feat(geometria): aggiunge un file unico per gli appunti sul prodotto scalare

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\chapter{Introduzione al prodotto scalare}
\begin{note}
Nel corso del documento, per $V$, qualora non specificato, si intenderà uno spazio vettoriale di dimensione
finita $n$.
\end{note}
\begin{definition}
Un \textbf{prodotto scalare} su $V$ è una forma bilineare simmetrica $\varphi$ con argomenti in $V$.
\end{definition}
\begin{example}
Sia $\varphi : M(n, \KK)^2 \to \KK$ tale che $\varphi(A, B) = \tr(AB)$. \\
\li $\varphi(A + A', B) = \tr((A + A')B) = \tr(AB + A'B) = \tr(AB) + \tr(A'B) = \varphi(A, B) + \varphi(A', B)$ (linearità
nel primo argomento), \\
\li $\varphi(\alpha A, B) = \tr(\alpha A B) = \alpha \tr(AB) = \alpha \varphi(A, B)$ (omogeneità nel secondo argomento), \\
\li $\varphi(A, B) = \tr(AB) = \tr(BA) = \varphi(B, A)$ (simmetria), \\
\li poiché $\varphi$ è simmetrica, $\varphi$ è lineare e omogenea anche nel secondo argomento, e quindi è una
forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $M(n, \KK)$.
\end{example}
\begin{definition}
Si definisce prodotto scalare \textit{canonico} di $\KK^n$ la forma bilineare simmetrica $\varphi$ con
argomenti in $\KK^n$ tale che:
\[ \varphi((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)) = \sum_{i=1}^n x_i y_i. \]
\end{definition}
\begin{remark}
Si può facilmente osservare che il prodotto scalare canonico di $\KK^n$ è effettivamente un prodotto
scalare. \\
\li $\varphi((x_1, ..., x_n) + (x_1', ..., x_n'), (y_1, ..., y_n)) = \sum_{i=1}^n (x_i + x_i') y_i =
\sum_{i=1}^n \left[x_iy_i + x_i' y_i\right] = \sum_{i=1}^n x_i y_i + \sum_{i=1}^n x_i' y_i =
\varphi((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)) + \varphi((x_1', ..., x_n'), (y_1, ..., y_n))$ (linearità nel
primo argomento), \\
\li $\varphi(\alpha(x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)) = \sum_{i=1}^n \alpha x_i y_i = \alpha \sum_{i=1}^n x_i y_i =
\alpha \varphi((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n))$ (omogeneità nel primo argomento), \\
\li $\varphi((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)) = \sum_{i=1}^n x_i y_i = \sum_{i=1}^n y_i x_i = \varphi((y_1, ..., y_n), (x_1, ..., x_n))$ (simmetria), \\
\li poiché $\varphi$ è simmetrica, $\varphi$ è lineare e omogenea anche nel secondo argomento, e quindi è una
forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $\KK^n$.
\end{remark}
\begin{example}
Altri esempi di prodotto scalare sono i seguenti: \\
\li $\varphi(A, B) = \tr(A^\top B)$ per $M(n, \KK)$, \\
\li $\varphi(p(x), q(x)) = p(a) q(a)$ per $\KK[x]$, con $a \in \KK$, \\
\li $\varphi(p(x), q(x)) = \sum_{i=1}^n p(x_i) q(x_i)$ per $\KK[x]$, con $x_1$, ..., $x_n$ distinti, \\
\li $\varphi(p(x), q(x)) = \int_a^b p(x)q(x) dx$ per lo spazio delle funzioni integrabili su $\RR$, con $a$, $b$ in $\RR$, \\
\li $\varphi(\vec{x}, \vec{y}) = \vec{x}^\top A \vec{y}$ per $\KK^n$, con $A \in M(n, \KK)$ simmetrica.
\end{example}
\begin{definition}
Sia\footnote{In realtà, la definizione è facilmente estendibile a qualsiasi campo, purché esso
sia ordinato.} $\KK = \RR$. Allora un prodotto scalare $\varphi$ si dice \textbf{definito positivo} se $\v \in V$, $\vec{v} \neq \vec{0} \implies
\varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$. Analogamente $\varphi$ è \textbf{definito negativo} se $\vec{v} \neq \vec 0 \implies \varphi(\v, \v) < 0$. \\
Infine, $\varphi$ è \textbf{semidefinito positivo} se $\varphi(\v, \v) \geq 0$ $\forall \v \in V$ (o
\textbf{semidefinito negativo} se invece $\varphi(\v, \v) \leq 0$ $\forall \v \in V$).
\end{definition}
\begin{example}
Il prodotto scalare canonico di $\RR^n$ è definito positivo: infatti $\varphi((x_1, ..., x_n), (x_1, ..., x_n)) =
\sum_{i=1}^n x_i^2 = 0 \iff x_i = 0$, $\forall 1 \leq i \leq n$ $\iff (x_1, ..., x_n) = \vec{0}$. \\
Al contrario, il prodotto scalare $\varphi : \RR^2 \to \RR$ tale che $\varphi((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = x_1 y_1 - x_2 y_2$ non è definito positivo: $\varphi((x, y), (x, y)) = 0$, $\forall$ $(x, y) \mid x^2 = y^2$, ossia se
$y = x$ o $y = -x$.
\end{example}
\begin{definition}
Dato un prodotto scalare $\varphi$ di $V$, ad ogni vettore $\vec{v} \in V$ si associa una \textbf{forma quadratica}
$q : V \to \KK$ tale che $q(\vec{v}) = \varphi(\vec{v}, \vec{v})$.
\end{definition}
\begin{remark}
Si osserva che $q$ non è lineare in generale: infatti $q(\vec{v} + \vec{w}) \neq q(\vec{v}) + q(\vec{w})$ in
$\RR^n$.
\end{remark}
\begin{definition}
Un vettore $\vec{v} \in V$ si dice \textbf{isotropo} rispetto al prodotto scalare $\varphi$ se $q(\vec{v}) =
\varphi(\vec{v}, \vec{v}) = 0$.
\end{definition}
\begin{example}
Rispetto al prodotto scalare $\varphi : \RR^3 \to \RR$ tale che $\varphi((x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3)) =
x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$, i vettori isotropi $(x, y, z)$ sono quelli tali che $x^2 + y^2 = z^2$, ossia
i vettori stanti sul cono di eq.~$x^2 + y^2 = z^2$.
\end{example}
\begin{remark}
Come già osservato in generale per le app.~multilineari, il prodotto scalare è univocamente determinato
dai valori che assume nelle coppie $\vv{i}, \vv{j}$ estraibili da una base $\basis$. Infatti, se
$\basis = (\vv1, ..., \vv{k})$, $\vec{v} = \sum_{i=1}^k \alpha_i \vv{i}$ e $\vec{w} = \sum_{i=1}^k \beta_i \vv{i}$,
allora:
\[ \varphi(\vec{v}, \vec{w}) = \sum_{1 \leq i \leq j \leq k} \alpha_i \beta_j \, \varphi(\vv{i}, \vv{j}). \]
\end{remark}
\begin{definition}
Sia $\varphi$ un prodotto scalare di $V$ e sia $\basis = (\vv1, ..., \vv{n})$ una base ordinata di $V$. Allora si denota con \textbf{matrice associata}
a $\varphi$ la matrice:
\[ M_\basis(\varphi) = (\varphi(\vv{i}, \vv{j}))_{i,\,j = 1\text{---}n} \in M(n, \KK). \]
\end{definition}
\begin{remark}
Si possono fare alcune osservazioni riguardo $M_\basis(\varphi)$. \\
\li $M_\basis(\varphi)$ è simmetrica, infatti $\varphi(\vv{i}, \vv{j}) = \varphi(\vv{j}, \vv{i})$ per
definizione di prodotto scalare, \\
\li $\varphi(\vec{v}, \vec{w}) = [\vec{v}]_\basis^\top M_\basis(\varphi) [\vec{w}]_\basis$.
\end{remark}
\begin{theorem} (di cambiamento di base per matrici di prodotti scalari) Siano $\basis$, $\basis'$ due
basi ordinate di $V$. Allora, se $\varphi$ è un prodotto scalare di $V$ e $P = M^{\basis'}_{\basis}(\Id_V)$, vale la seguente identità:
\[ \underbrace{M_{\basis'}(\varphi)}_{A'} = P^\top \underbrace{M_{\basis}}_{A} P. \]
\end{theorem}
\begin{proof} Siano $\basis = (\vv{1}, ..., \vv{n})$ e $\basis' = (\vec{w}_1, ..., \vec{w}_n)$. Allora
$A'_{ij} = \varphi(\vec{w}_i, \vec{w}_j) = [\vec{w}_i]_{\basis}^\top A [\vec{w}_j]_{\basis} =
(P^i)^\top A P^j = P_i^\top (AP)^j = (P^\top AP)_{ij}$, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{definition}
Si definisce \textbf{congruenza} la relazione di equivalenza $\cong$ definita nel seguente
modo su $A, B \in M(n, \KK)$:
\[ A \cong B \iff \exists P \in GL(n, \KK) \mid A = P^\top A P. \]
\end{definition}
\begin{remark}
Si può facilmente osservare che la congruenza è in effetti una relazione di equivalenza. \\
\li $A = I^\top A I \implies A \cong A$ (riflessione), \\
\li $A \cong B \implies A = P^\top B P \implies B = (P^\top)\inv A P\inv = (P\inv)^\top A P\inv \implies B \cong A$ (simmetria), \\
\li $A \cong B \implies A = P^\top B P$, $B \cong C \implies B = Q^\top C Q$, quindi $A = P^\top Q^\top C Q P =
(QP)^\top C (QP) \implies A \cong C$ (transitività).
\end{remark}
\begin{remark}
Si osservano alcune proprietà della congruenza. \\
\li Per il teorema di cambiamento di base del prodotto scalare, due matrici associate a uno stesso
prodotto scalare sono sempre congruenti (esattamente come due matrici associate a uno stesso
endomorfismo sono sempre simili).
\li Se $A$ e $B$ sono congruenti, $A = P^\top B P \implies \rg(A) = \rg(P^\top B P) = \rg(BP) = \rg(B)$,
dal momento che $P$ e $P^\top$ sono invertibili; quindi il rango è un invariante per congruenza. Allora
è ben definito il rango $\rg(\varphi)$ di un prodotto scalare come il rango di una sua qualsiasi matrice
associata.
\li Se $A$ e $B$ sono congruenti, $A = P^\top B P \implies \det(A) = \det(P^\top B P) = \det(P^\top) \det(B) \det(P)=
\det(P)^2 \det(B)$. Quindi, per $\KK = \RR$, il segno del determinante è invariante per congruenza.
\end{remark}
\begin{definition}
Si dice \textbf{radicale} di un prodotto scalare $\varphi$ lo spazio:
\[ V^\perp = \{ \vec{v} \in V \mid \varphi(\vec{v}, \vec{w}) = 0 \, \forall \vec{w} \in V \} \]
\vskip 0.05in
\end{definition}
\begin{remark}
Il radicale di $\RR^n$ con il prodotto scalare canonico ha dimensione nulla, dal momento che $\forall \vec{v} \in \RR^n \setminus \{\vec{0}\}$, $q(\vec{v}) = \varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$.
\end{remark}
\begin{definition}
Un prodotto scalare si dice \textbf{degenere} se il radicale dello spazio su tale prodotto scalare ha
dimensione non nulla.
\end{definition}
%TODO: spiegare perché \alpha_\varphi è lineare e aggiungere esempi nella parte precedente.
%TODO: aggiungere osservazioni sul radicale (i.e. che è uno spazio, che ogni suo vettore è isotropo, ...).
\begin{remark}
Si definisce l'applicazione lineare $\alpha_\varphi : V \to \dual{V}$ in modo tale che
$\alpha_\varphi(\vec{v}) = p$, dove $p(\vec{w}) = \varphi(\vec{v}, \vec{w})$. \\
Allora $V^\perp$ altro non è che $\Ker \alpha_\varphi$. Se $V$ ha dimensione finita, $\dim V = \dim \dual{V}$,
e si può allora concludere che $\dim V^\perp > 0 \iff \Ker \alpha_\varphi \neq \{\vec{0}\} \iff \alpha_\varphi$ non è
invertibile (infatti lo spazio di partenza e di arrivo di $\alpha_\varphi$ hanno la stessa dimensione). In
particolare, $\alpha_\varphi$ non è invertibile se e solo se $\det(\alpha_\varphi) = 0$. \\
Sia $\basis = (\vv{1}, ..., \vv{n})$ una base ordinata di $V$. Si consideri allora la base ordinata del
duale costruita su $\basis$, ossia $\dual{\basis} = (\vecdual{v_1}, ..., \vecdual{v_n})$. Allora
$M_{\basisdual}^\basis(\alpha_\varphi)^i = [\alpha_\varphi(\vv{i})]_{\basisdual} = \Matrix{\varphi(\vec{v_i}, \vec{v_1}) \\ \vdots \\ \varphi(\vec{v_i}, \vec{v_n})} \underbrace{=}_{\varphi \text{ è simmetrica}}
\Matrix{\varphi(\vec{v_1}, \vec{v_i}) \\ \vdots \\ \varphi(\vec{v_n}, \vec{v_i})} = M_\basis(\varphi)^i$. Quindi
$M_{\basisdual}^\basis(\alpha_\varphi) = M_\basis(\varphi)$. \\
Si conclude allora che $\varphi$ è degenere se e solo se $\det (M_\basis(\varphi)) = 0$ e che
$V^\perp \cong \Ker M_\basis(\varphi)$ con l'isomorfismo è il passaggio alle coordinate.
\end{remark}

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\chapter{Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare}
\begin{note}
Nel corso del documento, per $V$ si intenderà uno spazio vettoriale di dimensione
finita $n$ e per $\varphi$ un suo prodotto scalare. Analogamente si intenderà lo stesso
per $V'$ e $\varphi'$.
\end{note}
\begin{proposition} (formula delle dimensioni del prodotto scalare)
Sia $W \subseteq V$ un sottospazio di $V$. Allora vale la seguente identità:
\[ \dim W + \dim W^\perp = \dim V + \dim (W \cap V^\perp). \]
\end{proposition}
\begin{proof}
Si consideri l'applicazione lineare $f : V \to \dual W$ tale che $f(\vec v)$ è un funzionale di $\dual W$ tale che
$f(\vec v)(\vec w) = \varphi(\vec v, \vec w)$ $\forall \vec w \in W$. Si osserva che $W^\perp = \Ker f$, da cui,
per la formula delle dimensioni, $\dim V = \dim W^\perp + \rg f$. Inoltre, si osserva anche che
$f = i^\top \circ a_\varphi$, dove $i : W \to V$ è tale che $i(\vec w) = \vec w$, infatti $f(\vec v) = a_\varphi(\vec v) \circ i$ è un funzionale di $\dual W$ tale che $f(\vec v)(\vec w) = \varphi(\vec v, \vec w)$. Pertanto
$\rg f = \rg (i^\top \circ a_\varphi)$. \\
Si consideri ora l'applicazione $g = a_\varphi \circ i : W \to \dual W$. Sia ora $\basis_W$ una base di $W$ e
$\basis_V$ una base di $V$. Allora le matrice associate di $f$ e di $g$ sono le seguenti:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $M_{\dual \basis_W}^{\basis_V}(f) = M_{\dual \basis_W}^{\basis_V}(i^\top \circ a_\varphi) =
\underbrace{M_{\dual \basis_W}^{\dual \basis_V}(i^\top)}_A \underbrace{M_{\dual \basis_V}^{\basis_V}(a_\varphi)}_B = AB$,
\item $M_{\dual \basis_V}^{\basis_W}(g) = M_{\dual \basis_V}^{\basis_W}(a_\varphi \circ i) =
\underbrace{M_{\dual \basis_V}^{\basis_V}(a_\varphi)}_B \underbrace{M_{\basis_V}^{\basis_W}(i)}_{A^\top} = BA^\top \overbrace{=}^{B^\top = B} (AB)^\top$.
\end{enumerate}
Poiché $\rg(A) = \rg(A^\top)$, si deduce che $\rg(f) = \rg(g) \implies \rg(i^\top \circ a_\varphi) = \rg(a_\varphi \circ i) = \rg(\restr{a_\varphi}{W}) = \dim W - \dim \Ker \restr{a_\varphi}{W} = \dim W - \dim (W \cap \underbrace{\Ker a_\varphi}_{V^\perp}) = \dim W - \dim (W \cap V^\perp)$. Si conclude allora, sostituendo quest'ultima
identità nell'identità ricavata a inizio dimostrazione che $\dim V = \dim W^\top + \dim W - \dim (W \cap V^\perp)$,
ossia la tesi.
\end{proof}
\begin{remark}
Si possono fare alcune osservazioni sul radicale di un solo elemento $\vec w$ e su quello del suo sottospazio
generato $W = \Span(\vec w)$: \\
\li $\vec w ^\perp = W^\perp$, \\
\li $\vec w \notin W^\perp \iff \Rad (\restr{\varphi}{W}) = W \cap W^\perp \iff \vec w \text{ non è isotropo } = \zerovecset \iff
V = W \oplus W^\perp$.
\end{remark}
\begin{definition}
Si definisce \textbf{base ortogonale} di $V$ una base $\vv 1$, ..., $\vv n$ tale per cui $\varphi(\vv i, \vv j) = 0
\impliedby i \neq j$, ossia per cui la matrice associata del prodotto scalare è diagonale.
\end{definition}
\begin{proposition} (formula di polarizzazione)
Se $\Char \KK \neq 2$, un prodotto scalare è univocamente determinato dalla sua forma quadratica $q$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Si nota infatti che $q(\vec v + \vec w) - q(\vec v) - q(\vec w) = 2 \varphi(\vec v, \vec w)$, e quindi,
poiché $2$ è invertibile per ipotesi, che $\varphi(\vec v, \vec w) = 2\inv (q(\vec v + \vec w) - q(\vec v) - q(\vec w))$.
\end{proof}
\begin{theorem}(di Lagrange)
Ogni spazio vettoriale $V$ su $\KK$ tale per cui $\Char \KK \neq 2$ ammette una base ortogonale.
\end{theorem}
\begin{proof}
Sia dimostra il teorema per induzione su $n := \dim V$. Per $n \leq 1$, la dimostrazione è triviale. Sia
allora il teorema vero per $i \leq n$. Se $V$ ammette un vettore non isotropo $\vec w$, sia $W = \Span(\vec w)$ e si consideri la decomposizione $V = W \oplus W^\perp$. Poiché $W^\perp$ ha dimensione $n-1$, per ipotesi induttiva
ammette una base ortogonale. Inoltre, tale base è anche ortogonale a $W$, e quindi l'aggiunta di $\vec w$ a
questa base ne fa una base ortogonale di $V$. Se invece $V$ non ammette vettori non isotropi, ogni forma quadratica
è nulla, e quindi il prodotto scalare è nullo per la proposizione precedente.
\end{proof}
\begin{note}
D'ora in poi, nel corso del documento, si assumerà $\Char \KK \neq 2$.
\end{note}
\begin{theorem} (di Sylvester, caso complesso)
Sia $\KK$ un campo i cui elementi sono tutti quadrati di un
altro elemento del campo (e.g.~$\CC$). Allora esiste una base
ortogonale $\basis$ tale per cui:
\[ M_\basis(\varphi) = \Matrix{I_r & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & 0\,}. \]
\end{theorem}
\begin{proof}
Per il teorema di Lagrange, esiste una base ortogonale $\basis'$ di $V$.
Si riordini la base in modo tale che la forma quadratica valutata nei primi elementi sia sempre diversa da zero. Allora, poiché ogni
elemento di $\KK$ è per ipotesi quadrato di un altro elemento
di $\KK$, si sostituisca $\basis'$ con una base $\basis$ tale per
cui, se $q(\vv i) = 0$, $\vv i \mapsto \vv i$, e altrimenti
$\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{q(\vv i)}}$. Allora $\basis'$
è una base tale per cui la matrice associata del prodotto scalare
in tale base è proprio come desiderata nella tesi, dove $r$ è
il numero di elementi tali per cui la forma quadratica valutata
in essi sia diversa da zero.
\end{proof}
\begin{remark}
Si possono effettuare alcune considerazioni sul teorema di Sylvester
complesso. \\
\li Si può immediatamente concludere che il rango è un invariante
completo per la congruenza in un campo in cui tutti gli elementi
sono quadrati, ossia che $A \cong B \iff \rg(A) = \rg(B)$, se $A$ e
$B$ sono matrici simmetriche: infatti
ogni matrice simmetrica rappresenta una prodotto scalare, ed è
pertanto congruente ad una matrice della forma desiderata
nell'enunciato del teorema di Sylvester complesso. Poiché il rango
è un invariante della congruenza, si ricava che $r$ nella forma
della matrice di Sylvester, rappresentando il rango, è anche
il rango di ogni sua matrice congruente. In particolare, se due
matrici simmetriche hanno stesso rango, allora sono congruenti
alla stessa matrice di Sylvester, e quindi, essendo la congruenza
una relazione di congruenza, sono congruenti a loro volta. \\
\li Due matrici simmetriche con stesso rango, allora, non solo
sono SD-equivalenti, ma sono anche congruenti. \\
\li Ogni base ortogonale deve quindi avere lo stesso numero
di elementi nulli.
\end{remark}
\begin{definition} (somma diretta ortogonale)
Siano i sottospazi $U$ e $W \subseteq V$ in somma diretta. Allora si dice che $U$ e $W$ sono in \textbf{somma
diretta ortogonale rispetto al prodotto scalare} $\varphi$ di $V$, ossia che $U \oplus W = U \oplus^\perp W$, se $\varphi(\vec u, \vec w) = 0$ $\forall \vec u \in U$, $\vec w \in W$.
\end{definition}
\begin{definition} (cono isotropo)
Si definisce \textbf{cono isotropo} di $V$ rispetto al prodotto scalare $\varphi$ il seguente insieme:
\[ \CI(\varphi) = \{ \v \in V \mid \varphi(\v, \v) = 0 \}, \]
\vskip 0.05in
ossia l'insieme dei vettori isotropi di $V$.
\end{definition}
\begin{note}
La notazione $\varphi > 0$ indica che $\varphi$ è definito positivo (si scrive $\varphi \geq 0$ se invece è semidefinito
positivo).
Analogamente $\varphi < 0$ indica che $\varphi$ è definito negativo (e $\varphi \leq 0$ indica che è semidefinito negativo).
\end{note}
\begin{exercise} Sia $\Char \KK \neq 2$.
Siano $\vv1$, ..., $\vv k \in V$ e sia $M = \left( \varphi(\vv i, \vv j) \right)_{i, j = 1\textrm{---}k} \in M(k, \KK)$,
dove $\varphi$ è un prodotto scalare di $V$. Sia inoltre $W = \Span(\vv 1, ..., \vv k)$. Si dimostrino
allora le seguenti affermazioni.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Se $M$ è invertibile, allora $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono linearmente indipendenti.
\item Siano $\vv 1$, ..., $\vv k$ linearmente indipendenti. Allora $M$ è invertibile $\iff$ $\restr{\varphi}{W}$ è non degenere $\iff$ $W \cap W^\perp = \zerovecset$.
\item Siano $\vv1$, ..., $\vv k$ a due a due ortogonali tra loro. Allora $M$ è invertibile $\iff$ nessun
vettore $\vv i$ è isotropo.
\item Siano $\vv1$, ..., $\vv k$ a due a due ortogonali tra loro e siano anche linearmente indipendenti.
Allora $M$ è invertibile $\implies$ si può estendere $\basis_W = \{\vv 1, \ldots, \vv k\}$ a una base ortogonale di $V$.
\item Sia $\KK = \RR$. Sia inoltre $\varphi > 0$. Allora $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono linearmente
indipendenti $\iff$ $M$ è invertibile.
\item Sia $\KK = \RR$. Sia ancora $\varphi > 0$. Allora se $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono a due a due
ortogonali e sono tutti non nulli, sono anche linearmente indipendenti.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}[(i)]
\item Siano $a_1$, ..., $a_k \in \KK$ tali che $a_1 \vv 1 + \ldots + a_k \vv k = 0$. Vale in
particolare che $\vec 0 = \varphi(\vv i, \vec 0) = \varphi(\vv i, a_1 \vv 1 + \ldots + a_k \vv k) =
\sum_{j=1}^k a_j \varphi(\vv i, \vv j)$ $\forall 1 \leq i \leq k$. Allora $\sum_{j=1}^k a_j M^j = 0$.
Dal momento che $M$ è invertibile, $\rg(M) = k$, e quindi l'insieme delle colonne di $M$ è linearmente
indipendente, da cui si ricava che $a_j = 0$ $\forall 1 \leq j \leq k$, e quindi che $\vv 1$, ...,
$\vv k$ sono linearmente indipendenti.
\item Poiché $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono linearmente indipendenti, tali vettori formano una base di
$W$, detta $\basis$. In particolare, allora, vale che $M = M_\basis(\restr{\varphi}{W})$. Pertanto,
se $M$ è invertibile, $\Rad(\restr{\varphi}{W}) = \Ker M = \zerovecset$, e dunque $\restr{\varphi}{W}$
è non degenere. Se invece $\restr{\varphi}{W}$ è non degenere, $\zerovecset = \Rad(\restr{\varphi}{W}) = W \cap W^\perp$. Infine, se $W \cap W^\perp = \zerovecset$, $\zerovecset = W \cap W^\perp = \Rad(\restr{\varphi}{W}) = \Ker M$, e quindi $M$ è iniettiva, e dunque invertibile.
\item Dal momento che $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono ortogonali tra loro, $M$ è una matrice diagonale.
Pertanto $M$ è invertibile se e solo se ogni suo elemento diagonale è diverso da $0$, ossia
se $\varphi(\vv i, \vv i) \neq 0$ $\forall 1 \leq i \leq k$, e dunque se e solo se nessun vettore
$\vv i$ è isotropo.
\item Se $M$ è invertibile, da (ii) si deduce che $\Rad(\restr{\varphi}{W}) = W \cap W^\perp = \zerovecset$,
e quindi che $W$ e $W^\perp$ sono in somma diretta. Inoltre, per la formula delle dimensioni del prodotto
scalare, $\dim W + \dim W^\perp = \dim V + \underbrace{\dim (W \cap V^\perp)}_{\leq \dim (W \cap W^\perp) = 0} = \dim V$. Pertanto $V = W \oplus^\perp W^\perp$. \\
Allora, dacché $\Char \KK \neq 2$, per il teorema di Lagrange, $W^\perp$ ammette una base ortogonale $\basis_{W^\perp}$. Si conclude
dunque che $\basis = \basis_W \cup \basis_{W^\perp}$ è una base ortogonale di $V$.
\item Se $M$ è invertibile, da (i) $\vv1$, ..., $\vv k$ sono linearmente indipendenti. Siano ora
invece $\vv 1$, ..., $\vv k$ linearmente indipendenti per ipotesi. Siano $a_1$, ..., $a_k \in \KK$ tali
che $a_1 M^1 + \ldots + a_k M^k = 0$, allora $a_1 \varphi(\vv i, \vv 1) + \ldots + a_k \varphi(\vv i, \vv k) = 0$ $\forall 1 \leq i \leq k$. Pertanto, detto $\v = a_1 \vv 1 + \ldots + a_k \vv k$, si ricava che:
\[ \varphi(\v, \v) = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k a_j \, \varphi(\vv i, \vv j) = 0. \]
Tuttavia questo è possibile solo se $\v = a_1 \vv 1 + \ldots + a_k \vv k = 0$. Dal momento che
$\vv 1$, ..., $\vv k$ sono linearmente indipendenti, si conclude che $a_1 = \cdots = a_k = 0$, ossia
che le colonne di $M$ sono tutte linearmente indipendenti e quindi che $\rg(M) = k \implies$ $M$ è invertibile.
\item Poiché $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono ortogonali a due a due tra loro, $M$ è una matrice diagonale.
Inoltre, dacché $\varphi > 0$ e $\vv i \neq \vec 0$ $\forall 1 \leq i \leq k$, gli elementi diagonali di $M$ sono sicuramente tutti diversi da zero, e quindi $\det (M) \neq 0$ $\implies$ $M$ è invertibile. Allora,
per il punto (v), $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono linearmente indipendenti.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{definition}
Data una base ortogonale $\basis$ di $V$ rispetto al prodotto
scalare $\varphi$,
si definiscono i seguenti indici:
\begin{align*}
\iota_+(\varphi) &= \max\{ \dim W \mid W \subseteq V \E \restr{\varphi}{W} > 0 \}, &\text{(}\textbf{indice di positività}\text{)} \\
\iota_-(\varphi) &= \max\{ \dim W \mid W \subseteq V \E \restr{\varphi}{W} < 0 \}, &\text{(}\textbf{indice di negatività}\text{)}\\
\iota_0(\varphi) &= \dim V^\perp &\text{(}\textbf{indice di nullità}\text{)}
\end{align*}
Quando il prodotto scalare $\varphi$ è noto dal contesto, si omette
e si scrive solo $\iota_+$, $\iota_-$ e $\iota_0$. In particolare,
la terna $\sigma(\varphi) = \sigma = (i_+, i_-, i_0)$ è detta \textbf{segnatura} del
prodotto $\varphi$.
\end{definition}
\begin{theorem} (di Sylvester, caso reale) Sia $\KK$ un campo ordinato
i cui elementi positivi sono tutti quadrati (e.g.~$\RR$). Allora
esiste una base ortogonale $\basis$ tale per cui:
\[ M_\basis(\varphi) = \Matrix{I_{\iota_+} & \rvline & 0 & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & -I_{\iota_-} & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & 0 & \rvline & 0\cdot I_{\iota_0} }. \]
\vskip 0.05in
Inoltre, per ogni base ortogonale, esistono esattamente
$\iota_+$ vettori della base con forma quadratica positiva,
$\iota_-$ con forma negativa e $\iota_0$ con
forma nulla.
\end{theorem}
\begin{proof}
Per il teorema di Lagrange, esiste una base ortogonale $\basis'$ di $V$.
Si riordini la base in modo tale che la forma quadratica valutata nei primi elementi sia strettamente positiva, che nei secondi elementi sia strettamente negativa e che negli ultimi sia nulla. Si sostituisca
$\basis'$ con una base $\basis$ tale per cui, se $q(\vv i) > 0$,
allora $\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{q(\vv i)}}$; se
$q(\vv i) < 0$, allora $\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{-q(\vv i)}}$;
altrimenti $\vv i \mapsto \vv i$. Si è allora trovata una base
la cui matrice associata del prodotto scalare è come desiderata nella
tesi. \\
Sia ora $a$ il numero di vettori della base con forma quadratica
positiva, $b$ il numero di vettori con forma negativa e $c$ quello
dei vettori con forma nulla. Si consideri $W_+ = \Span(\vv 1, ..., \vv a)$, $W_- = \Span(\vv{a+1}, ..., \vv b)$, $W_0 = \Span(\vv{b+1}, ..., \vv c)$. \\
Sia $M = M_\basis(\varphi)$. Si osserva che $c = n - \rg(M) = \dim \Ker(M) = \dim V^\perp = \iota_0$. Inoltre $\forall \v \in W_+$, dacché
$\basis$ è ortogonale,
$q(\v) = q(\sum_{i=1}^a \alpha_i \vv i) = \sum_{i=1}^a \alpha_i^2 q(\vv i) > 0$, e quindi $\restr{\varphi}{W_+} > 0$, da cui $\iota_+ \geq a$.
Analogamente $\iota_- \geq b$. \\
Si mostra ora che è impossibile che $\iota_+ > a$. Se così infatti
fosse, sia $W$ tale che $\dim W = \iota_+$ e che $\restr{\varphi}{W} > 0$. $\iota_+ + b + c$ sarebbe maggiore di $a + b + c = n := \dim V$. Quindi, per la formula di Grassman, $\dim(W + W_- + W_0) = \dim W +
\dim(W_- + W_0) - \dim (W \cap (W_- + W_0)) \implies \dim (W \cap (W_- + W_0)) = \dim W +
\dim(W_- + W_0) - \dim(W + W_- + W_0) > 0$, ossia esisterebbe
$\v \neq \{\vec 0\} \mid \v \in W \cap (W_- + W_0)$. Tuttavia
questo è assurdo, dacché dovrebbe valere sia $q(\v) > 0$ che
$q(\v) < 0$, \Lightning. Quindi $\iota_+ = a$, e analogamente
$\iota_- = b$.
\end{proof}
\begin{definition}
Si dice \textbf{base di Sylvester} una base di $V$ tale per cui la
matrice associata di $\varphi$ sia esattamente nella forma
vista nella dimostrazione del teorema di Sylvester. Analogamente
si definisce tale matrice come \textbf{matrice di Sylvester}.
\end{definition}
\begin{remark} \nl
\li Si può dunque definire la segnatura di una matrice simmetrica
come la segnatura di una qualsiasi sua base ortogonale, dal
momento che tale segnatura è invariante per cambiamento di base. \\
\li La segnatura è un invariante completo per la congruenza nel caso reale. Se infatti due matrici hanno la stessa segnatura, sono
entrambe congruenti alla matrice come vista nella dimostrazione
della forma reale del teorema di Sylvester, e quindi, essendo
la congruenza una relazione di equivalenza, sono congruenti
tra loro. Analogamente vale il viceversa, dal momento che ogni
base ortogonale di due matrici congruenti devono contenere gli
stessi numeri $\iota_+$, $\iota_-$ e $\iota_0$ di vettori
di base con forma quadratica positiva, negativa e nulla. \\
\li Se $\ww 1$, ..., $\ww k$ sono tutti i vettori di una base
ortogonale $\basis$ con forma quadratica nulla, si osserva che $W = \Span(\ww 1, ..., \ww k)$ altro non è che $V^\perp$ stesso. Infatti, come
visto anche nella dimostrazione del teorema di Sylvester reale, vale
che $\dim W = \dim \Ker (M_\basis(\varphi)) = \dim V^\perp$. Inoltre,
se $\w \in W$ e $\v \in V$, $\varphi(\w, \v) = \varphi(\sum_{i=1}^k
\alpha_i \ww i, \sum_{i=1}^k \beta_i \ww i + \sum_{i=k+1}^n \beta_i \vv i)
= \sum_{i=1}^k \alpha_i \beta_i q(\ww i) = 0$, e quindi
$W \subseteq V^\perp$, da cui si conclude che $W = V^\perp$. \\
\li Vale in particolare che $\rg(\varphi) = \iota_+ + \iota_-$, mentre
$\dim \Ker(\varphi) = \iota_0$, e quindi $n = \iota_+ + \iota_- + \iota_0$. \\
\li Se $V = U \oplusperp W$, allora $\iota_+(\varphi) = \iota_+(\restr{\varphi}{V}) + \iota_+(\restr{\varphi}{W})$, e
analogamente per gli altri indici.
\end{remark}
\begin{definition} (isometria)
Dati due spazi vettoriali $(V, \varphi)$ e
$(V', \varphi')$ dotati di prodotto scalare sullo stesso campo $\KK$, si dice che
$V$ e $V'$ sono \textbf{isometrici} se esiste un isomorfismo
$f$, detto \textit{isometria}, che preserva tali che prodotti, ossia tale che:
\[ \varphi(\vec v, \vec w) = \varphi'(f(\vec v), f(\vec w)). \]
\end{definition}
\begin{exercise} Sia $f : V \to V'$ un isomorfismo. Allora $f$ è un'isometria $\iff$ $\forall$ base $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ di $V$, $\basis' = \{ f(\vv 1), \ldots, f(\vv n) \}$ è una base di $V'$ e $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$ $\iff$ $\exists$ base $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ di $V$ tale che $\basis' = \{ f(\vv 1), \ldots, f(\vv n) \}$ è una base di $V'$ e $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$.
\end{exercise}
\begin{solution} Se $f$ è un'isometria, detta $\basis$ una base di $V$, $\basis' = f(\basis)$ è una base di $V'$
dal momento che $f$ è anche un isomorfismo. Inoltre, dacché $f$ è un'isometria, vale sicuramente che
$\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$. \\
Sia ora assunto per ipotesi che $\forall$ base $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ di $V$, $\basis' = \{ f(\vv 1), \ldots, f(\vv n) \}$ è una base di $V'$ e $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$. Allora, analogamente a prima, detta $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ una base di $V$, $\basis' = f(\basis)$ è una base di $V'$, e in quanto tale,
per ipotesi, è tale che $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$. \\
Sia infine assunto per ipotesi che $\exists$ base $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ di $V$ tale che $\basis' = \{ f(\vv 1), \ldots, f(\vv n) \}$ è una base di $V'$ e $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$. Siano $\v$, $\w \in V$. Allora $\exists a_1$, ..., $a_n$, $b_1$, ..., $b_n \in \KK$
tali che $\v = a_1 \vv 1 + \ldots + a_n \vv n$ e $\w = b_1 \vv 1 + \ldots + b_n \vv n$. Si ricava pertanto
che:
\[ \varphi'(f(\v), f(\w)) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i b_j \, \varphi'(f(\vv i), f(\vv j)) =
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i b_j \, \varphi(\vv i, \vv j) = \varphi(\v, \w), \]
da cui la tesi.
\end{solution}
\begin{proposition} Sono equivalenti le seguenti affermazioni:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $V$ e $V'$ sono isometrici;
\item $\forall$ base $\basis$ di $V$, base $\basis'$ di $V'$,
$M_\basis(\varphi)$ e $M_{\basis'}(\varphi')$ sono congruenti;
\item $\exists$ base $\basis$ di $V$, base $\basis'$ di $V'$ tale che
$M_\basis(\varphi)$ e $M_{\basis'}(\varphi')$ sono congruenti.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof} Se $V$ e $V'$ sono isometrici, sia $f : V \to V'$ un'isometria. Sia $\basisC = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ una base di $V$. Allora, poiché $f$ è anche un isomorfismo, $\basisC' = f(\basisC)$ è una base di $V$ tale che
$\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$. Pertanto $M_\basisC(\varphi) = M_{\basisC'}(\varphi')$. Si conclude allora che, cambiando base in $V$ (o in $V'$), la matrice associata
al prodotto scalare varia per congruenza dalla formula di cambiamento di base per il prodotto scalare, da cui si ricava che per ogni scelta di $\basis$ base di $V$ e di $\basis'$ base di $V'$, $M_\basis(\varphi) \cong M_{\basis'}(\varphi')$. Inoltre, se tale risultato è vero per ogni $\basis$ base di $V$ e di $\basis'$ base di $V'$, dal momento che sicuramente esistono due basi $\basis$, $\basis'$ di $V$ e $V'$, vale anche (ii) $\implies$ (iii). \\
Si dimostra ora (iii) $\implies$ (i). Per ipotesi $M_\basis(\varphi) \cong M_{\basis'}(\varphi')$, quindi
$\exists P \in \GL(n, \KK) \mid M_{\basis'}(\varphi') = P^\top M_\basis(\varphi) P$. Allora $\exists$ $\basis''$
base di $V'$ tale che $P = M_{\basis''}^{\basis'}(\Idv)$, da cui $P\inv = M_{\basis'}^{\basis''}(\varphi)$. Per la formula di cambiamento di base del prodotto
scalare, $M_{\basis''}(\varphi) = (P\inv)^\top M_{\basis'} P\inv = M_\basis(\varphi)$. Detta
$\basis'' = \{ \ww 1, \ldots, \ww n \}$, si costruisce allora l'isomorfismo $f : V \to V'$ tale
che $f(\vv i) = \ww i$ $\forall 1 \leq i \leq n$.. Dal momento che per costruzione $M_\basis(\varphi) = M_{\basis''}(\varphi')$,
$\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(\ww i, \ww j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$.
Si conclude dunque che $\varphi(\v, \w) = \varphi'(f(\v), f(\w))$ $\forall \v, \w \in V$, e dunque
che $f$ è un'isometria, come desiderato dalla tesi.
\end{proof}
\begin{proposition} $(V, \varphi)$ e $(V', \varphi')$ spazi vettoriali
su $\RR$ sono
isometrici $\iff$ $\varphi$ e $\varphi'$ hanno la stessa segnatura.
\end{proposition}
\begin{proof}\nl\nl
\rightproof Per la precedente proposizione, esistono due basi $\basis$ e $\basis'$, una di $V$ e una di $V'$,
tali che $M_\basis(\varphi) \cong M_{\basis'}(\varphi)$. Allora queste due matrici condividono la stessa
segnatura, e così quindi anche $\varphi$ e $\varphi'$. \\
\leftproof Se $\varphi$ e $\varphi'$ hanno la stessa segnatura, esistono due basi $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ e $\basis' = \{ \ww 1, \ldots, \ww n \}$, una
di $V$ e una di $V'$, tali che $M = M_\basis(\varphi) = M_{\basis'}(\varphi')$ e che $M$ è una matrice di
Sylvester. Allora si costruisce $f : V \to V'$ tale che $f(\vv i) = \ww i$. Esso è un isomorfismo, e per
costruzione $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(\ww i, \ww j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$, da cui
si conclude che $\varphi(\v, \w) = \varphi'(f(\v), f(\w))$ $\forall \v$, $\w \in V$, e quindi che $V$ e
$V'$ sono isometrici.
\end{proof}
% \begin{example}
% Per $\varphi = x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$. %TODO: guarda dalle slide.
% \end{example}
\begin{definition} (sottospazio isotropo)
Sia $W$ un sottospazio di $V$. Allora $W$ si dice \textbf{sottospazio isotropo} di $V$
se $\restr{\varphi}{W} = 0$.
\end{definition}
\begin{remark}\nl
\li $V^\perp$ è un sottospazio isotropo di $V$. \\
\li $\vec{v}$ è un vettore isotropo $\iff$ $W = \Span(\vec v)$ è un sottospazio isotropo di $V$. \\
\li $W \subseteq V$ è isotropo $\iff$ $W \subseteq W^\perp$.
\end{remark}
\begin{proposition}
Sia $\varphi$ non degenere. Se $W$ è un sottospazio isotropo di $V$, allora
$\dim W \leq \frac{1}{2} \dim V$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Poiché $W$ è un sottospazio isotropo di $V$, $W \subseteq W^\perp \implies \dim W \leq \dim W^\perp$.
Allora, poiché $\varphi$ è non degenere, $\dim W + \dim W^\perp = \dim V$, $\dim W \leq \dim V - \dim W$,
da cui $\dim W \leq \frac{1}{2} \dim V$.
\end{proof}
\begin{definition}
Si definisce \textbf{indice di Witt} $W(\varphi)$ di $(V, \varphi)$
come la massima dimensione di un sottospazio isotropo.
\end{definition}
\begin{remark}\nl
\li Se $\varphi > 0$ o $\varphi < 0$, $W(\varphi) = 0$.
\end{remark}
\begin{proposition}
Sia $\KK = \RR$. Sia $\varphi$ non degenere e sia $\sigma(\varphi) = (\iota_+(\varphi), \iota_-(\varphi), 0)$. Allora
$W(\varphi) = \min\{\iota_+(\varphi), \iota_-(\varphi)\}$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Senza perdità di generalità si assuma $\iota_-(\varphi) \leq \iota_+(\varphi)$ (il caso $\iota_-(\varphi) > \iota_+(\varphi)$ è analogo). Sia $W$ un sottospazio con $\dim W > \iota_-(\varphi)$. Sia $W^+$
un sottospazio con $\dim W^+ = \iota_+(\varphi)$ e $\restr{\varphi}{W^+} > 0$. Allora, per la formula
di Grassmann, $\dim W + \dim W^+ > n \implies \dim W + \dim W^+ > \dim W + \dim W^+ - \dim (W \cap W^+) \implies \dim (W \cap W^+) > 0$. Quindi $\exists \w \in W$, $\w \neq \vec 0$ tale che $\varphi(\w, \w) > 0$, da cui
si ricava che $W$ non è isotropo. Pertanto $W(\varphi) \leq \iota_-(\varphi)$. \\
Sia $a := \iota_+(\varphi)$ e sia $b := \iota_-(\varphi)$.
Sia ora $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv a, \ww 1, \ldots, \ww b \}$ una base tale per cui $M_\basis(\varphi)$ è la matrice di Sylvester per $\varphi$. Siano $\vv 1$, ..., $\vv a$ tali che $\varphi(\vv i, \vv i) = 1$
con $1 \leq i \leq a$. Analogamente siano $\ww 1$, ..., $\ww b$ tali che $\varphi(\ww i, \ww i) = -1$ con
$1 \leq i \leq b$. Detta allora $\basis' = \{ \vv 1 ' := \vv 1 + \ww 1, \ldots, \vv b ' := \vv b + \ww b \}$, sia $W = \Span(\basis')$. \\
Si osserva che $\basis'$ è linearmente indipendente, e dunque che $\dim W = \iota_-$. Inoltre
$\varphi(\vv i ', \vv j ') = \varphi(\vv i + \ww i, \vv j + \ww j)$. Se $i \neq j$, allora
$\varphi(\vv i ', \vv j ') = 0$, dal momento che i vettori di $\basis$ sono a due a due ortogonali
tra loro. Se invece $i = j$, allora $\varphi(\vv i ', \vv j ') = \varphi(\vv i, \vv i) + \varphi(\ww i, \ww i) = 1-1=0$. Quindi $M_{\basis'}(\restr{\varphi}{W}) = 0$, da cui si conclude che $\restr{\varphi}{W} = 0$.
Pertanto $W(\varphi) \geq i_-(\varphi)$, e quindi $W(\varphi) = i_-(\varphi)$, da cui la tesi.
\end{proof}

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@ -0,0 +1,39 @@
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\usepackage[italian]{babel}
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\begin{document}
\title{I prodotti di uno spazio vettoriale}
\subtitle{Dispense del corso di Geometria 1}
\author{Gabriel Antonio Videtta}
\date{A.A. 2022/2023 \\ \vskip 1in \includegraphics[scale=0.3]{logo.png}}
\maketitle
\newpage
\thispagestyle{empty}
~\newpage
\tableofcontents
\newpage
\thispagestyle{empty}
~\newpage
\include{1. Introduzione al prodotto scalare}
\newpage
\thispagestyle{empty}
~\newpage
\include{2. Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare}
\newpage
\thispagestyle{empty}
~\newpage
\include{3. Prodotti hermitiani, spazi euclidei e teorema spettrale}
\end{document}

@ -90,7 +90,7 @@
tramite la congruenza, ossia tramite la mappa $(P, A) \mapsto P^\top A P$. L'orbita $\Orb(A)$ è la classe di congruenza delle matrice simmetria $A \in \Sym(n, \KK)$. Analogamente si può costruire un'azione per le tramite la congruenza, ossia tramite la mappa $(P, A) \mapsto P^\top A P$. L'orbita $\Orb(A)$ è la classe di congruenza delle matrice simmetria $A \in \Sym(n, \KK)$. Analogamente si può costruire un'azione per le
matrici hermitiane. matrici hermitiane.
\item Se $G = O_n$, il gruppo delle matrici ortogonali di taglia $n$ su $\KK$, $G$ opera su $\RR^n$ tramite la mappa $O \cdot \vec v \mapsto O \vec v$. L'orbita $\Orb(\vec v)$ è in particolare la sfera $n$-dimensionale di raggio $\norm{x}$. \item Se $G = O_n$, il gruppo delle matrici ortogonali di taglia $n$ su $\KK$, $G$ opera su $\RR^n$ tramite la mappa $O \cdot \vec v \mapsto O \vec v$. L'orbita $\Orb(\vec v)$ è in particolare la sfera $n$-dimensionale di raggio $\norm{v}$.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{example} \end{example}

@ -0,0 +1,615 @@
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da intendersi né completo, né revisionato.}\end{center}}
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% Modalità matematica/fisica
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\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\newcommand{\Vector}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\DeclareMathOperator{\rg}{rg}
\let\v\undefined
\newcommand{\v}{\vec{v}}
\newcommand{\vv}[1]{\vec{v_{#1}}}
\newcommand{\w}{\vec{w}}
\newcommand{\U}{\vec{u}}
\newcommand{\ww}[1]{\vec{w_{#1}}}
\newcommand{\uu}[1]{\vec{u_{#1}}}
\newcommand{\mapstoby}[1]{\xmapsto{#1}}
\newcommand{\oplusperp}{\oplus^\perp}
% Comandi personali.
\newcommand{\card}[1]{\left|#1\right|}
\newcommand{\nsqrt}[2]{\!\sqrt[#1]{#2}\,}
\newcommand{\zeroset}{\{0\}}
\newcommand{\setminuszero}{\setminus \{0\}}
\newenvironment{solution}
{\textit{Soluzione.}\,}
\theoremstyle{definition}
\let\abstract\undefined
\let\endabstract\undefined
\newcommand{\basis}{\mathcal{B}}
\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\basisC}{\mathcal{B}}
\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
\newcommand{\FFp}[1]{\mathbb{F}_p}
\newcommand{\FFpx}[1]{\mathbb{F}_p[x]}
\newcommand{\CCx}{\mathbb{C}[x]}
\newcommand{\KK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\KKx}{\mathbb{K}[x]}
\newcommand{\QQx}{\mathbb{Q}[x]}
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\newcommand{\ZZi}{\mathbb{Z}[i]}
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\newcommand{\ZZpx}{\mathbb{Z}_p[x]}
\newcommand{\ZZx}{\mathbb{Z}[x]}
\newcommand{\ii}{\mathbf{i}}
\newcommand{\jj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\kk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bidual}[1]{#1^{**}}
\newcommand{\dual}[1]{#1^{*}}
\newcommand{\LL}[2]{\mathcal{L} \left(#1, \, #2\right)} % L(V, W)
\newcommand{\nsg}{\mathrel{\unlhd}} % sottogruppo normale
% evan.sty original commands
\newcommand{\cbrt}[1]{\sqrt[3]{#1}}
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
\newcommand{\ceiling}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand{\mailto}[1]{\href{mailto:#1}{\texttt{#1}}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\vocab}[1]{\textbf{\color{blue}\sffamily #1}}
\providecommand{\alert}{\vocab}
\newcommand{\catname}{\mathsf}
\providecommand{\arc}[1]{\wideparen{#1}}
% From H113 "Introduction to Abstract Algebra" at UC Berkeley
\newcommand{\CC}{\mathbb C}
\newcommand{\FF}{\mathbb F}
\newcommand{\NN}{\mathbb N}
\newcommand{\QQ}{\mathbb Q}
\newcommand{\RR}{\mathbb R}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
\DeclareMathOperator{\Syl}{Syl}
\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
% From Kiran Kedlaya's "Geometry Unbound"
\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\dang}{\measuredangle} %% Directed angle
\newcommand{\ray}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\seg}[1]{\overline{#1}}
% From M275 "Topology" at SJSU
\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\taking}[1]{\xrightarrow{#1}}
\newcommand{\inv}{^{-1}}
\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
\newcommand{\defeq}{\overset{\mathrm{def}}{=}}
\newcommand{\defiff}{\overset{\mathrm{def}}{\iff}}
% From the USAMO .tex files
\newcommand{\dg}{^\circ}
\newcommand{\liff}{\leftrightarrow}
\newcommand{\lthen}{\rightarrow}
\newcommand{\opname}{\operatorname}
\newcommand{\surjto}{\twoheadrightarrow}
\newcommand{\injto}{\hookrightarrow}
% Alcuni degli operatori più comunemente utilizzati.
\DeclareMathOperator{\Char}{char}
\DeclareMathOperator{\Dom}{Dom}
\DeclareMathOperator{\Fix}{\textit{Fix}\,}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\existsone}{\exists !}
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
\DeclareMathOperator{\Imm}{Imm}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator{\rank}{rank}
\DeclareMathOperator{\MCD}{MCD}
\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor}
\DeclareMathOperator{\mcm}{mcm}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
% Reimposta alcuni simboli presenti di default in LaTeX con degli analoghi
% più comuni.
\let\oldemptyset\emptyset
\let\emptyset\varnothing
% Trasforma alcuni simboli in operatori matematici.
\let\oldcirc\circ
\let\circ\undefined
\DeclareMathOperator{\circ}{\oldcirc}
\let\oldexists\exists
\let\exists\undefined
\DeclareMathOperator{\exists}{\oldexists}
\let\oldforall\forall
\let\forall\undefined
\DeclareMathOperator{\forall}{\oldforall}
\let\oldnexists\nexists
\let\nexists\undefined
\DeclareMathOperator{\nexists}{\oldnexists}
\let\oldland\land
\let\land\undefined
\DeclareMathOperator{\land}{\oldland}
\let\oldlnot\lnot
\let\lnot\undefined
\DeclareMathOperator{\lnot}{\oldlnot}
\let\oldlor\lor
\let\lor\undefined
\DeclareMathOperator{\lor}{\oldlor}
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\title{}
\author{Gabriel Antonio Videtta}
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