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feat(analisi): aggiunge gli appunti della lezione del 17/03/2023
parent
0f21dbc536
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36f398add3
@ -0,0 +1,812 @@
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%%Creator: (MATLAB, The Mathworks, Inc. Version 9.12.0.2009381 \(R2022a\) Update 4. Operating System: Windows 10)
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%%Title: ./epsFig.eps
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%%CreationDate: 2023-03-17T19:48:10
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%%BoundingBox: 25 19 381 293
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%%EndComments
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%%BeginProlog
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%%BeginResource: procset (Apache XML Graphics Std ProcSet) 1.2 0
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%%Version: 1.2 0
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%%Copyright: (Copyright 2001-2003,2010 The Apache Software Foundation. License terms: http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0)
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/bd{bind def}bind def
|
||||
/ld{load def}bd
|
||||
/GR/grestore ld
|
||||
/GS/gsave ld
|
||||
/RM/rmoveto ld
|
||||
/C/curveto ld
|
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/t/show ld
|
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/L/lineto ld
|
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/ML/setmiterlimit ld
|
||||
/CT/concat ld
|
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/f/fill ld
|
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/N/newpath ld
|
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/S/stroke ld
|
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/CC/setcmykcolor ld
|
||||
/A/ashow ld
|
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/cp/closepath ld
|
||||
/RC/setrgbcolor ld
|
||||
/LJ/setlinejoin ld
|
||||
/GC/setgray ld
|
||||
/LW/setlinewidth ld
|
||||
/M/moveto ld
|
||||
/re {4 2 roll M
|
||||
1 index 0 rlineto
|
||||
0 exch rlineto
|
||||
neg 0 rlineto
|
||||
cp } bd
|
||||
/_ctm matrix def
|
||||
/_tm matrix def
|
||||
/BT { _ctm currentmatrix pop matrix _tm copy pop 0 0 moveto } bd
|
||||
/ET { _ctm setmatrix } bd
|
||||
/iTm { _ctm setmatrix _tm concat } bd
|
||||
/Tm { _tm astore pop iTm 0 0 moveto } bd
|
||||
/ux 0.0 def
|
||||
/uy 0.0 def
|
||||
/F {
|
||||
/Tp exch def
|
||||
/Tf exch def
|
||||
Tf findfont Tp scalefont setfont
|
||||
/cf Tf def /cs Tp def
|
||||
} bd
|
||||
/ULS {currentpoint /uy exch def /ux exch def} bd
|
||||
/ULE {
|
||||
/Tcx currentpoint pop def
|
||||
gsave
|
||||
newpath
|
||||
cf findfont cs scalefont dup
|
||||
/FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
|
||||
/UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
|
||||
/UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
|
||||
ux uy To add moveto Tcx uy To add lineto
|
||||
Tt setlinewidth stroke
|
||||
grestore
|
||||
} bd
|
||||
/OLE {
|
||||
/Tcx currentpoint pop def
|
||||
gsave
|
||||
newpath
|
||||
cf findfont cs scalefont dup
|
||||
/FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
|
||||
/UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
|
||||
/UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
|
||||
ux uy To add cs add moveto Tcx uy To add cs add lineto
|
||||
Tt setlinewidth stroke
|
||||
grestore
|
||||
} bd
|
||||
/SOE {
|
||||
/Tcx currentpoint pop def
|
||||
gsave
|
||||
newpath
|
||||
cf findfont cs scalefont dup
|
||||
/FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
|
||||
/UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
|
||||
/UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
|
||||
ux uy To add cs 10 mul 26 idiv add moveto Tcx uy To add cs 10 mul 26 idiv add lineto
|
||||
Tt setlinewidth stroke
|
||||
grestore
|
||||
} bd
|
||||
/QT {
|
||||
/Y22 exch store
|
||||
/X22 exch store
|
||||
/Y21 exch store
|
||||
/X21 exch store
|
||||
currentpoint
|
||||
/Y21 load 2 mul add 3 div exch
|
||||
/X21 load 2 mul add 3 div exch
|
||||
/X21 load 2 mul /X22 load add 3 div
|
||||
/Y21 load 2 mul /Y22 load add 3 div
|
||||
/X22 load /Y22 load curveto
|
||||
} bd
|
||||
/SSPD {
|
||||
dup length /d exch dict def
|
||||
{
|
||||
/v exch def
|
||||
/k exch def
|
||||
currentpagedevice k known {
|
||||
/cpdv currentpagedevice k get def
|
||||
v cpdv ne {
|
||||
/upd false def
|
||||
/nullv v type /nulltype eq def
|
||||
/nullcpdv cpdv type /nulltype eq def
|
||||
nullv nullcpdv or
|
||||
{
|
||||
/upd true def
|
||||
} {
|
||||
/sametype v type cpdv type eq def
|
||||
sametype {
|
||||
v type /arraytype eq {
|
||||
/vlen v length def
|
||||
/cpdvlen cpdv length def
|
||||
vlen cpdvlen eq {
|
||||
0 1 vlen 1 sub {
|
||||
/i exch def
|
||||
/obj v i get def
|
||||
/cpdobj cpdv i get def
|
||||
obj cpdobj ne {
|
||||
/upd true def
|
||||
exit
|
||||
} if
|
||||
} for
|
||||
} {
|
||||
/upd true def
|
||||
} ifelse
|
||||
} {
|
||||
v type /dicttype eq {
|
||||
v {
|
||||
/dv exch def
|
||||
/dk exch def
|
||||
/cpddv cpdv dk get def
|
||||
dv cpddv ne {
|
||||
/upd true def
|
||||
exit
|
||||
} if
|
||||
} forall
|
||||
} {
|
||||
/upd true def
|
||||
} ifelse
|
||||
} ifelse
|
||||
} if
|
||||
} ifelse
|
||||
upd true eq {
|
||||
d k v put
|
||||
} if
|
||||
} if
|
||||
} if
|
||||
} forall
|
||||
d length 0 gt {
|
||||
d setpagedevice
|
||||
} if
|
||||
} bd
|
||||
/RE { % /NewFontName [NewEncodingArray] /FontName RE -
|
||||
findfont dup length dict begin
|
||||
{
|
||||
1 index /FID ne
|
||||
{def} {pop pop} ifelse
|
||||
} forall
|
||||
/Encoding exch def
|
||||
/FontName 1 index def
|
||||
currentdict definefont pop
|
||||
end
|
||||
} bind def
|
||||
%%EndResource
|
||||
%%BeginResource: procset (Apache XML Graphics EPS ProcSet) 1.0 0
|
||||
%%Version: 1.0 0
|
||||
%%Copyright: (Copyright 2002-2003 The Apache Software Foundation. License terms: http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0)
|
||||
/BeginEPSF { %def
|
||||
/b4_Inc_state save def % Save state for cleanup
|
||||
/dict_count countdictstack def % Count objects on dict stack
|
||||
/op_count count 1 sub def % Count objects on operand stack
|
||||
userdict begin % Push userdict on dict stack
|
||||
/showpage { } def % Redefine showpage, { } = null proc
|
||||
0 setgray 0 setlinecap % Prepare graphics state
|
||||
1 setlinewidth 0 setlinejoin
|
||||
10 setmiterlimit [ ] 0 setdash newpath
|
||||
/languagelevel where % If level not equal to 1 then
|
||||
{pop languagelevel % set strokeadjust and
|
||||
1 ne % overprint to their defaults.
|
||||
{false setstrokeadjust false setoverprint
|
||||
} if
|
||||
} if
|
||||
} bd
|
||||
/EndEPSF { %def
|
||||
count op_count sub {pop} repeat % Clean up stacks
|
||||
countdictstack dict_count sub {end} repeat
|
||||
b4_Inc_state restore
|
||||
} bd
|
||||
%%EndResource
|
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%FOPBeginFontDict
|
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%%IncludeResource: font Courier-Oblique
|
||||
%%IncludeResource: font Courier-BoldOblique
|
||||
%%IncludeResource: font Courier-Bold
|
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%%IncludeResource: font ZapfDingbats
|
||||
%%IncludeResource: font Symbol
|
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%%IncludeResource: font Helvetica
|
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%%IncludeResource: font Helvetica-Oblique
|
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%%IncludeResource: font Helvetica-Bold
|
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%%IncludeResource: font Helvetica-BoldOblique
|
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%%IncludeResource: font Times-Roman
|
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%%IncludeResource: font Times-Italic
|
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%%IncludeResource: font Times-Bold
|
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%%IncludeResource: font Times-BoldItalic
|
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%%IncludeResource: font Courier
|
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%FOPEndFontDict
|
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%%BeginResource: encoding WinAnsiEncoding
|
||||
/WinAnsiEncoding [
|
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/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
|
||||
/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
|
||||
/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
|
||||
/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
|
||||
/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
|
||||
/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
|
||||
/.notdef /.notdef /space /exclam /quotedbl
|
||||
/numbersign /dollar /percent /ampersand /quotesingle
|
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/parenleft /parenright /asterisk /plus /comma
|
||||
/hyphen /period /slash /zero /one
|
||||
/two /three /four /five /six
|
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/seven /eight /nine /colon /semicolon
|
||||
/less /equal /greater /question /at
|
||||
/A /B /C /D /E
|
||||
/F /G /H /I /J
|
||||
/K /L /M /N /O
|
||||
/P /Q /R /S /T
|
||||
/U /V /W /X /Y
|
||||
/Z /bracketleft /backslash /bracketright /asciicircum
|
||||
/underscore /quoteleft /a /b /c
|
||||
/d /e /f /g /h
|
||||
/i /j /k /l /m
|
||||
/n /o /p /q /r
|
||||
/s /t /u /v /w
|
||||
/x /y /z /braceleft /bar
|
||||
/braceright /asciitilde /bullet /Euro /bullet
|
||||
/quotesinglbase /florin /quotedblbase /ellipsis /dagger
|
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/daggerdbl /circumflex /perthousand /Scaron /guilsinglleft
|
||||
/OE /bullet /Zcaron /bullet /bullet
|
||||
/quoteleft /quoteright /quotedblleft /quotedblright /bullet
|
||||
/endash /emdash /asciitilde /trademark /scaron
|
||||
/guilsinglright /oe /bullet /zcaron /Ydieresis
|
||||
/space /exclamdown /cent /sterling /currency
|
||||
/yen /brokenbar /section /dieresis /copyright
|
||||
/ordfeminine /guillemotleft /logicalnot /sfthyphen /registered
|
||||
/macron /degree /plusminus /twosuperior /threesuperior
|
||||
/acute /mu /paragraph /middot /cedilla
|
||||
/onesuperior /ordmasculine /guillemotright /onequarter /onehalf
|
||||
/threequarters /questiondown /Agrave /Aacute /Acircumflex
|
||||
/Atilde /Adieresis /Aring /AE /Ccedilla
|
||||
/Egrave /Eacute /Ecircumflex /Edieresis /Igrave
|
||||
/Iacute /Icircumflex /Idieresis /Eth /Ntilde
|
||||
/Ograve /Oacute /Ocircumflex /Otilde /Odieresis
|
||||
/multiply /Oslash /Ugrave /Uacute /Ucircumflex
|
||||
/Udieresis /Yacute /Thorn /germandbls /agrave
|
||||
/aacute /acircumflex /atilde /adieresis /aring
|
||||
/ae /ccedilla /egrave /eacute /ecircumflex
|
||||
/edieresis /igrave /iacute /icircumflex /idieresis
|
||||
/eth /ntilde /ograve /oacute /ocircumflex
|
||||
/otilde /odieresis /divide /oslash /ugrave
|
||||
/uacute /ucircumflex /udieresis /yacute /thorn
|
||||
/ydieresis
|
||||
] def
|
||||
%%EndResource
|
||||
%FOPBeginFontReencode
|
||||
/Courier-Oblique findfont
|
||||
dup length dict begin
|
||||
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||
currentdict
|
||||
end
|
||||
/Courier-Oblique exch definefont pop
|
||||
/Courier-BoldOblique findfont
|
||||
dup length dict begin
|
||||
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||
currentdict
|
||||
end
|
||||
/Courier-BoldOblique exch definefont pop
|
||||
/Courier-Bold findfont
|
||||
dup length dict begin
|
||||
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||
currentdict
|
||||
end
|
||||
/Courier-Bold exch definefont pop
|
||||
/Helvetica findfont
|
||||
dup length dict begin
|
||||
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||
currentdict
|
||||
end
|
||||
/Helvetica exch definefont pop
|
||||
/Helvetica-Oblique findfont
|
||||
dup length dict begin
|
||||
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||
currentdict
|
||||
end
|
||||
/Helvetica-Oblique exch definefont pop
|
||||
/Helvetica-Bold findfont
|
||||
dup length dict begin
|
||||
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||
currentdict
|
||||
end
|
||||
/Helvetica-Bold exch definefont pop
|
||||
/Helvetica-BoldOblique findfont
|
||||
dup length dict begin
|
||||
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||
currentdict
|
||||
end
|
||||
/Helvetica-BoldOblique exch definefont pop
|
||||
/Times-Roman findfont
|
||||
dup length dict begin
|
||||
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||
currentdict
|
||||
end
|
||||
/Times-Roman exch definefont pop
|
||||
/Times-Italic findfont
|
||||
dup length dict begin
|
||||
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||
currentdict
|
||||
end
|
||||
/Times-Italic exch definefont pop
|
||||
/Times-Bold findfont
|
||||
dup length dict begin
|
||||
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||
currentdict
|
||||
end
|
||||
/Times-Bold exch definefont pop
|
||||
/Times-BoldItalic findfont
|
||||
dup length dict begin
|
||||
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||
currentdict
|
||||
end
|
||||
/Times-BoldItalic exch definefont pop
|
||||
/Courier findfont
|
||||
dup length dict begin
|
||||
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
|
||||
/Encoding WinAnsiEncoding def
|
||||
currentdict
|
||||
end
|
||||
/Courier exch definefont pop
|
||||
%FOPEndFontReencode
|
||||
%%EndProlog
|
||||
%%Page: 1 1
|
||||
%%PageBoundingBox: 0 0 420 315
|
||||
%%BeginPageSetup
|
||||
N
|
||||
25 19 M
|
||||
406 19 L
|
||||
406 312 L
|
||||
25 312 L
|
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cp
|
||||
clip
|
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[1 0 0 -1 0 315] CT
|
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%%EndPageSetup
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GS
|
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[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
1 GC
|
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N
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||||
0 0 560 420 re
|
||||
f
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
1 GC
|
||||
N
|
||||
0 0 560 420 re
|
||||
f
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
1 GC
|
||||
N
|
||||
73 374 M
|
||||
507 374 L
|
||||
507 31 L
|
||||
73 31 L
|
||||
cp
|
||||
f
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
73 374 M
|
||||
507.003 374 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
119.303 374 M
|
||||
119.303 369.66 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
169.017 374 M
|
||||
169.017 369.66 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
218.724 374 M
|
||||
218.724 369.66 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
268.438 374 M
|
||||
268.438 369.66 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
318.146 374 M
|
||||
318.146 369.66 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
367.859 374 M
|
||||
367.859 369.66 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
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N
|
||||
417.573 374 M
|
||||
417.573 369.66 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
467.281 374 M
|
||||
467.281 369.66 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
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[0.75 0 0 0.75 89.47724 284.50047] CT
|
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/Helvetica 13.333 F
|
||||
GS
|
||||
[1 0 0 1 0 0] CT
|
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-4 14 moveto
|
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1 -1 scale
|
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(1) t
|
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GR
|
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GR
|
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GS
|
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[0.75 0 0 0.75 126.76246 284.50047] CT
|
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/Helvetica 13.333 F
|
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GS
|
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[1 0 0 1 0 0] CT
|
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-17 14 moveto
|
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1 -1 scale
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(1.001) t
|
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GR
|
||||
GR
|
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GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 164.04325 284.50047] CT
|
||||
/Helvetica 13.333 F
|
||||
GS
|
||||
[1 0 0 1 0 0] CT
|
||||
-17 14 moveto
|
||||
1 -1 scale
|
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(1.002) t
|
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GR
|
||||
GR
|
||||
GS
|
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[0.75 0 0 0.75 201.32847 284.50047] CT
|
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/Helvetica 13.333 F
|
||||
GS
|
||||
[1 0 0 1 0 0] CT
|
||||
-17 14 moveto
|
||||
1 -1 scale
|
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(1.003) t
|
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GR
|
||||
GR
|
||||
GS
|
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[0.75 0 0 0.75 238.60925 284.50047] CT
|
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/Helvetica 13.333 F
|
||||
GS
|
||||
[1 0 0 1 0 0] CT
|
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-17 14 moveto
|
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1 -1 scale
|
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(1.004) t
|
||||
GR
|
||||
GR
|
||||
GS
|
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|
||||
/Helvetica 13.333 F
|
||||
GS
|
||||
[1 0 0 1 0 0] CT
|
||||
-17 14 moveto
|
||||
1 -1 scale
|
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(1.005) t
|
||||
GR
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 313.1797 284.50047] CT
|
||||
/Helvetica 13.333 F
|
||||
GS
|
||||
[1 0 0 1 0 0] CT
|
||||
-17 14 moveto
|
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1 -1 scale
|
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(1.006) t
|
||||
GR
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 350.46048 284.50047] CT
|
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/Helvetica 13.333 F
|
||||
GS
|
||||
[1 0 0 1 0 0] CT
|
||||
-17 14 moveto
|
||||
1 -1 scale
|
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(1.007) t
|
||||
GR
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
73 374 M
|
||||
73 31 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
73 369.867 M
|
||||
77.341 369.867 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
73 335.49 M
|
||||
77.341 335.49 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
73 301.113 M
|
||||
77.341 301.113 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
73 266.737 M
|
||||
77.341 266.737 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
73 232.36 M
|
||||
77.341 232.36 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
73 197.982 M
|
||||
77.341 197.982 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
73 163.605 M
|
||||
77.341 163.605 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
73 129.229 M
|
||||
77.341 129.229 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
73 94.852 M
|
||||
77.341 94.852 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
2 setlinecap
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
73 60.474 M
|
||||
77.341 60.474 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 50.74976 277.4006] CT
|
||||
/Helvetica 13.333 F
|
||||
GS
|
||||
[1 0 0 1 0 0] CT
|
||||
-34 5.5 moveto
|
||||
1 -1 scale
|
||||
(0.996) t
|
||||
GR
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 50.74976 251.61742] CT
|
||||
/Helvetica 13.333 F
|
||||
GS
|
||||
[1 0 0 1 0 0] CT
|
||||
-34 5.5 moveto
|
||||
1 -1 scale
|
||||
(0.998) t
|
||||
GR
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 50.74976 225.83503] CT
|
||||
/Helvetica 13.333 F
|
||||
GS
|
||||
[1 0 0 1 0 0] CT
|
||||
-8 5.5 moveto
|
||||
1 -1 scale
|
||||
(1) t
|
||||
GR
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 50.74976 200.05264] CT
|
||||
/Helvetica 13.333 F
|
||||
GS
|
||||
[1 0 0 1 0 0] CT
|
||||
-34 5.5 moveto
|
||||
1 -1 scale
|
||||
(1.002) t
|
||||
GR
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 50.74976 174.27023] CT
|
||||
/Helvetica 13.333 F
|
||||
GS
|
||||
[1 0 0 1 0 0] CT
|
||||
-34 5.5 moveto
|
||||
1 -1 scale
|
||||
(1.004) t
|
||||
GR
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 50.74976 148.48629] CT
|
||||
/Helvetica 13.333 F
|
||||
GS
|
||||
[1 0 0 1 0 0] CT
|
||||
-34 5.5 moveto
|
||||
1 -1 scale
|
||||
(1.006) t
|
||||
GR
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 50.74976 122.7039] CT
|
||||
/Helvetica 13.333 F
|
||||
GS
|
||||
[1 0 0 1 0 0] CT
|
||||
-34 5.5 moveto
|
||||
1 -1 scale
|
||||
(1.008) t
|
||||
GR
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 50.74976 96.92149] CT
|
||||
/Helvetica 13.333 F
|
||||
GS
|
||||
[1 0 0 1 0 0] CT
|
||||
-26 5.5 moveto
|
||||
1 -1 scale
|
||||
(1.01) t
|
||||
GR
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 50.74976 71.1391] CT
|
||||
/Helvetica 13.333 F
|
||||
GS
|
||||
[1 0 0 1 0 0] CT
|
||||
-34 5.5 moveto
|
||||
1 -1 scale
|
||||
(1.012) t
|
||||
GR
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 50.74976 45.35516] CT
|
||||
/Helvetica 13.333 F
|
||||
GS
|
||||
[1 0 0 1 0 0] CT
|
||||
-34 5.5 moveto
|
||||
1 -1 scale
|
||||
(1.014) t
|
||||
GR
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
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|
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|
||||
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|
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S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
72.948 364.27 M
|
||||
119.303 301.113 L
|
||||
311.727 30.959 L
|
||||
S
|
||||
GR
|
||||
GS
|
||||
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
|
||||
1 LJ
|
||||
0.667 LW
|
||||
N
|
||||
124.275 374.041 M
|
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124.275 294.237 L
|
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|
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|
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|
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438.462 30.959 L
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S
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GR
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%%Creator: (MATLAB, The Mathworks, Inc. Version 9.12.0.2009381 \(R2022a\) Update 4. Operating System: Windows 10)
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%%Copyright: (Copyright 2001-2003,2010 The Apache Software Foundation. License terms: http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0)
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/bd{bind def}bind def
|
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/ld{load def}bd
|
||||
/GR/grestore ld
|
||||
/GS/gsave ld
|
||||
/RM/rmoveto ld
|
||||
/C/curveto ld
|
||||
/t/show ld
|
||||
/L/lineto ld
|
||||
/ML/setmiterlimit ld
|
||||
/CT/concat ld
|
||||
/f/fill ld
|
||||
/N/newpath ld
|
||||
/S/stroke ld
|
||||
/CC/setcmykcolor ld
|
||||
/A/ashow ld
|
||||
/cp/closepath ld
|
||||
/RC/setrgbcolor ld
|
||||
/LJ/setlinejoin ld
|
||||
/GC/setgray ld
|
||||
/LW/setlinewidth ld
|
||||
/M/moveto ld
|
||||
/re {4 2 roll M
|
||||
1 index 0 rlineto
|
||||
0 exch rlineto
|
||||
neg 0 rlineto
|
||||
cp } bd
|
||||
/_ctm matrix def
|
||||
/_tm matrix def
|
||||
/BT { _ctm currentmatrix pop matrix _tm copy pop 0 0 moveto } bd
|
||||
/ET { _ctm setmatrix } bd
|
||||
/iTm { _ctm setmatrix _tm concat } bd
|
||||
/Tm { _tm astore pop iTm 0 0 moveto } bd
|
||||
/ux 0.0 def
|
||||
/uy 0.0 def
|
||||
/F {
|
||||
/Tp exch def
|
||||
/Tf exch def
|
||||
Tf findfont Tp scalefont setfont
|
||||
/cf Tf def /cs Tp def
|
||||
} bd
|
||||
/ULS {currentpoint /uy exch def /ux exch def} bd
|
||||
/ULE {
|
||||
/Tcx currentpoint pop def
|
||||
gsave
|
||||
newpath
|
||||
cf findfont cs scalefont dup
|
||||
/FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
|
||||
/UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
|
||||
/UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
|
||||
ux uy To add moveto Tcx uy To add lineto
|
||||
Tt setlinewidth stroke
|
||||
grestore
|
||||
} bd
|
||||
/OLE {
|
||||
/Tcx currentpoint pop def
|
||||
gsave
|
||||
newpath
|
||||
cf findfont cs scalefont dup
|
||||
/FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
|
||||
/UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
|
||||
/UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
|
||||
ux uy To add cs add moveto Tcx uy To add cs add lineto
|
||||
Tt setlinewidth stroke
|
||||
grestore
|
||||
} bd
|
||||
/SOE {
|
||||
/Tcx currentpoint pop def
|
||||
gsave
|
||||
newpath
|
||||
cf findfont cs scalefont dup
|
||||
/FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
|
||||
/UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
|
||||
/UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
|
||||
ux uy To add cs 10 mul 26 idiv add moveto Tcx uy To add cs 10 mul 26 idiv add lineto
|
||||
Tt setlinewidth stroke
|
||||
grestore
|
||||
} bd
|
||||
/QT {
|
||||
/Y22 exch store
|
||||
/X22 exch store
|
||||
/Y21 exch store
|
||||
/X21 exch store
|
||||
currentpoint
|
||||
/Y21 load 2 mul add 3 div exch
|
||||
/X21 load 2 mul add 3 div exch
|
||||
/X21 load 2 mul /X22 load add 3 div
|
||||
/Y21 load 2 mul /Y22 load add 3 div
|
||||
/X22 load /Y22 load curveto
|
||||
} bd
|
||||
/SSPD {
|
||||
dup length /d exch dict def
|
||||
{
|
||||
/v exch def
|
||||
/k exch def
|
||||
currentpagedevice k known {
|
||||
/cpdv currentpagedevice k get def
|
||||
v cpdv ne {
|
||||
/upd false def
|
||||
/nullv v type /nulltype eq def
|
||||
/nullcpdv cpdv type /nulltype eq def
|
||||
nullv nullcpdv or
|
||||
{
|
||||
/upd true def
|
||||
} {
|
||||
/sametype v type cpdv type eq def
|
||||
sametype {
|
||||
v type /arraytype eq {
|
||||
/vlen v length def
|
||||
/cpdvlen cpdv length def
|
||||
vlen cpdvlen eq {
|
||||
0 1 vlen 1 sub {
|
||||
/i exch def
|
||||
/obj v i get def
|
||||
/cpdobj cpdv i get def
|
||||
obj cpdobj ne {
|
||||
/upd true def
|
||||
exit
|
||||
} if
|
||||
} for
|
||||
} {
|
||||
/upd true def
|
||||
} ifelse
|
||||
} {
|
||||
v type /dicttype eq {
|
||||
v {
|
||||
/dv exch def
|
||||
/dk exch def
|
||||
/cpddv cpdv dk get def
|
||||
dv cpddv ne {
|
||||
/upd true def
|
||||
exit
|
||||
} if
|
||||
} forall
|
||||
} {
|
||||
/upd true def
|
||||
} ifelse
|
||||
} ifelse
|
||||
} if
|
||||
} ifelse
|
||||
upd true eq {
|
||||
d k v put
|
||||
} if
|
||||
} if
|
||||
} if
|
||||
} forall
|
||||
d length 0 gt {
|
||||
d setpagedevice
|
||||
} if
|
||||
} bd
|
||||
/RE { % /NewFontName [NewEncodingArray] /FontName RE -
|
||||
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%%Version: 1.0 0
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%%Copyright: (Copyright 2002-2003 The Apache Software Foundation. License terms: http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0)
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] def
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0 0 560 420 re
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f
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GR
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GR
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GR
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GR
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@ -0,0 +1,171 @@
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\documentclass[11pt]{article}
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||||
\usepackage{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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||||
\title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}}
|
||||
\author{Gabriel Antonio Videtta}
|
||||
\date{17 marzo 2023}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\Large \textbf{Successioni per ricorsione}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Sia $X$ l'insieme delle successioni a valori reali che soddisfano una data
|
||||
eq.~ricorsiva lineare ed omogenea di ordine $k$ (ossia che coinvolge
|
||||
$k$ precedenti elementi di una successione). \\
|
||||
|
||||
\li $X$ è uno spazio vettoriale su $\RR$. \\
|
||||
\li $T : X \to \RR^n$, $(x_n) \mapsto (x_0, ..., x_{k-1})^\top$ è
|
||||
un isomorfismo, e quindi $\dim X = k$. \\
|
||||
\li Si può facilmente individuare una base naturale di $X$, costituita dagli
|
||||
elementi della forma $\vec{x_i} = T\inv(\vec{e_ {i + 1}})$ con $i = 0, ..., k - 1$,
|
||||
dove $\vec{x_i}$ rappresenta una successione di $X$ dove l'$i$-esimo elemento
|
||||
è pari a $1$ e gli altri, tra $0$ e $k-1$, sono nulli.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Le eq.~differenziali ordinarie si possono approssimare
|
||||
ad eq.~su differenze finite (e questa considerazione è
|
||||
alla base della grande somiglianza tra i concetti sviluppati
|
||||
sia per queste che per quelle).
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{example} (ricondursi a un caso discreto)
|
||||
Si consideri un'eq.~differenziale omogenea lineare del primo
|
||||
ordine su $x(t)$. Si può approssimare $t$ con $nh$, dato
|
||||
$h$ piccolo, e così scrivere $x_n = x(nh) \approx x(t)$.
|
||||
Così, allora, $x_{n+1} = x((n+1)h) = x(t + h)$. Conseguentemente $h
|
||||
x'(t) \approx x(t + h) - x(t) \approx x_{n+1} - x_n$. \\
|
||||
|
||||
Si provi a risolvere, per esempio, l'eq.~ differenziale $x'(t) = x(t)$.
|
||||
Sostituendo, si ottiene $x_{n+1} - x_n = h x_n$, da cui
|
||||
si ricava l'eq.~ricorsiva $x_{n+1} = (1 + h) x_n$. Allora
|
||||
$x(nh) = x_n = (1 + h)^n \underbrace{x(0)}_c = (1 + h)^n c$. \\
|
||||
|
||||
In effetti $x(t) = \displaystyle \lim_{h \to 0} (1 + h)^n c =
|
||||
\lim_{h \to 0} \left[(1 + h)^{\frac{1}{h}}\right]^t c = c e^t$,
|
||||
la famiglia di soluzioni dell'eq.~differenziale originale.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{example} (metodo delle bisettrici)
|
||||
Sia data la sequente successione:
|
||||
|
||||
\[ (x_n) = \begin{cases} x_n = x_{n-1}^4, \\ x_0 = \frac12. \end{cases} \]
|
||||
|
||||
Si consideri allora il sistema di funzioni:
|
||||
|
||||
\[ \begin{cases}
|
||||
f(x) = x^4, \\ y = x,
|
||||
\end{cases} \]
|
||||
|
||||
ossia i punti fissi di $f(x)$. Si può disegnare facilmente
|
||||
la successione mediante il seguente algoritmo: si prenda
|
||||
$x_0$ sull'asse delle ascisse, e si valuti $f(x_0) = x_1$ collegando
|
||||
il punto $(x_0, 0)$ a $(x_0, x_1)$,
|
||||
alla fine ricollegato sulla bisettrice al punto $(x_1, x_1)$;
|
||||
si colleghi $(x_1, x_1)$ a $(x_1, x_2 = f(x_1))$ e quest'ultimo a
|
||||
$(x_2, x_2)$, etc. Si sarà allora
|
||||
disegnato in modo grafico la successione, e considerando
|
||||
i blocchi che connettono $(x_{n-1}, x_{n-1})$, $(x_{n-1}, x_n)$
|
||||
e $(x_n, x_n)$, si potrà facilmente intuire che $x_n \tendston \infty$ per $x_0 > 1$, che $x_n \tendston 1$ per $x_0 = 1$,
|
||||
e che $x_n \tendston 0$ per $x_0 < 1$. Quindi nel caso
|
||||
dell'esempio, $x_n \tendston 0$.
|
||||
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{esempio.eps}
|
||||
\caption{Applicazione dell'algoritmo con $x_0 = 1,0001$.}
|
||||
\label{fig:my_label}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Riprendendo l'esempio precedente, si può ora provare
|
||||
a dimostrare formalmente i risultati ottenuti.
|
||||
Sempre graficamente, si intuisce che $(x_n)$ sarà
|
||||
decrescente, e quindi che ammetterà limite (che,
|
||||
in particolare, coinciderà con il suo estremo inferiore). \\
|
||||
|
||||
Si dimostra quindi, per prima cosa, che $(x_n)$ è
|
||||
decrescente, e che vale $0 \leq x_n \leq \frac{1}{2}$.
|
||||
Si procede per induzione: se $n=0$, la tesi è già
|
||||
verificata; se la tesi è vera fino a $n-1$, allora
|
||||
$x_n = \underbrace{x_{n-1}^4}_{\geq 0} \leq \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} \leq \frac{1}{2}$. Quindi
|
||||
$(x_n)$ è decrescente, e poiché $0$ ne è minorante,
|
||||
varrà in particolare che $\ell = \lim_{n \to \infty} x_n \in [0, \frac{1}{2}]$. \\
|
||||
|
||||
Si mostra che $\ell$ deve essere un punto fisso di
|
||||
$f$: poiché $x_n \tendston \ell$, anche $x_{n+1} \tendston
|
||||
\ell$ (essendone una sottosuccessione); inoltre, poiché
|
||||
$x_{n+1} = x_n^4$, $x_{n+1} \tendston \ell^4$. Poiché il limite è unico, deve allora valere $\ell = \ell^4 = f(\ell)$. Poiché gli unici punti di fissi di $f$ sono
|
||||
$0$ e $1$, e $1$ non è
|
||||
minorante di $(x_n)$,
|
||||
deve valere che $\ell = 0$. \\
|
||||
|
||||
Se invece $x_0$ fosse stato
|
||||
maggiore di $1$, si sarebbe
|
||||
dimostrato che $(x_n)$ era
|
||||
strettamente crescente, e
|
||||
dunque avrebbe ammesso comunque
|
||||
limite; tale limite non sarebbe
|
||||
potuto essere né $0$ né $1$,
|
||||
dacché non sarebbero stati maggioranti
|
||||
di $(x_n)$, né tantomeno
|
||||
$-\infty$. Allora tale limite
|
||||
avrebbe dovuto essere,
|
||||
forzatamente, $\infty$.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Si consideri adesso la
|
||||
successione:
|
||||
|
||||
\[ \begin{cases}
|
||||
x_0 = 2, \\
|
||||
x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n}.
|
||||
\end{cases} \]
|
||||
|
||||
Applicando lo stesso ragionamento
|
||||
di prima, si considera $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$. È sufficiente
|
||||
dimostrare che $(x_n)$ è tale che
|
||||
$\sqrt{2} \leq x_n \leq 2$
|
||||
$\forall n \in \NN$ (dove $\sqrt{2}$
|
||||
è l'unico punto fisso di $f(x)$) per
|
||||
concludere immediatamente che
|
||||
il limite di tale successione è
|
||||
proprio $\sqrt{2}$.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Si consideri l'eq.~ricorsiva $x_n = \frac{1}{x_{n-1}^2}$,
|
||||
con $x_0 > 1$.
|
||||
Qualsiasi disegno si faccia, si osserverà una "spirale"
|
||||
nella configurazione della successione: si ipotizzerà
|
||||
dunque che $x_n$ non ammetterà limite. Si distinguono
|
||||
dal disegno due sottosuccessioni: $x_{2n}$ e $x_{2n+1}$,
|
||||
che, rispettivamente, obbediranno a due eq.~ricorsive,
|
||||
$x_{2(n+1)} = x_{2n}^4$ e $x_{2(n+1) + 1} = x_{2n + 1}^4$,
|
||||
ossia la successione analizzata in uno scorso esempio. \\
|
||||
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{esempio2.eps}
|
||||
\caption{Applicazione del metodo della bisettrice con $x_0 = 1,0001$.}
|
||||
\label{fig:my_label}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
Poiché $x_0 > 1$, $x_1 = \frac{1}{x_0^2} < 1$. Allora
|
||||
$x_{2n} \tendston \infty$, mentre $x_{2n+1} \tendston
|
||||
0$: poiché una sottosuccessione deve tendere allo
|
||||
stesso limite della successione da cui deriva, ed il
|
||||
limite è unico, si conclude che $(x_n)$ non ammette
|
||||
limite.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
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@ -0,0 +1,181 @@
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% Personal commands
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% From H113 "Introduction to Abstract Algebra" at UC Berkeley
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%From Kiran Kedlaya's "Geometry Unbound"
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\newcommand{\dang}{\measuredangle} %% Directed angle
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% From M275 "Topology" at SJSU
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% From the USAMO .tex files
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Reference in New Issue