\left|r\right| \leq \frac{\left|b\right|}{\sqrt{2}} < \left|b\right| \implies \left|r\right|^2 < \left|b\right|^2 \implies g(r) < g(b).\]
|
||||
\end{proof}
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||||
\subsection{Gli interi di Eisenstein: $\ZZ[\omega]$}
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Sulla scia di $\ZZ[i]$ è possibile definire anche l'anello degli
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interi di Eisenstein, aggiungendo a $\ZZ$ la prima radice cubica
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||||
primitiva dell'unità in senso antiorario, ossia:
|
||||
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||||
\[\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i.\]
|
||||
|
||||
In particolare, $\omega$ è una delle due radici dell'equazione
|
||||
$z^2 + z + 1 = 0$, dove invece l'altra radice altro non è che
|
||||
$\omega^2 = \overline{\omega}$.
|
||||
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||||
\begin{wrapfigure}{l}{0pt}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{scope}
|
||||
\clip (-2, -0.5) rectangle (3, 3);
|
||||
\draw[step=0.25cm, gray!20!white, very thin] (-7, -3) grid (7, 3);
|
||||
|
||||
\foreach \x in {-4,...,4} {
|
||||
\draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-3 + 0.87*\x, -3) -- (3 + 0.87*\x, 3);
|
||||
}
|
||||
|
||||
\foreach \y in {-4,...,5} {
|
||||
\draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-7, 1.8756443470179 + 0.65*\y) -- (7, -1.8756443470179 + 0.65*\y);
|
||||
}
|
||||
|
||||
\foreach \x in {-4,...,5} {
|
||||
\draw[ultra thin, loosely dashed] (-7 + 0.6289*\x, 28.5025773880714) -- (7+ 0.65*\x, -28.5025773880714);
|
||||
}
|
||||
|
||||
\draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (0.5, 0.5) node[align=center, below=3pt]{$b$};
|
||||
\draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (-0.6830127018922, 0.1830127018922) node[align=center, below=2pt]{$\omega b$};
|
||||
|
||||
\draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (0.71494, 2.41094) node[below=2pt, left=4pt]{$bq$};
|
||||
|
||||
\draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (1.1, 2.7) node[below, right]{$a$};
|
||||
|
||||
\draw[densely dotted] (0.71494, 2.41094) -- (1.1, 2.7) node[above=3pt, left=2.5pt]{$r$};
|
||||
|
||||
\draw[line width=0.2pt, ->] (0, -1) -- (0, 3);
|
||||
\draw[line width=0.2pt, ->] (-3, 0) -- (3, 0);
|
||||
|
||||
\end{scope}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Visualizzazione della divisione euclidea nel piano degli interi di Eisenstein.}
|
||||
\label{fig:z_omega}
|
||||
\end{wrapfigure}
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||||
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||||
\vskip 0.1in
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||||
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||||
La funzione grado in $\ZZ[\omega]$ deriva da quella di $\ZZ[i]$ e coincide ancora
|
||||
con il quadrato del modulo del numero complesso. Si definisce quindi:
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||||
\[g : \ZZ[\omega] \setminus \{0\}, \, a+b\omega \mapsto \left|a+b\omega\right|^2.\]
|
||||
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||||
Sviluppando il modulo è possibile ottenere una formula più concreta:
|
||||
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||||
\[ \left|a+b\omega\right|^2 = \left|\left(a-\frac{b}{2}\right) + \frac{b\sqrt{3}}{2}i\right|^2 =\] \\
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||||
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||||
\[= \left(a-\frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4} = a^2 - ab + b^2.\] \\
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||||
|
||||
\begin{theorem}
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||||
$\ZZ[\omega]$ è un anello euclideo.
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||||
\end{theorem}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Sulla scia della dimostrazione presentata per $\ZZ[i]$, si verifica facilmente
|
||||
la prima proprietà della funzione grado. Siano $a$, $b \in \ZZ[\omega]$, allora
|
||||
$\left|a\right| \geq 1$ e $\left|b\right| \geq 1$. Poiché dalle proprietà
|
||||
dei numeri complessi vale ancora $\left|a\right| \left|b\right| \geq \left|a\right|$,
|
||||
la proprietà $g(ab) \geq g(a)$ è già verificata. \\
|
||||
|
||||
Si verifica infine la seconda e ultima proprietà della funzione grado. Come per
|
||||
$\ZZ[i]$, i multipli di $b \in \ZZ[\omega]$ sono visualizzati su un piano che
|
||||
ha per basi $b$ e $\omega b$ (come in $\textit{Figura \ref{fig:z_omega}}$), pertanto
|
||||
esiste sicuramente un $q$ tale che la distanza $\left|a-bq\right|$ sia minima. \\
|
||||
|
||||
Se $a$ è multiplo di $b$, allora chiaramente $a = bq$. Altrimenti, $a$ è certamente
|
||||
inquadrato in uno dei triangoli del piano, per cui vale la seguente disuguaglianza:
|
||||
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||||
\[\left|r\right| \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \left|b\right|.\]
|
||||
|
||||
Dunque la tesi è verificata:
|
||||
|
||||
\[\left|r\right| \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \left|b\right| < \left|b\right| \implies \left|r\right|^2 < \left|b\right|^2 \implies g(r) < g(b). \]
|
||||
\end{proof}
|
||||
@ -0,0 +1,236 @@
|
||||
\section{Irriducibili e corollari di aritmetica in $\ZZi$}
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Come già dimostrato, $\ZZi$ è un anello euclideo con la seguente
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funzione grado:
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\[ g : \ZZi \setminuszero \to \ZZ,\, a+bi \mapsto \norm{a+bi}^2.\]
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||||
A partire da questo preconcetto è possibile dimostrare un teorema
|
||||
importante in aritmetica, il \nameref{th:teorema_natale},
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||||
che discende direttamente come corollario di un teorema più
|
||||
generale riguardante $\ZZi$.
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||||
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\subsection{Il teorema di Natale di Fermat e gli irriducibili in $\ZZi$}
|
||||
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\begin{lemma}
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||||
\label{lem:riducibile_due_quadrati}
|
||||
Sia $p$ un numero primo riducibile in $\ZZi$, allora $p$
|
||||
può essere scritto come somma di due quadrati in $\ZZ$.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Se $p$ è riducibile in $\ZZi$, allora esistono $a+bi$ e
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||||
$c+di$ appartenenti a $\ZZi \setminus \ZZi^*$ tali che $p=(a+bi)(c+di)$. \\
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||||
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||||
Impiegando le proprietà dell'operazione di coniugio si
|
||||
ottiene la seguente equazione:
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||||
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||||
\[ \overline{p}=p=(a-bi)(c-di) \implies p^2=p \overline{p} = (a^2+b^2)(c^2+d^2). \]
|
||||
|
||||
Dal momento che $a+bi$ e $c+di$ non sono invertibili,
|
||||
i valori della funzione grado calcolati in essi sono strettamente
|
||||
maggiori del valore assunto nell'unità, ovverosia:
|
||||
|
||||
\[ a^2+b^2>1, \qquad c^2+d^2>1. \]
|
||||
|
||||
Allora devono per forza valere le seguenti equazioni:
|
||||
|
||||
\[ p=a^2+b^2, \qquad p=c^2+d^2, \]
|
||||
|
||||
da cui la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{lem:quadrato_mod_4}
|
||||
Sia $p$ un numero primo tale che $p \equiv 1 \pmod4$. Allora
|
||||
esiste un $x \in \ZZ$ tale che $p \mid x^2+1$.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Per il \textit{Teorema di Wilson}, $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$.
|
||||
Attraverso varie manipolazioni algebriche si ottiene:
|
||||
|
||||
\[-1 \equiv 1 \cdots \frac{p-1}{2} \cdot \frac{p+1}{2} \cdots (p-1) \equiv 1 \cdots \frac{p-1}{2} \left(-\frac{p-1}{2}\right) \cdots (-1) \equiv\]
|
||||
|
||||
\[ \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} \left(\left( \frac{p-1}{2} \right)!\right)^2 \equiv
|
||||
\left(\left( \frac{p-1}{2} \right)!\right)^2 \pmod p,
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
da cui con $x = \left( \frac{p-1}{2} \right)!$ si verifica la
|
||||
tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
\label{th:primo_1_mod_4_riducibile}
|
||||
Sia $p$ un numero primo tale che $p \equiv 1 \pmod4$. Allora
|
||||
$p$ è riducibile in $\ZZi$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Per il \textit{Lemma \ref{lem:quadrato_mod_4}}, si ha che esiste
|
||||
un $x \in \ZZ$ tale che $p \mid x^2+1$. Se $p$ fosse irriducibile,
|
||||
dacché $\ZZi$ è un PID in quanto euclideo, $p$ sarebbe anche un
|
||||
primo di $\ZZi$. Dal momento che $x^2+1=(x+i)(x-i)$, $p$ dovrebbe
|
||||
dividere almeno uno di questi due fattori. \\
|
||||
|
||||
Senza perdità di generalità, si ponga che $p \mid (x+i)$. Allora
|
||||
$\exists a+bi \in \ZZi \mid x+i=(a+bi)p$. Uguagliando le parti
|
||||
immaginarie si ottiene $bp=1$, che non ammette soluzioni, \Lightning{}. Pertanto $p$ è riducibile.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}[\textit{Teorema di Natale di Fermat}]
|
||||
\label{th:teorema_natale}
|
||||
Sia $p$ un numero primo tale che $p \equiv 1 \pmod4$. Allora
|
||||
$p$ è somma di due quadrati in $\ZZ$.
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Per il \textit{Teorema \ref{th:primo_1_mod_4_riducibile}},
|
||||
$p$ è riducibile in $\ZZi$. In quanto riducibile in $\ZZi$, per
|
||||
il \textit{Lemma \ref{lem:riducibile_due_quadrati}}, $p$ è allora
|
||||
somma di due quadrati.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
\label{th:primo_-1_mod_4_irriducibile}
|
||||
Sia $p$ un numero primo tale che $p \equiv -1 \pmod4$. Allora
|
||||
$p$ è irriducibile in $\ZZi$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Se $p$ fosse riducibile in
|
||||
$\ZZi$, per il \nameref{th:teorema_natale} esisterebbero $a$ e $b$
|
||||
in $\ZZ$ tali che $p=a^2+b^2$. Dal momento che $p$ è dispari,
|
||||
possiamo supporre, senza perdità di generalità, che
|
||||
$a$ sia pari e che $b$ sia dispari. Pertanto $a^2 \equiv 0 \pmod 4$ e $b^2 \equiv 1 \pmod 4$, dacché sono uno pari e l'altro dispari\footnote{Infatti, $0^2 \equiv 0
|
||||
\pmod4$, $1^2 \equiv 1 \pmod4$, $2^2 \equiv 4 \equiv 0 \pmod 4$,
|
||||
$3^2 \equiv 9 \equiv 1 \pmod 4$.}. Tuttavia la congruenza
|
||||
$a^2+b^2 \equiv 1 \equiv -1 \pmod4$ non è mai soddisfatta,
|
||||
\Lightning{}. Pertanto $p$ può essere solo irriducibile.
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\end{proof}
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\begin{remark*}
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Si osserva che $2=(1+i)(1-i)$. Dal momento che $\norm{1+i}^2=
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||||
\norm{1-i}^2=2\neq1$, si deduce che nessuno dei due fattori
|
||||
è invertibile. Pertanto $2$ non è irriducibile.
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||||
\end{remark*}
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||||
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\begin{proposition}
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\label{prop:irriducibili_zz_zzi}
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Gli unici primi $p \in \ZZ$ irriducibili in $\ZZi$ sono i primi $p$ tali
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||||
che $p \equiv -1 \pmod4$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Per l'osservazione precedente, $2$ non è irriducibile in $\ZZi$,
|
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così come i primi congrui a $1$ in modulo $4$,
|
||||
per il \textit{Teorema \ref{th:primo_1_mod_4_riducibile}}. Al
|
||||
contrario i primi $p$ congrui a $-1$ in modulo $4$ sono
|
||||
irriducibili, per il \textit{Teorema \ref{th:primo_-1_mod_4_irriducibile}}, da cui la tesi.
|
||||
\end{proof}
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\begin{theorem}
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||||
$z \in \ZZi$ è irriducibile se e solo se $z$ è un associato di un $k \in \ZZ$ tale che $k \equiv -1 \pmod 4$, o se $\norm{z}^2$ è primo.
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||||
\end{theorem}
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\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
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($\implies$)\; Sia $z \in \ZZi$ irriducibile. Chiaramente
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$z \mid z \overline{z} = g(z)$. Dacché $\ZZ$ è un UFD,
|
||||
$g(z)$ può decomporsi in un prodotto di primi $q_1q_2\cdots q_n$.
|
||||
Dal momento che $\ZZi$ è un PID, in quanto anello euclideo,
|
||||
$z$ deve dividere uno dei primi della fattorizzazione di
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||||
$g(z)$. Si assuma che tale primo sia $q_i$. Allora esiste
|
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un $w \in \ZZi$ tale che $q_i=wz$. \\
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||||
Se $w \in \ZZi^*$, si
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||||
deduce che $z$ è un associato di $q_i$. Dal momento che
|
||||
$z$ è irriducibile, $q_i$, che è suo associato, è a sua
|
||||
volta irriducibile. Allora, per la \textit{Proposizione \ref{prop:irriducibili_zz_zzi}}, $q_i \equiv -1 \pmod4$.
|
||||
\\
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||||
|
||||
Altrimenti, se $w$ non è invertibile, si ha che $g(w)>g(1)$,
|
||||
ossia che $\norm{w}^2>1$. Inoltre in quanto irriducibile, anche
|
||||
$z$ non è invertibile, e quindi
|
||||
$g(z)>g(1) \implies \norm{z}^2>1$. Dalla proprietà
|
||||
moltiplicativa
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del modulo si ricava $q_i^2 = \norm{q_i}^2 = \norm{w}^2 \norm{z}^2$,
|
||||
da cui necessariamente consegue che:
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\[ \norm{w}^2=q_i, \quad \norm{z}^2=q_i, \]
|
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||||
attraverso cui si verifica l'implicazione. \\
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||||
($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Se $k \in \ZZ$ e $k \equiv -1 \pmod4$, per
|
||||
il \textit{Teorema \ref{th:primo_-1_mod_4_irriducibile}}, $k$ è
|
||||
irriducibile. Allora in quanto suo associato, anche $z$ è irriducibile. \\
|
||||
|
||||
Altrimenti, se $\norm{z}^2$ è un primo $p$, si ponga
|
||||
$z=ab$ con $a$ e $b \in \ZZi$. Per la proprietà moltiplicativa
|
||||
del modulo, $p = \norm{z}^2 = \norm{ab}^2 = \norm{a}^2\norm{b}^2$.
|
||||
Tuttavia questo implica che uno tra $\norm{a}^2$ e $\norm{b}^2$
|
||||
sia pari a $1$, ossia che uno tra $a$ e $b$ sia invertibile,
|
||||
dacché $g(1)=1$. Pertanto $z$ è in ogni caso irriducibile.
|
||||
\end{proof}
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||||
Infine si enuncia un'ultima identità inerente all'aritmetica, ma
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||||
strettamente collegata a $\ZZi$.
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\subsection{L'identità di Brahmagupta-Fibonacci}
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\begin{proposition}[\textit{Identità di Brahmagupta-Fibonacci}]
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\label{prop:fibonacci}
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Il prodotto di due somme di quadrati è ancora una
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somma di quadrati. In particolare:
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\[ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2. \]
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||||
\end{proposition}
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\begin{proof}
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La dimostrazione altro non è che una banale verifica
|
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algebrica. Ciononostante è possibile risalire a questa
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identità in via alternativa mediante l'uso
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del modulo dei numeri complessi. \\
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Siano $z_1=a+bi$, $z_2=c+di \in \CC$. Allora, per le proprietà
|
||||
del modulo dei numeri complessi:
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\begin{equation}
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||||
\label{eq:modulo_z}
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\norm{z_1}\norm{z_2}=\norm{z_1z_2}.
|
||||
\end{equation}
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||||
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||||
Computando il prodotto tra $z_1$ e $z_2$ si ottiene:
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\[ z_1z_2 = (ac-bd) + (ad+bc)i, \]
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||||
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||||
da cui a sua volta si ricava:
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\[ \norm{z_1z_2} = \sqrt{(ac-bd)^2 + (ad+bc)^2}, \]
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||||
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||||
assieme a:
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||||
\[ \norm{z_1}=\sqrt{a^2+b^2}, \quad \norm{z_2}=\sqrt{c^2+d^2}. \]
|
||||
|
||||
Infine, da \eqref{eq:modulo_z}, elevando al quadrato, si deduce l'identità
|
||||
presentata:
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||||
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\begin{multline*}
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||||
\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}=\sqrt{(ac-bd)^2 + (ad+bc)^2} \implies (a^2+b^2)(c^2+d^2)= \\ (ac-bd)^2+(ad+bc)^2.
|
||||
\end{multline*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Si consideri $65=5 \cdot 13$. Dal momento che sia $5$
|
||||
che $13$ sono congrui a $1$ in modulo $4$, sappiamo
|
||||
già si possono scrivere entrambi come somme di due
|
||||
quadrati. Allora, dall'\nameref{prop:fibonacci},
|
||||
anche $65$ è somma di due quadrati. \\
|
||||
|
||||
Infatti $5=2^2+1^2$ e $13=3^2+2^2$. Pertanto
|
||||
$65=5\cdot 13=(2\cdot3-1\cdot2)^2 + (2\cdot2+1\cdot3)^2=4^2+7^2$.
|
||||
\end{example}
|
||||
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||||
@ -0,0 +1,357 @@
|
||||
\section{Irriducibilità in $\ZZx$ e in $\QQx$}
|
||||
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||||
\subsection{Criterio di Eisenstein e proiezione in $\ZZpx$}
|
||||
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||||
Prima di studiare le irriducibilità in $\ZZ$, si guarda
|
||||
alle irriducibilità nei vari campi finiti $\ZZp$, con
|
||||
$p$ primo. Questo metodo presenta un vantaggio da non
|
||||
sottovalutare: in $\ZZp$ per ogni grado $n$ esiste un
|
||||
numero finito di polinomi monici\footnote{Si prendono in
|
||||
considerazione solo i polinomi monici dal momento che vale
|
||||
l'equivalenza degli associati: se $a$ divide $b$, allora
|
||||
tutti gli associati di $a$ dividono $b$. $\ZZp$ è infatti
|
||||
un campo, e quindi $\ZZpx$ è un anello euclideo.} -- in particolare, $p^n$ --
|
||||
e quindi per un polinomio di grado $d$ è sufficiente controllare
|
||||
che questo non sia prodotto di tali polinomi monici per
|
||||
$1 \leq n < d$. \\
|
||||
|
||||
In modo preliminare, si definisce un omomorfismo fondamentale.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sia il seguente l'\textbf{omomorfismo di proiezione} da
|
||||
$\ZZ$ in $\ZZp$:
|
||||
|
||||
\[ \hatpip : \ZZx \to \ZZpx,\, a_n x^n + \ldots + a_0 \mapsto [a_n]_p \, x^n + \ldots + [a_0]_p. \]
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Si dimostra facilmente che $\hatpi$ è un omomorfismo di anelli.
|
||||
Innanzitutto, $\hatpi(1) = [1]_p$. Vale chiaramente la linearità:
|
||||
|
||||
\begin{multline*}
|
||||
\hatpip(a_n x^n + \ldots + a_0) + \hatpip(b_n x^n + \ldots + b_0) = [a_n]_p \, x^n + \ldots + [b_n]_p \, x^n + \ldots = \\
|
||||
= [a_n+b_n]_p \, x^n + \ldots = \hatpip(a_n x^n + \ldots + a_0 + b_n x^n + \ldots + b_0).
|
||||
\end{multline*}
|
||||
|
||||
Infine vale anche la moltiplicatività:
|
||||
|
||||
\begin{multline*}
|
||||
\hatpip(a_n x^n + \ldots + a_0) \hatpip(b_n x^n + \ldots + b_0) = ([a_n]_p \, x^n + \ldots)([b_n]_p \, x^n + \ldots) = \\
|
||||
= \sum_{i=0}^n \sum_{j+k=i} [a_j]_p \, [b_k]_p \, x^i
|
||||
= \sum_{i=0}^n \sum_{j+k=i} [a_j b_k]_p \, x^i
|
||||
= \hatpip\left(\sum_{i=0}^n \sum_{j+k=i} a_j b_k x^i\right) = \\
|
||||
=\hatpip\left((a_n x^n + \ldots + a_0)(b_n x^n + \ldots + b_0)\right).
|
||||
\end{multline*}
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
Prima di enunciare un teorema che si rivelerà
|
||||
importante nel determinare l'irriducibilità di un
|
||||
polinomio in $\ZZx$, si enuncia una definizione che
|
||||
verrà ripresa anche in seguito
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Un polinomio $a_n x^n + \ldots + a_0 \in \ZZx$ si dice
|
||||
\textbf{primitivo} se $\MCD(a_n, \ldots, a_0)=1$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
\label{th:proiezione_irriducibilità}
|
||||
Sia $p$ un primo. Sia $f(x) = a_n x^n + \ldots \in \ZZx$
|
||||
primitivo. Se $p \nmid a_n$ e
|
||||
$\hatpip(f(x))$ è irriducibile in $\ZZpx$, allora anche $f(x)$ lo
|
||||
è in $\ZZx$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Si dimostra la tesi contronominalmente. Sia $f(x) =
|
||||
a_nx^n + \ldots \in \ZZ[x]$ primitivo e riducibile, con
|
||||
$p \nmid a_n$. Dal momento che $f(x)$ è riducibile, esistono
|
||||
$g(x)$, $h(x)$ non invertibili tali che $f(x)=g(x)h(x)$. \\
|
||||
|
||||
Si dimostra che $\deg g(x) \geq 1$. Se infatti fosse nullo,
|
||||
$g(x)$ dovrebbe o essere uguale a $\pm 1$ -- assurdo, dal
|
||||
momento che $g(x)$ non è invertibile, \Lightning{} -- o
|
||||
essere una costante non invertibile. Tuttavia, nell'ultimo
|
||||
caso, risulterebbe che $f(x)$ non è primitivo, poiché
|
||||
$g(x)$ dividerebbe ogni coefficiente del polinomio.
|
||||
Analogamente anche $\deg h(x) \geq 1$. \\
|
||||
|
||||
Si consideri ora $\hatpip(f(x))=\hatpip(g(x))\hatpip(h(x))$.
|
||||
Dal momento che $p \nmid a_n$, il grado di $f(x)$ rimane costante
|
||||
sotto l'operazione di omomorfismo, ossia $\deg \hatpip(f(x)) =
|
||||
\deg f(x)$. \\
|
||||
|
||||
Inoltre, poiché nessuno dei fattori di $f(x)$ è nullo, $\deg f(x) = \deg g(x) +
|
||||
\deg h(x)$. Da questa considerazione si deduce che anche i
|
||||
gradi di $g(x)$ e $h(x)$ non devono calare, altrimenti si
|
||||
avrebbe che $\deg \hatpip(f(x)) < \deg f(x)$, \Lightning{}.
|
||||
Allora $\deg \hatpip(g(x)) = \deg g(x) \geq 1$,
|
||||
$\deg \hatpip(h(x)) = \deg h(x) \geq 1$. \\
|
||||
|
||||
Poiché $\deg \hatpip(g(x))$ e $\deg \hatpip(h(x))$ sono
|
||||
dunque entrambi non nulli, $\hatpip(g(x))$ e $\hatpip(h(x))$
|
||||
non sono invertibili\footnote{Si ricorda che $\ZZpx$
|
||||
è un anello euclideo. Pertanto, non avere lo stesso grado
|
||||
dell'unità equivale a non essere invertibili.}. Quindi
|
||||
$f(x)$ è prodotto di non invertibili, ed è dunque riducibile.
|
||||
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[\textit{Criterio di Eisenstein}]
|
||||
\label{th:eisenstein}
|
||||
Sia $p$ un primo.
|
||||
Sia $f(x) = a_n x^n + \ldots + a_0 \in \ZZx$ primitivo tale che:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[ (1)]
|
||||
\item $p \nmid a_n$,
|
||||
\item $p \mid a_i$, $\forall i \neq n$,
|
||||
\item $p^2 \nmid a_0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
Allora $f(x)$ è irriducibile in $\ZZx$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Si ponga $f(x)$ riducibile e sia pertanto $f(x)=g(x)h(x)$ con
|
||||
$g(x)$ e $h(x)$ non invertibili. Analogamente a come visto
|
||||
per il \textit{Teorema \ref{th:proiezione_irriducibilità}}, si
|
||||
desume che $\deg g(x)$, $\deg h(x) \geq 1$. \\
|
||||
|
||||
Si applica l'omomorfismo di proiezione in $\ZZpx$:
|
||||
|
||||
\[ \hatpip(f(x))=\underbrace{[a_n]_p}_{\neq 0} x_n, \]
|
||||
|
||||
da cui si deduce che $\deg \hatpip(f(x)) = \deg f(x)$. \\
|
||||
|
||||
Dal momento che $\hatpip(f(x))=\hatpip(g(x))\hatpip(h(x))$ e
|
||||
che $\ZZpx$, in quanto campo, è un dominio,
|
||||
necessariamente sia $\hatpip(g(x))$ che $\hatpip(h(x))$
|
||||
sono dei monomi. \\
|
||||
|
||||
Inoltre, sempre in modo analogo a come visto per il \textit{Teorema
|
||||
\ref{th:proiezione_irriducibilità}}, sia $\deg \hatpip(g(x))$
|
||||
che $\deg \hatpip(h(x))$ sono maggiori o uguali ad $1$. \\
|
||||
|
||||
Combinando questo risultato col fatto che questi due fattori
|
||||
sono monomi, si desume che
|
||||
$\hatpip(g(x))$ e $\hatpip(h(x))$ sono monomi di grado positivo.
|
||||
Quindi $p$ deve dividere entrambi i termini noti di $g(x)$ e
|
||||
$h(x)$, e in particolare $p^2$ deve dividere il loro prodotto,
|
||||
ossia $a_0$. Tuttavia questo è un assurdo, \Lightning{}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Si consideri $x^k-2$, per $k \geq 1$.
|
||||
Per il \nameref{th:eisenstein},
|
||||
considerando come primo $p=2$, si verifica che
|
||||
$x^k-2$ è sempre irriducibile. Pertanto, per ogni
|
||||
grado di un polinomio esiste almeno un irriducibile --
|
||||
a differenza di come invece avviene in $\RRx$ o in $\CCx$.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
Sia $f(x) \in \ZZx$ primitivo e sia $a \in \ZZ$. Allora $f(x)$ è
|
||||
irriducibile se e solo se $f(x+a)$ è irriducibile.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Si dimostra una sola implicazione, dal momento che l'implicazione
|
||||
contraria consegue dalle stesse considerazioni poste
|
||||
studiando prima $f(x+a)$ e poi $f(x)$. \\
|
||||
|
||||
Sia $f(x)=a(x)b(x)$ riducibile, con $a(x)$, $b(x) \in \ZZx$ non
|
||||
invertibili. Come già visto per il \textit{Teorema
|
||||
\ref{th:proiezione_irriducibilità}}, $\deg a(x)$, $\deg b(x) \geq 1$. \\
|
||||
|
||||
Allora chiaramente $f(x+a)=g(x+a)h(x+a)$, con $\deg g(x+a) =
|
||||
\deg g(x) \geq 1$, $\deg h(x+a) = \deg h(x) \geq 1$. Pertanto
|
||||
$f(x+a)$ continua a essere riducibile, da cui la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Si consideri $f(x) = x^{p-1}+\ldots+x^2+x+1 \in \ZZx$, dove
|
||||
tutti i coefficienti del polinomio sono $1$. Si verifica che:
|
||||
|
||||
\[ f(x+1)=\frac{(x+1)^p-1}x = p+\binom{p}{2}x+\ldots+x^{p-1}. \]
|
||||
|
||||
Allora, per il \nameref{th:eisenstein} con $p$, $f(x+1)$ è
|
||||
irriducibile. Pertanto anche $f(x)$ lo è.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\subsection{Alcuni irriducibili di $\ZZ_2[x]$}
|
||||
|
||||
Tra tutti gli anelli $\ZZpx$, $\ZZ_2[x]$ ricopre sicuramente
|
||||
un ruolo fondamentale, dal momento che è il meno costoso
|
||||
computazionalmente da analizzare, dacché $\ZZ_2$ consta
|
||||
di soli due elementi. Pertanto si computano adesso gli
|
||||
irriducibili di $\ZZ_2[x]$ fino al quarto grado incluso, a meno
|
||||
di associati. \\
|
||||
|
||||
Sicuramente $x$ e $x+1$ sono irriducibili, dal momento che sono di
|
||||
primo grado. I polinomi di secondo grado devono dunque essere
|
||||
prodotto di questi polinomi, e pertanto devono avere o $0$ o
|
||||
$1$ come radice: si verifica quindi che $x^2+x+1$ è l'unico
|
||||
polinomio di secondo grado irriducibile. \\
|
||||
|
||||
Per il terzo grado vale ancora lo stesso principio, per cui
|
||||
$x^3+x^2+1$ e $x^3+x+1$ sono gli unici irriducibili di tale grado.
|
||||
Infine, per il quarto grado, i polinomi riducibili soddisfano
|
||||
una qualsiasi delle seguenti proprietà:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $0$ e $1$ sono radici del polinomio,
|
||||
\item il polinomio è prodotto di due polinomi irriducibili di
|
||||
secondo grado.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Si escludono pertanto dagli irriducibili i polinomi non omogenei --
|
||||
che hanno sicuramente $0$ come radice --, e i polinomi con $1$ come
|
||||
radice, ossia $x^4+x^3+x+1$,\ \
|
||||
$x^4+x^3+x^2+1$, e $x^4+x^2+x+1$. Si esclude anche
|
||||
$(x^2+x+1)^2 = x^4+x^2+1$. Pertanto gli unici irriducibili di
|
||||
grado quattro sono $x^4+x^3+x^2+x+1$,\ \ $x^4+x^3+1$,\ \ $x^4+x+1$. \\
|
||||
|
||||
Tutti questi irriducibili sono raccolti nella seguente tabella:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item (grado 1) $x$, $x+1$,
|
||||
\item (grado 2) $x^2+x+1$,
|
||||
\item (grado 3) $x^3+x^2+1$, $x^3+x+1$,
|
||||
\item (grado 4) $x^4+x^3+x^2+x+1$,\ \ $x^4+x^3+1$,\ \ $x^4+x+1$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Il polinomio $51x^3+11x^2+1 \in \ZZx$ è primitivo dal momento
|
||||
che $\MCD(51, 11, 1)=1$. Inoltre, poiché $\hatpi_2(51x^3+11x^2+1)=
|
||||
x^3+x+1$ è irriducibile, si deduce che anche $51x^3+11x^2+1$ lo
|
||||
è per il \textit{Teorema \ref{th:proiezione_irriducibilità}}.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\subsection{Teorema delle radici razionali e lemma di Gauss}
|
||||
|
||||
Si enunciano in questa sezione i teoremi più importanti per
|
||||
lo studio dell'irriducibilità dei polinomi in $\QQx$ e
|
||||
in $\ZZx$, a partire dai due teoremi più importanti: il
|
||||
classico \nameref{th:radici_razionali} e il \nameref{th:lemma_gauss},
|
||||
che si pone da ponte tra l'analisi dell'irriducibilità in $\ZZx$ e
|
||||
quella in $\QQx$.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[\textit{Teorema delle radici razionali}]
|
||||
\label{th:radici_razionali}
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Sia $f(x) = a_n x^n + \ldots + a_0 \in \ZZx$. Abbia $f(x)$
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una radice razionale. Allora, detta tale radice $\frac{p}{q}$, già ridotta ai minimi termini, questa è tale che:
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\begin{enumerate}[ (i.)]
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\item $p \mid a_0$,
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\item $q \mid a_n$.
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Poiché $\frac{p}{q}$ è radice, $f\left(\frac{p}{q}\right)=0$, e
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quindi si ricava che:
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\[ a_n \left( \frac{p}{q} \right)^n + \ldots + a_0 = 0 \implies
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a_n p^n = -q( \ldots + a_0 q^{n-1}). \]
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\vskip 0.1in
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Quindi $q \mid a_n p^n$. Dal momento che $\MCD(p, q)=1$, si
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deduce che $q \mid a_n$. \\
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Analogamente si ricava che:
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\[ a_0 q^n = -p(a_n p^{n-1} + \ldots). \]
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\vskip 0.1in
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Pertanto, per lo stesso motivo espresso in precedenza,
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$p \mid a_0$, da cui la tesi.
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\end{proof}
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\begin{theorem}[\textit{Lemma di Gauss}]
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\label{th:lemma_gauss}
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Il prodotto di due polinomi primitivi in $\ZZx$ è anch'esso primitivo.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Siano $g(x) = a_m x^m + \ldots + a_0$ e $h(x) = b^n x^n + \ldots + b_0$ due polinomi primitivi in $\ZZx$. Si assuma che $f(x)=g(x)h(x)$
|
||||
non sia primitivo. Allora esiste un $p$ primo che divide tutti i
|
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coefficienti di $f(x)$. \\
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||||
Siano $a_s$ e $b_t$ i più piccoli coefficienti non divisibili
|
||||
da $p$ dei rispettivi polinomi. Questi sicuramente esistono,
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altrimenti $p$ dividerebbe tutti i coefficienti, e quindi
|
||||
o $g(x)$ o $h(x)$ non sarebbe primitivo, \Lightning{}. \\
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||||
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||||
Si consideri il coefficiente di $x^{s+t}$ di $f(x)$:
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\[c_{s+t} = \sum_{j+k=s+t} a_j b_k = \underbrace{a_0 b_{s+t} + a_1 b_{s+t-1} + \ldots}_{\equiv \, 0 \pmod p} + a_s b_t + \underbrace{a_{s+1}b_{t-1} + \ldots}_{\equiv \, 0 \pmod p},\]
|
||||
|
||||
dal momento che $p \mid c_{s+t}$, si deduce che $p$ deve dividere
|
||||
anche $a_sb_t$, ossia uno tra $a_s$ e $b_t$, che è assurdo, \Lightning{}. Quindi $f(x)$ è primitivo.
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||||
\end{proof}
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||||
\begin{theorem}[\textit{Secondo lemma di Gauss}]
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\label{th:lemma_gauss_2}
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||||
Sia $f(x) \in \ZZx$. Allora $f(x)$ è irriducibile in $\ZZx$
|
||||
se e solo se $f(x)$ è irriducibile in $\QQx$ ed è primitivo.
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||||
\end{theorem}
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\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
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($\implies$)\; Si dimostra l'implicazione contronominalmente,
|
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ossia mostrando che se $f(x)$ non è primitivo o se è
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riducibile in $\QQx$, allora $f(x)$ è riducibile in $\ZZx$. \\
|
||||
|
||||
Se $f(x)$ non è primitivo, allora
|
||||
$f(x)$ è riducibile in $\ZZx$. Sia quindi $f(x)$ primitivo
|
||||
e riducibile in $\QQx$, con $f(x)=g(x)h(x)$,
|
||||
$g(x)$, $h(x) \in \QQx \setminus \QQx^*$. \\
|
||||
|
||||
Si descrivano $g(x)$ e $h(x)$ nel seguente modo:
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||||
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||||
\[ g(x)=\frac{p_m}{q_m} x^m + \ldots + \frac{p_0}{q_0}, \quad \MCD(p_i, q_i)=1 \; \forall 0 \leq i \leq m, \]
|
||||
|
||||
\[ h(x)=\frac{s_n}{t_n} x^n + \ldots + \frac{s_0}{t_0}, \quad
|
||||
\MCD(s_i, t_i)=1 \; \forall 0 \leq i \leq n. \]
|
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|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Si definiscano inoltre le seguenti costanti:
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\[ \alpha = \frac{\mcm(q_m, \ldots, q_0)}{\MCD(p_m, \ldots, p_0)}, \quad \beta = \frac{\mcm(t_n, \ldots, t_0)}{\MCD(s_n, \ldots, s_0)}. \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Si verifica che sia $\hat{g}(x)=\alpha g(x)$ che
|
||||
$\hat{h}(x)=\beta h(x)$ appartengono a $\ZZx$ e che entrambi
|
||||
sono primitivi. Pertanto $\hat{g}(x) \hat{h}(x) \in \ZZx$. \\
|
||||
|
||||
Si descriva $f(x)$ nel seguente modo:
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||||
\[ f(x)=a_k x^k + \ldots + a_0, \quad \MCD(a_k,\ldots,a_0)=1. \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Sia $\alpha \beta = \frac{p}{q}$ con $\MCD(p,q)=1$, allora:
|
||||
|
||||
\[\hat{g}(x) \hat{h}(x) = \alpha \beta f(x) = \frac{p}{q} (a_k x^k + \ldots + a_0), \]
|
||||
|
||||
da cui, per far sì che $\hat{g}(x) \hat{h}(x)$ appartenga
|
||||
a $\ZZx$, $q$ deve necessariamente dividere tutti i
|
||||
coefficienti di $f(x)$. Tuttavia $f(x)$ è primitivo, e quindi
|
||||
$q=\pm 1$. Pertanto $\alpha \beta = \pm p \in \ZZ$. \\
|
||||
|
||||
Infine, per il \nameref{th:lemma_gauss}, $\alpha \beta f(x)$
|
||||
è primitivo, da cui $\alpha \beta = \pm 1$. Quindi
|
||||
$f(x) = \pm \hat{g}(x) \hat{h}(x)$ è riducibile. \\
|
||||
|
||||
($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Se $f(x)$ è irriducibile in $\QQx$
|
||||
ed è primitivo, sicuramente $f(x)$ è irriducibile anche in
|
||||
$\ZZx$. Infatti, se esiste una fattorizzazione in
|
||||
irriducibili in $\ZZx$, essa non include alcuna costante
|
||||
moltiplicativa dal momento che $f(x)$ è primitivo, e quindi
|
||||
esisterebbe una fattorizzazione in irriducibili anche in $\QQx$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
@ -0,0 +1,299 @@
|
||||
\section{I polinomi di un campo: $\KKx$}
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||||
\subsection{Elementi preliminari}
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||||
Prima di procedere ad enunciare le proprietà più
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||||
rilevanti dell'anello dei polinomi $\KKx$, si ricorda
|
||||
che esso è un \textbf{anello euclideo} in cui la funzione
|
||||
grado coincide con il grado del polinomio, ossia
|
||||
$g = \deg$. Si enuncia
|
||||
ora invece la definizione di radice.
|
||||
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||||
\begin{definition}
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||||
Si dice che $\alpha \in \KK$ è una \textbf{radice} del polinomio
|
||||
$f(x) \in \KKx$ se $f(\alpha)=0$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\label{prop:radice_x_meno_alpha}
|
||||
Se $\alpha \in \KK$ è una radice di $f(x) \in \KKx$, allora
|
||||
$(x-\alpha)$ divide $f(x)$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
Dal momento che $\KKx$ è un anello euclideo, si può eseguire
|
||||
la divisione euclidea tra $f(x)$ e $(x-\alpha)$, ossia
|
||||
esistono $q(x)$, $r(x) \in \KKx$ tali che $f(x)=q(x)(x-\alpha)+r(x)$
|
||||
con $\deg r(x) < \deg (x-\alpha)$ o con $r(x)=0$. \\
|
||||
|
||||
Se $r(x) \neq 0$, poiché $\deg r(x) < \deg (x-\alpha)$, si deduce
|
||||
che $\deg r(x) = 0$, ossia che $r(x)$ è un invertibile. In entrambi
|
||||
i casi, $r(x)$ è comunque una costante. Pertanto, valutando il
|
||||
polinomio in $\alpha$, si ricava:
|
||||
|
||||
\[ 0=f(\alpha)=\underbrace{q(\alpha)(\alpha-\alpha)}_{=\,0} + r(\alpha), \]
|
||||
|
||||
da cui $r(\alpha)=0$. Quindi $f(x)=q(x)(x-\alpha)$, e si verifica
|
||||
la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
\label{th:al_più_n_radici}
|
||||
Sia $f(x) \in \KKx$ di grado $n$. Allora $f(x)$ ha al più
|
||||
$n$ radici.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof} Se $n$ è nullo, allora $f(x)$ è una costante
|
||||
non nulla, e quindi non ammette radici, in accordo alla tesi. \\
|
||||
|
||||
Sia allora $n \geq 1$. Se $f(x)$ non ha radici in $\KK$, allora
|
||||
la tesi è ancora soddisfatta. Altrimenti sia $\zeta_1$ una radice di $f(x)$. Si divida $f(x)$ per
|
||||
$(x-\zeta_1)$ e se ne prende il quoziente $q_1(x)$, mentre si
|
||||
ignori il resto, che,
|
||||
per la \textit{Proposizione \ref{prop:radice_x_meno_alpha}},
|
||||
è nullo. \\
|
||||
|
||||
Si reiteri il procedimento utilizzando $q_1(x)$ al
|
||||
posto di $f(x)$ fino a quando il grado del quoziente non è nullo o
|
||||
il quoziente non ammette radici in $\KK$, e si chiami quest'ultimo
|
||||
quoziente $\lambda(x)$.
|
||||
Infatti, poiché i gradi dei quozienti diminuiscono di $1$ ad
|
||||
ogni iterazione, è garantito che l'algoritmo termini al più
|
||||
dopo $n$ iterazioni. \\
|
||||
|
||||
In questo modo, numerando le radici, si può scrivere $f(x)$ come:
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:fattorizzazione_fx}
|
||||
f(x)=\alpha(x-\zeta_1)(x-\zeta_2)\cdots(x-\zeta_k)\lambda(x).
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Si osserva che $x-\zeta_i$ è irriducibile $\forall 1 \leq i \leq k$.
|
||||
Se $f(x)$ ammettesse un'altra fattorizzazione in cui compaia
|
||||
un fattore $x-\alpha$ con $\alpha \neq \zeta_i$ $\forall 1 \leq i \leq k$, allora $f(x)$ ammetterebbe due fattorizzazioni in
|
||||
irriducibili, dacché $x-\alpha$ non sarebbe un associato
|
||||
di nessuno dei $x-\zeta_i$, né tantomeno di un
|
||||
irriducibile $\lambda(x)$. \\
|
||||
|
||||
Se infatti $x-\alpha$ fosse un associato di un
|
||||
irriducibile $\lambda(x)$, $x-\alpha$ dividerebbe
|
||||
$\lambda(x)$, e quindi $\lambda(x)$ ammetterebbe $\alpha$ come radice. Se $\lambda(x)$
|
||||
è una costante, questo è a priori assurdo, \Lightning{}. Se invece
|
||||
$\lambda(x)$ non è una costante, il fatto che ammetta una radice contraddirebbe il funzionamento
|
||||
dell'algoritmo di fattorizzazione espresso in precedenza, \Lightning{}. Quindi $x-\alpha$ non è associato di nessun irriducibile di $\lambda(x)$. \\
|
||||
|
||||
Allora il fatto che $f(x)$ ammetta due fattorizzazioni in
|
||||
irriducibili è assurdo, dacché $\KKx$ è un anello euclideo, e
|
||||
quindi un UFD, \Lightning{}. Quindi le radici sono esattamente $k \leq n$, da cui la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{Sottogruppi moltiplicativi finiti di $\KK$}
|
||||
|
||||
Si illustra adesso un teorema che riguarda i sottogruppi
|
||||
moltiplicativi finiti di $\KK$, da cui conseguirà,
|
||||
per esempio, che $\ZZ_p^*$ è sempre ciclico, per
|
||||
qualsiasi $p$ primo. \\
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{lem:somma_phi_n}
|
||||
Per ogni $n \in \NN$ vale la seguente identità:
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||||
|
||||
\[ n = \sum_{d \mid n} \varphi(d). \]
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
Si consideri il gruppo ciclico $\ZZ_n$ per $n \in \NN$.
|
||||
Si osserva che $\card{\ZZ_n} = n$. \\
|
||||
|
||||
Si definisca $X_d$ come l'insieme degli elementi di $G$
|
||||
di ordine $d$. Dal momento che ogni elemento appartiene
|
||||
a uno e uno solo di questi $X_d$, per ogni divisore
|
||||
$d$ di $n$, allora si può partizionare $G$ nel
|
||||
seguente modo:
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
G = \bigcup_{d \mid n} X_d.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Dal momento che $\ZZ_n$ è ciclico, ogni $X_d$ ha esattamente
|
||||
$\varphi(d)$ elementi, e dunque si deduce che:
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
n = \card{G} = \sum_{d \mid n} \card{X_d} = \sum_{d \mid n} \varphi(d),
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
ossia la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
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||||
Un sottogruppo moltiplicativo finito di un campo
|
||||
$\KK$ è sempre ciclico.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sia $G$ un sottogruppo finito di un campo $\KK$ definito
|
||||
sulla sua operazione di moltiplicazione, e sia
|
||||
$\card{G} = n$. \\
|
||||
|
||||
Si definisca $X_d$ come l'insieme degli elementi di $G$
|
||||
di ordine $d$. Dal momento che ogni elemento appartiene
|
||||
a uno e uno solo di questi $X_d$, per ogni divisore
|
||||
$d$ di $n$, allora si può partizionare $G$ nel
|
||||
seguente modo:
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
G = \bigcup_{d \mid n} X_d,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
da cui:
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:partizione_g_xd}
|
||||
n = \card{G} = \sum_{d \mid n} \card{X_d}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Dal \lemref{lem:somma_phi_n} e da \eqref{eq:partizione_g_xd},
|
||||
si ricava infine la seguente equazione:
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:uguaglianza_xd}
|
||||
\sum_{d \mid n} \card{X_d} = n = \sum_{d \mid n} \varphi(d).
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Adesso vi sono due casi: o $\card{X_n} > 0$ o $\card{X_n} = 0$. \\
|
||||
|
||||
Nel primo caso si concluderebbe che esiste almeno un elemento in
|
||||
$G$ di ordine $n$, e quindi che esiste un generatore con cui
|
||||
$G$ è ciclico, ossia la tesi. \\
|
||||
|
||||
Nel secondo caso si dimostra un assurdo. Dal momento che
|
||||
$\card{X_n} = 0$, esiste sicuramente un divisore proprio
|
||||
$d$ di $n$ tale che $\card{X_d} > \varphi(d)$. Altrimenti,
|
||||
se $\card{X_d} \leq \varphi(d)$ per ogni divisore $d$,
|
||||
si ricaverebbe la seguente disuguaglianza:
|
||||
|
||||
\[ \sum_{\substack{d \mid n \\ d \neq n}} \card{X_d} \leq \sum_{
|
||||
\substack{d \mid n \\ d \neq n}} \varphi(d) \implies \sum_{d \mid n} \card{X_d}
|
||||
\overbrace{=}^{\card{X_n}=0} \sum_{\substack{d \mid n \\ d \neq n}} \card{X_d}
|
||||
\leq \sum_{\substack{d \mid n \\ d \neq n}} \varphi(d)
|
||||
\overbrace{<}^{\varphi(n) \geq 1} \sum_{d \mid n} \varphi(d).\]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Tuttavia questo è un assurdo, dal momento che per \eqref{eq:uguaglianza_xd}
|
||||
deve valere l'uguaglianza, \Lightning{}. \\
|
||||
|
||||
Sia $g \in X_d$ e si consideri $(g)$, il sottogruppo generato da $g$.
|
||||
Vale in particolare che $\card{(g)} = d$. \\
|
||||
|
||||
Si consideri adesso il polinomio $f(x)= x^d-1 \in \KK[x]$. Tutti e $d$ gli
|
||||
elementi di $(g)$ sono già soluzione di $f(x)$. Tuttavia, poiché
|
||||
$\card{X_d} > \varphi(d)$, esiste sicuramente un elemento $h$ in $X_d$ che
|
||||
non appartiene a $(g)$. Infatti se tutti gli elementi di $X_d$ appartenessero
|
||||
a $(g)$ vi sarebbero più di $\varphi(d)$ generatori, \Lightning{}. \\
|
||||
|
||||
Infine, poiché $h \in X_d$, anch'esso è soluzione di $f(x)$. Questo è
|
||||
però un assurdo, poiché, per il \thref{th:al_più_n_radici}, $f(x)$
|
||||
ammette al più $d$ radici, mentre così ne avrebbe almeno $d+1$, \Lightning{}. \\
|
||||
|
||||
Quindi $\card{X_d}>0$, e $G$ è ciclico.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{Il quoziente $\KKx/(f(x))$}
|
||||
|
||||
Nell'ambito dello studio delle radici di un polinomio,
|
||||
il quoziente $\KKx/(f(x))$ gioca un ruolo fondamentale.
|
||||
Infatti, come vedremo in seguito, se $f(x)$ è irriducibile,
|
||||
questo diventa un campo, e, soprattutto, ammette sempre una
|
||||
radice per $f(x)$. \\
|
||||
|
||||
In realtà, il quoziente $\KKx/(f(x))$ si comporta pressocché
|
||||
allo stesso modo dei più familiari $\ZZ/n\ZZ$. Infatti
|
||||
le principali regole dell'aritmetica modulare potrebbero
|
||||
essere estese anche a tale quoziente, senza particolari
|
||||
sacrifici. \\
|
||||
|
||||
Si enuncia adesso un teorema importante, che è equivalente --
|
||||
anche nella dimostrazione -- all'analogo per i campi
|
||||
$\ZZ/p\ZZ$.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
\label{th:campo_quoziente_irriducibile}
|
||||
$\KKx/(f(x))$ è un campo se e solo se $f(x)$ è irriducibile.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
|
||||
|
||||
($\implies$)\; Sia $f(x) \in \KKx$ irriducibile. Affinché l'anello
|
||||
commutativo $\KKx/(f(x))$ sia un campo è sufficiente dimostrare
|
||||
che ogni suo elemento non nullo ammette un inverso moltiplicativo. \\
|
||||
|
||||
Sia $\alpha(x) + (f(x)) \in \KKx/(f(x))$ non nullo. Allora
|
||||
$\alpha(x)$ non è divisibile da $f(x)$, e pertanto
|
||||
$\MCD(\alpha(x), f(x))=1$\footnote{Si ricorda che in un PID la
|
||||
nozione di \textit{massimo comun divisore} (MCD) è più ambigua
|
||||
di quella di $\ZZ$. Infatti $\MCD(a,b)$ comprende tutti i
|
||||
generatori dell'ideale $(a,b)$, e quindi tutti i suoi associati.
|
||||
Pertanto si dirà $\MCD(a,b)$ uno qualsiasi di questi associati,
|
||||
e nel nostro caso $1$ è un buon valore, dacché l'MCD deve essere
|
||||
un associato di un'unità.}. \\
|
||||
|
||||
Allora, per l'\textit{Identità di Bézout}, esistono $\beta(x)$,
|
||||
$\lambda(x) \in \KKx$ tali che:
|
||||
|
||||
\[ \alpha(x)\beta(x) + \lambda(x)f(x) = 1. \]
|
||||
|
||||
Dacché $\alpha(x)\beta(x)-1 \in (f(x))$, si deduce che
|
||||
$\alpha(x)\beta(x)+(f(x))=1+(f(x))$, e quindi
|
||||
$\beta(x) + (f(x))$ è l'inverso moltiplicativo di $\alpha(x) +
|
||||
(f(x))$, da cui la dimostrazione dell'implicazione. \\
|
||||
|
||||
($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Si dimostra l'implicazione
|
||||
contronominalmente. Sia $f(x) \in \KKx$ riducibile. Allora
|
||||
esistono $\alpha(x)$ e $\beta(x)$ non
|
||||
invertibili tali che $f(x)=\alpha(x)\beta(x)$, da cui si ricava che:
|
||||
|
||||
\[[\alpha(x)+(f(x))][\beta(x)+(f(x))]=f(x)+(f(x))=0+(f(x)),\]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
ossia l'identità di $\KKx/(f(x))$. \\
|
||||
|
||||
Tuttavia, se $\KKx/(f(x))$ fosse un campo, e quindi un dominio,
|
||||
ciò non sarebbe ammissibile, dacché non potrebbero esservi
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||||
divisori di zero. Quindi $\KKx/(f(x))$ non è un campo.
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||||
\end{proof}
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\begin{remark*}
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||||
Una notazione per indicare un elemento di $\KKx/(f(x))$ alternativa
|
||||
e più sintetica di $a+(f(x))$ è $\overline{a}$, qualora
|
||||
sia noto nel contesto a quale $f(x)$ si fa riferimento.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
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||||
\begin{proposition}
|
||||
\label{prop:radice_quoziente}
|
||||
Nell'anello $\KKx/(f(x))$ esiste sempre una radice di $f(x)$,
|
||||
convertendo opportunamente i coefficienti da $\KK$ a $\KKx/(f(x))$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
Sia $\overline{x} = x + (f(x)) \in \KKx/(f(x))$ e si descriva $f(x)$ come:
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||||
\[ f(x)=a_nx^n+\ldots+a_0. \]
|
||||
|
||||
Allora, computando $f(x)$ in $\overline{x}$ e convertendone
|
||||
i coefficienti, si ricava che:
|
||||
|
||||
\[f(\overline{x})=\overline{a_n} \, \overline{x}^n + \ldots + \overline{a_0} =
|
||||
\overline{a_n x^n} + \ldots + \overline{a_0} = \overline{f(x)} =
|
||||
\overline{0}.\]
|
||||
|
||||
Quindi $\overline{x}$ è una radice di $f(x)$, da cui la tesi.
|
||||
|
||||
\end{proof}
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||||
@ -0,0 +1,522 @@
|
||||
\section{Estensioni algebriche di $\KK$}
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||||
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||||
\subsection{Morfismi di valutazione, elementi algebrici e trascendenti}
|
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||||
Si definisce adesso il concetto di \textit{omomorfismo di
|
||||
valutazione}, che impiegheremo successivamente nello
|
||||
studio dei quozienti $\KKx/(f(x))$ e dei cosiddetti
|
||||
\textit{elementi algebrici} (o \textit{trascendenti}).
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||||
\begin{definition}
|
||||
Sia $B$ un anello commutativo, e sia $A \subseteq B$ un suo
|
||||
sottoanello. Si definisce \textbf{omomorfismo di valutazione} di
|
||||
$\alpha \in B$ in $A$ l'omomorfismo:
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||||
|
||||
\[ \valalpha : A[x] \to B, \, f(x) \mapsto f(\alpha). \]
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
L'omomorfismo di valutazione è effettivamente un omomorfismo
|
||||
di anelli. Innanzitutto $\valalpha(1)=1$. Inoltre vale
|
||||
la linearità:
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||||
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||||
\begin{multline*}
|
||||
\valalpha(f(x))+\valalpha(g(x))=f(\alpha)+g(\alpha)=
|
||||
(f+g)(\alpha)=\valalpha((f+g)(x))=\\=\valalpha(f(x)+g(x)),
|
||||
\end{multline*}
|
||||
|
||||
così come la moltiplicatività:
|
||||
|
||||
\begin{multline*}
|
||||
\valalpha(f(x))\valalpha(g(x))=f(\alpha)g(\alpha)=
|
||||
(fg)(\alpha)=\valalpha((fg)(x))=\valalpha(f(x)g(x)).
|
||||
\end{multline*}
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
Si evidenziano adesso le principali proprietà di tale
|
||||
omomorfismo.
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||||
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||||
\begin{proposition}
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||||
\label{prop:imm_valalpha}
|
||||
$\Imm \valalpha = A[\alpha]$
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof} Sicuramente $\Imm \valalpha \subseteq A[\alpha]$,
|
||||
dacché ogni immagine di $\valalpha$ è una valutazione di un
|
||||
polinomio a coefficienti in $A$ in $\alpha$. \\
|
||||
|
||||
Sia dunque $a=a_n \alpha^n + \ldots + a_0 \in A[\alpha]$. Allora
|
||||
$\valalpha(a_n x^n + \ldots + a_0) = a$. Pertanto $a \in \Imm
|
||||
\valalpha$, da cui $A[\alpha] \in \Imm \valalpha$. \\
|
||||
|
||||
Poiché vale la doppia inclusione, si desume che $\Imm \valalpha =
|
||||
A[\alpha]$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Prima di applicare il \textit{Primo teorema d'isomorfismo}, si
|
||||
distinguono due importanti casi, sui quali si baseranno le
|
||||
definizioni di \textit{elemento algebrico} e di
|
||||
\textit{elemento trascendente}.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sia $\alpha \in B$. Se $\Ker \valalpha = (0)$, allora si
|
||||
dice che $\alpha$ è un \textbf{elemento trascendente} di
|
||||
$B$ su $A$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Equivalentemente, se $\alpha \in B$ è trascendente su $A$,
|
||||
significa che non vi è alcun polinomio non nullo in $A[x]$ che ha $\alpha$
|
||||
come soluzione.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Per esempio, il numero di Nepero-Eulero $e$ è trascendente su $\QQx$\footnote{Per una dimostrazione di questo fatto, si
|
||||
guardi a \cite[pp.~234-237]{herstein2010algebra}}. Quindi
|
||||
$\Ker \varphi_e = (0)$, e dunque, dal \textit{Primo teorema di
|
||||
isomorfismo}, vale che:
|
||||
|
||||
\[ \QQx \cong \QQx/(0) \cong \QQ[e]. \]
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
Possiamo generalizzare questo esempio nel seguente teorema.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
\label{th:isomorfismo_trascendente}
|
||||
Sia $B$ un campo e sia $A \subseteq B$ un suo sottoanello.
|
||||
Se $\alpha \in B$ è trascendente su $A$, allora vale
|
||||
la seguente relazione:
|
||||
|
||||
\[ A[x] \cong A[\alpha]. \]
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Si consideri l'omomorfismo $\valalpha$. Dacché $\alpha$ è
|
||||
trascendente, $\Ker \valalpha = (0)$. Allora, combinando
|
||||
il \textit{Primo teorema di isomorfismo} con la
|
||||
\textit{Proposizione \ref{prop:imm_valalpha}}, si ottiene
|
||||
proprio $A[x] \cong A[x]/(0) \cong A[\alpha]$, ossia la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sia $\alpha \in B$. Se $\Ker \valalpha \neq (0)$, allora si
|
||||
dice che $\alpha$ è un \textbf{elemento algebrico} di
|
||||
$B$ su $A$, mentre il generatore monico\footnote{Vi potrebbero
|
||||
essere infatti più generatori di $\Ker \valalpha$, sebbene
|
||||
tutti associati tra loro. L'attributo \textit{monico} garantisce
|
||||
così l'unicità del polinomio minimo.} non nullo di $\Ker \valalpha$ si
|
||||
dice \textbf{polinomio minimo} di $\alpha$ su $A$. Il grado
|
||||
di tale polinomio minimo è detto \textbf{grado di} $\alpha$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Equivalentemente, se $\alpha \in B$ è trascendente su $A$,
|
||||
significa che esiste un polinomio non nullo in $A[x]$ che ha $\alpha$ come
|
||||
soluzione. In particolare, ogni polinomio in $A[x]$ che ha
|
||||
$\alpha$ come soluzione è un multiplo del suo polinomio
|
||||
minimo su $A$.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Sia $\alpha \in A$. Allora $\alpha$ è banalmente un elemento
|
||||
algebrico su $A$, il cui polinomio minimo è $x-\alpha$. Vale
|
||||
dunque che $\Ker \valalpha = (x-\alpha)$, da cui, secondo
|
||||
il \textit{Primo teorema di isomorfismo}, si ricava che:
|
||||
|
||||
\[ A[x]/(x-\alpha) \cong A[\alpha] \cong A. \]
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
$i \in \CC$ è un elemento algebrico su $\RR$. Infatti, si
|
||||
consideri $\varphi_i$: poiché $i$ è soluzione di $x^2+1$,
|
||||
si ha che $x^2+1 \in \Ker \varphi_i$, che è quindi non vuoto. \\
|
||||
|
||||
Inoltre, dal momento che $x^2+1$ è irriducibile in $\RR[x]$,
|
||||
esso è generatore di
|
||||
$\Ker \varphi_i$. Inoltre, poiché monico, è anche il
|
||||
polinomio minimo di $i$ su $\RR$. \\
|
||||
|
||||
Allora, poiché dalla \textit{Proposizione
|
||||
\ref{prop:imm_valalpha}} $\Imm \varphi_i = \RR[i]$, si deduce dal \textit{Primo teorema di isomorfismo} che:
|
||||
|
||||
\[ \RRx/(x^2+1) \cong \RR[i] \cong \CC. \]
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
Ancora una volta possiamo generalizzare questo esempio con il
|
||||
seguente teorema.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
\label{th:isomorfismo_algebrico}
|
||||
Sia $B$ un campo e sia $A \subseteq B$ un suo sottoanello.
|
||||
Se $\alpha \in B$ è algebrico su $A$, allora, detto
|
||||
$f(x)$ il polinomio minimo di $\alpha$, vale
|
||||
la seguente relazione:
|
||||
|
||||
\[ A[x]/(f(x)) \cong A[\alpha]. \]
|
||||
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Si consideri l'omomorfismo $\valalpha$. Dacché $\Ker \valalpha
|
||||
= (f(x))$ per definizione di polinomio minimo, combinando
|
||||
il \textit{Primo teorema di isomorfismo} con la
|
||||
\textit{Proposizione \ref{prop:imm_valalpha}}, si ottiene
|
||||
proprio $A[x]/(f(x)) \cong A[\alpha]$, ossia la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sia $B$ un campo e sia $A \subseteq B$ un suo sottoanello. Allora,
|
||||
dato $\alpha \in B$,
|
||||
si definisce con la notazione $A(\alpha)$ il
|
||||
sottocampo di $B$ che contiene $A$ e $\alpha$ che
|
||||
sia minimale rispetto all'inclusione.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Le notazioni $\KK(\alpha, \beta)$ e $\KK(\alpha)(\beta)$ sono equivalenti.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
Sia $B$ un campo e sia $A \subseteq B$ un suo sottoanello.
|
||||
Se $\alpha \in B$ è algebrico su $A$, allora $A(\alpha)=A[\alpha]$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Se $\alpha$ è algebrico, allora $\Ker \valalpha = (f(x)) \neq (0)$,
|
||||
dove $f(x) \in A[x]$ è irriducibile. Pertanto, per
|
||||
il \textit{Teorema \ref{th:campo_quoziente_irriducibile}},
|
||||
$A[x]/(f(x))$ è un campo. \\
|
||||
|
||||
Dunque dal \textit{Teorema \ref{th:isomorfismo_algebrico}} si
|
||||
ricava che:
|
||||
|
||||
\[ A[x]/(f(x)) \cong A[\alpha]. \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Pertanto $A[\alpha]$ è un campo. Dacché $A[\alpha] \subseteq A(\alpha)$ e $A(\alpha)$ è minimale rispetto all'inclusione,
|
||||
si deduce che $A[\alpha]=A(\alpha)$, ossia la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Il teorema che è stato appena enunciato non vale per
|
||||
gli elementi trascendenti. Infatti, $A[\alpha]$ sarebbe
|
||||
isomorfo a $A[x]$, che non è un campo. Al contrario
|
||||
$A(\alpha)$ è un campo, per definizione.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
Sia $B$ un campo e sia $A \subseteq B$ un suo sottoanello.
|
||||
Se $\alpha$, $\beta \in B$ sono algebrici su $A$ e condividono
|
||||
lo stesso polinomio minimo, allora $A[\alpha] \cong A[\beta]$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sia $f(x)$ il polinomio minimo di $\alpha$ e $\beta$.
|
||||
Dal \textit{Primo teorema di isomorfismo} e dalla
|
||||
\textit{Proposizione \ref{prop:imm_valalpha}} si
|
||||
desume che $A[x]/(f(x)) \cong A[\alpha]$. Analogamente
|
||||
si ricava che $A[x]/(f(x)) \cong A[\beta]$. Pertanto
|
||||
$A[\alpha] \cong A[\beta]$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{Teorema delle torri ed estensioni algebriche}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Siano $A \subseteq B$ campi. Allora si denota come
|
||||
$[B : A]$ la dimensione dello spazio vettoriale $B$
|
||||
costruito su $A$, ossia $\dim B_A$. Tale dimensione è detta \textbf{grado
|
||||
dell'estensione}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[\textit{Teorema delle torri algebriche}]
|
||||
\label{th:torri}
|
||||
Siano $A \subseteq B \subseteq C$ campi. Allora:
|
||||
|
||||
\[ [C : A] = [C : B] [B : A]. \]
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Siano $[C : B] = m$ e $[B : A] = n$. Sia
|
||||
$\BB_C = (a_1, \ldots, a_m)$ una base
|
||||
di $C$ su $B$, e sia $\BB_B = (b_1, \ldots, b_n)$ una
|
||||
base di $B$ su $A$. \\
|
||||
|
||||
Si dimostra che la seguente è una base di $C$ su $A$:
|
||||
|
||||
\[\BB_A \BB_B = \{ a_1b_1, \ldots, a_1b_n, \ldots, a_mb_n\}. \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
\ (i) $\BB_C \BB_B$ genera $A$ su $C$. \\
|
||||
|
||||
Sia $c \in C$. Allora si può descrivere $a$ nel seguente
|
||||
modo:
|
||||
|
||||
\[c = \sum_{i=1}^m \beta_i a_i, \quad \text{con } \beta_i \in B, \; \forall 1 \leq i \leq m.\]
|
||||
|
||||
A sua volta, allora, si può descrivere ogni $\beta_i$ nel
|
||||
seguente modo:
|
||||
|
||||
\[\beta_i = \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} b_j, \quad \text{con }
|
||||
\gamma_j^{(i)} \in A, \; \forall 1 \leq j \leq n.\]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Combinando le due equazioni, si verifica che $\BB_C \BB_B$ genera $C$ su $A$:
|
||||
|
||||
\[ c = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} b_j a_i, \quad \text{con } \gamma_j^{(i)} \in A, \; \forall 1 \leq i \leq m, \, 1 \leq j \leq n. \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
\ (ii) $\BB_C \BB_B$ è linearmente indipendente. \\
|
||||
|
||||
Si consideri l'equazione:
|
||||
|
||||
\[ \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} b_j a_i = 0, \quad \text{con } \gamma_j^{(i)} \in A, \; \forall 1 \leq i \leq m, \, 1 \leq j \leq n .\]
|
||||
|
||||
Poiché $\BB_C$ è linearmente indipendente, si deduce
|
||||
che:
|
||||
|
||||
\[ \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} b_j = 0, \; \forall 1 \leq i \leq m. \]
|
||||
|
||||
Tuttavia, $\BB_B$ è a sua volta linearmente indipendente,
|
||||
e quindi $\gamma_j^{(i)} = 0$, $\forall i, j$. Dunque
|
||||
$\BB_C \BB_B$ è linearmente indipendente. \\
|
||||
|
||||
Dal momento che $\BB_C \BB_B$ è linearmente indipendente e
|
||||
genera $C$ su $A$, consegue che essa sia una base di $C$ su
|
||||
$A$. Quindi $[C : A] = mn = [C : B][B : A]$, da cui la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Siano $A \subseteq B$ campi. Se $[B : A] \neq \infty$, allora
|
||||
si dice che $BA$ è un'\textbf{estensione finita} di $A$.
|
||||
Altrimenti si dice che $B$ è un'\textbf{estensione infinita}
|
||||
di $A$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\label{prop:estensione_finita}
|
||||
Siano $A \subseteq B \subseteq C$ campi. Allora, se $C$ è
|
||||
un'estensione finita di $A$, anche $B$ lo è. Inoltre
|
||||
$C$ è un'estensione finita di $B$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Dal momento che $B$ è un sottospazio dello spazio vettoriale
|
||||
$C$ costruito su $A$, e questo ha dimensione finita,
|
||||
anche $B$ su $A$ ha dimensione finita. Quindi $[B : A] \neq
|
||||
\infty$, e $B$ è dunque un'estensione finita di $A$. \\
|
||||
|
||||
Infine, dacché una base di $C$ su $A$ è un generatore finito
|
||||
di $C$ su $B$, si deduce che $[C : B] \neq \infty$, e quindi
|
||||
che $C$ è un'estensione finita di $B$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
\label{th:estensione_algebrica}
|
||||
Siano $A \subseteq B$ campi. Allora $a \in B$ è
|
||||
algebrico su $A$ se e solo se $[A(a) : A] \neq \infty$,
|
||||
ossia solo se $A(a)$ è un'estensione finita di $A$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
|
||||
|
||||
($\implies$)\; Se $a \in B$ è algebrico su $A$, allora
|
||||
dal \textit{Teorema \ref{th:isomorfismo_algebrico}} si ricava che:
|
||||
|
||||
\[ A[x]/(f(x)) \cong A[a] \cong A(a). \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Dacché $A[x]/(f(x))$ ha dimensione finita, anche $A(a)$
|
||||
ha dimensione finita, e quindi è un'estensione finita
|
||||
di $A$. \\
|
||||
|
||||
($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Sia $A(a)$ un'estensione
|
||||
finita di $A$ e sia $[A(a) : A]=m$. Allora $I=(1, a, a^2, \ldots, a^m)$ è linearmente dipendente, dal momento che contiene
|
||||
$m+1$ elementi. Quindi esiste una sequenza finita non nulla
|
||||
$(\alpha_i)_{i=\,0\to m}$ con elementi in $A$ tale che:
|
||||
|
||||
\[ \alpha_m a^m + \ldots + \alpha_2 a^2 + \alpha_1 a + \alpha_0 = 0. \]
|
||||
|
||||
Quindi $a$ è soluzione del polinomio:
|
||||
|
||||
\[ f(x) = \alpha_m x^m + \ldots + \alpha_2 x^2 + \alpha_1 x + \alpha_0 \in A[x], \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
pertanto $a$ è algebrico su $A$, da cui la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Siano $A \subseteq B$ campi. Allora si dice che $B$ è
|
||||
un'\textbf{estensione algebrica} di $A$ se ogni elemento
|
||||
di $B$ è algebrico su $A$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\label{prop:estensione_finita_algebrica}
|
||||
Siano $A \subseteq B$ campi. Se $B$ è un'estensione finita
|
||||
di $A$, allora $B$ è una sua estensione algebrica.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sia $\alpha \in B$ e si consideri la catena di campi $A \subseteq A(\alpha)
|
||||
\subseteq B$. Dacché $[B : A] \neq \infty$, per la \propref{prop:estensione_finita}
|
||||
anche $[A(\alpha) : A] \neq \infty$. Pertanto, dal \thref{th:estensione_algebrica}, $\alpha$ è algebrico. Così tutti gli elementi
|
||||
di $B$ sono algebrici in $A$, e dunque, per definizione, $B$ è un'estensione
|
||||
algebrica di $A$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
\label{th:somma_prodotto_algebrici}
|
||||
Siano $A \subseteq B$ campi e siano $\beta_1$, $\beta_2$, $\ldots$, $\beta_n$
|
||||
elementi algebrici di $B$ su $A$, con $n \geq 1$.
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||||
Allora $[A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n) : A] \neq \infty$.
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\end{theorem}
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||||
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\begin{proof} Si procede applicando il principio di induzione su $n$. \\
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\ (\textit{passo base}) La tesi è verificata per il \thref{th:estensione_algebrica}. \, \\
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||||
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||||
\ (\textit{passo induttivo}) Per l'ipotesi induttiva, si sa che
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||||
$[A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1}) : A] \neq \infty$. \\
|
||||
|
||||
Poiché $\beta_n$ è algebrico su $A$, sin da subito si osserva
|
||||
che $[A(\beta_n) : A] \neq \infty$ per il \thref{th:estensione_algebrica}.
|
||||
Sia allora $f(x)$ il polinomio minimo di $\beta_n$ appartenente a
|
||||
$A[x]$. Esso è un polinomio che ammette $\beta_n$ come radice
|
||||
anche in $A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1})[x]$, e quindi
|
||||
$\Ker \varphi_{\beta_n} \neq (0)$ ammette un generatore
|
||||
$p(x)$, che divide $f(x)$. Si ottiene pertanto la seguente
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disuguaglianza:
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\[ [A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1})(\beta_n) : A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1})] = \deg p(x) \leq
|
||||
\deg f(x) = [A(\beta_n) : A]. \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Poiché $[A(\beta_n) : A]$ è finito, anche $[A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1})(\beta_n) : A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1})]$ lo è. \\
|
||||
|
||||
Combinando i due risultati, si ottiene con il \nameref{th:torri} che:
|
||||
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\begin{multline*}
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||||
[A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n) : A] = [A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1})(\beta_n) : A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1})] \\ \cdot[A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1}) : A] \neq \infty,
|
||||
\end{multline*}
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da cui la tesi.
|
||||
\, \\
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||||
\end{proof}
|
||||
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||||
\begin{corollary}
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||||
\label{cor:estensione_algebrica_due_elementi}
|
||||
Siano $A \subseteq B$ campi e siano $\alpha$, $\beta \in B$ elementi
|
||||
algebrici su $A$. Allora $A(\alpha, \beta)$ è un'estensione algebrica.
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Dal \thref{th:somma_prodotto_algebrici} si ricava che $[A(\alpha, \beta) : A] \neq
|
||||
\infty$. Quindi $A(\alpha, \beta)$ è un'estensione finita di $A$, ed in quanto
|
||||
tale, per la \propref{prop:estensione_finita_algebrica}, essa è algebrica.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Esistono estensioni algebriche che hanno grado infinito. Un
|
||||
esempio notevole è $\mathcal{A}$, l'insieme dei numeri algebrici di $\CC$
|
||||
su $\QQ$. Infatti, si ponga $[\mathcal{A} : \QQ] = n-1 \in \NN$ e si
|
||||
consideri $x^n-2$. Dal momento che per il \textit{Criterio di Eisenstein}
|
||||
tale polinomio è irriducibile, si ricava che $[\QQ(\nsqrt{n}{2}) : \QQ] = n$. \\
|
||||
|
||||
Poiché $\nsqrt{n}{2}$ è algebrico, si deduce che $\QQ(\nsqrt{n}{2}) \subseteq
|
||||
\mathcal{A}$, dal momento che per il \corref{cor:estensione_algebrica_due_elementi} ogni elemento di $\QQ(\nsqrt{n}{2})$ è algebrico su $\QQ$.
|
||||
Tuttavia questo è un assurdo dal momento che
|
||||
$\QQ(\nsqrt{n}{2})$ ha
|
||||
dimensione maggiore di $\mathcal{A}$, di cui è sottospazio vettoriale.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\label{prop:alpha_quadro}
|
||||
Siano $A \subseteq B$ campi e sia $\alpha \in B$. Se $[A(\alpha) : A]$
|
||||
è dispari, allora $A(\alpha^2)=A(\alpha)$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Innanzitutto, si osserva che $A(\alpha^2) \subseteq A(\alpha)$, ossia
|
||||
che $A(\alpha)$ è un'estensione di $A(\alpha^2)$. Grazie a questa
|
||||
osservazione è possibile considerare il grado di $A(\alpha)$ su
|
||||
$A(\alpha^2)$, ossia $[A(\alpha) : A(\alpha^2)]$. Poiché $\alpha$ è
|
||||
radice del polinomio $x^2 - \alpha^2$ in $A(\alpha^2)$, si deduce
|
||||
che tale grado è al più $2$. \\
|
||||
|
||||
Si applichi il \nameref{th:torri} alla catena di estensioni
|
||||
$A \subseteq A(\alpha^2) \subseteq A(\alpha)$:
|
||||
|
||||
\[ [A(\alpha) : A] = \underbrace{[A(\alpha) : A(\alpha^2)]}_{\leq 2} [A(\alpha^2) : A]. \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Se $[A(\alpha) : A(\alpha^2)]$ fosse $2$, $[A(\alpha) : A]$ sarebbe
|
||||
pari, \Lightning{}. Pertanto $[A(\alpha) : A(\alpha^2)] = 1$, da
|
||||
cui si ricava che $[A(\alpha) : A] = [A(\alpha^2) : A]$, ossia
|
||||
che $A(\alpha^2)$ ha la stessa dimensione di $A(\alpha)$ su $A$. \\
|
||||
|
||||
Dal momento che $A(\alpha^2)$ è un sottospazio vettoriale di $A(\alpha)$,
|
||||
avere la sua stessa dimensione equivale a coincidere con lo spazio
|
||||
stesso. Si conclude allora che $A(\alpha^2) = A(\alpha)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Si osserva che la \propref{prop:alpha_quadro} si può generalizzare
|
||||
facilmente ad un esponente $n$ qualsiasi, finché sia data come ipotesi
|
||||
la non divisibilità di $[A(\alpha) : A]$ per nessun numero primo
|
||||
minore o uguale di $n$. \\
|
||||
|
||||
Si può infatti considerare, per
|
||||
la dimostrazione generale, il polinomio $x^n - \alpha^n$, la cui
|
||||
esistenza implica che $[A(\alpha) : A(\alpha^n)]$ sia minore
|
||||
o uguale di $n$.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
Siano $A \subseteq B \subseteq C$ campi. Se $B$ è un'estensione algebrica di $A$
|
||||
e $C$ è un'estensione algebrica di $B$, allora $C$ è un'estensione algebrica di
|
||||
$A$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Per mostrare che $C$ è un'estensione algebrica di $A$, verificheremo che
|
||||
ogni suo elemento è algebrico in $A$. Sia dunque $c \in C$. \\
|
||||
|
||||
Poiché per ipotesi $c$ è algebrico su $B$, esiste un polinomio $f(x) \in B[x]$
|
||||
tale che $c$ ne sia radice. Sia $f(x)$ il polinomio minimo di $c$ su $B$,
|
||||
descritto come:
|
||||
|
||||
\[ f(x) = b_0 + b_1 x + \ldots + b_n x^n,\quad n = [B(c) : B].\]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Dacché $B$ è un'estensione algebrica di $A$, ogni coefficiente $b_i$ di $f(x)$ è
|
||||
algebrico su $A$, ossia $[A(b_i) : A] \neq \infty$. Allora, per il
|
||||
\thref{th:somma_prodotto_algebrici}, $[A(b_0, \ldots, b_n) : A] \neq \infty$.
|
||||
\\
|
||||
|
||||
Anche $[A(c, b_0, \ldots, b_n) : A(b_0, \ldots, b_n)] \neq \infty$, dal
|
||||
momento che $c$ è soluzione di $f(x) \in A(b_0, \ldots, b_n)[x]$. \\
|
||||
|
||||
Allora, per il \nameref{th:torri}, $[A(c, b_0, \ldots, b_n) : A] = [A(c, b_0,
|
||||
\ldots, b_n) : A(b_0, \ldots, b_n)][A(b_0, \ldots, b_n) : A] \neq \infty$.
|
||||
Quindi $A(c, b_0, \ldots, b_n)$ è un'estensione finita di $A$. \\
|
||||
|
||||
Poiché $A \subseteq A(c) \subseteq A(c, b_0, \ldots, b_n)$ è una
|
||||
catena di estensione di campi, per la \propref{prop:estensione_finita},
|
||||
$A(c)$ è un'estensione finita di $A$, ed in quanto tale, per
|
||||
la \propref{prop:estensione_finita_algebrica}, è anche algebrica. Quindi
|
||||
$c$ è algebrico su $A$, da cui la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
@ -0,0 +1,53 @@
|
||||
\section{Campi di spezzamento}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
\label{th:esistenza_spezzamento}
|
||||
Sia $A$ un campo, e sia $f(x) \in A[x]$.
|
||||
Allora esiste sempre un estensione di $A$ in cui siano
|
||||
contenute tutte le radici di $f(x)$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Si dimostra il teorema applicando il principio di induzione sul
|
||||
grado di $f(X)$. \\
|
||||
|
||||
\ (\textit{passo base}) \,Sia $\deg f(x) = 0$. Allora $A$ stesso è un
|
||||
campo in cui sono contenute tutte le radici, dacché esse non esistono. \\
|
||||
|
||||
\ (\textit{passo induttivo}) \,Sia $\deg f(x) = n$. Sia $f_1(x)$ un
|
||||
irriducibile di $f(x)$ e sia $\gamma(x) \in A[x]$ tale che
|
||||
$f(x)=f_1(x)\gamma(x)$. Allora, per il \thref{th:campo_quoziente_irriducibile}
|
||||
$A[x]/(f_1(x))$ è un campo, in cui, per la \propref{prop:radice_quoziente},
|
||||
$f_1(x)$ ammette radice. \\
|
||||
|
||||
Poiché $\deg \gamma(x) < n$, per il passo induttivo
|
||||
esiste un campo $C$ che estende $A[x]/(f_1(x))$ in cui risiedono tutte le sue radici. Dacché $C$ contiene $A[x]/(f_1(x))$, sia le radici
|
||||
di $f_1(x)$ che di $\gamma(x)$ risiedono in $C$. Tuttavia queste sono
|
||||
tutte le radici di $f(x)$, si conclude che $C$, che è un'estensione di $A[x]/(f_1(x))$, e quindi anche di $A$, è il campo ricercato.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Pertanto ora è possibile enunciare la definizione di \textit{campo di spezzamento}.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Si definisce \textbf{campo di spezzamento} di un polinomio $f(x) \in A[x]$ un
|
||||
campo $C$ con le seguenti caratteristiche:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $f(x)$ si fattorizza in $C[x]$ come prodotto di irriducibili di
|
||||
primo grado (i.e. in $C[x]$ risiedono tutte le radici di $f(x)$),
|
||||
\item Se $B$ è un campo tale che $A \subseteq B \subsetneq C$, allora
|
||||
$f(x)$ non si fattorizza in $B[x]$ come prodotto di irriducibili di
|
||||
primo grado.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Per il \thref{th:esistenza_spezzamento} esiste sempre un campo di spezzamento
|
||||
di un polinomio, dunque la definizione data è una buona definizione.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
In generale i campi di spezzamento non sono uguali, sebbene siano tutti
|
||||
isomorfi tra loro\footnote{Per la dimostrazione di questo risultato
|
||||
si rimanda a TODO}.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
@ -0,0 +1,50 @@
|
||||
\section{Teorema fondamentale dell'Algebra e radici reali in $\QQx$}
|
||||
|
||||
Si enuncia adesso il \nameref{th:algebra}, senza tuttavia
|
||||
fornirne una dimostrazione\footnote{Per la dimostrazione si rimanda
|
||||
a \cite[pp.~142-143]{di2013algebra}, avvisando della sua
|
||||
estrema tecnicità. Una dimostrazione a tema strettamente
|
||||
algebrico è dovuta invece al matematico francese Laplace (1749 -- 1827), per la quale
|
||||
si rimanda a \cite[pp.~120-122]{Remmert1991}.}.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[\textit{Teorema fondamentale dell'Algebra}]
|
||||
\label{th:algebra}
|
||||
Un polinomio non costante $f(x) \in \CCx$ ammette sempre almeno una radice in
|
||||
$\CC$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}
|
||||
Sia $f(x) \in \CCx$ di grado $n\geq1$. Allora $f(x)$ ammette
|
||||
esattamente $n$ radici, contate con la giusta molteplicità.
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sia $\zeta_1$ una radice complessa di $f(x)$, la cui esistenza
|
||||
è garantita dal \nameref{th:algebra}. Si divida $f(x)$ per
|
||||
$(x-\zeta_1)$ e se ne prende il quoziente $q_1(x)$, mentre si
|
||||
ignori il resto, che
|
||||
per la \textit{Proposizione \ref{prop:radice_x_meno_alpha}},
|
||||
è nullo. \\
|
||||
|
||||
Si reiteri il procedimento utilizzando $q_1(x)$ al
|
||||
posto di $f(x)$ fino a quando il grado del quoziente non è nullo,
|
||||
e si chiami infine questo quoziente di grado nullo $\alpha$.
|
||||
Infatti, poiché i gradi dei quozienti diminuiscono di $1$ ad
|
||||
ogni iterazione, è garantito che l'algoritmo termini esattamente
|
||||
dopo $n$ iterazioni. Pertanto, $f(x)$ a priori ha almeno $n$ radici. \\
|
||||
|
||||
In questo modo, numerando le radici, si può scrivere $f(x)$ come:
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:fattorizzazione_fx__reali}
|
||||
f(x)=\alpha(x-\zeta_1)(x-\zeta_2)\cdots(x-\zeta_n).
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Dal momento che $x-\zeta_i$ è irriducibile $\forall 1 \leq i \leq n$
|
||||
e dacché $\KKx$, in quanto anello euclideo, è un UFD, si dimostra
|
||||
che \eqref{eq:fattorizzazione_fx__reali} è l'unica fattorizzazione di
|
||||
$f(x)$, a meno di associati. Pertanto $f(x)$ ammette esattamente
|
||||
$n$ radici.
|
||||
\end{proof}
|
||||
Binary file not shown.
@ -0,0 +1,41 @@
|
||||
@book{di2013algebra,
|
||||
title={Algebra},
|
||||
author={Di Martino, P. and Dvornicich, R.},
|
||||
isbn={9788867410958},
|
||||
series={Didattica e Ricerca. Manuali},
|
||||
year={2013},
|
||||
publisher={Pisa University Press},
|
||||
shorthand={DM}
|
||||
},
|
||||
@book{herstein2010algebra,
|
||||
title={Algebra},
|
||||
author={Herstein, I.N.},
|
||||
isbn={9788864732107},
|
||||
year={2010},
|
||||
publisher={Editori Riuniti University Press},
|
||||
shorthand={H}
|
||||
},
|
||||
@Inbook{Remmert1991,
|
||||
author="Remmert, R.",
|
||||
title="The Fundamental Theorem of Algebra",
|
||||
bookTitle="Numbers",
|
||||
year="1991",
|
||||
publisher="Springer New York",
|
||||
address="New York, NY",
|
||||
pages="97--122",
|
||||
isbn="978-1-4612-1005-4",
|
||||
doi="10.1007/978-1-4612-1005-4_5",
|
||||
url="https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1005-4_5"
|
||||
},
|
||||
@article{10.2307/2315810,
|
||||
ISSN = {00029890, 19300972},
|
||||
URL = {http://www.jstor.org/stable/2315810},
|
||||
author = {M. A. Jodeit},
|
||||
journal = {The American Mathematical Monthly},
|
||||
number = {7},
|
||||
pages = {835--836},
|
||||
publisher = {Mathematical Association of America},
|
||||
title = {Uniqueness in the Division Algorithm},
|
||||
volume = {74},
|
||||
year = {1967}
|
||||
}
|
||||
Loading…
Reference in New Issue