Dimostrare che la derivata sinistra è negativa, e che quella
destra è positiva nei casi che hai capito.
\end{example}
\begin{theorem} (di Rolle)
Sia $I =[a, b]\subset\RR$ e sia $f : I \to\RR$ tale che
$f$ sia continua su $I$, che $f(a)= f(b)$ e che $f$ sia derivabile
in $[a, b]$. Allora $\exists\xbar\in(a, b)$ tale che $f'(\xbar)=0$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Per il teorema di Weierstrass $f$ ammette un punto di massimo $M$ e uno di minimo $m$ in $I$. Se $f(a)= M$ e $f(b)= m$ o viceversa, la
funzione $f$ è costante in $I$, e quindi per ogni punto in $(a, b)$
la derivata è nulla, dacché $f$ è sempre derivabile. Altrimenti,
sicuramente uno tra il punto di massimo e quello di minimo appartiene
a $(a, b)$. Senza perdita di generalità, si assuma che $\exists x_M \in(a, b)$ tale che $f(x_M)= M$: per
il teorema di Fermat $f'(x_M)=0$. Analogamente per il caso in cui
$\exists x_m \in(a, b)$ tale che $f(x_m)= m$, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{theorem} (di Cauchy)
Sia $I =[a, b]\subset\RR$ e siano $f$, $g: I \to\RR$
continue su $I$ e derivabili in $(a, b)$, con $g'$ non nulla
in $(a, b)$ e $g(a)\neq g(b)$. Allora
$\exists\xbar\in(a, b)$ tale che $\frac{f'(\xbar)}{g'(\xbar)}=\frac{f(b)- f(a)}{g(b)-g(a)}$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Si consideri la funzione $h : I \to\RR$ tale che $h(x)= f(x)-\left(\frac{f(b)- f(a)}{g(b)- g(a)}(g(x)- g(a))+ f(a)\right)$.
Si osserva che $h$,
essendo una somma di funzioni continue su $I$ e derivabili in $(a, b)$,
è anch'essa continua su $I$ e derivabile in $(a, b)$. Inoltre
$h(a)= h(b)=0$. Quindi, per il teorema di Rolle, $\exists\xbar\in(a, b)\mid h'(\xbar)=0\implies\frac{f'(\xbar)}{g'(\xbar)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$,
da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{theorem} (di Lagrange)
Sia $I =[a, b]\subset\RR$ e sia $f: I \to\RR$ tale che $f$
sia continua su $I$ e che $f$ sia derivabile in $(a, b)$. Allora
$\exists\xbar\in(a, b)$ tale che $f'(\xbar)=\frac{f(b)- f(a)}{b-a}$, ossia la cui retta tangente è parallela alla secante
che passa per $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Si consideri $g(x)= x$, $g$ è continua in $[a, b]$ e derivabile
in $(a, b)$, con derivata sempre non nulla in tale intervallo.
Allora, per il teorema di Cauchy, $\exists\xbar\in(a, b)\mid
f'(\xbar) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{proposition}
Sia $I =[a, b]\subset\RR$ e sia $f : I \to\RR$ tale che $f$
sia continua su $I$ e che $f$ sia derivabile in $(a, b)$, con
derivata non negativa. Allora $f$ è crescente in $[a, b]$.
Analogamente, se la derivata è non positiva, $f$ è decrescente.
\end{proposition}
\begin{proof}
Senza perdita di generalità si dimostra il caso in cui la derivata
di $f$ in $(a, b)$ è non negativa (altrimenti è sufficiente considerare
$g =-f$).
Si considerino $c < d \in I$. Allora, per il teorema di Lagrange,
