aritmetica: complementi e leggi di de morgan

Aritmetica/1. Teoria degli insiemi.tex

@@ -38,7 +38,30 @@ insiemi: $\bigcap_{t \in T} A_t = \{x \mid (\forall t \in T \mid x \in A_t)\}$.
 In modo opposto all'unione, l'intersezione è tale per cui $A \subseteq B \rightarrow
     A \cap B = A$ (in particolare, $A \cap \emptyset = \emptyset$).
 
-\section{L'operazione di sottrazione}
+\subsection{Relazioni tra l'operazione di intersezione e di unione}
+
+Si può facilmente dimostrare la seguente relazione, valida per qualunque scelta
+di insiemi $A$, $B$ e $C$: $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$.
+
+\begin{proof}
+    Prima di tutto, un elemento di entrambi i due insiemi appartiene obbligatoriamente a $C$:
+    nel caso del primo membro, il motivo è banale; riguardo al secondo membro, invece, ci accorgiamo
+    che esso appartiene almeno a uno dei due insiemi dell'unione, riconducendoci a un'intersezione
+    con l'insieme $C$.
+
+    Ogni elemento di $(A \cup B) \cap C$ appartiene inoltre ad almeno $A$ o $B$, e quindi,
+    appartenendo anche a $C$, appartiene a $A \cap C$ o $B \cap C$, e quindi a $(A \cap C) \cup (B \cap C)$.
+    Pertanto $(A \cup B) \cap C \subseteq (A \cap C) \cup (B \cap C)$.
+
+    In direzione opposta, ogni elemento di $(A \cap C) \cup (B \cap C)$ appartiene almeno
+    ad uno di dei due insiemi dell'unione. Per appartenere all'intersezione, tale elemento
+    appartiene ad almeno $A$ o $B$; e quindi appartiene ad $A \cup B$. Appartenendo anche a $C$,
+    appartiene anche $(A \cup B) \cap C$. Quindi $(A \cap C) \cup (B \cap C) \subseteq (A \cup B) \cap C$.
+
+    Valendo l'inclusione in entrambe le direzioni, $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$.
+\end{proof}
+
+\section{L'operazione di sottrazione e di complemento}
 
 L'operazione di sottrazione su due insiemi $A$ e $B$ è definita come
 $A \setminus B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}$. Si può facilmente
@@ -57,6 +80,53 @@ verificare che $A = (A \cap B) \cup (A \setminus B)$.
 
 In particolare, se $B \subseteq A$, $A \setminus B$ si dice \textbf{complemento di $B$ in $A$}.
 
+L'operazione di complemento viene indicata con $A'$ qualora sia noto l'universo di riferimento $U$
+per cui $A' = U \setminus A$.
+
+\subsection{Le leggi di De Morgan}
+
+Si possono dimostrare le seguenti proprietà:
+
+\begin{itemize}
+    \item $(A \cup B)' = A' \cap B'$
+    \item $(A \cap B)' = A' \cup B'$
+\end{itemize}
+
+\begin{proof}[Prima legge di De Morgan]
+    Un elemento che appartiene a $(A \cup B)'$ non appartiene né a $A$ né a $B$, e quindi
+    appartiene sia a $A'$ che a $B'$, pertanto anche alla loro intersezione $A' \cap B'$
+    [$(A \cup B)' \subseteq A' \cap B'$].
+
+    Allo stesso modo, un elemento di $A' \cap B'$ non appartiene né ad $A$ né a $B$, e quindi
+    non appartiene ad $A \cup B$, appartenendo dunque a $(A \cup B)'$
+    [$A' \cap B' \subseteq (A \cup B)'$]. Pertanto $(A \cup B)' = A' \cap B'$.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Seconda legge di De Morgan]
+    Un elemento che appartiene a $(A \cap B)'$ può appartenere al più ad $A$ o esclusivamente
+    a $B$; pertanto appartiene ad almeno $A'$ o $B'$, e qunidi alla loro unione
+        [$(A \cap B)' \subseteq A' \cup B'$].
+
+    Allo stesso modo, un elemento di $A' \cup B'$ appartiene ad almeno $A'$ o $B'$, e quindi
+    non può appartenere a entrambi $A$ e $B$, appartenendo dunque a $(A \cap B)'$
+    [$A' \cup B' \subseteq (A \cap B)'$]. Pertanto $(A \cap B)' = A' \cup B'$.
+\end{proof}
+
+\subsection{La logica affrontata con gli insiemi}
+
+In modo veramente interessante, ogni operatore logico segue la logica
+dell'insiemistica (e viceversa); laddove l'operatore $\cup$ (o $\cap$) ha una certa proprietà,
+la soddisfa anche $\lor$ (o $\land$).
+
+Quindi valgono tutte le leggi sopracitate:
+
+\begin{itemize}
+    \item $(a \lor b) \land c = (a \land c) \lor (b \land c)$
+    \item $(a \land b) \lor c = (a \lor c) \land (b \lor c)$
+    \item $\lnot (a \land b) = \lnot a \lor \lnot b$
+    \item $\lnot (a \lor b) = \lnot a \land \lnot b$
+\end{itemize}
+
 \section{Il prodotto cartesiano}
 
 Il prodotto cartesiano di una famiglia ordinata di insiemi $F$ con un certo insieme

Aritmetica/aritmetica.tex

@@ -32,6 +32,10 @@
 \let\exists\undefined
 \DeclareMathOperator{\exists}{\oldexists}
 
+\let\oldlnot\lnot
+\let\lnot\undefined
+\DeclareMathOperator{\lnot}{\oldlnot}
+
 \let\oldemptyset\emptyset
 \let\emptyset\varnothing