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feat(analisi): aggiunge gli appunti della lezione del 17/03/2023
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0f21dbc536
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36f398add3
@ -0,0 +1,812 @@
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%%Creator: (MATLAB, The Mathworks, Inc. Version 9.12.0.2009381 \(R2022a\) Update 4. Operating System: Windows 10)
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%%Title: ./epsFig.eps
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%%CreationDate: 2023-03-17T19:48:10
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%%Pages: (atend)
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%%BoundingBox: 25 19 381 293
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%%LanguageLevel: 3
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%%EndComments
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%%BeginProlog
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%%BeginResource: procset (Apache XML Graphics Std ProcSet) 1.2 0
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%%Version: 1.2 0
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%%Copyright: (Copyright 2001-2003,2010 The Apache Software Foundation. License terms: http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0)
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/bd{bind def}bind def
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/ld{load def}bd
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/GR/grestore ld
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/GS/gsave ld
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/RM/rmoveto ld
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/C/curveto ld
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/t/show ld
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/L/lineto ld
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/ML/setmiterlimit ld
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/CT/concat ld
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/f/fill ld
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/N/newpath ld
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/S/stroke ld
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/CC/setcmykcolor ld
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/A/ashow ld
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/cp/closepath ld
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/RC/setrgbcolor ld
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/LJ/setlinejoin ld
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/GC/setgray ld
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/LW/setlinewidth ld
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/M/moveto ld
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/re {4 2 roll M
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1 index 0 rlineto
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0 exch rlineto
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neg 0 rlineto
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cp } bd
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/_ctm matrix def
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/_tm matrix def
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/BT { _ctm currentmatrix pop matrix _tm copy pop 0 0 moveto } bd
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/ET { _ctm setmatrix } bd
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/iTm { _ctm setmatrix _tm concat } bd
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/Tm { _tm astore pop iTm 0 0 moveto } bd
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/ux 0.0 def
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/uy 0.0 def
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/F {
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/Tp exch def
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/Tf exch def
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Tf findfont Tp scalefont setfont
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/cf Tf def /cs Tp def
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} bd
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/ULS {currentpoint /uy exch def /ux exch def} bd
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/ULE {
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/Tcx currentpoint pop def
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gsave
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newpath
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cf findfont cs scalefont dup
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/FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
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/UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
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/UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
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ux uy To add moveto Tcx uy To add lineto
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Tt setlinewidth stroke
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grestore
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} bd
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/OLE {
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/Tcx currentpoint pop def
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gsave
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newpath
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cf findfont cs scalefont dup
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/FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
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/UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
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/UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
|
||||||
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ux uy To add cs add moveto Tcx uy To add cs add lineto
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||||||
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Tt setlinewidth stroke
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||||||
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grestore
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||||||
|
} bd
|
||||||
|
/SOE {
|
||||||
|
/Tcx currentpoint pop def
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||||||
|
gsave
|
||||||
|
newpath
|
||||||
|
cf findfont cs scalefont dup
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||||||
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/FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
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/UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
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||||||
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/UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
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||||||
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ux uy To add cs 10 mul 26 idiv add moveto Tcx uy To add cs 10 mul 26 idiv add lineto
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Tt setlinewidth stroke
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grestore
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} bd
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/QT {
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/Y22 exch store
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/X22 exch store
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/Y21 exch store
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||||||
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/X21 exch store
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||||||
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currentpoint
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||||||
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/Y21 load 2 mul add 3 div exch
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/X21 load 2 mul add 3 div exch
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/X21 load 2 mul /X22 load add 3 div
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||||||
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/Y21 load 2 mul /Y22 load add 3 div
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/X22 load /Y22 load curveto
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} bd
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/SSPD {
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dup length /d exch dict def
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{
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/v exch def
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/k exch def
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currentpagedevice k known {
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/cpdv currentpagedevice k get def
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v cpdv ne {
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/upd false def
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/nullv v type /nulltype eq def
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/nullcpdv cpdv type /nulltype eq def
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nullv nullcpdv or
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{
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/upd true def
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} {
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/sametype v type cpdv type eq def
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sametype {
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v type /arraytype eq {
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/vlen v length def
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/cpdvlen cpdv length def
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vlen cpdvlen eq {
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0 1 vlen 1 sub {
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/i exch def
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/obj v i get def
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/cpdobj cpdv i get def
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obj cpdobj ne {
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/upd true def
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exit
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} if
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||||||
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} for
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} {
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/upd true def
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} ifelse
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} {
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v type /dicttype eq {
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v {
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/dk exch def
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/cpddv cpdv dk get def
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dv cpddv ne {
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/upd true def
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exit
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} if
|
||||||
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} forall
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|
} {
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/upd true def
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} ifelse
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||||||
|
} ifelse
|
||||||
|
} if
|
||||||
|
} ifelse
|
||||||
|
upd true eq {
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|
d k v put
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} if
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||||||
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} if
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||||||
|
} if
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} forall
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d length 0 gt {
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d setpagedevice
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} if
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} bd
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/RE { % /NewFontName [NewEncodingArray] /FontName RE -
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findfont dup length dict begin
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{
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1 index /FID ne
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{def} {pop pop} ifelse
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} forall
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/Encoding exch def
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/FontName 1 index def
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currentdict definefont pop
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end
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} bind def
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%%EndResource
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%%BeginResource: procset (Apache XML Graphics EPS ProcSet) 1.0 0
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%%Version: 1.0 0
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%%Copyright: (Copyright 2002-2003 The Apache Software Foundation. License terms: http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0)
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/BeginEPSF { %def
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/b4_Inc_state save def % Save state for cleanup
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/dict_count countdictstack def % Count objects on dict stack
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/op_count count 1 sub def % Count objects on operand stack
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userdict begin % Push userdict on dict stack
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/showpage { } def % Redefine showpage, { } = null proc
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0 setgray 0 setlinecap % Prepare graphics state
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1 setlinewidth 0 setlinejoin
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10 setmiterlimit [ ] 0 setdash newpath
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/languagelevel where % If level not equal to 1 then
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{pop languagelevel % set strokeadjust and
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1 ne % overprint to their defaults.
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{false setstrokeadjust false setoverprint
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} if
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} if
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} bd
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/EndEPSF { %def
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count op_count sub {pop} repeat % Clean up stacks
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countdictstack dict_count sub {end} repeat
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b4_Inc_state restore
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} bd
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%%EndResource
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%FOPBeginFontDict
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%%IncludeResource: font Courier-Oblique
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%%IncludeResource: font Helvetica-Oblique
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%%IncludeResource: font Helvetica-BoldOblique
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%%IncludeResource: font Times-Italic
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%%IncludeResource: font Times-Bold
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%%IncludeResource: font Times-BoldItalic
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%FOPEndFontDict
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%%BeginResource: encoding WinAnsiEncoding
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/WinAnsiEncoding [
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/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
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/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
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/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
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/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
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/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
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/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
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/.notdef /.notdef /space /exclam /quotedbl
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/numbersign /dollar /percent /ampersand /quotesingle
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/parenleft /parenright /asterisk /plus /comma
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/hyphen /period /slash /zero /one
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/two /three /four /five /six
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/seven /eight /nine /colon /semicolon
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/less /equal /greater /question /at
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/A /B /C /D /E
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/F /G /H /I /J
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/K /L /M /N /O
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/P /Q /R /S /T
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/U /V /W /X /Y
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|
/Z /bracketleft /backslash /bracketright /asciicircum
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/underscore /quoteleft /a /b /c
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/d /e /f /g /h
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/i /j /k /l /m
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/n /o /p /q /r
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/s /t /u /v /w
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|
/x /y /z /braceleft /bar
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/braceright /asciitilde /bullet /Euro /bullet
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/quotesinglbase /florin /quotedblbase /ellipsis /dagger
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/daggerdbl /circumflex /perthousand /Scaron /guilsinglleft
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/OE /bullet /Zcaron /bullet /bullet
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/quoteleft /quoteright /quotedblleft /quotedblright /bullet
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/endash /emdash /asciitilde /trademark /scaron
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/guilsinglright /oe /bullet /zcaron /Ydieresis
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/space /exclamdown /cent /sterling /currency
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/yen /brokenbar /section /dieresis /copyright
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/ordfeminine /guillemotleft /logicalnot /sfthyphen /registered
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/macron /degree /plusminus /twosuperior /threesuperior
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/acute /mu /paragraph /middot /cedilla
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/onesuperior /ordmasculine /guillemotright /onequarter /onehalf
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/threequarters /questiondown /Agrave /Aacute /Acircumflex
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/Atilde /Adieresis /Aring /AE /Ccedilla
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/Egrave /Eacute /Ecircumflex /Edieresis /Igrave
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/Iacute /Icircumflex /Idieresis /Eth /Ntilde
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/Ograve /Oacute /Ocircumflex /Otilde /Odieresis
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/multiply /Oslash /Ugrave /Uacute /Ucircumflex
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/Udieresis /Yacute /Thorn /germandbls /agrave
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/aacute /acircumflex /atilde /adieresis /aring
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/ae /ccedilla /egrave /eacute /ecircumflex
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/edieresis /igrave /iacute /icircumflex /idieresis
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/eth /ntilde /ograve /oacute /ocircumflex
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/otilde /odieresis /divide /oslash /ugrave
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/uacute /ucircumflex /udieresis /yacute /thorn
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/ydieresis
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] def
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%%EndResource
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%FOPBeginFontReencode
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/Courier-Oblique findfont
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dup length dict begin
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{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
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/Encoding WinAnsiEncoding def
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currentdict
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end
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||||||
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/Courier-Oblique exch definefont pop
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/Courier-BoldOblique findfont
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dup length dict begin
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{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
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/Encoding WinAnsiEncoding def
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currentdict
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end
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/Courier-BoldOblique exch definefont pop
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/Courier-Bold findfont
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dup length dict begin
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{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
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/Encoding WinAnsiEncoding def
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currentdict
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end
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/Courier-Bold exch definefont pop
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/Helvetica findfont
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dup length dict begin
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{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
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/Encoding WinAnsiEncoding def
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currentdict
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end
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/Helvetica exch definefont pop
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||||||
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/Helvetica-Oblique findfont
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dup length dict begin
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||||||
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{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
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currentdict
|
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end
|
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/Helvetica-Oblique exch definefont pop
|
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dup length dict begin
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{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
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/Encoding WinAnsiEncoding def
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currentdict
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end
|
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/Helvetica-Bold exch definefont pop
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||||||
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/Helvetica-BoldOblique findfont
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||||||
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dup length dict begin
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{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
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/Encoding WinAnsiEncoding def
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currentdict
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end
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||||||
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/Helvetica-BoldOblique exch definefont pop
|
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/Times-Roman findfont
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||||||
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dup length dict begin
|
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{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
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/Encoding WinAnsiEncoding def
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currentdict
|
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end
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/Times-Roman exch definefont pop
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/Times-Italic findfont
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dup length dict begin
|
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{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
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/Encoding WinAnsiEncoding def
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||||||
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currentdict
|
||||||
|
end
|
||||||
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/Times-Italic exch definefont pop
|
||||||
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/Times-Bold findfont
|
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dup length dict begin
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||||||
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{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
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/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||||
|
currentdict
|
||||||
|
end
|
||||||
|
/Times-Bold exch definefont pop
|
||||||
|
/Times-BoldItalic findfont
|
||||||
|
dup length dict begin
|
||||||
|
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||||
|
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||||
|
currentdict
|
||||||
|
end
|
||||||
|
/Times-BoldItalic exch definefont pop
|
||||||
|
/Courier findfont
|
||||||
|
dup length dict begin
|
||||||
|
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||||
|
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||||
|
currentdict
|
||||||
|
end
|
||||||
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/Courier exch definefont pop
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||||||
|
%FOPEndFontReencode
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||||||
|
%%EndProlog
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%%Page: 1 1
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%%PageBoundingBox: 0 0 420 315
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%%BeginPageSetup
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N
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||||||
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25 19 M
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||||||
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406 19 L
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406 312 L
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||||||
|
25 312 L
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cp
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||||||
|
clip
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[1 0 0 -1 0 315] CT
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%%EndPageSetup
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GS
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||||||
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[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
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1 GC
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N
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||||||
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0 0 560 420 re
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|
f
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||||||
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GR
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||||||
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GS
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||||||
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[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
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|
1 GC
|
||||||
|
N
|
||||||
|
0 0 560 420 re
|
||||||
|
f
|
||||||
|
GR
|
||||||
|
GS
|
||||||
|
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||||
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1 GC
|
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N
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73 374 M
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||||||
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507 374 L
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||||||
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507 31 L
|
||||||
|
73 31 L
|
||||||
|
cp
|
||||||
|
f
|
||||||
|
GR
|
||||||
|
GS
|
||||||
|
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
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2 setlinecap
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1 LJ
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0.667 LW
|
||||||
|
N
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||||||
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73 374 M
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||||||
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507.003 374 L
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||||||
|
S
|
||||||
|
GR
|
||||||
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GS
|
||||||
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[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
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2 setlinecap
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%%LanguageLevel: 3
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%%EndComments
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%%BeginProlog
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%%BeginResource: procset (Apache XML Graphics Std ProcSet) 1.2 0
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%%Version: 1.2 0
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%%Copyright: (Copyright 2001-2003,2010 The Apache Software Foundation. License terms: http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0)
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/bd{bind def}bind def
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/ld{load def}bd
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/GR/grestore ld
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/GS/gsave ld
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/RM/rmoveto ld
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/C/curveto ld
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/t/show ld
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/L/lineto ld
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/ML/setmiterlimit ld
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/CT/concat ld
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/f/fill ld
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/N/newpath ld
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/S/stroke ld
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/CC/setcmykcolor ld
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/A/ashow ld
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/cp/closepath ld
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/RC/setrgbcolor ld
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/LJ/setlinejoin ld
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/GC/setgray ld
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/LW/setlinewidth ld
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/M/moveto ld
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/re {4 2 roll M
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1 index 0 rlineto
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0 exch rlineto
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neg 0 rlineto
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cp } bd
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/_ctm matrix def
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/_tm matrix def
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/BT { _ctm currentmatrix pop matrix _tm copy pop 0 0 moveto } bd
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/ET { _ctm setmatrix } bd
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/iTm { _ctm setmatrix _tm concat } bd
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/Tm { _tm astore pop iTm 0 0 moveto } bd
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/ux 0.0 def
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/uy 0.0 def
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/F {
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/Tp exch def
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/Tf exch def
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Tf findfont Tp scalefont setfont
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/cf Tf def /cs Tp def
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} bd
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||||||
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/ULS {currentpoint /uy exch def /ux exch def} bd
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/ULE {
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/Tcx currentpoint pop def
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gsave
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newpath
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cf findfont cs scalefont dup
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||||||
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/FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
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||||||
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/UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
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||||||
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/UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
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||||||
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ux uy To add moveto Tcx uy To add lineto
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Tt setlinewidth stroke
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grestore
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} bd
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/OLE {
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/Tcx currentpoint pop def
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gsave
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||||||
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newpath
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||||||
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cf findfont cs scalefont dup
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||||||
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/FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
|
||||||
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/UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
|
||||||
|
/UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
|
||||||
|
ux uy To add cs add moveto Tcx uy To add cs add lineto
|
||||||
|
Tt setlinewidth stroke
|
||||||
|
grestore
|
||||||
|
} bd
|
||||||
|
/SOE {
|
||||||
|
/Tcx currentpoint pop def
|
||||||
|
gsave
|
||||||
|
newpath
|
||||||
|
cf findfont cs scalefont dup
|
||||||
|
/FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
|
||||||
|
/UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
|
||||||
|
/UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
|
||||||
|
ux uy To add cs 10 mul 26 idiv add moveto Tcx uy To add cs 10 mul 26 idiv add lineto
|
||||||
|
Tt setlinewidth stroke
|
||||||
|
grestore
|
||||||
|
} bd
|
||||||
|
/QT {
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||||||
|
/Y22 exch store
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||||||
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/X22 exch store
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||||||
|
/Y21 exch store
|
||||||
|
/X21 exch store
|
||||||
|
currentpoint
|
||||||
|
/Y21 load 2 mul add 3 div exch
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||||||
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/X21 load 2 mul add 3 div exch
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||||||
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/X21 load 2 mul /X22 load add 3 div
|
||||||
|
/Y21 load 2 mul /Y22 load add 3 div
|
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/X22 load /Y22 load curveto
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|
} bd
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/SSPD {
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dup length /d exch dict def
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{
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||||||
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/v exch def
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/k exch def
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currentpagedevice k known {
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/cpdv currentpagedevice k get def
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v cpdv ne {
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/upd false def
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/nullv v type /nulltype eq def
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/nullcpdv cpdv type /nulltype eq def
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||||||
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nullv nullcpdv or
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{
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||||||
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/upd true def
|
||||||
|
} {
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||||||
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/sametype v type cpdv type eq def
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||||||
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sametype {
|
||||||
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v type /arraytype eq {
|
||||||
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/vlen v length def
|
||||||
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/cpdvlen cpdv length def
|
||||||
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vlen cpdvlen eq {
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0 1 vlen 1 sub {
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/i exch def
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/obj v i get def
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/cpdobj cpdv i get def
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obj cpdobj ne {
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/upd true def
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exit
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} if
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|
} for
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} {
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/upd true def
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} ifelse
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||||||
|
} {
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||||||
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v type /dicttype eq {
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||||||
|
v {
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/dk exch def
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/cpddv cpdv dk get def
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dv cpddv ne {
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/upd true def
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||||||
|
exit
|
||||||
|
} if
|
||||||
|
} forall
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||||||
|
} {
|
||||||
|
/upd true def
|
||||||
|
} ifelse
|
||||||
|
} ifelse
|
||||||
|
} if
|
||||||
|
} ifelse
|
||||||
|
upd true eq {
|
||||||
|
d k v put
|
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|
} if
|
||||||
|
} if
|
||||||
|
} if
|
||||||
|
} forall
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d length 0 gt {
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d setpagedevice
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} if
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} bd
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/RE { % /NewFontName [NewEncodingArray] /FontName RE -
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findfont dup length dict begin
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{
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1 index /FID ne
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{def} {pop pop} ifelse
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} forall
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/Encoding exch def
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/FontName 1 index def
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currentdict definefont pop
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end
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} bind def
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%%EndResource
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%%BeginResource: procset (Apache XML Graphics EPS ProcSet) 1.0 0
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%%Version: 1.0 0
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%%Copyright: (Copyright 2002-2003 The Apache Software Foundation. License terms: http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0)
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/BeginEPSF { %def
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/b4_Inc_state save def % Save state for cleanup
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/dict_count countdictstack def % Count objects on dict stack
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/op_count count 1 sub def % Count objects on operand stack
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userdict begin % Push userdict on dict stack
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/showpage { } def % Redefine showpage, { } = null proc
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0 setgray 0 setlinecap % Prepare graphics state
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1 setlinewidth 0 setlinejoin
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|
10 setmiterlimit [ ] 0 setdash newpath
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/languagelevel where % If level not equal to 1 then
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{pop languagelevel % set strokeadjust and
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1 ne % overprint to their defaults.
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{false setstrokeadjust false setoverprint
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} if
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} if
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} bd
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/EndEPSF { %def
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count op_count sub {pop} repeat % Clean up stacks
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countdictstack dict_count sub {end} repeat
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b4_Inc_state restore
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} bd
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%%EndResource
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%FOPBeginFontDict
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%%IncludeResource: font Courier-Oblique
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%%IncludeResource: font ZapfDingbats
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%%IncludeResource: font Symbol
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%%IncludeResource: font Helvetica
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%%IncludeResource: font Helvetica-Oblique
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%%IncludeResource: font Helvetica-BoldOblique
|
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%%IncludeResource: font Times-Roman
|
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%%IncludeResource: font Times-Italic
|
||||||
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%%IncludeResource: font Times-Bold
|
||||||
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%%IncludeResource: font Times-BoldItalic
|
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%%IncludeResource: font Courier
|
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%FOPEndFontDict
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%%BeginResource: encoding WinAnsiEncoding
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/WinAnsiEncoding [
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/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
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/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
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/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
|
||||||
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/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
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||||||
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/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
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||||||
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/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
|
||||||
|
/.notdef /.notdef /space /exclam /quotedbl
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|
/numbersign /dollar /percent /ampersand /quotesingle
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/parenleft /parenright /asterisk /plus /comma
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/hyphen /period /slash /zero /one
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/two /three /four /five /six
|
||||||
|
/seven /eight /nine /colon /semicolon
|
||||||
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/less /equal /greater /question /at
|
||||||
|
/A /B /C /D /E
|
||||||
|
/F /G /H /I /J
|
||||||
|
/K /L /M /N /O
|
||||||
|
/P /Q /R /S /T
|
||||||
|
/U /V /W /X /Y
|
||||||
|
/Z /bracketleft /backslash /bracketright /asciicircum
|
||||||
|
/underscore /quoteleft /a /b /c
|
||||||
|
/d /e /f /g /h
|
||||||
|
/i /j /k /l /m
|
||||||
|
/n /o /p /q /r
|
||||||
|
/s /t /u /v /w
|
||||||
|
/x /y /z /braceleft /bar
|
||||||
|
/braceright /asciitilde /bullet /Euro /bullet
|
||||||
|
/quotesinglbase /florin /quotedblbase /ellipsis /dagger
|
||||||
|
/daggerdbl /circumflex /perthousand /Scaron /guilsinglleft
|
||||||
|
/OE /bullet /Zcaron /bullet /bullet
|
||||||
|
/quoteleft /quoteright /quotedblleft /quotedblright /bullet
|
||||||
|
/endash /emdash /asciitilde /trademark /scaron
|
||||||
|
/guilsinglright /oe /bullet /zcaron /Ydieresis
|
||||||
|
/space /exclamdown /cent /sterling /currency
|
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|
/yen /brokenbar /section /dieresis /copyright
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|
/ordfeminine /guillemotleft /logicalnot /sfthyphen /registered
|
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|
/macron /degree /plusminus /twosuperior /threesuperior
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/acute /mu /paragraph /middot /cedilla
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/onesuperior /ordmasculine /guillemotright /onequarter /onehalf
|
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/threequarters /questiondown /Agrave /Aacute /Acircumflex
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/Atilde /Adieresis /Aring /AE /Ccedilla
|
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/Egrave /Eacute /Ecircumflex /Edieresis /Igrave
|
||||||
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/Iacute /Icircumflex /Idieresis /Eth /Ntilde
|
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|
/Ograve /Oacute /Ocircumflex /Otilde /Odieresis
|
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|
/multiply /Oslash /Ugrave /Uacute /Ucircumflex
|
||||||
|
/Udieresis /Yacute /Thorn /germandbls /agrave
|
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|
/aacute /acircumflex /atilde /adieresis /aring
|
||||||
|
/ae /ccedilla /egrave /eacute /ecircumflex
|
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|
/edieresis /igrave /iacute /icircumflex /idieresis
|
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|
/eth /ntilde /ograve /oacute /ocircumflex
|
||||||
|
/otilde /odieresis /divide /oslash /ugrave
|
||||||
|
/uacute /ucircumflex /udieresis /yacute /thorn
|
||||||
|
/ydieresis
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||||||
|
] def
|
||||||
|
%%EndResource
|
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|
%FOPBeginFontReencode
|
||||||
|
/Courier-Oblique findfont
|
||||||
|
dup length dict begin
|
||||||
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{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
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/Encoding WinAnsiEncoding def
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||||||
|
currentdict
|
||||||
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end
|
||||||
|
/Courier-Oblique exch definefont pop
|
||||||
|
/Courier-BoldOblique findfont
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||||||
|
dup length dict begin
|
||||||
|
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||||
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/Encoding WinAnsiEncoding def
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||||||
|
currentdict
|
||||||
|
end
|
||||||
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/Courier-BoldOblique exch definefont pop
|
||||||
|
/Courier-Bold findfont
|
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dup length dict begin
|
||||||
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{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||||
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/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||||
|
currentdict
|
||||||
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end
|
||||||
|
/Courier-Bold exch definefont pop
|
||||||
|
/Helvetica findfont
|
||||||
|
dup length dict begin
|
||||||
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{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||||
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/Encoding WinAnsiEncoding def
|
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|
currentdict
|
||||||
|
end
|
||||||
|
/Helvetica exch definefont pop
|
||||||
|
/Helvetica-Oblique findfont
|
||||||
|
dup length dict begin
|
||||||
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{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||||
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/Encoding WinAnsiEncoding def
|
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|
currentdict
|
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|
end
|
||||||
|
/Helvetica-Oblique exch definefont pop
|
||||||
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/Helvetica-Bold findfont
|
||||||
|
dup length dict begin
|
||||||
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{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||||
|
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||||
|
currentdict
|
||||||
|
end
|
||||||
|
/Helvetica-Bold exch definefont pop
|
||||||
|
/Helvetica-BoldOblique findfont
|
||||||
|
dup length dict begin
|
||||||
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{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||||
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/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||||
|
currentdict
|
||||||
|
end
|
||||||
|
/Helvetica-BoldOblique exch definefont pop
|
||||||
|
/Times-Roman findfont
|
||||||
|
dup length dict begin
|
||||||
|
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||||
|
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||||
|
currentdict
|
||||||
|
end
|
||||||
|
/Times-Roman exch definefont pop
|
||||||
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/Times-Italic findfont
|
||||||
|
dup length dict begin
|
||||||
|
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||||
|
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||||
|
currentdict
|
||||||
|
end
|
||||||
|
/Times-Italic exch definefont pop
|
||||||
|
/Times-Bold findfont
|
||||||
|
dup length dict begin
|
||||||
|
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||||
|
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||||
|
currentdict
|
||||||
|
end
|
||||||
|
/Times-Bold exch definefont pop
|
||||||
|
/Times-BoldItalic findfont
|
||||||
|
dup length dict begin
|
||||||
|
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||||
|
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||||
|
currentdict
|
||||||
|
end
|
||||||
|
/Times-BoldItalic exch definefont pop
|
||||||
|
/Courier findfont
|
||||||
|
dup length dict begin
|
||||||
|
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||||
|
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||||
|
currentdict
|
||||||
|
end
|
||||||
|
/Courier exch definefont pop
|
||||||
|
%FOPEndFontReencode
|
||||||
|
%%EndProlog
|
||||||
|
%%Page: 1 1
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%%PageBoundingBox: 0 0 420 315
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%%BeginPageSetup
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N
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||||||
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25 20 M
|
||||||
|
406 20 L
|
||||||
|
406 312 L
|
||||||
|
25 312 L
|
||||||
|
cp
|
||||||
|
clip
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||||||
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[1 0 0 -1 0 315] CT
|
||||||
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%%EndPageSetup
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GS
|
||||||
|
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||||
|
1 GC
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||||||
|
N
|
||||||
|
0 0 560 420 re
|
||||||
|
f
|
||||||
|
GR
|
||||||
|
GS
|
||||||
|
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||||
|
1 GC
|
||||||
|
N
|
||||||
|
0 0 560 420 re
|
||||||
|
f
|
||||||
|
GR
|
||||||
|
GS
|
||||||
|
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||||
|
1 GC
|
||||||
|
N
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||||||
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73 373.65 M
|
||||||
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507 373.65 L
|
||||||
|
507 31.35 L
|
||||||
|
73 31.35 L
|
||||||
|
cp
|
||||||
|
f
|
||||||
|
GR
|
||||||
|
GS
|
||||||
|
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||||
|
2 setlinecap
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1 LJ
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||||||
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0.667 LW
|
||||||
|
N
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||||||
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73 373.649 M
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||||||
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506.998 373.649 L
|
||||||
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S
|
||||||
|
GR
|
||||||
|
GS
|
||||||
|
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||||
|
2 setlinecap
|
||||||
|
1 LJ
|
||||||
|
0.667 LW
|
||||||
|
N
|
||||||
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86.18 373.649 M
|
||||||
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86.18 369.309 L
|
||||||
|
S
|
||||||
|
GR
|
||||||
|
GS
|
||||||
|
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||||
|
2 setlinecap
|
||||||
|
1 LJ
|
||||||
|
0.667 LW
|
||||||
|
N
|
||||||
|
147.062 373.649 M
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147.062 369.309 L
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S
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GR
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||||||
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GS
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[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
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2 setlinecap
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1 LJ
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0.667 LW
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N
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207.946 373.649 M
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||||||
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207.946 369.309 L
|
||||||
|
S
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||||||
|
GR
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||||||
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GS
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||||||
|
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
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||||||
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2 setlinecap
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||||||
|
1 LJ
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||||||
|
0.667 LW
|
||||||
|
N
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268.829 373.649 M
|
||||||
|
268.829 369.309 L
|
||||||
|
S
|
||||||
|
GR
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||||||
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GS
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||||||
|
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
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||||||
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2 setlinecap
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||||||
|
1 LJ
|
||||||
|
0.667 LW
|
||||||
|
N
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|
329.711 373.649 M
|
||||||
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329.711 369.309 L
|
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|
S
|
||||||
|
GR
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||||||
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GS
|
||||||
|
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
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2 setlinecap
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|
1 LJ
|
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|
0.667 LW
|
||||||
|
N
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390.594 373.649 M
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390.594 369.309 L
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|
S
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|
GR
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GS
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[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
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2 setlinecap
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|
1 LJ
|
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|
0.667 LW
|
||||||
|
N
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451.48 373.649 M
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451.48 369.309 L
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S
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[0.75 0 0 0.75 64.63485 284.23647] CT
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[1 0 0 1 0 0] CT
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[1 0 0 1 0 0] CT
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-17 14 moveto
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GR
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[0.75 0 0 0.75 155.95979 284.23647] CT
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-17 14 moveto
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-4 14 moveto
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-17 14 moveto
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GS
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[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
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2 setlinecap
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1 LJ
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0.667 LW
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|
N
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73 373.649 M
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|
73 31.351 L
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|
S
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|
GR
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GS
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[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
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2 setlinecap
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1 LJ
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|
0.667 LW
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|
N
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73 372.414 M
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|
77.34 372.414 L
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||||||
|
S
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|
GR
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GS
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||||||
|
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
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2 setlinecap
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1 LJ
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0.667 LW
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N
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73 311.529 M
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77.34 311.529 L
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||||||
|
S
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||||||
|
GR
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||||||
|
GS
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||||||
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[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
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||||||
|
2 setlinecap
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||||||
|
1 LJ
|
||||||
|
0.667 LW
|
||||||
|
N
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||||||
|
73 250.647 M
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||||||
|
77.34 250.647 L
|
||||||
|
S
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||||||
|
GR
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||||||
|
GS
|
||||||
|
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
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||||||
|
2 setlinecap
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|
1 LJ
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||||||
|
0.667 LW
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||||||
|
N
|
||||||
|
73 189.765 M
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||||||
|
77.34 189.765 L
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||||||
|
S
|
||||||
|
GR
|
||||||
|
GS
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||||||
|
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
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||||||
|
2 setlinecap
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|
1 LJ
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|
0.667 LW
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|
N
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||||||
|
73 128.882 M
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|
77.34 128.882 L
|
||||||
|
S
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|
GR
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||||||
|
GS
|
||||||
|
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
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||||||
|
2 setlinecap
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|
1 LJ
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|
0.667 LW
|
||||||
|
N
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|
73 67.996 M
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||||||
|
77.34 67.996 L
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||||||
|
S
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|
GR
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GS
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[0.75 0 0 0.75 50.75015 279.31023] CT
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GS
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[1 0 0 1 0 0] CT
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-34 5.5 moveto
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GR
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GR
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[0.75 0 0 0.75 50.75015 233.64709] CT
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/Helvetica 13.333 F
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GS
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[1 0 0 1 0 0] CT
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-34 5.5 moveto
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1 -1 scale
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(0.998) t
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GR
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GR
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GS
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[0.75 0 0 0.75 50.75015 187.98529] CT
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/Helvetica 13.333 F
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GS
|
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[1 0 0 1 0 0] CT
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-8 5.5 moveto
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1 -1 scale
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(1) t
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GR
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|
GR
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|
GS
|
||||||
|
[0.75 0 0 0.75 50.75015 142.32351] CT
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||||||
|
/Helvetica 13.333 F
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GS
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||||||
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[1 0 0 1 0 0] CT
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|
-34 5.5 moveto
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|
1 -1 scale
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(1.002) t
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|
GR
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||||||
|
GR
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||||||
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GS
|
||||||
|
[0.75 0 0 0.75 50.75015 96.66172] CT
|
||||||
|
/Helvetica 13.333 F
|
||||||
|
GS
|
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|
[1 0 0 1 0 0] CT
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||||||
|
-34 5.5 moveto
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|
1 -1 scale
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|
(1.004) t
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|
GR
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||||||
|
GR
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||||||
|
GS
|
||||||
|
[0.75 0 0 0.75 50.75015 50.99721] CT
|
||||||
|
/Helvetica 13.333 F
|
||||||
|
GS
|
||||||
|
[1 0 0 1 0 0] CT
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|
-34 5.5 moveto
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|
1 -1 scale
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(1.006) t
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||||||
|
GR
|
||||||
|
GR
|
||||||
|
GS
|
||||||
|
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
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||||||
|
1 LJ
|
||||||
|
0.667 LW
|
||||||
|
N
|
||||||
|
145.786 373.69 M
|
||||||
|
268.829 250.647 L
|
||||||
|
488.165 31.311 L
|
||||||
|
S
|
||||||
|
GR
|
||||||
|
GS
|
||||||
|
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||||
|
1 LJ
|
||||||
|
0.667 LW
|
||||||
|
N
|
||||||
|
160.803 31.311 M
|
||||||
|
268.829 250.647 L
|
||||||
|
331.275 373.69 L
|
||||||
|
S
|
||||||
|
GR
|
||||||
|
GS
|
||||||
|
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||||
|
1 LJ
|
||||||
|
0.667 LW
|
||||||
|
N
|
||||||
|
271.873 373.69 M
|
||||||
|
271.873 256.735 L
|
||||||
|
262.741 256.735 L
|
||||||
|
262.741 238.468 L
|
||||||
|
281.007 238.468 L
|
||||||
|
281.007 274.99 L
|
||||||
|
244.486 274.99 L
|
||||||
|
244.486 201.903 L
|
||||||
|
317.572 201.903 L
|
||||||
|
317.572 347.9 L
|
||||||
|
171.576 347.9 L
|
||||||
|
171.576 55.204 L
|
||||||
|
464.271 55.204 L
|
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|
S
|
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|
GR
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||||||
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%%Trailer
|
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|
%%Pages: 1
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||||||
@ -0,0 +1,171 @@
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|
\documentclass[11pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{personal_commands}
|
||||||
|
\usepackage[italian]{babel}
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|
|
||||||
|
\title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}}
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|
\author{Gabriel Antonio Videtta}
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|
\date{17 marzo 2023}
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||||||
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|
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|
\begin{document}
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||||||
|
|
||||||
|
\maketitle
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||||||
|
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||||||
|
\begin{center}
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|
\Large \textbf{Successioni per ricorsione}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{remark}
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||||||
|
Sia $X$ l'insieme delle successioni a valori reali che soddisfano una data
|
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|
eq.~ricorsiva lineare ed omogenea di ordine $k$ (ossia che coinvolge
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|
$k$ precedenti elementi di una successione). \\
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|
\li $X$ è uno spazio vettoriale su $\RR$. \\
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|
\li $T : X \to \RR^n$, $(x_n) \mapsto (x_0, ..., x_{k-1})^\top$ è
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|
un isomorfismo, e quindi $\dim X = k$. \\
|
||||||
|
\li Si può facilmente individuare una base naturale di $X$, costituita dagli
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|
elementi della forma $\vec{x_i} = T\inv(\vec{e_ {i + 1}})$ con $i = 0, ..., k - 1$,
|
||||||
|
dove $\vec{x_i}$ rappresenta una successione di $X$ dove l'$i$-esimo elemento
|
||||||
|
è pari a $1$ e gli altri, tra $0$ e $k-1$, sono nulli.
|
||||||
|
\end{remark}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{remark}
|
||||||
|
Le eq.~differenziali ordinarie si possono approssimare
|
||||||
|
ad eq.~su differenze finite (e questa considerazione è
|
||||||
|
alla base della grande somiglianza tra i concetti sviluppati
|
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|
sia per queste che per quelle).
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||||||
|
\end{remark}
|
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|
\begin{example} (ricondursi a un caso discreto)
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|
Si consideri un'eq.~differenziale omogenea lineare del primo
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|
ordine su $x(t)$. Si può approssimare $t$ con $nh$, dato
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|
$h$ piccolo, e così scrivere $x_n = x(nh) \approx x(t)$.
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||||||
|
Così, allora, $x_{n+1} = x((n+1)h) = x(t + h)$. Conseguentemente $h
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||||||
|
x'(t) \approx x(t + h) - x(t) \approx x_{n+1} - x_n$. \\
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|
|
||||||
|
Si provi a risolvere, per esempio, l'eq.~ differenziale $x'(t) = x(t)$.
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||||||
|
Sostituendo, si ottiene $x_{n+1} - x_n = h x_n$, da cui
|
||||||
|
si ricava l'eq.~ricorsiva $x_{n+1} = (1 + h) x_n$. Allora
|
||||||
|
$x(nh) = x_n = (1 + h)^n \underbrace{x(0)}_c = (1 + h)^n c$. \\
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||||||
|
|
||||||
|
In effetti $x(t) = \displaystyle \lim_{h \to 0} (1 + h)^n c =
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|
\lim_{h \to 0} \left[(1 + h)^{\frac{1}{h}}\right]^t c = c e^t$,
|
||||||
|
la famiglia di soluzioni dell'eq.~differenziale originale.
|
||||||
|
\end{example}
|
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|
|
||||||
|
\begin{example} (metodo delle bisettrici)
|
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|
Sia data la sequente successione:
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\[ (x_n) = \begin{cases} x_n = x_{n-1}^4, \\ x_0 = \frac12. \end{cases} \]
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||||||
|
Si consideri allora il sistema di funzioni:
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|
|
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\[ \begin{cases}
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f(x) = x^4, \\ y = x,
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||||||
|
\end{cases} \]
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||||||
|
ossia i punti fissi di $f(x)$. Si può disegnare facilmente
|
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|
la successione mediante il seguente algoritmo: si prenda
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|
$x_0$ sull'asse delle ascisse, e si valuti $f(x_0) = x_1$ collegando
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|
il punto $(x_0, 0)$ a $(x_0, x_1)$,
|
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|
alla fine ricollegato sulla bisettrice al punto $(x_1, x_1)$;
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|
si colleghi $(x_1, x_1)$ a $(x_1, x_2 = f(x_1))$ e quest'ultimo a
|
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|
$(x_2, x_2)$, etc. Si sarà allora
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||||||
|
disegnato in modo grafico la successione, e considerando
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|
i blocchi che connettono $(x_{n-1}, x_{n-1})$, $(x_{n-1}, x_n)$
|
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|
e $(x_n, x_n)$, si potrà facilmente intuire che $x_n \tendston \infty$ per $x_0 > 1$, che $x_n \tendston 1$ per $x_0 = 1$,
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|
e che $x_n \tendston 0$ per $x_0 < 1$. Quindi nel caso
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|
dell'esempio, $x_n \tendston 0$.
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\includegraphics[width=0.6\textwidth]{esempio.eps}
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|
\caption{Applicazione dell'algoritmo con $x_0 = 1,0001$.}
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|
\label{fig:my_label}
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|
\end{figure}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{example}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{example}
|
||||||
|
Riprendendo l'esempio precedente, si può ora provare
|
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|
a dimostrare formalmente i risultati ottenuti.
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Sempre graficamente, si intuisce che $(x_n)$ sarà
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decrescente, e quindi che ammetterà limite (che,
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in particolare, coinciderà con il suo estremo inferiore). \\
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Si dimostra quindi, per prima cosa, che $(x_n)$ è
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decrescente, e che vale $0 \leq x_n \leq \frac{1}{2}$.
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Si procede per induzione: se $n=0$, la tesi è già
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verificata; se la tesi è vera fino a $n-1$, allora
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$x_n = \underbrace{x_{n-1}^4}_{\geq 0} \leq \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} \leq \frac{1}{2}$. Quindi
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$(x_n)$ è decrescente, e poiché $0$ ne è minorante,
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varrà in particolare che $\ell = \lim_{n \to \infty} x_n \in [0, \frac{1}{2}]$. \\
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Si mostra che $\ell$ deve essere un punto fisso di
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$f$: poiché $x_n \tendston \ell$, anche $x_{n+1} \tendston
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\ell$ (essendone una sottosuccessione); inoltre, poiché
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$x_{n+1} = x_n^4$, $x_{n+1} \tendston \ell^4$. Poiché il limite è unico, deve allora valere $\ell = \ell^4 = f(\ell)$. Poiché gli unici punti di fissi di $f$ sono
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$0$ e $1$, e $1$ non è
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minorante di $(x_n)$,
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deve valere che $\ell = 0$. \\
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Se invece $x_0$ fosse stato
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maggiore di $1$, si sarebbe
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dimostrato che $(x_n)$ era
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strettamente crescente, e
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dunque avrebbe ammesso comunque
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limite; tale limite non sarebbe
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potuto essere né $0$ né $1$,
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dacché non sarebbero stati maggioranti
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di $(x_n)$, né tantomeno
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$-\infty$. Allora tale limite
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avrebbe dovuto essere,
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forzatamente, $\infty$.
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\end{example}
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\begin{example}
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Si consideri adesso la
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successione:
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\[ \begin{cases}
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x_0 = 2, \\
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x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n}.
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\end{cases} \]
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Applicando lo stesso ragionamento
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di prima, si considera $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$. È sufficiente
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dimostrare che $(x_n)$ è tale che
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$\sqrt{2} \leq x_n \leq 2$
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$\forall n \in \NN$ (dove $\sqrt{2}$
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è l'unico punto fisso di $f(x)$) per
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concludere immediatamente che
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il limite di tale successione è
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proprio $\sqrt{2}$.
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\end{example}
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\begin{example}
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Si consideri l'eq.~ricorsiva $x_n = \frac{1}{x_{n-1}^2}$,
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con $x_0 > 1$.
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Qualsiasi disegno si faccia, si osserverà una "spirale"
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nella configurazione della successione: si ipotizzerà
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dunque che $x_n$ non ammetterà limite. Si distinguono
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dal disegno due sottosuccessioni: $x_{2n}$ e $x_{2n+1}$,
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che, rispettivamente, obbediranno a due eq.~ricorsive,
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$x_{2(n+1)} = x_{2n}^4$ e $x_{2(n+1) + 1} = x_{2n + 1}^4$,
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ossia la successione analizzata in uno scorso esempio. \\
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\includegraphics[width=0.6\textwidth]{esempio2.eps}
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\caption{Applicazione del metodo della bisettrice con $x_0 = 1,0001$.}
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\label{fig:my_label}
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\end{figure}
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Poiché $x_0 > 1$, $x_1 = \frac{1}{x_0^2} < 1$. Allora
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$x_{2n} \tendston \infty$, mentre $x_{2n+1} \tendston
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0$: poiché una sottosuccessione deve tendere allo
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stesso limite della successione da cui deriva, ed il
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limite è unico, si conclude che $(x_n)$ non ammette
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limite.
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\end{example}
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\end{document}
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@ -0,0 +1,181 @@
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\ProvidesPackage{personal_commands}
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\usepackage{amsmath,amssymb}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsopn}
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage{marvosym}
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\usepackage{floatflt}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{float}
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\hfuzz=\maxdimen
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\tolerance=10000
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\newcommand{\lemmaref}[1]{\textit{Lemma \ref{#1}}}
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\newcommand{\thref}[1]{\textit{Teorema \ref{#1}}}
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\newcommand{\li}[0]{$\blacktriangleright\;\;$}
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\newcommand{\tendsto}[1]{\xrightarrow[\text{$x \to #1$}]{}}
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\newcommand{\tendston}[0]{\xrightarrow[\text{$n \to \infty$}]{}}
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\setlength\parindent{0pt}
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% Personal commands
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\newcommand{\card}[1]{\left|#1\right|}
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\newcommand{\nsqrt}[2]{\!\sqrt[#1]{#2}\,}
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\newenvironment{solution}
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{\begin{proof}[Soluzione]}
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{\end{proof}}
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\theoremstyle{definition}
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\newtheorem{corollary}{Corollario}
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\newtheorem*{definition}{Definizione}
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\newtheorem*{example}{Esempio}
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\newtheorem{exercise}{Esercizio}
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\newtheorem{lemma}{Lemma}
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\newtheorem*{remark}{Osservazione}
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\newtheorem*{proposition}{Proposizione}
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\newtheorem{theorem}{Teorema}
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\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
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\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
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\newcommand{\KK}{\mathbb{K}}
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\newcommand{\CCx}{\mathbb{C}[x]}
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\newcommand{\FFpp}{\mathbb{F}_p}
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\newcommand{\FFpd}{\mathbb{F}_{p^d}}
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\newcommand{\FFpm}{\mathbb{F}_{p^m}}
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\newcommand{\FFpn}{\mathbb{F}_{p^n}}
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\newcommand{\FFp}[1]{\mathbb{F}_{p^{#1}}}
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\newcommand{\KKx}{\mathbb{K}[x]}
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\newcommand{\QQx}{\mathbb{Q}[x]}
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\newcommand{\RRx}{\mathbb{R}[x]}
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\newcommand{\ZZi}{\mathbb{Z}[i]}
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\newcommand{\ZZom}{\mathbb{Z}[\omega]}
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\newcommand{\ZZx}{\mathbb{Z}[x]}
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\newcommand{\ii}{\mathbf{i}}
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\newcommand{\dual}[1]{#1^{*}}
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\newcommand{\LL}[2]{\mathcal{L} \left(#1, \, #2\right)}
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\newcommand{\M}[1]{\mathcal{M}_{#1}\left(\KK\right)}
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\newcommand{\nsg}{\mathrel{\unlhd}}
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\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}}
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\newcommand{\hatpi}{\hat{\pi}}
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\newcommand{\hatpip}{\hat{\pi}_p}
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% evan.sty original commands
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\newcommand{\cbrt}[1]{\sqrt[3]{#1}}
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\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
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\newcommand{\ceiling}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
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\newcommand{\mailto}[1]{\href{mailto:#1}{\texttt{#1}}}
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\newcommand{\eps}{\varepsilon}
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\newcommand{\vocab}[1]{\textbf{\color{blue}\sffamily #1}}
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\providecommand{\alert}{\vocab}
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\newcommand{\catname}{\mathsf}
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\providecommand{\arc}[1]{\wideparen{#1}}
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% From H113 "Introduction to Abstract Algebra" at UC Berkeley
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\newcommand{\CC}{\mathbb C}
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\newcommand{\FF}{\mathbb F}
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\newcommand{\NN}{\mathbb N}
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\newcommand{\QQ}{\mathbb Q}
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\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
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\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
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\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
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\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
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%From Kiran Kedlaya's "Geometry Unbound"
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\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
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\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
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\newcommand{\dang}{\measuredangle} %% Directed angle
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\newcommand{\ray}[1]{\overrightarrow{#1}}
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\newcommand{\seg}[1]{\overline{#1}}
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% From M275 "Topology" at SJSU
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\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
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\newcommand{\taking}[1]{\xrightarrow{#1}}
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\newcommand{\inv}{^{-1}}
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\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
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\newcommand{\defeq}{\overset{\mathrm{def}}{=}}
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\newcommand{\defiff}{\overset{\mathrm{def}}{\iff}}
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% From the USAMO .tex files
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\newcommand{\dg}{^\circ}
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\newcommand{\liff}{\leftrightarrow}
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\DeclareMathOperator{\End}{End}
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\let\circ\undefined
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\DeclareMathOperator{\exists}{\oldexists}
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\DeclareMathOperator{\forall}{\oldforall}
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\let\land\undefined
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\DeclareMathOperator{\land}{\oldland}
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\let\lnot\undefined
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\let\lor\undefined
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\DeclareMathOperator{\lor}{\oldlor}
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Binary file not shown.
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