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Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/1. Introduzione al prodotto scalare.tex

@@ -0,0 +1,195 @@
+\chapter{Introduzione al prodotto scalare}
+
+\begin{note}
+	Nel corso del documento, per $V$, qualora non specificato, si intenderà uno spazio vettoriale di dimensione
+	finita $n$.
+\end{note}
+
+\begin{definition}
+	Un \textbf{prodotto scalare} su $V$ è una forma bilineare simmetrica $\varphi$ con argomenti in $V$.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+	Sia $\varphi : M(n, \KK)^2 \to \KK$ tale che $\varphi(A, B) = \tr(AB)$. \\
+	
+	\li $\varphi(A + A', B) = \tr((A + A')B) = \tr(AB + A'B) = \tr(AB) + \tr(A'B) = \varphi(A, B) + \varphi(A', B)$ (linearità
+	nel primo argomento), \\
+	\li $\varphi(\alpha A, B) = \tr(\alpha A B) = \alpha \tr(AB) = \alpha \varphi(A, B)$ (omogeneità nel secondo argomento), \\
+	\li $\varphi(A, B) = \tr(AB) = \tr(BA) = \varphi(B, A)$ (simmetria), \\
+	\li poiché $\varphi$ è simmetrica, $\varphi$ è lineare e omogenea anche nel secondo argomento, e quindi è una
+	forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $M(n, \KK)$.
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+	Si definisce prodotto scalare \textit{canonico} di $\KK^n$ la forma bilineare simmetrica $\varphi$ con
+	argomenti in $\KK^n$ tale che:
+	
+	\[ \varphi((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)) = \sum_{i=1}^n x_i y_i. \]
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+	Si può facilmente osservare che il prodotto scalare canonico di $\KK^n$ è effettivamente un prodotto
+	scalare. \\
+	
+	\li $\varphi((x_1, ..., x_n) + (x_1', ..., x_n'), (y_1, ..., y_n)) = \sum_{i=1}^n (x_i + x_i') y_i =
+	\sum_{i=1}^n \left[x_iy_i + x_i' y_i\right] = \sum_{i=1}^n x_i y_i + \sum_{i=1}^n x_i' y_i =
+	\varphi((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)) + \varphi((x_1', ..., x_n'), (y_1, ..., y_n))$ (linearità nel
+	primo argomento), \\
+	\li $\varphi(\alpha(x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)) = \sum_{i=1}^n \alpha x_i y_i = \alpha \sum_{i=1}^n x_i y_i =
+	\alpha \varphi((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n))$ (omogeneità nel primo argomento), \\
+	\li $\varphi((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)) = \sum_{i=1}^n x_i y_i = \sum_{i=1}^n y_i x_i = \varphi((y_1, ..., y_n), (x_1, ..., x_n))$ (simmetria), \\
+	\li poiché $\varphi$ è simmetrica, $\varphi$ è lineare e omogenea anche nel secondo argomento, e quindi è una
+	forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $\KK^n$.
+\end{remark}
+
+\begin{example}
+	Altri esempi di prodotto scalare sono i seguenti: \\
+	
+	\li $\varphi(A, B) = \tr(A^\top B)$ per $M(n, \KK)$, \\
+	\li $\varphi(p(x), q(x)) = p(a) q(a)$ per $\KK[x]$, con $a \in \KK$, \\
+	\li $\varphi(p(x), q(x)) = \sum_{i=1}^n p(x_i) q(x_i)$ per $\KK[x]$, con $x_1$, ..., $x_n$ distinti, \\
+	\li $\varphi(p(x), q(x)) = \int_a^b p(x)q(x) dx$ per lo spazio delle funzioni integrabili su $\RR$, con $a$, $b$ in $\RR$, \\
+	\li $\varphi(\vec{x}, \vec{y}) = \vec{x}^\top A \vec{y}$ per $\KK^n$, con $A \in M(n, \KK)$ simmetrica.
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+	Sia\footnote{In realtà, la definizione è facilmente estendibile a qualsiasi campo, purché esso
+		sia ordinato.} $\KK = \RR$. Allora un prodotto scalare $\varphi$ si dice \textbf{definito positivo} se $\v \in V$, $\vec{v} \neq \vec{0} \implies
+	\varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$. Analogamente $\varphi$ è \textbf{definito negativo} se $\vec{v} \neq \vec 0 \implies \varphi(\v, \v) < 0$. \\
+	
+	Infine, $\varphi$ è \textbf{semidefinito positivo} se $\varphi(\v, \v) \geq 0$ $\forall \v \in V$ (o
+	\textbf{semidefinito negativo} se invece $\varphi(\v, \v) \leq 0$ $\forall \v \in V$).	
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+	Il prodotto scalare canonico di $\RR^n$ è definito positivo: infatti $\varphi((x_1, ..., x_n), (x_1, ..., x_n)) =
+	\sum_{i=1}^n x_i^2  = 0 \iff x_i = 0$, $\forall 1 \leq i \leq n$ $\iff (x_1, ..., x_n) = \vec{0}$. \\
+	
+	Al contrario, il prodotto scalare $\varphi : \RR^2 \to \RR$ tale che $\varphi((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = x_1 y_1 - x_2 y_2$ non è definito positivo: $\varphi((x, y), (x, y)) = 0$, $\forall$ $(x, y) \mid x^2 = y^2$, ossia se
+	$y = x$ o $y = -x$.
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+	Dato un prodotto scalare $\varphi$ di $V$, ad ogni vettore $\vec{v} \in V$ si associa una \textbf{forma quadratica}
+	$q : V \to \KK$ tale che $q(\vec{v}) = \varphi(\vec{v}, \vec{v})$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+	Si osserva che $q$ non è lineare in generale: infatti $q(\vec{v} + \vec{w}) \neq q(\vec{v}) + q(\vec{w})$ in
+	$\RR^n$.
+\end{remark}
+
+\begin{definition}
+	Un vettore $\vec{v} \in V$ si dice \textbf{isotropo} rispetto al prodotto scalare $\varphi$ se $q(\vec{v}) =
+	\varphi(\vec{v}, \vec{v}) = 0$.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+	Rispetto al prodotto scalare $\varphi : \RR^3 \to \RR$ tale che $\varphi((x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3)) =
+	x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$, i vettori isotropi $(x, y, z)$ sono quelli tali che $x^2 + y^2 = z^2$, ossia
+	i vettori stanti sul cono di eq.~$x^2 + y^2 = z^2$.
+\end{example}
+
+\begin{remark}
+	Come già osservato in generale per le app.~multilineari, il prodotto scalare è univocamente determinato
+	dai valori che assume nelle coppie $\vv{i}, \vv{j}$ estraibili da una base $\basis$. Infatti, se
+	$\basis = (\vv1, ..., \vv{k})$, $\vec{v} = \sum_{i=1}^k \alpha_i \vv{i}$ e $\vec{w} = \sum_{i=1}^k \beta_i \vv{i}$,
+	allora:
+	
+	\[ \varphi(\vec{v}, \vec{w}) = \sum_{1 \leq i \leq j \leq k} \alpha_i \beta_j \, \varphi(\vv{i}, \vv{j}). \]
+\end{remark}
+
+\begin{definition}
+	Sia $\varphi$ un prodotto scalare di $V$ e sia $\basis = (\vv1, ..., \vv{n})$ una base ordinata di $V$. Allora si denota con \textbf{matrice associata}
+	a $\varphi$ la matrice:
+	
+	\[ M_\basis(\varphi) = (\varphi(\vv{i}, \vv{j}))_{i,\,j = 1\text{---}n} \in M(n, \KK). \] 
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+	Si possono fare alcune osservazioni riguardo $M_\basis(\varphi)$. \\
+	
+	\li $M_\basis(\varphi)$ è simmetrica, infatti $\varphi(\vv{i}, \vv{j}) = \varphi(\vv{j}, \vv{i})$ per
+	definizione di prodotto scalare, \\
+	\li $\varphi(\vec{v}, \vec{w}) = [\vec{v}]_\basis^\top M_\basis(\varphi) [\vec{w}]_\basis$.
+\end{remark}
+
+\begin{theorem} (di cambiamento di base per matrici di prodotti scalari) Siano $\basis$, $\basis'$ due
+	basi ordinate di $V$. Allora, se $\varphi$ è un prodotto scalare di $V$ e $P = M^{\basis'}_{\basis}(\Id_V)$, vale la seguente identità:
+	
+	\[ \underbrace{M_{\basis'}(\varphi)}_{A'} = P^\top \underbrace{M_{\basis}}_{A} P. \]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof} Siano $\basis = (\vv{1}, ..., \vv{n})$ e $\basis' = (\vec{w}_1, ..., \vec{w}_n)$. Allora
+	$A'_{ij} = \varphi(\vec{w}_i, \vec{w}_j) = [\vec{w}_i]_{\basis}^\top A [\vec{w}_j]_{\basis} =
+	(P^i)^\top A P^j = P_i^\top (AP)^j = (P^\top AP)_{ij}$, da cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Si definisce \textbf{congruenza} la relazione di equivalenza $\cong$ definita nel seguente
+	modo su $A, B \in M(n, \KK)$:
+	
+	\[ A \cong B \iff \exists P \in GL(n, \KK) \mid A = P^\top A P. \]
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+	Si può facilmente osservare che la congruenza è in effetti una relazione di equivalenza. \\
+	
+	\li $A = I^\top A I \implies A \cong A$ (riflessione), \\
+	\li $A \cong B \implies A = P^\top B P \implies B = (P^\top)\inv A P\inv = (P\inv)^\top A P\inv \implies B \cong A$ (simmetria), \\
+	\li $A \cong B \implies A = P^\top B P$, $B \cong C \implies B = Q^\top C Q$, quindi $A = P^\top Q^\top C Q P =
+	(QP)^\top C (QP) \implies A \cong C$ (transitività). 
+\end{remark}
+
+\begin{remark}
+	Si osservano alcune proprietà della congruenza. \\
+	
+	\li Per il teorema di cambiamento di base del prodotto scalare, due matrici associate a uno stesso
+	prodotto scalare sono sempre congruenti (esattamente come due matrici associate a uno stesso
+	endomorfismo sono sempre simili).
+	\li Se $A$ e $B$ sono congruenti, $A = P^\top B P \implies \rg(A) = \rg(P^\top B P) = \rg(BP) = \rg(B)$,
+	dal momento che $P$ e $P^\top$ sono invertibili; quindi il rango è un invariante per congruenza. Allora
+	è ben definito il rango $\rg(\varphi)$ di un prodotto scalare come il rango di una sua qualsiasi matrice
+	associata.
+	\li Se $A$ e $B$ sono congruenti, $A = P^\top B P \implies \det(A) = \det(P^\top B P) = \det(P^\top) \det(B) \det(P)=
+	\det(P)^2 \det(B)$. Quindi, per $\KK = \RR$, il segno del determinante è invariante per congruenza.
+\end{remark}
+
+\begin{definition}
+	Si dice \textbf{radicale} di un prodotto scalare $\varphi$ lo spazio:
+	
+	\[ V^\perp = \{ \vec{v} \in V \mid \varphi(\vec{v}, \vec{w}) = 0 \, \forall \vec{w} \in V \} \]
+	
+	\vskip 0.05in
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+	Il radicale di $\RR^n$ con il prodotto scalare canonico ha dimensione nulla, dal momento che $\forall \vec{v} \in \RR^n \setminus \{\vec{0}\}$, $q(\vec{v}) = \varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$.
+\end{remark}
+
+\begin{definition}
+	Un prodotto scalare si dice \textbf{degenere} se il radicale dello spazio su tale prodotto scalare ha
+	dimensione non nulla.
+\end{definition}
+
+%TODO: spiegare perché \alpha_\varphi è lineare e aggiungere esempi nella parte precedente.
+%TODO: aggiungere osservazioni sul radicale (i.e. che è uno spazio, che ogni suo vettore è isotropo, ...).
+
+\begin{remark}
+	Si definisce l'applicazione lineare $\alpha_\varphi : V \to \dual{V}$ in modo tale che
+	$\alpha_\varphi(\vec{v}) = p$, dove $p(\vec{w}) = \varphi(\vec{v}, \vec{w})$. \\
+	
+	Allora $V^\perp$ altro non è che $\Ker \alpha_\varphi$. Se $V$ ha dimensione finita, $\dim V = \dim \dual{V}$,
+	e si può allora concludere che $\dim V^\perp > 0 \iff \Ker \alpha_\varphi \neq \{\vec{0}\} \iff \alpha_\varphi$ non è
+	invertibile (infatti lo spazio di partenza e di arrivo di $\alpha_\varphi$ hanno la stessa dimensione). In
+	particolare, $\alpha_\varphi$ non è invertibile se e solo se $\det(\alpha_\varphi) = 0$. \\
+	
+	Sia $\basis = (\vv{1}, ..., \vv{n})$ una base ordinata di $V$. Si consideri allora la base ordinata del
+	duale costruita su $\basis$, ossia $\dual{\basis} = (\vecdual{v_1}, ..., \vecdual{v_n})$. Allora
+	$M_{\basisdual}^\basis(\alpha_\varphi)^i = [\alpha_\varphi(\vv{i})]_{\basisdual} = \Matrix{\varphi(\vec{v_i}, \vec{v_1}) \\ \vdots \\ \varphi(\vec{v_i}, \vec{v_n})} \underbrace{=}_{\varphi \text{ è simmetrica}}
+	\Matrix{\varphi(\vec{v_1}, \vec{v_i}) \\ \vdots \\ \varphi(\vec{v_n}, \vec{v_i})} = M_\basis(\varphi)^i$. Quindi
+	$M_{\basisdual}^\basis(\alpha_\varphi) = M_\basis(\varphi)$. \\
+	
+	Si conclude allora che $\varphi$ è degenere se e solo se $\det (M_\basis(\varphi)) = 0$ e che
+	$V^\perp \cong \Ker M_\basis(\varphi)$ con l'isomorfismo è il passaggio alle coordinate.
+\end{remark}

Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/2. Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare.tex

@@ -0,0 +1,430 @@
+\chapter{Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare}
+	
+\begin{note}
+	Nel corso del documento, per $V$ si intenderà uno spazio vettoriale di dimensione
+	finita $n$ e per $\varphi$ un suo prodotto scalare. Analogamente si intenderà lo stesso
+	per $V'$ e $\varphi'$.
+\end{note}
+
+\begin{proposition} (formula delle dimensioni del prodotto scalare)
+	Sia $W \subseteq V$ un sottospazio di $V$. Allora vale la seguente identità:
+	
+	\[ \dim W + \dim W^\perp = \dim V + \dim (W \cap V^\perp). \]
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	Si consideri l'applicazione lineare $f : V \to \dual W$ tale che $f(\vec v)$ è un funzionale di $\dual W$ tale che
+	$f(\vec v)(\vec w) = \varphi(\vec v, \vec w)$ $\forall \vec w \in W$. Si osserva che $W^\perp = \Ker f$, da cui,
+	per la formula delle dimensioni, $\dim V = \dim W^\perp + \rg f$. Inoltre, si osserva anche che
+	$f = i^\top \circ a_\varphi$, dove $i : W \to V$ è tale che $i(\vec w) = \vec w$, infatti $f(\vec v) = a_\varphi(\vec v) \circ i$ è un funzionale di $\dual W$ tale che $f(\vec v)(\vec w) = \varphi(\vec v, \vec w)$. Pertanto
+	$\rg f = \rg (i^\top \circ a_\varphi)$. \\
+	
+	Si consideri ora l'applicazione $g = a_\varphi \circ i : W \to \dual W$. Sia ora $\basis_W$ una base di $W$ e
+	$\basis_V$ una base di $V$. Allora le matrice associate di $f$ e di $g$ sono le seguenti:
+	
+	\begin{enumerate}[(i)]
+		\item $M_{\dual \basis_W}^{\basis_V}(f) = M_{\dual \basis_W}^{\basis_V}(i^\top \circ a_\varphi) =
+		\underbrace{M_{\dual \basis_W}^{\dual \basis_V}(i^\top)}_A \underbrace{M_{\dual \basis_V}^{\basis_V}(a_\varphi)}_B = AB$,
+		\item $M_{\dual \basis_V}^{\basis_W}(g) = M_{\dual \basis_V}^{\basis_W}(a_\varphi \circ i) =
+		\underbrace{M_{\dual \basis_V}^{\basis_V}(a_\varphi)}_B \underbrace{M_{\basis_V}^{\basis_W}(i)}_{A^\top} = BA^\top \overbrace{=}^{B^\top = B} (AB)^\top$.
+	\end{enumerate}
+	
+	Poiché $\rg(A) = \rg(A^\top)$, si deduce che $\rg(f) = \rg(g) \implies \rg(i^\top \circ a_\varphi) = \rg(a_\varphi \circ i) = \rg(\restr{a_\varphi}{W}) = \dim W - \dim \Ker \restr{a_\varphi}{W} = \dim W - \dim (W \cap \underbrace{\Ker a_\varphi}_{V^\perp}) = \dim W - \dim (W \cap V^\perp)$. Si conclude allora, sostituendo quest'ultima
+	identità nell'identità ricavata a inizio dimostrazione che $\dim V = \dim W^\top + \dim W - \dim (W \cap V^\perp)$,
+	ossia la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{remark}
+	Si possono fare alcune osservazioni sul radicale di un solo elemento $\vec w$ e su quello del suo sottospazio
+	generato $W = \Span(\vec w)$: \\
+	
+	\li $\vec w ^\perp = W^\perp$, \\
+	\li $\vec w \notin W^\perp \iff \Rad (\restr{\varphi}{W}) = W \cap W^\perp \iff \vec w \text{ non è isotropo } = \zerovecset \iff
+	V = W \oplus W^\perp$.
+\end{remark}
+
+\begin{definition}
+	Si definisce \textbf{base ortogonale} di $V$ una base $\vv 1$, ..., $\vv n$ tale per cui $\varphi(\vv i, \vv j) = 0
+	\impliedby i \neq j$, ossia per cui la matrice associata del prodotto scalare è diagonale. 
+\end{definition}
+
+\begin{proposition} (formula di polarizzazione)
+	Se $\Char \KK \neq 2$, un prodotto scalare è univocamente determinato dalla sua forma quadratica $q$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	Si nota infatti che $q(\vec v + \vec w) - q(\vec v) - q(\vec w) = 2 \varphi(\vec v, \vec w)$, e quindi,
+	poiché $2$ è invertibile per ipotesi, che $\varphi(\vec v, \vec w) = 2\inv (q(\vec v + \vec w) - q(\vec v) - q(\vec w))$.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}(di Lagrange)
+	Ogni spazio vettoriale $V$ su $\KK$ tale per cui $\Char \KK \neq 2$ ammette una base ortogonale.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Sia dimostra il teorema per induzione su $n := \dim V$. Per $n \leq 1$, la dimostrazione è triviale. Sia
+	allora il teorema vero per $i \leq n$. Se $V$ ammette un vettore non isotropo $\vec w$, sia $W = \Span(\vec w)$ e si consideri la decomposizione $V = W \oplus W^\perp$. Poiché $W^\perp$ ha dimensione $n-1$, per ipotesi induttiva
+	ammette una base ortogonale. Inoltre, tale base è anche ortogonale a $W$, e quindi l'aggiunta di $\vec w$ a
+	questa base ne fa una base ortogonale di $V$. Se invece $V$ non ammette vettori non isotropi, ogni forma quadratica
+	è nulla, e quindi il prodotto scalare è nullo per la proposizione precedente.
+\end{proof}
+
+
+\begin{note}
+	D'ora in poi, nel corso del documento, si assumerà $\Char \KK \neq 2$.
+\end{note}
+
+\begin{theorem} (di Sylvester, caso complesso)
+	Sia $\KK$ un campo i cui elementi sono tutti quadrati di un
+	altro elemento del campo (e.g.~$\CC$). Allora esiste una base
+	ortogonale $\basis$ tale per cui:
+	
+	\[ M_\basis(\varphi) = \Matrix{I_r & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & 0\,}. \]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Per il teorema di Lagrange, esiste una base ortogonale $\basis'$ di $V$.
+	Si riordini la base in modo tale che la forma quadratica valutata nei primi elementi sia sempre diversa da zero. Allora, poiché ogni
+	elemento di $\KK$ è per ipotesi quadrato di un altro elemento
+	di $\KK$, si sostituisca $\basis'$ con una base $\basis$ tale per
+	cui, se $q(\vv i) = 0$, $\vv i \mapsto \vv i$, e altrimenti
+	$\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{q(\vv i)}}$. Allora $\basis'$
+	è una base tale per cui la matrice associata del prodotto scalare
+	in tale base è proprio come desiderata nella tesi, dove $r$ è
+	il numero di elementi tali per cui la forma quadratica valutata
+	in essi sia diversa da zero.
+\end{proof}
+
+\begin{remark}
+	Si possono effettuare alcune considerazioni sul teorema di Sylvester
+	complesso. \\
+	
+	\li Si può immediatamente concludere che il rango è un invariante
+	completo per la congruenza in un campo in cui tutti gli elementi
+	sono quadrati, ossia che $A \cong B \iff \rg(A) = \rg(B)$, se $A$ e
+	$B$ sono matrici simmetriche: infatti
+	ogni matrice simmetrica rappresenta una prodotto scalare, ed è
+	pertanto congruente ad una matrice della forma desiderata
+	nell'enunciato del teorema di Sylvester complesso. Poiché il rango
+	è un invariante della congruenza, si ricava che $r$ nella forma
+	della matrice di Sylvester, rappresentando il rango, è anche
+	il rango di ogni sua matrice congruente. In particolare, se due
+	matrici simmetriche hanno stesso rango, allora sono congruenti
+	alla stessa matrice di Sylvester, e quindi, essendo la congruenza
+	una relazione di congruenza, sono congruenti a loro volta. \\
+	\li Due matrici simmetriche con stesso rango, allora, non solo
+	sono SD-equivalenti, ma sono anche congruenti. \\
+	\li Ogni base ortogonale deve quindi avere lo stesso numero
+	di elementi nulli.
+\end{remark}
+
+\begin{definition} (somma diretta ortogonale)
+	Siano i sottospazi $U$ e $W \subseteq V$ in somma diretta. Allora si dice che $U$ e $W$ sono in \textbf{somma
+		diretta ortogonale rispetto al prodotto scalare} $\varphi$ di $V$, ossia che $U \oplus W = U \oplus^\perp W$, se $\varphi(\vec u, \vec w) = 0$ $\forall \vec u \in U$, $\vec w \in W$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition} (cono isotropo)
+	Si definisce \textbf{cono isotropo} di $V$ rispetto al prodotto scalare $\varphi$ il seguente insieme:
+	
+	\[ \CI(\varphi) = \{ \v \in V \mid \varphi(\v, \v) = 0 \}, \]
+	
+	\vskip 0.05in
+	
+	ossia l'insieme dei vettori isotropi di $V$.
+\end{definition}
+
+\begin{note}
+	La notazione $\varphi > 0$ indica che $\varphi$ è definito positivo (si scrive $\varphi \geq 0$ se invece è semidefinito
+	positivo).
+	Analogamente $\varphi < 0$ indica che $\varphi$ è definito negativo (e $\varphi \leq 0$ indica che è semidefinito negativo).
+\end{note}
+
+\begin{exercise} Sia $\Char \KK \neq 2$.
+	Siano $\vv1$, ..., $\vv k \in V$ e sia $M = \left( \varphi(\vv i, \vv j) \right)_{i, j = 1\textrm{---}k} \in M(k, \KK)$,
+	dove $\varphi$ è un prodotto scalare di $V$. Sia inoltre $W = \Span(\vv 1, ..., \vv k)$. Si dimostrino
+	allora le seguenti affermazioni.
+	
+	\begin{enumerate}[(i)]
+		\item Se $M$ è invertibile, allora $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono linearmente indipendenti.
+		
+		\item Siano $\vv 1$, ..., $\vv k$ linearmente indipendenti. Allora $M$ è invertibile $\iff$ $\restr{\varphi}{W}$ è non degenere $\iff$ $W \cap W^\perp = \zerovecset$.
+		
+		\item Siano $\vv1$, ..., $\vv k$ a due a due ortogonali tra loro. Allora $M$ è invertibile $\iff$ nessun
+		vettore $\vv i$ è isotropo.
+		
+		\item Siano $\vv1$, ..., $\vv k$ a due a due ortogonali tra loro e siano anche linearmente indipendenti.
+		Allora $M$ è invertibile $\implies$ si può estendere $\basis_W = \{\vv 1, \ldots, \vv k\}$ a una base ortogonale di $V$.
+		
+		\item Sia $\KK = \RR$. Sia inoltre $\varphi > 0$. Allora $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono linearmente
+		indipendenti $\iff$ $M$ è invertibile.
+		
+		\item Sia $\KK = \RR$. Sia ancora $\varphi > 0$. Allora se $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono a due a due
+		ortogonali e sono tutti non nulli, sono anche linearmente indipendenti.
+	\end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+	\begin{enumerate}[(i)]
+		\item Siano $a_1$, ..., $a_k \in \KK$ tali che $a_1 \vv 1 + \ldots + a_k \vv k = 0$. Vale in
+		particolare che $\vec 0 = \varphi(\vv i, \vec 0) = \varphi(\vv i, a_1 \vv 1 + \ldots + a_k \vv k) =
+		\sum_{j=1}^k a_j \varphi(\vv i, \vv j)$ $\forall 1 \leq i \leq k$. Allora $\sum_{j=1}^k a_j M^j = 0$.
+		Dal momento che $M$ è invertibile, $\rg(M) = k$, e quindi l'insieme delle colonne di $M$ è linearmente
+		indipendente, da cui si ricava che $a_j = 0$ $\forall 1 \leq j \leq k$, e quindi che $\vv 1$, ...,
+		$\vv k$ sono linearmente indipendenti.
+		
+		\item Poiché $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono linearmente indipendenti, tali vettori formano una base di
+		$W$, detta $\basis$. In particolare, allora, vale che $M = M_\basis(\restr{\varphi}{W})$. Pertanto,
+		se $M$ è invertibile, $\Rad(\restr{\varphi}{W}) = \Ker M = \zerovecset$, e dunque $\restr{\varphi}{W}$
+		è non degenere. Se invece $\restr{\varphi}{W}$ è non degenere, $\zerovecset = \Rad(\restr{\varphi}{W}) = W \cap W^\perp$. Infine, se $W \cap W^\perp = \zerovecset$, $\zerovecset = W \cap W^\perp = \Rad(\restr{\varphi}{W}) = \Ker M$, e quindi $M$ è iniettiva, e dunque invertibile.
+		
+		\item Dal momento che $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono ortogonali tra loro, $M$ è una matrice diagonale.
+		Pertanto $M$ è invertibile se e solo se ogni suo elemento diagonale è diverso da $0$, ossia
+		se $\varphi(\vv i, \vv i) \neq 0$ $\forall 1 \leq i \leq k$, e dunque se e solo se nessun vettore
+		$\vv i$ è isotropo.
+		
+		\item Se $M$ è invertibile, da (ii) si deduce che $\Rad(\restr{\varphi}{W}) = W \cap W^\perp = \zerovecset$,
+		e quindi che $W$ e $W^\perp$ sono in somma diretta. Inoltre, per la formula delle dimensioni del prodotto
+		scalare, $\dim W + \dim W^\perp = \dim V + \underbrace{\dim (W \cap V^\perp)}_{\leq \dim (W \cap W^\perp) = 0} = \dim V$. Pertanto $V = W \oplus^\perp W^\perp$. \\ 
+		
+		Allora, dacché $\Char \KK \neq 2$, per il teorema di Lagrange, $W^\perp$ ammette una base ortogonale $\basis_{W^\perp}$. Si conclude
+		dunque che $\basis = \basis_W \cup \basis_{W^\perp}$ è una base ortogonale di $V$.
+		
+		\item Se $M$ è invertibile, da (i) $\vv1$, ..., $\vv k$ sono linearmente indipendenti. Siano ora
+		invece $\vv 1$, ..., $\vv k$ linearmente indipendenti per ipotesi. Siano $a_1$, ..., $a_k \in \KK$ tali
+		che $a_1 M^1 + \ldots + a_k M^k = 0$, allora $a_1 \varphi(\vv i, \vv 1) + \ldots + a_k \varphi(\vv i, \vv k) = 0$ $\forall 1 \leq i \leq k$. Pertanto, detto $\v = a_1 \vv 1 + \ldots + a_k \vv k$, si ricava che:
+		
+		\[ \varphi(\v, \v) = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k a_j \, \varphi(\vv i, \vv j) = 0. \]
+		
+		Tuttavia questo è possibile solo se $\v = a_1 \vv 1 + \ldots + a_k \vv k = 0$. Dal momento che
+		$\vv 1$, ..., $\vv k$ sono linearmente indipendenti, si conclude che $a_1 = \cdots = a_k = 0$, ossia
+		che le colonne di $M$ sono tutte linearmente indipendenti e quindi che $\rg(M) = k \implies$ $M$ è invertibile.
+		
+		\item Poiché $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono ortogonali a due a due tra loro, $M$ è una matrice diagonale.
+		Inoltre, dacché $\varphi > 0$ e $\vv i \neq \vec 0$ $\forall 1 \leq i \leq k$, gli elementi diagonali di $M$ sono sicuramente tutti diversi da zero, e quindi $\det (M) \neq 0$ $\implies$ $M$ è invertibile. Allora,
+		per il punto (v), $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono linearmente indipendenti.
+	\end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{definition}
+	Data una base ortogonale $\basis$ di $V$ rispetto al prodotto
+	scalare $\varphi$,
+	si definiscono i seguenti indici:
+	
+	\begin{align*}
+		\iota_+(\varphi) &= \max\{ \dim W \mid W \subseteq V \E \restr{\varphi}{W} > 0 \}, &\text{(}\textbf{indice di positività}\text{)} \\
+		\iota_-(\varphi) &= \max\{ \dim W \mid W \subseteq V \E \restr{\varphi}{W} < 0 \}, &\text{(}\textbf{indice di negatività}\text{)}\\
+		\iota_0(\varphi) &= \dim V^\perp &\text{(}\textbf{indice di nullità}\text{)}
+	\end{align*}
+	
+	Quando il prodotto scalare $\varphi$ è noto dal contesto, si omette
+	e si scrive solo $\iota_+$, $\iota_-$ e $\iota_0$. In particolare,
+	la terna $\sigma(\varphi) = \sigma = (i_+, i_-, i_0)$ è detta \textbf{segnatura} del
+	prodotto $\varphi$.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} (di Sylvester, caso reale) Sia $\KK$ un campo ordinato
+	i cui elementi positivi sono tutti quadrati (e.g.~$\RR$). Allora
+	esiste una base ortogonale $\basis$ tale per cui:
+	
+	\[ M_\basis(\varphi) = \Matrix{I_{\iota_+} & \rvline & 0 & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & -I_{\iota_-} & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & 0 & \rvline & 0\cdot I_{\iota_0} }. \]
+	
+	\vskip 0.05in
+	
+	Inoltre, per ogni base ortogonale, esistono esattamente
+	$\iota_+$ vettori della base con forma quadratica positiva,
+	$\iota_-$ con forma negativa e $\iota_0$ con
+	forma nulla.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Per il teorema di Lagrange, esiste una base ortogonale $\basis'$ di $V$.
+	Si riordini la base in modo tale che la forma quadratica valutata nei primi elementi sia strettamente positiva, che nei secondi elementi sia strettamente negativa e che negli ultimi sia nulla. Si sostituisca
+	$\basis'$ con una base $\basis$ tale per cui, se $q(\vv i) > 0$,
+	allora $\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{q(\vv i)}}$; se
+	$q(\vv i) < 0$, allora $\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{-q(\vv i)}}$;
+	altrimenti $\vv i \mapsto \vv i$. Si è allora trovata una base
+	la cui matrice associata del prodotto scalare è come desiderata nella
+	tesi. \\
+	
+	Sia ora $a$ il numero di vettori della base con forma quadratica
+	positiva, $b$ il numero di vettori con forma negativa e $c$ quello
+	dei vettori con forma nulla. Si consideri $W_+ = \Span(\vv 1, ..., \vv a)$, $W_- = \Span(\vv{a+1}, ..., \vv b)$, $W_0 = \Span(\vv{b+1}, ..., \vv c)$. \\
+	
+	Sia $M = M_\basis(\varphi)$. Si osserva che $c = n - \rg(M) = \dim \Ker(M) = \dim V^\perp = \iota_0$. Inoltre $\forall \v \in W_+$, dacché
+	$\basis$ è ortogonale,
+	$q(\v) = q(\sum_{i=1}^a \alpha_i \vv i) = \sum_{i=1}^a \alpha_i^2 q(\vv i) > 0$, e quindi $\restr{\varphi}{W_+} > 0$, da cui $\iota_+ \geq a$.
+	Analogamente $\iota_- \geq b$. \\
+	
+	Si mostra ora che è impossibile che $\iota_+ > a$. Se così infatti
+	fosse, sia $W$ tale che $\dim W = \iota_+$ e che $\restr{\varphi}{W} > 0$. $\iota_+ + b + c$ sarebbe maggiore di $a + b + c = n := \dim V$. Quindi, per la formula di Grassman, $\dim(W + W_- + W_0) = \dim W +
+	\dim(W_- + W_0) - \dim (W \cap (W_- + W_0)) \implies \dim (W \cap (W_- + W_0)) =  \dim W +
+	\dim(W_- + W_0) - \dim(W + W_- + W_0) > 0$, ossia esisterebbe
+	$\v \neq \{\vec 0\} \mid \v \in W \cap (W_- + W_0)$. Tuttavia
+	questo è assurdo, dacché dovrebbe valere sia $q(\v) > 0$ che
+	$q(\v) < 0$, \Lightning. Quindi $\iota_+ = a$, e analogamente
+	$\iota_- = b$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Si dice \textbf{base di Sylvester} una base di $V$ tale per cui la
+	matrice associata di $\varphi$ sia esattamente nella forma
+	vista nella dimostrazione del teorema di Sylvester. Analogamente
+	si definisce tale matrice come \textbf{matrice di Sylvester}.
+\end{definition}
+
+\begin{remark} \nl
+	\li Si può dunque definire la segnatura di una matrice simmetrica
+	come la segnatura di una qualsiasi sua base ortogonale, dal
+	momento che tale segnatura è invariante per cambiamento di base. \\
+	\li La segnatura è un invariante completo per la congruenza nel caso reale. Se infatti due matrici hanno la stessa segnatura, sono
+	entrambe congruenti alla matrice come vista nella dimostrazione
+	della forma reale del teorema di Sylvester, e quindi, essendo
+	la congruenza una relazione di equivalenza, sono congruenti
+	tra loro. Analogamente vale il viceversa, dal momento che ogni
+	base ortogonale di due matrici congruenti devono contenere gli
+	stessi numeri $\iota_+$, $\iota_-$ e $\iota_0$ di vettori
+	di base con forma quadratica positiva, negativa e nulla. \\
+	\li Se $\ww 1$, ..., $\ww k$ sono tutti i vettori di una base
+	ortogonale $\basis$ con forma quadratica nulla, si osserva che $W = \Span(\ww 1, ..., \ww k)$ altro non è che $V^\perp$ stesso. Infatti, come
+	visto anche nella dimostrazione del teorema di Sylvester reale, vale
+	che	$\dim W = \dim \Ker (M_\basis(\varphi)) = \dim V^\perp$. Inoltre,
+	se $\w \in W$ e $\v \in V$, $\varphi(\w, \v) = \varphi(\sum_{i=1}^k
+	\alpha_i \ww i, \sum_{i=1}^k \beta_i \ww i + \sum_{i=k+1}^n \beta_i \vv i)
+	= \sum_{i=1}^k \alpha_i \beta_i q(\ww i) = 0$, e quindi
+	$W \subseteq V^\perp$, da cui si conclude che $W = V^\perp$. \\
+	\li Vale in particolare che $\rg(\varphi) = \iota_+ + \iota_-$, mentre
+	$\dim \Ker(\varphi) = \iota_0$, e quindi $n = \iota_+ + \iota_- + \iota_0$. \\
+	\li Se $V = U \oplusperp W$, allora $\iota_+(\varphi) = \iota_+(\restr{\varphi}{V}) + \iota_+(\restr{\varphi}{W})$, e
+	analogamente per gli altri indici.
+\end{remark}
+
+\begin{definition} (isometria)
+	Dati due spazi vettoriali $(V, \varphi)$ e
+	$(V', \varphi')$ dotati di prodotto scalare sullo stesso campo $\KK$, si dice che
+	$V$ e $V'$ sono \textbf{isometrici} se esiste un isomorfismo
+	$f$, detto \textit{isometria}, che preserva tali che prodotti, ossia tale che:
+	
+	\[ \varphi(\vec v, \vec w) = \varphi'(f(\vec v), f(\vec w)). \]
+\end{definition}
+
+\begin{exercise} Sia $f : V \to V'$ un isomorfismo. Allora $f$ è un'isometria $\iff$ $\forall$ base $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ di $V$, $\basis' = \{ f(\vv 1), \ldots, f(\vv n) \}$ è una base di $V'$ e $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$ $\iff$ $\exists$ base $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ di $V$ tale che $\basis' = \{ f(\vv 1), \ldots, f(\vv n) \}$ è una base di $V'$ e $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$.
+\end{exercise}
+
+\begin{solution} Se $f$ è un'isometria, detta $\basis$ una base di $V$, $\basis' = f(\basis)$ è una base di $V'$
+	dal momento che $f$ è anche un isomorfismo. Inoltre, dacché $f$ è un'isometria, vale sicuramente che
+	$\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$. \\
+	
+	Sia ora assunto per ipotesi che $\forall$ base $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ di $V$, $\basis' = \{ f(\vv 1), \ldots, f(\vv n) \}$ è una base di $V'$ e $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$. Allora, analogamente a prima, detta $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ una base di $V$, $\basis' = f(\basis)$ è una base di $V'$, e in quanto tale,
+	per ipotesi, è tale che $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$. \\
+	
+	Sia infine assunto per ipotesi che $\exists$ base $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ di $V$ tale che $\basis' = \{ f(\vv 1), \ldots, f(\vv n) \}$ è una base di $V'$ e $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$. Siano $\v$, $\w \in V$. Allora $\exists a_1$, ..., $a_n$, $b_1$, ..., $b_n \in \KK$
+	tali che $\v = a_1 \vv 1 + \ldots + a_n \vv n$ e $\w = b_1 \vv 1 + \ldots + b_n \vv n$. Si ricava pertanto
+	che:
+	
+	\[ \varphi'(f(\v), f(\w)) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i b_j \, \varphi'(f(\vv i), f(\vv j)) =
+	\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i b_j \, \varphi(\vv i, \vv j) = \varphi(\v, \w), \]
+	
+	da cui la tesi.
+\end{solution}
+
+\begin{proposition} Sono equivalenti le seguenti affermazioni:
+	
+	\begin{enumerate}[(i)]
+		\item $V$ e $V'$ sono isometrici;
+		\item $\forall$ base $\basis$ di $V$, base $\basis'$ di $V'$,
+		$M_\basis(\varphi)$ e $M_{\basis'}(\varphi')$ sono congruenti;
+		\item $\exists$ base $\basis$ di $V$, base $\basis'$ di $V'$ tale che
+		$M_\basis(\varphi)$ e $M_{\basis'}(\varphi')$ sono congruenti.
+	\end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+\begin{proof} Se $V$ e $V'$ sono isometrici, sia $f : V \to V'$ un'isometria. Sia $\basisC = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ una base di $V$. Allora, poiché $f$ è anche un isomorfismo, $\basisC' = f(\basisC)$ è una base di $V$ tale che
+	$\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$. Pertanto $M_\basisC(\varphi) = M_{\basisC'}(\varphi')$. Si conclude allora che, cambiando base in $V$ (o in $V'$), la matrice associata
+	al prodotto scalare varia per congruenza dalla formula di cambiamento di base per il prodotto scalare, da cui si ricava che per ogni scelta di $\basis$ base di $V$ e di $\basis'$ base di $V'$, $M_\basis(\varphi) \cong M_{\basis'}(\varphi')$. Inoltre, se tale risultato è vero per ogni $\basis$ base di $V$ e di $\basis'$ base di $V'$, dal momento che sicuramente esistono due basi $\basis$, $\basis'$ di $V$ e $V'$, vale anche (ii) $\implies$ (iii). \\
+	
+	Si dimostra ora (iii) $\implies$ (i). Per ipotesi $M_\basis(\varphi) \cong M_{\basis'}(\varphi')$, quindi
+	$\exists P \in \GL(n, \KK) \mid M_{\basis'}(\varphi') = P^\top M_\basis(\varphi) P$. Allora $\exists$ $\basis''$
+	base di $V'$ tale che $P = M_{\basis''}^{\basis'}(\Idv)$, da cui $P\inv = M_{\basis'}^{\basis''}(\varphi)$. Per la formula di cambiamento di base del prodotto
+	scalare, $M_{\basis''}(\varphi) = (P\inv)^\top M_{\basis'} P\inv = M_\basis(\varphi)$. Detta
+	$\basis'' = \{ \ww 1, \ldots, \ww n \}$, si costruisce allora l'isomorfismo $f : V \to V'$ tale
+	che $f(\vv i) = \ww i$ $\forall 1 \leq i \leq n$.. Dal momento che per costruzione $M_\basis(\varphi) = M_{\basis''}(\varphi')$,
+	$\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(\ww i, \ww j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$.
+	Si conclude dunque che $\varphi(\v, \w) = \varphi'(f(\v), f(\w))$ $\forall \v, \w \in V$, e dunque
+	che $f$ è un'isometria, come desiderato dalla tesi. 
+\end{proof}
+
+\begin{proposition} $(V, \varphi)$ e $(V', \varphi')$ spazi vettoriali
+	su $\RR$ sono
+	isometrici $\iff$ $\varphi$ e $\varphi'$ hanno la stessa segnatura.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}\nl\nl
+	\rightproof Per la precedente proposizione, esistono due basi $\basis$ e $\basis'$, una di $V$ e una di $V'$,
+	tali che $M_\basis(\varphi) \cong M_{\basis'}(\varphi)$. Allora queste due matrici condividono la stessa
+	segnatura, e così quindi anche $\varphi$ e $\varphi'$. \\
+	
+	\leftproof Se $\varphi$ e $\varphi'$ hanno la stessa segnatura, esistono due basi $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ e $\basis' = \{ \ww 1, \ldots, \ww n \}$, una
+	di $V$ e una di $V'$, tali che $M = M_\basis(\varphi) = M_{\basis'}(\varphi')$ e che $M$ è una matrice di
+	Sylvester. Allora si costruisce $f : V \to V'$ tale che $f(\vv i) = \ww i$. Esso è un isomorfismo, e per
+	costruzione $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(\ww i, \ww j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$, da cui
+	si conclude che $\varphi(\v, \w) = \varphi'(f(\v), f(\w))$ $\forall \v$, $\w \in V$, e quindi che $V$ e
+	$V'$ sono isometrici.
+\end{proof}
+
+% \begin{example}
+	% 	Per $\varphi = x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$. %TODO: guarda dalle slide.
+	% \end{example}
+
+\begin{definition} (sottospazio isotropo)
+	Sia $W$ un sottospazio di $V$. Allora $W$ si dice \textbf{sottospazio isotropo} di $V$
+	se $\restr{\varphi}{W} = 0$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark}\nl
+	\li $V^\perp$ è un sottospazio isotropo di $V$. \\
+	\li $\vec{v}$ è un vettore isotropo $\iff$ $W = \Span(\vec v)$ è un sottospazio isotropo di $V$. \\
+	\li $W \subseteq V$ è isotropo $\iff$ $W \subseteq W^\perp$.
+\end{remark}
+
+\begin{proposition}
+	Sia $\varphi$ non degenere. Se $W$ è un sottospazio isotropo di $V$, allora
+	$\dim W \leq \frac{1}{2} \dim V$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	Poiché $W$ è un sottospazio isotropo di $V$, $W \subseteq W^\perp \implies \dim W \leq \dim W^\perp$.
+	Allora, poiché $\varphi$ è non degenere, $\dim W + \dim W^\perp = \dim V$, $\dim W \leq \dim V - \dim W$,
+	da cui $\dim W \leq \frac{1}{2} \dim V$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Si definisce \textbf{indice di Witt} $W(\varphi)$ di $(V, \varphi)$
+	come la massima dimensione di un sottospazio isotropo. 
+\end{definition}
+
+\begin{remark}\nl
+	\li Se $\varphi > 0$ o $\varphi < 0$, $W(\varphi) = 0$.
+\end{remark}
+
+\begin{proposition}
+	Sia $\KK = \RR$. Sia $\varphi$ non degenere e sia $\sigma(\varphi) = (\iota_+(\varphi), \iota_-(\varphi), 0)$. Allora
+	$W(\varphi) = \min\{\iota_+(\varphi), \iota_-(\varphi)\}$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	Senza perdità di generalità si assuma $\iota_-(\varphi) \leq \iota_+(\varphi)$ (il caso $\iota_-(\varphi) > \iota_+(\varphi)$ è analogo). Sia $W$ un sottospazio con $\dim W > \iota_-(\varphi)$. Sia $W^+$
+	un sottospazio con $\dim W^+ = \iota_+(\varphi)$ e $\restr{\varphi}{W^+} > 0$. Allora, per la formula
+	di Grassmann, $\dim W + \dim W^+ > n \implies \dim W + \dim W^+ > \dim W + \dim W^+ - \dim (W \cap W^+) \implies \dim (W \cap W^+) > 0$. Quindi $\exists \w \in W$, $\w \neq \vec 0$ tale che $\varphi(\w, \w) > 0$, da cui
+	si ricava che $W$ non è isotropo. Pertanto $W(\varphi) \leq \iota_-(\varphi)$. \\
+	
+	Sia $a := \iota_+(\varphi)$ e sia $b := \iota_-(\varphi)$.
+	Sia ora $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv a, \ww 1, \ldots, \ww b \}$ una base tale per cui $M_\basis(\varphi)$ è  la matrice di Sylvester per $\varphi$. Siano $\vv 1$, ..., $\vv a$ tali che $\varphi(\vv i, \vv i) = 1$
+	con $1 \leq i \leq a$. Analogamente siano $\ww 1$, ..., $\ww b$ tali che $\varphi(\ww i, \ww i) = -1$ con
+	$1 \leq i \leq b$. Detta allora $\basis' = \{ \vv 1 ' := \vv 1 + \ww 1, \ldots, \vv b ' := \vv b + \ww b \}$, sia $W = \Span(\basis')$. \\
+	
+	Si osserva che $\basis'$ è linearmente indipendente, e dunque che $\dim W = \iota_-$. Inoltre
+	$\varphi(\vv i ', \vv j ') = \varphi(\vv i + \ww i, \vv j + \ww j)$. Se $i \neq j$, allora
+	$\varphi(\vv i ', \vv j ') = 0$, dal momento che i vettori di $\basis$ sono a due a due ortogonali
+	tra loro. Se invece $i = j$, allora $\varphi(\vv i ', \vv j ') = \varphi(\vv i, \vv i) + \varphi(\ww i, \ww i) = 1-1=0$. Quindi $M_{\basis'}(\restr{\varphi}{W}) = 0$, da cui si conclude che $\restr{\varphi}{W} = 0$.
+	Pertanto $W(\varphi) \geq i_-(\varphi)$, e quindi $W(\varphi) = i_-(\varphi)$, da cui la tesi.
+\end{proof}

Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/main.tex

@@ -0,0 +1,39 @@
+\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
+\documentclass[11pt]{scrbook}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[italian]{babel}
+\usepackage{recap}
+
+\begin{document}
+	
+	\title{I prodotti di uno spazio vettoriale}
+	\subtitle{Dispense del corso di Geometria 1}
+	\author{Gabriel Antonio Videtta}
+	\date{A.A. 2022/2023 \\ \vskip 1in \includegraphics[scale=0.3]{logo.png}}
+	\maketitle
+	
+	\newpage
+	\thispagestyle{empty}
+	~\newpage
+	
+	\tableofcontents
+
+	\newpage
+	\thispagestyle{empty}
+	~\newpage
+	
+	\include{1. Introduzione al prodotto scalare}
+	
+	\newpage
+	\thispagestyle{empty}
+	~\newpage
+	
+	\include{2. Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare}
+
+	\newpage
+	\thispagestyle{empty}
+	~\newpage
+	
+	\include{3. Prodotti hermitiani, spazi euclidei e teorema spettrale}
+	
+\end{document}

Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.tex

@@ -90,7 +90,7 @@
 			tramite la congruenza, ossia tramite la mappa $(P, A) \mapsto P^\top A P$. L'orbita $\Orb(A)$ è la classe di congruenza delle matrice simmetria $A \in \Sym(n, \KK)$. Analogamente si può costruire un'azione per le
 			matrici hermitiane.
 			
-			\item Se $G = O_n$, il gruppo delle matrici ortogonali di taglia $n$ su $\KK$, $G$ opera su $\RR^n$ tramite la mappa $O \cdot \vec v \mapsto O \vec v$. L'orbita $\Orb(\vec v)$ è in particolare la sfera $n$-dimensionale di raggio $\norm{x}$.
+			\item Se $G = O_n$, il gruppo delle matrici ortogonali di taglia $n$ su $\KK$, $G$ opera su $\RR^n$ tramite la mappa $O \cdot \vec v \mapsto O \vec v$. L'orbita $\Orb(\vec v)$ è in particolare la sfera $n$-dimensionale di raggio $\norm{v}$.
 		\end{enumerate}
 	\end{example}