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gtd(scheda): funzioni di transizione

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Gabriel Antonio Videtta 5 months ago
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Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf
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156
Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-prerequisiti.tex
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@ -5,83 +5,83 @@
\begin{multicols*}{2}
\section*{Analisi matematica e teoria della misura}
\addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica e teoria della misura}
\begin{itemize}
\item \textbf{Teorema di Schwarz} -- Sia $f : \RR^n \to \RR$ una funzione che ammette derivate seconde
miste continue in $\vec{x}$. Allora $\partial_{x_i x_j} f(\vec{x}) = \partial_{x_j x_i} f(\vec{x})$ per
ogni variabile $x_i$, $x_j$.
\item \textbf{Teorema della funzione implicita} -- Sia $U$ un aperto di $\RR^m \times \RR^n$ e sia
$f : U \to \RR^n$ una funzione di classe $C^k$ con $k \geq 1$. Sia $\vec{p} = (\vec{x_0}, \vec{y_0})$ un punto in $U$ con
$f(\vec{x_0}, \vec{y_0}) = \vec{a}$ e $J_{\vec{y}} f(\vec{p})$ invertibile. \smallskip
Allora esiste un
intorno $A = I_{\vec{x}} \times I_{\vec{y}}$ di $\vec{p}$ in $U$ all'interno del quale esiste un'unica
funzione $g : I_{\vec{x}} \to I_{\vec{y}}$ di classe $C^k$ per cui:
\[ \vec{y} = g(\vec{x}) \iff f(\vec{x}, \vec{y}) = \vec{a}, \quad \text{(in $A$)}. \]
Inoltre per tale $g$ vale:
\[ J g(\vec{x_0}) = - J_{\vec{y}} f(\vec{p})\inv J_{\vec{x}} f(\vec{p}). \]
\item \textbf{Teorema di invertibilità locale} -- Sia $U$ un aperto di $\RR^n$ e sia $f : U \to \RR^n$ una
funzione di classe $C^k$, con $k \geq 1$. Sia $\vec{x_0}$ un punto in $U$ con $J f(\vec{x_0})$ invertibile. \smallskip
Allora esiste un
intorno $A$ di $\vec{x_0}$ in $U$ dentro al quale $\restr{f}{A}$ ha un'inversa $g$, anch'essa di classe
$C^k$, per la quale $J g(f(\vec{x})) = J f(\vec{x})\inv$.
\item \textbf{Teorema di esistenza e unicità globale per sistemi lineari di equazioni differenziali} --
Sia $I \subseteq \RR$ un intervallo aperto e siano date due funzioni continue:
\[ A : I \to \RR^{n \times n} \quad \text{e} \quad \vec{b} : I \to \RR^n. \]
Fissato $(t_0, \vec{y_0}) \in I \times \RR^n$, esiste un'unica soluzione $\vec{y} : I \to \RR^n$
del problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
\vec{y}'(t) = A(t)\vec{y}(t) + \vec{b}(t), \\
\vec{y}(t_0) = \vec{y_0}.
\end{cases}
\]
\item \textbf{Teorema di Cauchy-Lipschitz per l'esistenza e l'unicità locale} --
Sia $\Omega$ un aperto di $\RR \times \RR^n$ e sia $\vec{f} : \Omega \to \RR^n$ una funzione continua.
Si supponga inoltre che $\vec{f}$ sia \emph{localmente lipschitziana} rispetto alla seconda variabile. \smallskip
Allora, per ogni $(t_0, \vec{y_0}) \in \Omega$, esistono $\delta > 0$ e un'unica funzione
$\vec{y} : (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \to \RR^n$ di classe $C^1$ che risolve il problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
\vec{y}'(t) = \vec{f}(t, \vec{y}(t)), \\
\vec{y}(t_0) = \vec{y_0}.
\end{cases}
\]
\item \textbf{Teorema di dipendenza liscia dai dati iniziali} --
Sia $\Omega$ un aperto di $\RR \times \RR^n$ e sia $\vec{f} : \Omega \to \RR^n$ una funzione di classe
$C^k$ con $k \geq 1$. Indichiamo con $\Phi(t, t_0, \vec{y_0})$ la soluzione massimale del
problema di Cauchy con dato iniziale $\vec{y}(t_0) = \vec{y_0}$. \smallskip
Allora l'insieme di definizione del flusso:
\[
\mathcal{D} = \left\{ (t, t_0, \vec{y_0}) \in \RR \times \Omega :
\begin{array}{c}
\text{la soluzione } \vec{y}(t, t_0, \vec{y_0}) \\
\text{esiste al tempo } t
\end{array}
\right\}
\]
è un aperto di $\RR \times \Omega$ e l'applicazione $\Phi : \mathcal{D} \to \RR^n$ è di classe $C^k$.
\item \textbf{Caratterizzazione dell'annullamento della misura di Lebesgue} -- Sia $A$ un sottinsieme di $\RR^n$. Allora
$A$ ha misura nulla se e solo se, per ogni scelta di $\eps > 0$, esiste una famiglia numerabile $\{B_i\}_{i \geq 0}$
di rettangoli $B_i \subseteq \RR^n$ tali per cui:
\[ A \subseteq \bigcup_{i \geq 0} B_i, \quad \sum_{i \geq 0} \vol(B_i) < \eps. \]
\item \textbf{Lemma per la nullità della misura su un unione numerabile di insiemi di misura nulla} -- Se $\{A_k\}_{k \geq 0}$
è una famiglia di sottinsiemi di misura nulla di $\RR^n$, allora anche $\bigcup_{k \geq 0} A_k$ ha misura nulla.
\item \textbf{Teorema di Sard sugli aperti di $\RR^n$} -- Sia $U \subseteq \RR^n$ aperto, e sia $f : U \to \RR^n$ una mappa
liscia. Allora l'insieme $\crit(f)$ dei valori critici di $f$ ha misura nulla.
\end{itemize}
\section*{Analisi matematica e teoria della misura}
\addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica e teoria della misura}
\begin{itemize}
\item \textbf{Teorema di Schwarz} -- Sia $f : \RR^n \to \RR$ una funzione che ammette derivate seconde
miste continue in $\vec{x}$. Allora $\partial_{x_i x_j} f(\vec{x}) = \partial_{x_j x_i} f(\vec{x})$ per
ogni variabile $x_i$, $x_j$.
\item \textbf{Teorema della funzione implicita} -- Sia $U$ un aperto di $\RR^m \times \RR^n$ e sia
$f : U \to \RR^n$ una funzione di classe $C^k$ con $k \geq 1$. Sia $\vec{p} = (\vec{x_0}, \vec{y_0})$ un punto in $U$ con
$f(\vec{x_0}, \vec{y_0}) = \vec{a}$ e $J_{\vec{y}} f(\vec{p})$ invertibile. \smallskip
Allora esiste un
intorno $A = I_{\vec{x}} \times I_{\vec{y}}$ di $\vec{p}$ in $U$ all'interno del quale esiste un'unica
funzione $g : I_{\vec{x}} \to I_{\vec{y}}$ di classe $C^k$ per cui:
\[ \vec{y} = g(\vec{x}) \iff f(\vec{x}, \vec{y}) = \vec{a}, \quad \text{(in $A$)}. \]
Inoltre per tale $g$ vale:
\[ J g(\vec{x_0}) = - J_{\vec{y}} f(\vec{p})\inv J_{\vec{x}} f(\vec{p}). \]
\item \textbf{Teorema di invertibilità locale} (o \textit{della funzione inversa}) -- Sia $U$ un aperto di $\RR^n$ e sia $f : U \to \RR^n$ una
funzione di classe $C^k$, con $k \geq 1$. Sia $\vec{x_0}$ un punto in $U$ con $J f(\vec{x_0})$ invertibile. \smallskip
Allora esiste un
intorno $A$ di $\vec{x_0}$ in $U$ dentro al quale $\restr{f}{A}$ ha un'inversa $g$, anch'essa di classe
$C^k$, per la quale $J g(f(\vec{x})) = J f(\vec{x})\inv$.
\item \textbf{Teorema di esistenza e unicità globale per sistemi lineari di equazioni differenziali} --
Sia $I \subseteq \RR$ un intervallo aperto e siano date due funzioni continue:
\[ A : I \to \RR^{n \times n} \quad \text{e} \quad \vec{b} : I \to \RR^n. \]
Fissato $(t_0, \vec{y_0}) \in I \times \RR^n$, esiste un'unica soluzione $\vec{y} : I \to \RR^n$
del problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
\vec{y}'(t) = A(t)\vec{y}(t) + \vec{b}(t), \\
\vec{y}(t_0) = \vec{y_0}.
\end{cases}
\]
\item \textbf{Teorema di Cauchy-Lipschitz per l'esistenza e l'unicità locale} --
Sia $\Omega$ un aperto di $\RR \times \RR^n$ e sia $\vec{f} : \Omega \to \RR^n$ una funzione continua.
Si supponga inoltre che $\vec{f}$ sia \emph{localmente lipschitziana} rispetto alla seconda variabile. \smallskip
Allora, per ogni $(t_0, \vec{y_0}) \in \Omega$, esistono $\delta > 0$ e un'unica funzione
$\vec{y} : (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \to \RR^n$ di classe $C^1$ che risolve il problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
\vec{y}'(t) = \vec{f}(t, \vec{y}(t)), \\
\vec{y}(t_0) = \vec{y_0}.
\end{cases}
\]
\item \textbf{Teorema di dipendenza liscia dai dati iniziali} --
Sia $\Omega$ un aperto di $\RR \times \RR^n$ e sia $\vec{f} : \Omega \to \RR^n$ una funzione di classe
$C^k$ con $k \geq 1$. Indichiamo con $\Phi(t, t_0, \vec{y_0})$ la soluzione massimale del
problema di Cauchy con dato iniziale $\vec{y}(t_0) = \vec{y_0}$. \smallskip
Allora l'insieme di definizione del flusso:
\[
\mathcal{D} = \left\{ (t, t_0, \vec{y_0}) \in \RR \times \Omega :
\begin{array}{c}
\text{la soluzione } \vec{y}(t, t_0, \vec{y_0}) \\
\text{esiste al tempo } t
\end{array}
\right\}
\]
è un aperto di $\RR \times \Omega$ e l'applicazione $\Phi : \mathcal{D} \to \RR^n$ è di classe $C^k$.
\item \textbf{Caratterizzazione dell'annullamento della misura di Lebesgue} -- Sia $A$ un sottinsieme di $\RR^n$. Allora
$A$ ha misura nulla se e solo se, per ogni scelta di $\eps > 0$, esiste una famiglia numerabile $\{B_i\}_{i \geq 0}$
di rettangoli $B_i \subseteq \RR^n$ tali per cui:
\[ A \subseteq \bigcup_{i \geq 0} B_i, \quad \sum_{i \geq 0} \vol(B_i) < \eps. \]
\item \textbf{Lemma per la nullità della misura su un unione numerabile di insiemi di misura nulla} -- Se $\{A_k\}_{k \geq 0}$
è una famiglia di sottinsiemi di misura nulla di $\RR^n$, allora anche $\bigcup_{k \geq 0} A_k$ ha misura nulla.
\item \textbf{Teorema di Sard sugli aperti di $\RR^n$} -- Sia $U \subseteq \RR^n$ aperto, e sia $f : U \to \RR^n$ una mappa
liscia. Allora l'insieme $\crit(f)$ dei valori critici di $f$ ha misura nulla.
\end{itemize}
\end{multicols*}

128
Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/4-varieta-e-teoria-del-grado.tex
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@ -64,7 +64,7 @@
si estende all'identità.
\end{proof}
\subsection{Varietà differenziabili, carte, atlanti e parametrizzazioni locali}
\subsection{Varietà differenziabili, carte, atlanti, parametrizzazioni locali e funzioni di transizione}
\begin{definition}[Varietà differenziabile liscia senza bordo]
Un insieme $M \subseteq \RR^k$ si dice \textbf{varietà (differenziabile liscia senza bordo) di dimensione $m>0$} (o $m$-varietà) se per ogni
@ -93,6 +93,13 @@
regolari.
\end{remark}
\begin{definition}[Funzione di transizione]
Date due parametrizzazioni locali $f : U \to f(U)$ e $g : V \to g(V)$ con intersezione
delle immagini \underline{non} vuota, si
definisce la \textbf{funzione di transizione da $f$ a $g$} come la seguente funzione:
\[ \boxed{g\inv \circ f : f\inv(g(V)) \to g\inv(f(U)).} \]
\end{definition}
\subsection{Prodotto di varietà}
\begin{proposition}[Prodotto di varietà] \label{prop:prodotto_varietà}
@ -288,7 +295,7 @@
Sia $f : M \to N \times O$ una mappa liscia, dove $M$, $N$ e $O$ sono varietà.
Se $f(x) = (g(x), p(x))$, allora $g$ e $p$ sono lisce e vale:
\[
\boxed{df_x(h) = (dg_x(h), dp_x(h)).}
\boxed{\dif f_x(h) = (\dif g_x(h), \dif p_x(h)).}
\]
\end{proposition}
@ -493,11 +500,11 @@
\]
Allora, per la Proposizione \ref{prop:diff_prodotto}, vale:
\[
dF_x(v) = (df_x(v), dL_x(v)) = (df_x(v), L(v)),
\dif F_x(v) = (\dif f_x(v), \dif L_x(v)) = (\dif f_x(v), L(v)),
\]
dove si è usato che $L$ è una mappa lineare. $dF_x(v)$ si annulla solo
dove si è usato che $L$ è una mappa lineare. $\dif F_x(v)$ si annulla solo
per $v = 0$, essendo $\restr{L}{T_x M}$ un isomorfismo; quindi
$dF_x(v)$ è invertibile, e $x$ è regolare per $F$. \smallskip
$\dif F_x(v)$ è invertibile, e $x$ è regolare per $F$. \smallskip
Osserviamo che $F$ è una mappa tra varietà della stessa dimensione (vd. Proposizione
\ref{prop:prodotto_varietà}), e quindi, per la Proposizione
@ -590,12 +597,20 @@
\]
\end{definition}
\begin{remark} \label{rmk:hn_diffeo_rn-1}
Osserviamo che in modo naturale vale il seguente diffeomorfismo:
\[
\boxed{\partial H^n = \{ x \in \RR^n \mid x_n = 0 \} \cong \RR^{n-1}.}
\]
\end{remark}
\begin{definition}[$m$-varietà con bordo]
Si dice che $M \subseteq \RR^k$ è una \textbf{$m$-varietà con bordo} se
ogni punto di $M$ ammette un intorno diffeomorfo ad un aperto del semispazio
superiore $H^n$. Gli intorni e i diffeomorfismi citati formano le
\textbf{carte locali} della varietà, e le inverse di tali diffeomorfismi
sono dette \textbf{parametrizzazioni locali}. \smallskip
sono dette \textbf{parametrizzazioni locali}. Analogamente si definiscono
le \textbf{funzioni di transizione}. \smallskip
Si dice \textbf{bordo} della varietà $M$ l'insieme dei punti che è immagine
di un punto di $\partial H^n$ tramite qualche parametrizzazione locale, e
@ -610,6 +625,59 @@
Utilizzeremo dunque indistintamente le due caratterizzazioni.
\end{remark}
\subsection{Proprietà del bordo di una varietà con bordo}
\begin{lemma}[I punti di bordo sono sempre immagini di elementi di bordo] \label{lem:punti_di_bordo}
Sia $x$ un punto del bordo $\partial M$ di una $m$-varietà con bordo $M$. Se
$g$ è una parametrizzazione locale di $x$, allora $x$ è immagine di un
punto di bordo di $H^n$ tramite $g$. Equivalentemente, $x$ è un punto di
$\partial M$ se e solo se è immagine di un valore di bordo per
ogni sua parametrizzazione locale.
\end{lemma}
\begin{proof}
Sia $g : U \subseteq H^m \to g(U)$ una parametrizzazione locale di $x$ con
$g(u) = x$. Poiché $x$ è un punto di $\partial M$,
allora esiste una parametrizzazione locale $f : V \subseteq H^m \to f(V)$
di $x$ tale per cui esiste $v \in \partial V = \partial H^m \cap V$ con
$f(v) = x$. \smallskip
Se $f = g$, la tesi è dimostrata. Se $f \neq g$ e per assurdo $u \notin \partial U$,
allora la funzione di transizione $g\inv \circ f$ si restringerebbe a
un diffeomorfismo tra un aperto di $\RR^m$ diffeomorfo a $\RR^m$ e
un aperto di $H^m$ diffeomorfo a $H^m$. Tuttavia $\RR^m$ e
$H^m$ non sono diffeomorfi, \Lightning. Dunque $u \in \partial U$.
\end{proof}
\begin{corollary}[Il bordo si trasporta naturalmente tramite parametrizzazione locale] \label{cor:bordo_param_locale}
Sia $g : U \to g(U)$ una parametrizzazione locale di una $m$-varietà con bordo $M$. Allora:
\[
\boxed{g(\partial U) = g(U) \cap \partial M.}
\]
\end{corollary}
\begin{proof}
L'inclusione $g(\partial U) \subseteq g(U) \cap \partial M$ è ovvia.
L'inclusione opposta invece è data dal Lemma \ref{lem:punti_di_bordo}.
\end{proof}
\begin{proposition}
Sia $M$ una $m$-varietà con bordo. Allora $\partial M$ è
una varietà senza bordo di dimensione $m-1$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Sia $x \in \partial M$. Allora esiste una parametrizzazione locale
$g : U \subseteq H^m \to M$ con $g(u) = x$ e $u \in \partial U = U \cap \partial H^m$. \smallskip
La restrizione $\restr{g}{\partial U}$ è un diffeomorfismo (vd. Proposizione \ref{prop:comp_liscia}). Ricordiamo che
$g(\partial U) = g(U) \cap \partial M$ dal Corollario \ref{cor:bordo_param_locale}. Allora, poiché
$\partial H^m \cong \RR^{m-1}$, possiamo identificare
$\partial U$ come aperto in $\RR^{m-1}$. Quindi
$(\restr{g}{\partial U})\inv$ induce una carta locale per $\partial M$,
e si conclude che $\partial M$ è una varietà di dimensione $m-1$. \smallskip
\end{proof}
\subsection{Differenziale e spazio tangente su varietà con bordo}
\begin{remark}[Il differenziale sul bordo di $H^n$ è ben definito]
@ -633,15 +701,15 @@
\begin{definition}[Differenziale su $H^n$]
Sia $g : U \to \RR^k$ una mappa liscia da un aperto $U \subseteq H^n$. \smallskip
Per $x \in U \setminus \partial H^n$, il differenziale $dg_x$ è
Per $x \in U \setminus \partial H^n$, il differenziale $\dif g_x$ è
definito come l'usuale differenziale dato dalla restrizione di $g$ a un aperto
di $\RR^n$. \smallskip
Per $x \in U \cap \partial H^n$, il differenziale $dg_x$ è indotto dal
Per $x \in U \cap \partial H^n$, il differenziale $\dif g_x$ è indotto dal
differenziale di una qualsiasi estensione $\tilde{g}$ di $g$ in un intorno
aperto di $x$, ovverosia:
\[
\boxed{dg_x \defeq d \hat{g}_x.}
\boxed{\dif g_x \defeq \dif \hat{g}_x.}
\]
\end{definition}
@ -674,48 +742,6 @@
concetti di punto regolare/critico e di valore regolare/critico.
\end{remark}
\subsection{Bordo di una varietà}
\begin{proposition}
Sia $M$ una $m$-varietà con bordo. Allora $\partial M$ è
una varietà senza bordo di dimensione $m-1$.
\end{proposition}
\begin{remark}
Osserviamo innanzitutto che $\partial H^m \cong \RR^{m-1}$,
su cui si fonda l'idea della dimostrazione.
\end{remark}
\begin{proof}
Sia $x \in \partial M$. Allora esiste una parametrizzazione locale
$g : U \subseteq H^m \to M$ con $g(u) = x$ e $u \in \partial U = U \cap \partial H^m$. \smallskip
La restrizione $\restr{g}{\partial U}$ è un diffeomorfismo. Mostriamo
che $g(\partial U) = g(U) \cap \partial M$: questo ci permetterebbe di concludere
che $(\restr{g}{\partial U})\inv$ è una carta locale per $\partial M$,
e quindi, poiché $\partial U \cong \RR^{m-1}$, che $\partial M$ è una varietà di dimensione $m-1$. \smallskip
L'inclusione $g(\partial U) \subseteq g(U) \cap \partial M$ è chiara per
costruzione. \smallskip
Supponiamo che esista $y \in g(U) \cap \partial M$ non
appartenente a $g(\partial U)$.
\begin{itemize}
\item Dal momento che $y \in \partial M$, esiste
una parametrizzazione locale $h : V \subseteq H^m \to M$ tale per cui esiste
$v \in \partial V$ con $h(v) = y$.
\item Dacché $y \in g(U)$, ma $y \notin g(\partial U)$, esiste $u' \notin \partial U$
tale per cui $g(u') = y$.
\end{itemize}
A meno di restringimenti di $g$, consideriamo la funzione di transizione
$h\inv \circ g$. Dacché è composizione di diffeomorfismi, $h\inv \circ g$ stessa
è un diffeomorfismo liscio. Dal momento che $u' \notin \partial U$,
$h\inv \circ g$ induce un diffeomorfismo tra un intorno aperto di $u'$ in $\underline{\RR^m}$ e uno
di $v$; tuttavia questo è assurdo perché implicherebbe $H^m \cong \RR^m$.
\end{proof}
\subsection{Varietà con bordo da valori regolari}
\begin{lemma}

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