o si termini l'algoritmo una volta che è rimasto un solo vettore.
o si termini l'algoritmo una volta che è rimasto un solo vettore.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Dal momento che l'algoritmo mantiene invariata la bandiera della base,
una matrice triangolabile è anche ortogonalmente triangolabile se la base
non contiene alcun (o contiene al più un) vettore isotropo secondo un
certo prodotto scalare.
\subsubsection{Metodo di Jacobi per il calcolo della segnatura}
\subsubsection{Metodo di Jacobi per il calcolo della segnatura}
Sia $A = M_\basis(\varphi)$ una matrice associata a $\varphi$ nella base $\basis$.
Sia $A = M_\basis(\varphi)$ una matrice associata a $\varphi$ nella base $\basis$.
Sia $d_0 :=1$. Se $d_i =\det(A_{1, \ldots, i}^{1, \ldots, i})$ (è possibile anche
Sia $d_0 :=1$. Se $d_i =\det(A_{1, \ldots, i}^{1, \ldots, i})$ (è possibile anche
@ -2179,7 +2184,7 @@
che $\rho_W(\v)=\w-\w^\perp$, dove $\v=\w+\w^\perp$, con $\w\in W$ e $\w^\perp\in W^\perp$. Come prima, tale decomposizione è unica e ben definita. Un'inversione ortogonale
che $\rho_W(\v)=\w-\w^\perp$, dove $\v=\w+\w^\perp$, con $\w\in W$ e $\w^\perp\in W^\perp$. Come prima, tale decomposizione è unica e ben definita. Un'inversione ortogonale
soddisfa la relazione $\rho_W^2=\Idv$, da cui si ricava che $\varphi_{\rho_W}\mid(x+1)(x-1)$ (implicandone la diagonalizzabilità). Infatti $V_1=\Ker(\rho_W -\Idv)= W$ e $V_{-1}=\Ker(\rho_W +\Idv)= W^\perp$ (per cui $\varphi_{\rho_W}(x)=(x+1)(x-1)$). Se $\dim W =\dim V -1$, allora si dice che l'inversione ortogonale
soddisfa la relazione $\rho_W^2=\Idv$, da cui si ricava che $\varphi_{\rho_W}\mid(x+1)(x-1)$ (implicandone la diagonalizzabilità). Infatti $V_1=\Ker(\rho_W -\Idv)= W$ e $V_{-1}=\Ker(\rho_W +\Idv)= W^\perp$ (per cui $\varphi_{\rho_W}(x)=(x+1)(x-1)$). Se $\dim W =\dim V -1$, allora si dice che l'inversione ortogonale
è una riflessione ortogonale. L'inversione ortogonale è sempre un operatore
è una riflessione ortogonale. L'inversione ortogonale è sempre un operatore
ortogonale (se lo spazio è euclideo reale) o unitario (se lo spazio è euclideo
ortogonale (se lo spazio euclideo è reale) o unitario (se lo spazio euclideo è
complesso); infatti vale che $\varphi(\v, \w)=\varphi(\pr_W(\v)+\pr_{W^\perp}(\v), \pr_W(\w)+\pr_{W^\perp}(\w))=\varphi(\pr_W(\v), \pr_W(\w))+\varphi(\pr_{W^\perp}(\v), \pr_{W^\perp}(\w))=\varphi(\pr_W(\v), \pr_W(\w))+\varphi(-\pr_{W^\perp}(\v), -\pr_{W^\perp}(\w))=\varphi(\pr_W(\v)-\pr_{W^\perp}(\v), \pr_W(\w)-\pr_{W^\perp}(\w))=\varphi(\rho_W(\v), \rho_W(\w))$.
complesso); infatti vale che $\varphi(\v, \w)=\varphi(\pr_W(\v)+\pr_{W^\perp}(\v), \pr_W(\w)+\pr_{W^\perp}(\w))=\varphi(\pr_W(\v), \pr_W(\w))+\varphi(\pr_{W^\perp}(\v), \pr_{W^\perp}(\w))=\varphi(\pr_W(\v), \pr_W(\w))+\varphi(-\pr_{W^\perp}(\v), -\pr_{W^\perp}(\w))=\varphi(\pr_W(\v)-\pr_{W^\perp}(\v), \pr_W(\w)-\pr_{W^\perp}(\w))=\varphi(\rho_W(\v), \rho_W(\w))$.
\subsection{Teorema spettrale reale e complesso}
\subsection{Teorema spettrale reale e complesso}
@ -2205,7 +2210,11 @@
In termini matriciali, se $A$ è una matrice
In termini matriciali, se $A$ è una matrice
simmetrica a elementi reali (o hermitiana a elementi complessi), esiste una matrice $O \in O(n)$ (o $U \in U(n)$) tale per cui $O^\top A O$ (o $U \in U(n)$) è diagonale. Infatti $f_A$, l'operatore
simmetrica a elementi reali (o hermitiana a elementi complessi), esiste una matrice $O \in O(n)$ (o $U \in U(n)$) tale per cui $O^\top A O$ (o $U \in U(n)$) è diagonale. Infatti $f_A$, l'operatore
indotto da $A$ nella base ortonormale di $\RR^n$ (o $\CC^n$), è un operatore simmetrico (o hermitiano) rispetto al prodotto standard dello
indotto da $A$ nella base ortonormale di $\RR^n$ (o $\CC^n$), è un operatore simmetrico (o hermitiano) rispetto al prodotto standard dello
spazio euclideo che si sta studiando.
spazio euclideo che si sta studiando. \\
Una matrice reale è simmetrica se e solo se è ortogonalmente diagonalizzabile.
Una matrice complessa è hermitiana se e solo se è unitariamente diagonalizzabile
con autovalori reali.
\subsubsection{Radice quadrata di una matrice simmetrica, decomposizione polare e simultanea ortogonalizzabilità}
\subsubsection{Radice quadrata di una matrice simmetrica, decomposizione polare e simultanea ortogonalizzabilità}
